Matematická analýza 2 2024/2025 Z 2024-10-09 17:55:32 Obsah Předmluva v Kapitola I. Pomocné vědomosti 1 §1.1 Hyperbolické funkce a inverzní hyperbolické funkce........... 1 §1.1.1 Hyperbolické funkce...................... 1 §1.1.2 Inverzní hyperbolické funkce................... 2 § 1.2 Polynomy............................ 3 §1.2.1 Součin kořenových činitelů.................... 3 § 1.2.2 Dělení polynomu lineárním jednočleném a Hornerovo schéma...... 4 § 1.2.3 Technika hledání kořenů polynomů s celými koeficienty........ 5 § 1.3 Racionální lomené funkce...................... 6 §1.3.1 Ryze a neryze lomené funkce................... 7 §1.3.2 Parciální zlomky........................ 7 Kapitola II. Integrál neurčitý 11 § II. 1 Primitivní funkce a integrál neurčitý.................. 11 § II.2 Vlastnosti integrálu neurčitého.................... 12 § II. 3 Výpočet integrálu neurčitého.................... 13 §11.3.1 Tabulky základních integrálů................... 13 § II.3.2 Metoda integrace po částech (perpartes).............. 16 §11.3.2.1 Princip integrace po částech................. 16 §11.3.2.2 Jednoduché příklady integrace po částech............ 16 §11.3.2.3 Běžné typy integrálů, jež lze vypočítat integrací po částech..... 18 § II.3.2.3i Integrály / p(x) cos(ax) dx, f p(x) sin(ax) dx a / p(x)eax dx . 18 §11.3.2.32 Integrály f eax cos(bx) dx, f eax sm(bx) dx......... 18 § II.3.2.33 Integrály součinů typů / p(x)(lnx)m dx, f />(x)(arctg x)m dx, f />(x)(arcctgx)m d x..................... 18 §11.3.3 Metoda integrace s pomocí nové proměnné (substituce)........ 19 § II.3.3.1 Princip integrace s pomocí nové proměnné........... 19 §11.3.3.2 Způsoby využití metody substituce............... 21 §11.3.3.2! Případ lineární substituce................. 22 § II.3.3.22 Příklady integrace s pomocí nové proměnné.......... 22 § II.3.3.23 Technika zavedení do diferenciálu.............. 24 § II.4 Integrace některých často se vyskytujících typů funkcí.......... 25 §11.4.1 Integrál racionální lomené funkce................. 25 § II.4.1.1 Integrace ryze lomené funkce................. 26 iii §11.4.1.2 Integrace parciálních zlomků................. 27 §11.4.1.2i Parciální zlomky 1. druhu................. 27 §11.4.1.22 Parciální zlomky 2. druhu................. 27 § II.4.2 Integrály typu / r(cosx, sin x), kde r je racionální lomená funkce ... 29 §11.4.2.1 Univerzální trigonometrická substituce............. 30 § II.4.2.2 Speciální případy...................... 32 §11.4.2.2! Speciální trigonometrické substituce............. 32 § II.4.2.22 Integrály fúnnxcosmx dx, kde n, m jsou celá čísla...... 35 §11.4.3 Integrály typu J r(x, "^Jj^j^j dx, kde r je racionální lomená funkce . 36 § II.4.4 Integrály typu / r(x, ^Jax2 + fix + y), kde r je racionální lomená funkce 38 §11.4.4.1 Eulerovy substituce..................... 38 § II.4.4.2 Některé speciální případy.................. 39 Kapitola III. Integrál určitý 45 §111.1 Integrál neurčitý - opakování.................... 45 § III.2 Zavedení určitého integrálu..................... 45 § III.2.1 Plocha pod křivkou a integrál kladné funkce............ 45 § III.2.2 Integrál funkce libovolného znaménka............... 46 § III.2.3 Existence integrálu určitého................... 46 § III.3 Vlastnosti integrálu určitého.................... 47 §111.3.1 Linearita integrálu....................... 47 § III.3.2 Newton-Leibnizův vzorec................... 48 § III.4 Výpočet integrálu určitého..................... 49 §111.4.1 Metoda per partes....................... 49 § III.4.2 Metoda substituce....................... 51 § III.5 Další příklady určitých integrálů................... 53 §111.5.1 Integrál racionální lomené funkce................ 53 §111.5.2 Univerzální trigonometrická substituce.............. 53 § III.5.3.............................. 55 § III.6 Geometrické aplikace integrálu určitého................ 57 § III.6.1 Plochy ohraničené křivkami................... 57 §111.6.1.1 Plocha geometrického útvaru ležícího mezi grafem a osou x .... 58 §111.6.1.2 Plochy ohraničené dvěma grafy................ 59 Bibliografie 65 iv Předmluva Obsahem textu jsou poznámky pro přednášky pro kurz Matematická analýza 2 2024/2025 Z. Hlavní probíraná témata jsou okruhy pro závěrečnou zkoušku. Pořadí kapitol přibližně odpovídá harmonogramu výuky. Číslování všech objektů je pro pohodlnější vyhledávaní průběžné (např. poznámka, následující po větě 3.11, bude mít číslo 3.12). Řada úvah, vysvětlení i důkazů, jež výklad doplňují a občas jsou nad rámec kurzu, se uvádí zejména pro lepši pochopení látky a jsou vysázeny drobnějším písmem. Text je koncipován, v rámci možnosti, pro maximální stručnost a zaměřen k výkladu základů učiva bez nutnosti se obracet k jiným zdrojům. Nenajdete proto zde hlubší výklad Riemannova integrálu ani historické vědomosti (což lze nalézt v literatuře). Dle obsahu daného kurzu se konstrukce integrálu vysvětluje velmi zjednodušenou formou. Také integrál neurčitý se rozebírá před integrálem určitým, i když přirozenějším je pořadí opačné. Toto je pracovní verze textu, předběžná a nekompletní. Soubor je průběžně upravován. Poznámky a připomínky: ronto@ped.muni. cz 2024-10-09 17:55:32 v KAPITOLA I Pomocné vědomosti § 1.1. Hyperbolické funkce a inverzní hyperbolické funkce Uveďme základní vlastnosti hyperbolických funkcí v reálném oboru. § 1.1.1. Hyperbolické funkce Hyperbolické funkce (kosinus, sinus, tangens a kotangens hyperbolické) reálného argumentu jsou definovány vzorci coshx = ^(ex + e x), sinhx = ^(ex - e x), (1.1) sinh x cosh x tghx = ——, ctghx = ——. (1.2) cosh x sinh x Bezprostředně z (1.1) a (1.2) plyne, že platí ex — e x e2x — 1 ex + e x e2x + 1 ,T _ tghx = = , ctghx = —-— = ——-. (1.3) ex + e x ezx + 1 ex — e x ezx — 1 Grafy těchto funkcí jsou znázorněny na obr. 1.1. Mezi jejich základní vlastnosti patří vztahy cosh2 x — sinh2 x = 1, cosh2 x + sinh2 x = cosh2x, 2 tghx 2sinhxcoshx = sinh2x, -=— = tgh2x, /T A, 1 + tgh2 x (L4) , 1 , 1 1 - tgh x = -1 - ctgh x = cosh x sinh x Pro derivace těchto funkcí platí následující rovnosti připomínající (až na rozdíl ve znaménku) obdobné vlastnosti goniometrických funkcí: (sinhx)' = coshx, (coshx)' = sinhx. (1.5) 1 ■ cosh x--sinh x---tgh x--ctgh x -arccosh x--arcsinh x---arctanh x (a) (b) Obrázek 1.1. Hyperbolické funkce a inverzní hyperbolické funkce § 1.1.2. Inverzní hyperbolické funkce Pro funkce inverzní k hyperbolickým platí následující vztahy:1 e ar sinh x = ln (x + arcoshx = ln(x + Vx2 — l) (x > 1), artanhx = -ln (?-t?í\ (|x| < 1), C-6) 2 VI-x \ í x _|_ \ arcothx = - ln (-) (\x\ < 1). 2 \ x - 1 ' Vl 1 ' dokažme např. vzorec pro arsinh. Buď x — sinh/. Dle (1.1) x — j(e! — e r), tj. e2t + 2xe! + 1=0 a pro kladné s — e' máme kvadratickou rovnici s2 — 2xs + 1=0. Pak s — x + Vx2 + 1 (varianta s — x — \lx2 + 1 je nevyhovující, neboť je v rozporu s kladností s: 0 < s — x — \/x2 + 1 < x — ^Tx2 — 0) a proto / = ln(x + \/x2 + 1). Vzhledem k libovolnosti x je tímto dokázaná existence inverzní funkce arsinh = sinh-1 na (—oo, oo) a platnost odpovídajícího vzorce. KAPITOLA II Integrál neurčitý § II.1. Primitivní funkce a integrál neurčitý Mějme funkci / definovanou a spojitou na nějakém intervalu (a, b). Pojmy primitivní funkce a integrálu neurčitého slouží pro zodpovězení otázky: derivací čeho je výraz f (x) ? Definice II. 1. Primitivnífunkce k funkci / na intervalu (a, b) je taková funkce F, že pro každé x z (a,b) platí F'(x) = f{x). Např. funkce F(x) = |x3 je primitivní funkcí k f (x) = 5x2, neboť F'(x) = | • 3x2 = 5x2 = f(x). Navíc všechny primitivní funkce pro f(x) = 5x2 mají tvar F(x) = fx3 + C, kde C je libovolná konstanta (toto platí i obecně; viz větu II.5). Definice II.2. Výraz kde F je funkce primitivní k / a C je libovolná konstanta, se nazývá integrálem neurčitým funkce /. Název pojmu zdůrazňuje jeho odlišnost od integrálu určitého (kap. III). Poznámka II. 3. Jinak se dá říci, že integrálem neurčitým dané funkce je jakákoliv její primitivní funkce, anebo souhrn všech primitivních funkcí. Integrál neurčitý se tedy definuje jednoznačné až na „aditivní konstantu". Pojmy primitivní funkce a integrálu neurčitého jsou vesměs shodné. Symbol f je označován jako integrační znak, funkce / se nazývá integrandem a formální symbol „dx" slouží k označení proměnné, podle níž daný výraz integrujeme. Zápis čteme takto: „integrál z f(x) podle x". Neurčitý integrál (II. 1) zodpovídá otázku: jak vypadají všecky možné výrazy, které po zderivování vzhledem k proměnné x se promění na f (x) ? Platí tedy, že kde C je libovolná konstanta. Operace derivování a nalezení integrálu neurčitého jsou v tomto smyslu navzájem inverzní. Konstanta C se nazývá integrační konstantou. VĚTA II.4 (o existenci primitivní funkce). Ke každé funkci spojité na intervalu (a,b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní a tudíž má funkce integrál neurčitý. Důkaz věty II.4 neuvádíme, jelikož toto tvrzení je přímým důsledkem jedné věty pro integrál určitý z další kapitoly. Poznamenejme, že existenci integrálu lze zaručit i za slabších podmínek (nemusí být funkce nutně spojitá); pro naše potřeby uvedená formulace je postačující. x e (a, b), (II.l) n VĚTA II.5 (o množině všech primitivních funkcí). Jsou-li Fi a F2 dvě funkce, jež jsou na intervalu (a, b) primitivní pro spojitou funkci /, pak existuje konstanta C taková, že Fx(x) = F2(x) + C (11.3) pro všechna x e (a, b). I když se toto tvrzení jeví jako zřejmé, jeho zdůvodnění zcela triviální není. Důkaz. Položme u(x) = F\(x) — F2(x), x e (a, b). Jelikož Fi a F2 jsou primitivní pro /, platí u'(x) = F[(x) - F^x) = f(x) - f(x) = 0, x e (a, b). (II.4) Toto však znamená, že je u na (a,b) konstantní. Vskutku, předpokládáme-li opak, lze najít nějaký interval (a,/3) C (a, b) tak, že u(a) ^ u(/3). Funkce u je diferencovatelná jakožto součet dvou diferencovatelných funkcí. Proto dle věty o střední hodnotě existuje bod £ e (a, v němž u(p)-u(a) -a- = u & p — a a tudíž ^ 0, neboť u(a) ^ u(/3). Avšak podle (II.4) musí být = 0. Tento spor dokazuje chybnost předpokladu ohledné funkce u, která je tedy konstantní a tudíž platí (II.3). □ Z věty II.5 plyne, že grafy všech možných funkcí, jež jsou primitivní pro funkci danou, se obdrží posunem grafu jedné z nich posunem ve směru svislé souřadné osy. Poznámka II. 6 (o užití diferenciálu). Zápisu f f (x) dx místo logičtějšího f f se užívá zejména z důvodů historických (jasnější to je v případě integrálu určitého, kde vystupují určité součty přírůstků funkce, vynásobené přírůstkem argumentu; viz dále § III.2). Toto označení však má svůj smysl a poskytuje určitou výhodu. Nehledě na to, že „dx" v zápisu integrálu je pouze formální symbol, jenž značí proměnnou, podle níž se integruje, v praxi je pohodlné (a z hlediska výpočtů také vhodné) tlumočit výraz „/(x) dx" jako „/(x) • dx" („/(x) krát dx"). Píšeme tedy např. f ^ dx = f ^r- Všude dále v této kapitole platí Úmluva II.7 (o vynechání integrační konstanty). Nezpůsobí-li to nedorozumění, budeme občas integrační konstantu pro zkrácení zápisu vynechávat, neboť integrační konstanta k výsledkům integrace vždy automaticky patří.5 § II.2. Vlastnosti integrálu neurčitého Základními vlastnostmi integrálu neurčitého jsou relace (II.2). Vzhledem k § II. 1 a vlastnostem derivace platí vlastnost linearity integrálu: pro libovolné spojité funkce fx, f2 a konstanty Aj, X2 je j(X1f1(x) + X2f2(x))dx = X1j f1(x)dx + X2j f2(x)dx. (11.5) Mimo jiné, konstantu lze vždy vytknout před znak integrálu a integrál součtu (rozdílu) dvou výrazů je součtem (rozdílem) příslušných integrálů. Poznámka II.8 (důležité varování). Neexistují smysluplné vzorce, které by vyjadřovaly / f(x)g(x) dx nebo / d x přes / /(x)dxa / g(x)dx! 5Viz však poznámku II. 11. 12 § II.3. Výpočet integrálu neurčitého „Výpočtem" integrálu neurčitého se rozumí jeho vyjádření s využitím konečně mnoha elementárních funkcí pomocí algebraických operací a operace složení. Např. f (x2 + 5e3x) dx = -ij- + |e3x +C (výsledkem je lineární kombinace funkcí mocninné a exponenciální); J xe*2 dx = \ex2 + C (složení funkcí exponenciální a kvadratické), kde C je libovolná konstanta.6 Derivace konkrétních funkcí vždy vypočítáme podle známých pravidel derivování, to jest výsledek je svým způsobem garantován a k jeho dosažení stačí jen znát základní vlastnosti derivace a tabulku derivací elementárních funkcí. V případě integrace je situace odlišná: může se totiž stát, že neurčitý integrál nějaké funkce zásadně „nelze vypočítat". Toto znamená, že existují elementární funkce, jejichž primitivní funkce již mezi elementární funkce nepatří. Je tomu tak např. pro /(x) = e~x , /(x) = sin(x2) apod.; jsou to funkce, pro něž nelze integrál / /(x) dx žádným způsobem vyjádřit přes funkce elementární (to jest mocninné, exponenciální, trigonometrické, polynomiální, racionální lomené).7 Poznámka II.9. Na rozdíl od derivací, pro integrál platí, že: (1) ne každý integrál neurčitý „lze vypočíst"; (2) i pokud daný integrál neurčitý vypočíst lze, je potřeba nalézt způsob, jak to udělat. Obecně platná metoda pro výpočet libovolných integrálu neexistuje. Pro integrál, jež explicitně vypočíst lze, můžeme očekávat následující případy: (1) vzorec pro integrál je znám bezprostředně z tabulek; (2) po vhodné úpravě lze obdržet integrál, shodný s některým z tabulkových nebo jemu podobný; (3) na integrál lze (bezprostředně nebo po úpravě) aplikovat jednu z integračních metod (integrace s pomocí nové proměnné nebo po částech; §§ II.3.2, II.3.3). Techniky integrace, jež jsou k dispozici, se vztahují na určité třídy integrálů, jež lze daným způsobem vypočíst. V odborné literatuře lze nalézt rozsáhle integrační tabulky a podrobný rozbor jednotlivých technik a případů jejich použitelnosti. § II.3.1. Tabulky základních integrálů Přečtením tabulky známých derivací elementárních funkcí v opačném směru přirozeně vzniká užitečná tabulka základních integrálů (viz tabulka II. 1).8 Vskutku, máme (xm)' = mxm~l a pak pro m ^ 0 platí xm~l = ^p- = (x^-) , to jest F(x) = ^ je primitivní funkcí k f (x) = xm~l. Dále platí (ex)' = ex, (sinx)' = cosx, (cosx)' = — sinx, (arctgx)' = atd. (připomeňme si, že vzorce pro derivace cyklometrických funkcí se odvodí s pomocí věty o derivaci inverzní funkce). Podobným způsobem se odvodí integrály řády dalších známých funkcí. 6Kontrola zderivováním: (^- + |e3x + C)' = \?>x2 + |e3x3 = x2 + 5e3x; (e*2)' = 2xex2. 7Skutečnost, že se nějaký integrál nevyjadřuje ve funkcích elementárních, nikterak nesvědčí o jeho podřadném významu nebo nepoužitelnosti. Například, funkce erfx = f£ e~r át je důležitá v teorii pravděpodobnosti (tzv. chybová funkce), funkce Cq{x) = f£ cos (qx2) dx a Sq(x) = f£ sin (qx2) dx jsou tzv. integrály Fresnelovy, jichž se užívá ve fyzice apod. (v těchto vzorcích vidíme integrál neurčitý, vyjádřený v podobě integrálu určitého jakožto funkce své horní meze; k tomu se dostaneme v další kapitole). Pro lepší přehlednost v této tabulce vynecháváme libovolnou aditivní konstantu, která tam, samozrejme, vždycky patří (úmluva II.7). Viz však poznámku II. 11. 13 / /co, x d /- J cos x a + 1 a + 1 (a ± -1) e* áx = e* srn x / ľ áx = ln x / — J x / ax áx a* ( ! lna sin x áx = — cos x (a > 0, a ^ 1) cos2 x = tgx / áx sin2 x = — cotg x (11.6) (11.7) (11.8) (H.9) Tabulka II. 1. Integrály některých elementárních funkcí. J Vfl2^ f — J vx2± : dx = xz x arcsin — a : dx = ln x + Vx2 ± a2 í , 1 dx J a2 + x2 í , 1 dx J a2 — x2 Tabulka II.2. Další často využívané integrály. 1 x — arctg — a a 1 a + x — ln 2a a — x (11.11) (11.12) (11.13) (11.14) Jiné často využívané vzorce pro integrály nalezneme v tabulce II.2; odvození některých z nich je však složitější. Poznámka 11.10 (o oboru platnosti integračních vzorců). Ve všech integračních vzorcích je třeba si hlídat definiční obory jednotlivých výrazů, v nichž je využití vzorců oprávněné (kompletnější tabulky u jednotlivých vzorců obsahují i obor jejich platnosti). Např. vzorce (II. 14), (II. 15) platí pro |x | < \a\; vzorec (II.9) pro integrál f Jf£ platí v intervalech, neobsahujících body ±f + 2kn, k G Z; vzorec (11.14) lze uplatnit na intervalech, neobsahujících body ±a (viz poznámku II. 11) atd. Pro integrál funkce x k 1/x viz poznámku II. 11. Poznámka 11.11 (o integrálu funkce x i—► 1/x). Vzorec pro f ^ dx v (II.6), stejně jako další integrační vzorce, bychom měli doplnit přidáním integrační konstanty. Napíšeme-li / 1 — dx x ln Ixl + C, (11.10) dostaneme přehlednou, avšak neúplně přesnou podobu vzorce pro tento integrál. I když v takovémto zkráceném tvaru vzorec pro daný integrál zcela běžně potkáváme, jeho matematicky preciznější podobou je dx \ ln (—x) + Ci pro x < 0, ln x + C2 pro x > 0, kde Ci a C2 jsou libovolné konstanty. Integrační konstanty zde tedy mohou být různé na levé a pravé poloose, neboť ln |x| je zde zkratkou pro předpisy dvou různých funkcí. Důvodem je fakt, že ln |x | není v bodě x = 0 definován a tak se definiční obor této funkce dělí na dvě části (—oo, 0) a (0, +oo), na nichž sex k - integruje zvlášť jakožto funkce spojitá (věta II.4). 14 Poznámka 11.12. Jelikož (arccotg x)' = —1+1^2, platí taktéž 1 / ■ dx = — arccotg x + C. (11.15) 1 + x1 Zdánlivý spor se vzorcem (11.14) lze vysvětlit tím, že se — arccotg x a arctg x ve skutečnosti liší jen o aditivní konstantu, neboť graf funkce i k - arccotg x vzniká posunem grafu x i-y arctg io| dolu. Vskutku, vzhledem k tomu, že cos(í — §■) = sin t, sin(í — j) = — cos t, je cotg(f — j) = — tg t a tudíž cotg (arctgx — — ^ = — tg (arctg x) = —x. Vypočteme-li arccotg výrazů na levé a pravé stranách, vzhledem k lichosti9 funkce arccotg dostaneme arctg x — — = arccotg (—x) = — arccotg x. Podobná poznámka platí pro vztahy / ^x 2 = arcsinx + C, f ^x 2 = — arccosx + C. „Tabulkové" integrály v uvedené podobě zpravidla nepotkáme a u konkrétních integrálů je potřeba vymyslet vhodné úpravy. PŘÍKLAD 11.14. Integrál f cos2 | dx v tabulkách bezprostředně nenalezneme. Vypočítáme ho však velice snadno pomocí vzorce pro cosinus dvojitého uhlu, jenž nám umožní mocninu snížit: /2 x 1 ľ x 1 ľ x 1 cos — dx = - / (1 + cosx) dx = —I— / d(sinx) = —I— sinx + C. 2 2J v ' 2 2J v ' 2 2 PŘÍKLAD 11.15. Vypočtěme integrál neurčitý 1 / sin2 x cos2 x dx. Řešení. Jelikož platí identita sin x + cos2 x = 1, vzhledem k linearitě integrálu (vlastnost (II.5)) bude /l f sin2 x + cos2 x /"l /"l —2-^—dx= / -r---dx = / -^dx+ / —5—dx. sin x cos2 x J sin x cos2 x J cos2 x J sin x Podle tabulky integračních vzorců (tabulka II. 1) f cJ2 x dx = tg x, / —\^ dx = — ctg x a tudíž 1 / sin2 x cos2 x dx = tg x — ctg x + C, kde C je libovolná konstanta. □ Všimněme si, že pro funkce f\(x) = 1/ cos2x, fiix) = 1/ sin2 x v příkladě 11.15 je / /i 0*0/2 0*0 dx = / fi(x)dx — f /*2 0*0 d x, což zdůrazňuje platnost poznámky II. 8. Lichost funkce x 1—► arccotg x je důsledkem následujícího tvrzení. Lemma 11.13. Má-li lichá funkce inverzní funkci je rovněž lichá. Důkaz. Zvolme libovolné y z definičního oboru funkce f^1 a položme x — f~l{y); pak je f(x) — y. Vypočteme-li f^1 (—y), vzhledem k lichosti funkce / dostaneme, že pro všechna y platí r\-y) = r\-f(x)) = /-1 (/(-*)) = -* = -rHy), což dokazuje lichost funkce f^1. □ 15 § II.3.2. Metoda integrace po částech (per partes) Metoda integrace po částech může být vhodná v případech, když je integrand ve tvaru součinu dvou výrazů, z nichž jeden je žádoucí zderivovat a druhý dovedeme integrovat.10 § II.3.2.1. Princip integrace po částech VĚTA 11.16 (o integrací po částech). Pro diferencovatelné funkce u av platí j u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — j v(x)u'(x)dx. (11.16) Důkaz. Mějme dvě diferencovatelné funkce u a v. Pak dle pravidla derivovaní součinu je (uv)' = uv' + u'v, odkud uv' = (uv)' — vu' a proto j u(x)v'(x)dx = j (u(x)v(x))'dx — j v(x)u'(x)dx. (H-17) Podle (II.2) platí11 f (u(x)v(x))' dx = u(x)v(x) a proto z (11.17) integrací obdržíme (11.16). □ Poznámka II. 17. Využijeme-li pojmu diferenciálu, můžeme zapsat vztah (11.16) v podobě j u(x) dv(x) = u(x)v(x) — j v(x)du(x), (11.18) která je obvykle pohodlnější k zapamatování. Způsobu výpočtu integrálů, jenž se zakládá na vzorcích (11.16), (11.17), se říká integrace po částech neboli per partes. Využití této metody je vhodné, jestliže bude integrál f v(x)u'(x) dx jednodušší než f u(x)v'(x) dx (to jest zderivování u při současném zintegrování v' zpět na v situaci v nějakém smyslu zlepšuje). § II.3.2.2. Jednoduché příklady integrace po částech PŘÍKLAD 11.18. Vypočtěme integrál f x cos x dx s pomocí integrace per partes. Řešení. Oba dva činitele x a cos x se dobře derivují a integrují, avšak pro ten první je x' = 1. Zvolme tedy ve vzorci (11.16) u(x) = x; pak musí být v'(x) = cos x, odkud dostaneme v(x) = f v'(x) dx = f cos x dx = sinx (viz tabulku II. 1, str. 14) a tudíž dle (11.16) u v' u v " Integrál f sinx dx je tabulkový (f sinx dx = — cos x až na aditivní konstantu; viz (II.8)) a proto j x cos x dx = x sin x — j sin x dx = x sin x + cos x + C, kde C je libovolná konstanta. □ 10Je to, v podstatě, jediná funkční náhražka chybějícího pravidla integrace součinu. 1 Můžeme zde vzít konstantu integrování rovnou 0, protože se v součtu (II. 16) vyskytuje další neurčitý integrál, obsahující integrační konstantu. 16 Poznámka 11.19 (o správné volbě členů). Pro úspěšnou integraci po částech je třeba v (11.16) rozumně zvolit u a v'. Položíme-li, např. v / x cos x dx z příkladu 11.18 u(x) = cos x, v'(x) = x, bude u'(x) = — sinx, v(x) = f xdx = \x2 a dostaneme ľ 1 2 1 ľ 2 I x cos x dx = -x cos x H— I x sin xdx, J 2 2J což je výsledek nevyhovující, jelikož ukol výpočtu integrálu f x2 sin x dx není nikterak snadnější než původní zadání. Nevhodná volba členů tedy způsobí, že při integraci po částech k zjednodušení původního integrálu nedochází (je zřejmé, že by v tomto případě bylo vhodné člen x právě derivovat, nikoliv integrovat). Metody integrace po částech lze, samozřejmě, využít i opakovaně. PŘÍKLAD 11.20. Vypočtěme / x2ex dx. Řešení. Vzhledem ke zkušenosti s příkladem 11.18 budeme derivovat x2 (zjednoduší se) a integrovat ex (umíme to provést). Metodu integrace po částech zde použijeme dvakrát: 2 ix u=x , v =e u=x, v'=ex ur=2x, v=f ex dx=ex u' = \, v=ex \ x2ex dx = x2ex -2 xex dx = f = x V - 2 (xex - ex) + C = (x2 -2x + 2)ex + C. Integrační konstantu stačí přidat až na konci. □ V některých případech integrace po částech nevede přímo na konečný výsledek, avšak po jejím opakovaném využití obdržíme vztah, jenž lze chápat jako rovnici pro určení hodnoty integrálu. PŘÍKLAD 11.21. Vypočtěme integrály j ex cos xdx, J(x) = j I(x) = / 1, integraci po částech provedeme víckrát. Podobně lze vypočítat f p(x)(avcúnx)m dx, f p(x)(avccosx)m dx. PŘÍKLAD 11.22. Vypočtěme / arcsinxdx. Řešení. Integrací po částech obdržíme v u f — ,-. ^-. f ^ 1 1 ľ I 1 •arcsinxdx= x arcsinx— / x dr = r nrcsin r--/ j j v/r^ 2j 1 ľd(\-x2) ■s/t — x 1 ľ 2 _1 2 = x arcsinx + - / (1 — x ) 2 d(l — x ). Jelikož s 1 — x2 = s, —2x dx = ds je /(.-^-Ml-x') = =2,1 =2 (!-,>)*. dostaneme /arcsin.d^arcsin. + yr^. PŘÍKLAD 11.23. Vypočtěme J(arcsinx)2 dx. (11.21) 18 Řešení. Podobně příkladu 11.22 u' Í^T "(--~~Č /•A2arcsinx^ (11.22) / 1 -(arcsinx) dx = x (arcsinx) — I x - dr J J *J 1 — x2 Ve výsledku opět integrujme po částech s u = arcsinx, v' = ^y~~2 (to Jest ta^' a^y ^yl zderivován zase člen s arcsinx); dle (11.21) bude v = f ^x = f Sj~2 ^(1 ~ -*"2) = 2Vl — x2 (s implicitní substitucí 1 — x2 = s) a tudíž ľ ~2x '-1 ' 1 -1 ľ 1 1 / , arcsinx dx = 2 V1 — x2 arcsinx — / 2 V1 — x2 , dx J Vl -x2 J Vl -x2 = 2 V1 — x2 arcsinx — 2x. Dosazením do (11.22) dostaneme / (arcsinx)2dx = x (arcsinx)2 + 2 V1 — x2 arcsinx — 2x. § II.3.3. Metoda integrace s pomocí nové proměnné (substituce) Metoda integrace s pomocí nové proměnné, jak říká její název, je založena na zavedení nové integrační proměnné, např. t, místo původní proměnné x prostřednictvím určitého vztahu typu x = (f>(t) anebo t = Ý(x) (tzv- substituce). Aplikujeme-li tuto substituci v nějakém integrálu / g(x) dx, po vyloučení původní proměnné x z integrandu g(x) a diferenciálu dx dostaneme jiný integrál podle nové proměnné. Substituci lze hodnotit jako úspěšnou, dostaneme-li ve výsledku integrál v nějakém smyslu jednodušší nebo vhodnější pro další úpravy.12 Po výpočtu pomocného integrálu podle nové proměnné je potřeba se vrátit k proměnné původní. § II.3.3.1. Princip integrace s pomocí nové proměnné Derivujeme-li složený výraz tvaru F((f>(t)), dle řetězového pravidla máme ^-F(4>(t)) = F'(4>(t))4>'(t). dt Integrací tohoto vztahu (za předpokladu spojitosti funkcí /, 0 a 0;) bezprostředně dostáváme j f((t))'(t)dt = F((t)) + C, (11.23) kde / = F'. Jelikož F je funkcí primitivní pro /, platí F(x) = f f (x) dx a tudíž lze vztah (11.23) zapsat ve tvaru j /(0(O) 4>'(t)dt = j f(x)dx, (11.24) kde v integrálu na pravé straně po jeho výpočtu za x dosadíme x = 0(0- Připomeneme-li si pojem diferenciálu,13 můžeme tuto skutečnost vyjádřit názornějším vzorcem j /(0(O) d0(ř) = j f(x)dx, (11.26) 1 o A, samozrejmé, v první rade, je-li vůbec možné danou substituci korektne provést, to jest jsou-li splnené příslušné podmínky. 13Jak již víme z počtu diferenciálního, diferenciálem funkce / v bodě x je výraz df(x) = f'(x)dx. (11.25) 19 jenž je ekvivalentní s (11.24). Shrnutím uvedených úvah obdržíme takovou větu. VĚTA 11.24 (o integrací s pomocí substituce). Buďte / funkce spojitá na intervalu (a, b) a 0 funkce definovaná na intervalu (a, /3) a mající v každém jeho bodě derivaci, přičemž 0(0 e (a, b) pro všechna t e (a, /3). Potom pro každé t e (a, /3) platí uvedené výše rovnice (11.24), (11.26), dosadíme-li na jejich pravých stranách po výpočtu integrálu x = 0(0- Toto znamená, že pokud má integrand tvar /(0(O) 0'(O s nějakou diferencovatelnou funkcí 0, pak je výsledek jednoduše integrálem z / s dosazeným místo argumentu výrazem 0(0- Stačí tedy odvodit integrál z /. Na vzorcích (11.24), (11.26) je založena tzv. substituční metoda vypočtu integrálu. Vztah x = 0(0 vyjadřuje zavedení nové proměnné t s následným výpočtem f f (t) dt, což objasňuje název metody. Uveďme jednoduché příklady, kde integrály vypočteme bezprostředně úpravou na vzorec (11.24). Poznamenejme, že ne vždy je potřeba tento vzorec explicitně zapisovat (praktický postup využití metody integrace s pomocí nové proměnné rozebereme v § II.3.3.2). PŘÍKLAD 11.25. Vypočtěme integrál (ln r)2 / ■dř. t Řešení. Jelikož j = (lnŕ)', je zřejmé, že je integrál ve tvaru f f (0(ř)) 0'(ř) dř, kde položíme 0(0 = ln t a za / vezmeme funkci s i-* s2. Dle věty 11.24 podle vzorce (11.24) dostaneme J ^-y-dt = J(Intfjdt = J (Inťf (Int)'dt = J s2ds = j + C, (11.27) kde C je libovolná konstanta a s = ln t. Konečný výsledek integrace / Oni)2., i^t? dt =--h C t 3 obdržíme dosazením s = ln t do (11.27), čímž se vrátíme k původní proměnné t. □ PŘÍKLAD 11.26. Vypočtěme / cos3řsinřdř. Řešení. Jelikož sin t je derivací výrazu — cos t, lze napsat cos3 t sin t = cos3 t (— cos ť)' = — cos3 t (cos ť)', což má tvar /(0(0) 0'(O s 0(0 = cos t a f(s) = —s3. Proto dle věty 11.24 je j cos3 t sin t dt = — j cos3 t (cos t)' dt = — j s3 ds = + C, kde s = cos t a C je libovolná konstanta. Integrál je tedy vypočten a zbývá se jen vrátit k původní proměnné t, to jest v získaném výsledku za s dosadit cos t: / , 1 4 cos t sint dt = —cos t + C. 4 Téhož výsledku dosáhneme s využitím vzorce (11.26): položíme-li cos ŕ = s, bude ds = d(cos0 = — sinřdř a tudíž únt dt = -dí a /cos3 ŕ sin ŕ dŕ = — f cos3 t d(cos 0 = — f s3 ds, což vede na již odvozený vzorec. □ Z hlediska výpočtů je zde pohodlné tlumočit výraz „fix) dx" jako „fix) ■ dx". Připomíná to také historické označení derivace: fix) — á^f>, z něhož (11.25) obdržíme formálním vynásobením diferenciálem nezávisle proměnné dx. Z diferenciály se pracuje, v podstatě, stejné jako s odpovídajícími derivacemi. 20 § II.3.3.2. Způsoby využití metody substituce Metody substituce, založené na rovnicích (11.24), (11.26), lze užít dvojím způsobem v závislosti na tom, ctěme-li rovnici zleva doprava nebo opačně. 1. způsob Máme-li vypočíst integrál, jenž se podařilo upravit na tvar f f (0(0) 0'(O dŕ nebo, což je totéž, f f (0(0) d0(O, pak ho s pomocí substituce 0(0 = x převedeme na integrál f f (x) dx, v němž pak po výpočtu zpětně dosadíme x = 0(0- Je-li možné f f (x) dx vypočítat, bude úloha integrace vyřešena. Úspěch tohoto postupu se určuje tím, zda se podaří výraz pod znakem integrálu vyjádřit ve tvaru /(0(0) d0(O nalezením vhodné funkce 0. Je to obecně nesnadný ukol, vyžadující určité zkušenosti. V některých případech je volba substituce zcela zřejmá (typickým je příklad 11.26), v jiných hledání vhodné substituce vyžaduje úsilí.14 2. způsob Máme-li vypočíst integrál f f (x) dx, můžeme se pokusit najít vhodnou substituci x = 0(0 tak, aby výsledný integrál podle nové proměnné f f((f> (0) d0 (0 byl v něčem výhodnější než ten výchozí. Jestliže nový integrál dokážeme vypočíst, ve výsledku bude potřeba vykonat zpětnou substituci (vrátit se k původní proměnné x). Poslední krok se zpětnou substitucí v sobě ukrývá určitou jemnost: ve výsledném integrálu totiž musíme všude vyjádřit t přes x, což není vždy možné, jelikož vykonaná substituce má tvar x = 0(0- Pr° tento případ věta 11.24 vyžaduje upřesnění formou dodatečné podmínky, která požadovanou vlastnost zaručí.15 VĚTA 11.27. Předpokládejme, že 0 ve větě 11.24 zobrazuje (a, /3) na (a, b).16 Pak lze integrál / /(x) dx vypočíst s pomocí vzorců (11.24), (11.26), kde vlevo proměnnou t vyjádříme přes x podle rovnice 0(0 = x. Poznámka 11.28. Dodatečná podmínka věty 11.27 je jistě splněna, je-li 0 monotónně rostoucí nebo klesající (pak bude zpětné vyjádření t přes x jednoznačné: t = 0_1 (x); obecně tomu tak být nemusí). Tento případ se v praxi vyskytuje nejčastěji. Poznámka 11.29 (o provedení substituce v praxi). V praxi substituci v integrálu j f(x)dx provádíme tak, že po zavedení nové proměnné vztahem typu x = 0(0 (anebo t = Ý(x)) původní proměnnou x v integrandu vyjádříme přes novou proměnnou t. Zároveň vyjádříme diferenciál dx přes dt: je-li x = 0(0. bude dx = 0'(Odr; pro substituci typu t = Ý(x) zapíšeme dt = Ý'(x) dx, kde v Ý'(x) rovněž vyjádříme x přes t (v tomto kroku v konkrétních My se však vesměs zaměříme na některé typické a často se vyskytující případy, kde vhodnou substituci určíme vždy relativně snadno. Dále probereme i zajímavější příklady, v nichž nalezení substituce vyžaduje jistou invenci. 15Podrobnější vysvětlení lze nalézt v [1], kap. III, § 4. 16Toto znamená, že (a, b) je právě množinou všech hodnot (p(t) pro / e (a,y6),tojestprokaždýbodx e (a,b) platí x — (j)(t) s nějakým / e (a, fí). Taková zobrazení se nazývají surjekce. 21 případech může být výhodnější postupovat trochu jinak; pozorně se podívejte na příklad 11.37). Oboji pak formálně dosadíme do f f (x) dx. Po výpočtu se má provést substituce zpětná. Samotná volba substituce je otázkou zkušenosti a v nemalé míře rovněž intuice. Pro vhodnost substituce x = 0(ř) může hovořit přítomnost v integrálu výrazu 0'(r) dt nebo podobných členů. PŘÍKLAD 11.30. Vypočtěme integrál f(5x - 2)30 dx. Řešení. Položíme-li 5x — 2 = t, dostaneme dt = d(5x — 2) = 5dx, dx = | dt a proto /(SX - 2)- d, = / ,30 ' d( = 1 / ,30 d( = 1 £ + C = _L (5x _ 2), + C. Poznamenejme, že užití substituce nám ušetřilo značné úsilí, jež bychom museli vynaložit při výpočtu tohoto integrálu roznásobením závorky a integrací jednotlivých členů příslušného polynomu stupně 30: f(5x — 2)30 dx = f (530 • x30 + ...) dx atd. □ § II.3.3.21. Případ lineární substituce V praxi zvláště často potkáme integrály typu f(ax + fí)dx, kde f f (x) dx = F(x) dovedeme vypočíst.17 Takovýto integrál snadno vypočteme s pomocí lineární substituce ax + P = t, a dx = dt, dx = \ dt: f f(ax + p)dx = - f f (ť) dt = -F (t) + C = -F(ax + P) + C. J aj a a Důvod pro zvolení této lineární substituce je zřejmý: diferenciály původní a nové proměnných se liší jen konstantním činitelem. § II.3.3.22. Příklady integrace s pomocí nové proměnné Princip metody substituční si lépe vysvětlíme, když s jeho využitím vypočteme několik konkrétních integrálů. PŘÍKLAD 11.31. Vypočtěme integrál / a2+xi, kde a > 0. Řešení. V běžných tabulkách vidíme vzorec pro jiný, avšak podobný integrál: dX =arctgx. (11.28) / 1 +x2 Zkusme původní integrál upravit tak, aby se dal použit vzorec (11.28). Máme: /dx f dx 1 / dx 1 / dx a2 + x2= J a2(\ + £) =ä2' 1 + $=^J l + (f) 2 - (11.29) Zaveďme v (11.29) novou proměnnou t = -. (11.30) a 17S tímto se setkáváme téměř v každém běžném integrálu; viz např. příklady 11.30,11.31,11.36. 22 Pak dle (11.25) bude d t = d(^-x) = Qx)'dx = ^dx,tojestdr = ^ d x, odkud dostaneme vyjádření diferenciálu původní proměnné x přes diferenciál nové proměnné t: áx = aát. (11.31) Dosadíme-li (11.30) a (11.31) do (11.29): ľ dx _ 1 ľ dx _ 1 ľ adt _ a ľ dt _ 1 ľ dt J a2 + x2 ~ a2 J i _|_ (íý ~ a2 J 1 + t2 ~ a2 J 1 + t2 ~ a J 1 + t2' s využitím vztahů (11.28), (11.30) ihned obdržíme výsledek: ľ dx 1 f dt 1 1 x / - , - = - / ——r = - arctg t + C = - arctg —h C. (11.32) J a1 + x1 a J 1 +11 a a a Vykonaný výpočet je typickým příkladem využití lineární substituce (§ II.3.3.20. □ PŘÍKLAD 11.32. Vypočtěme f 3xf+5 dx. Řešení 11.32.1. Čitatel x2 připomíná derivaci výrazu x3, proto lze zkusit t = x3, dt = 3x2 dx, x2 dx = | dt, f x2 A 1 Í 1 A / —--dx = - / -dt. J 3x3 + 5 3 J 3t + 5 V posledním integrálu položíme 3t + 5 = s, ds = 2dt, dt = | ds, což dává f dt = ^ f ^ ds = ^ln\s\. Pak po zpětných substitucích dostaneme -2 1 ľ 1 1 1 1 ■ dí = - ln \sI + C = - ln\3t + 51 + C = - ln |3x3 + 51 + C. J 3x3 + 5 3J 3H + 5 Řešení II.32.2. Po zpětném pohledu na řešení 11.32.1 je zřejmé, že se výpočet zjednoduší, zavedeme-li novou proměnnou vzorcem 3x3 + 5 = t. Pak dt = 9x2 dx, x2 dx = | dt, /x2 1 í 1 1 1 —.-dx = - / -dř = -ln|ř| + C = -ln|3x3 + 51 + C. 3x3 + 5 9./ ř 9 11 9 1 1 PŘÍKLAD 11.33. Vypočtěme / j^-^dx. Řešení. Položíme-li x — 1 = t, bude dx = dt, x = t + 1, -3 r (t \ n3 J (x-1)2 J t2 Integraci racionální funkce jsme tedy zredukovali na integraci součtu několika mocninných funkcí: (ř + 1)3 ř3 + l + 3ř + 3 1 3 t2 t2 t2 t = t + — + - + 3, (11.33) a tudíž bude / x3 t2 1 , , (x - l)2 1 , dx =----h 3 ln\t | + 3t =------- + 3 ln |x - 11 + 3(x - 1). (x-1)2 2 t 11 2 x-1 Poznamenejme, že výpočet (11.33) je poněkud přehlednější, než bezprostřední dělení polynomů x3 a (x — l)2. □ V následující úloze odvodíme vzorec, jehož se v praxi užívá velmi často, aniž by byl explicitně zmíněn (je však součástí některých tabulek). 23 Úloha 11.34. Budiž funkce /, nenabývající hodnoty 0 a mající v nějakém intervalu (a, b) spojitou derivaci. Dokažme na (a, b) vzorec / dx = ln|/(x)| + C, (11.34) /(*) kde C je libovolná konstanta. Řešení. Je zde zřejmá volba substituce t = f(x); pak bude dt = f'(x)dx a tudíž r'(*) /(*) příklad 11.35. Vypočtěme integrály fi$dx = f}dt = ln\t\. □ I(x) = j sin (lnx) dx, J(x) = j cos (lnx) dx. (11.35) Řešení II.35.1. Vzhledem k definičnímu oboru logaritmu má smysl integrály uvažovat pouze pro x > 0, což nadále předpokládáme. Vykonejme substituci lnx = t; pak x = e* (uvažujeme kladná x) adx = e' dt: j sin (inx)dx = / e> sin, d,, / cos (Inx)dx = / e> cos, d, Využijeme-li teď výsledků příkladu 11.21, obdržíme 1 x sin(lnx)dx = - e (sin t — cos t) + C = —(sin (ln x) — cos (ln x)) + C, (11.36) 1 x cos (lnx) dx = —e (sin t + cos t) + C = — (sin (lnx) + cos (lnx)) + C. (11.37) / / Řešení II.35.2. Lze využit metody per partes i bezprostředně v (11.35): I(x) = j 1 • sin (ln x) dx = x sin (ln x) — j x cos (ln x) — dx = x sin (ln x) — J(x), J(x) = j 1 • cos (lnx) dx = x cos (lnx) + j x sin (lnx) — dx = x cos (lnx) +/(x), což dává J(x) + I(x) = x sin (ln x), J(x) - I(x) = x cos (ln x). (11.38) Vztah (11.38) můžeme vyřešit jako lineární nehomogenní soustavu vzhledem k J (x) a I(x). Ve výsledku po přidání integrační konstanty obdržíme vzorce (11.36), (11.37). □ § II.3.3.23. Technika zavedení do diferenciálu Jedná se pouze o poněkud jinou podobu vypočtu dle § II.3.3.1, když se substituce provádí implicitně (nezapisujeme ji). Touto technikou pro jednodušší substituce (zejména pro substituci lineární) docílíme kratšího zápisu. Praktický postup je zřejmý z příkladů. příklad 11.36. Pro / eax dx, kde a ^ 0, máme f eax dx = - f eax d(ax) = -eax + C. J a J a Vykonaná úprava znamená, že integrál přepíšeme na tvar f f (ý (x)) d Ý (x) a v duchu vypočteme f f(s)ds, v němž ihned dosadíme s = Ý(x)- Tímto způsobem např. výpočet integrálu (11.29) z příkladu 11.31 zapíšeme stručněji takto: ľ dx 1 ľ dx 1 ľ d(f) 1 x ^ / -= — / -~ =--a -—^——— = - arctg - + C, J a2 + x2 a2 J l + (i)2 a2 J 1 + (i)2 a a 24 substituce at = x je totiž dosti jednoduchá a můžeme ji provést implicitně s použitím (11.25), aniž bychom ji explicitně zapisovali. Takto operovat s diferenciály je pohodlné i v mnoha jiných případech. PŘÍKLAD 11.37. Vypočtěme integrál / xe 3x dx. Řešení. Je zřejmé, že d(x2) = 2x dx, d(—3x2) = — 3 • 2x dx = —6x dx, odkud x dx -±d(-3x2). Pak bude18 j e~3x2xdx = j e"3*2 (-^j d(-3x2) = ~\ j xe~3x2 d(-3x2) = ~\e~3x2 + C. Poznamenejme, že zde bylo z praktického hlediska vhodné pro vyloučení proměnné x vyjádřit rovnou výraz x dx, nikoliv zvlášť x a dx. Jinak bychom museli vyjádřit x přes t: x2 = — |f, x = ± yj= V—í a použit tento vztah pro výpočet diferenciálu dx: dx = ±4= d ŕ ^t) = ±4= (V^Vdí = ±-L—i=(-i)dí, •s/3 V > V3V > V32V=t kde znaménko v ± bereme stejné jako ve vzorci pro x. Pak bude ■dx = i-^V^f • (±-L—L=) (-i) i dí = — dí, 6 což jsme již dříve odvodili mnohem rychleji. Tento výpočet je však zcela zbytečný, neboť jsme potřebovali vyjádření pouze pro výraz x dx (jiné členy v integrálu totiž nejsou). □ § II.4. Integrace některých často se vyskytujících typů funkcí Uveďme několik nejrozšířenějších typů integrálu, pro něž lze formulovat jistý obecný postup výpočtu. Jedná se zejména o integrál racionální lomené funkce a některé integrály, jež se na něj dají převést. § II.4.1. Integrál racionální lomené funkce Jsou to integrály tvaru p(x) f dx, q(x) kde p je polynom stupně n a q je polynom stupně m (takový integrand se nazývá racionální lomenou funkcí). Není-li funkce ryze lomená (to jest n > ní), integrand dělením polynomů upravíme na součet polynomu a ryze lomené funkce. Polynomy se integrují velice snadno a tudíž stačí rozebrat pouze případ ryze lomené funkce, když platí n < m. 18Provádíme-li odpovídající substituci explicitně, vychází / = — 3x2, át — —6x dx, xdx — —^ dt, [ e-3x2x dx = -- í e' dt = --e' + C — --e~3*2 + c. J 6 J 6 6 25 § II.4.1.1. Integrace ryze lomené funkce Pro integraci ryze lomené funkce dle věty 1.16 vypočítáme její rozklad na součet parciálních zlomků,19 jejichž integrály buď jsou tabulkové nebo se dají na tabulkové zredukovat (podrobněji viz § II.4.1.2). Připomeneme si princip rozkladu na parciální zlomky. Tvrzení 11.38. Vyjádříme-li jmenovatel q(x) ve tvaru součinu výrazů typu (x — c)k a (x2 + ax + 6)k (kde a2 < 46), rozkladem podílu na parciální zlomky bude součet výrazů D2 výrazů typu £f±^ + , odpovídajících každému výskytu v rozkladu členu (x — c)k9 a {X c) Akx+Bk ;a5 ^„„„^„;í xia„f,m ^2 , ™v , fí\k + c+ft)k - Je^ odpovídají členům (x + ax + /3) (x2+ax- Koeficienty se v různých parciálních zlomcích liší a jejich hodnoty je třeba vypočítat z podmínky, že všechny vypsané členy mají v součtu dávat původní funkci (převedeme vše na společného jmenovatele a zajistíme, aby byl čitatel rovný p(x)). Dovedeme-li nalézt kořeny polynomu ve jmenovateli ryze lomeného výrazu, jeho integraci pomocí tvrzení 11.38 můžeme vždy zredukovat na integraci parciálních zlomků. příklad 11.39. Vypočtěme integrál / dx x2 — a2 Řešení. V příkladě 1.13 jsme odvodili,20 že pro integrand platí rozklad (1.19) a tudíž J x2-l 2 J x-1 2Jx + l 1 , , 1 , - In \x — 1--ln \x + 1 2 1 1 2 1 1 ix 1 -ln 2 x x + 1 (11.39) Vzorec (11.39) platí v intervalech, neobsahujících body 1 a —1. Pak dle (11.39) ľ dx i r dx _ i r ( J x2-a2 ~ ä2 J (i)2_ i ~ ä J Jí - = Hln l a 2 1 í + i = ±i„ 2a x a x + a Poslední rovnost platí v intervalech, neobsahujících a a —a. Dokázali jsme tedy vzorec (11.14) z tabulky II. 1. □ příklad 11.40. Vypočtěme integrál / dx x^ 1 Řešení. Jedná se o integraci ryze lomené funkce, využijme tedy rozkladu integrandu na parciální zlomky dle tvrzení 11.38. Rozklad polynomu ve jmenovateli na součin reálných kořenových činitelů je (x2 — l)(x2 + 1) = (x — l)(x + l)(x2 + 1) a proto dle tvrzení 11.38 lze zvolit příslušné konstanty tak, aby platilo 1 1 + B + Cx + D x^ 1 (x - \){x + \){x2 + 1) x-1 x + 1 x2+l 19 Parciální zlomky jsou nejjednodušší ryze lomené funkce typů nebo polynom x2 + ax + má záporný diskriminant (to jest a2 (x-c)k (x2+ax+P)k 4fi < 0); viz § 1.3.2. Ax+Bn^, kde k = 1,2, .. a Poznamenejme, že jmenovatelé (x — c) a (x + ax + fi) zde popisují všechny možné typy členů v rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů, když ho zapisujeme bez použití komplexních čišel. Mohli bychom, samozrejmé, i bezprostredne rozložit na parciální zlomky 2_ 2. 26 Po převedení výrazů vpravo na společného jmenovatele obdržíme, že pro všechna x musí být l=A(x + l)(x2 + 1) + B(x - l)(x2 + 1) + (Cx + D)(x - \){x + 1). (11.40) Dosadíme-li21 do této rovnosti kořeny jmenovatele x = l a x = —l, obdržíme rovnice 1 = 4A, 1 = —4B, odkud ihned A = |, B = — |. Zbývá tedy určit hodnoty C, D. Jelikož to, že pro všechna x platí (11.40), znamená rovnost dvou polynomů, musí tyto polynomy mít stejné koeficienty. U polynomu na pravé straně rovnice (11.40) koeficient u x° je A — B + D a koeficient u x1 je A + B — C (je-li členů více, můžeme pro pohodlí tohoto výpočtu závorky roznásobit). Na levé straně (11.40) však je konstanta 1, což je polynom stupně 0. Proto musí být A — B + D = 0, A + B — C =0. Dosadíme-li již vypočtené hodnoty A, B, dostaneme \ + D =0, —C = 0 a tudíž D = —j, C = 0. V rozkladu na parciálni zlomky (11.40) jsou tedy známy všecky koeficienty, což umožňuje integrál převést na součet jednodušších integrálů j i4-l AJx-1 AJx + 1 2Jx2+l 1 , 1 ,1 1 = - ln \x — 1--ln \x + 1--arctg x = - ln 4 1 1 4 1 1 2 & 4 x - 1 1 - arctg x. 2 6 x + 1 Poznamenejme, že místo shrnutí členů se stejnou mocninou bychom mohli rovnice pro C, D obdržet dosazením do (11.40) nějakých čísel, i když další reálné kořeny jmenovatele k dispozici nemáme (žádné členy s kořenovými činiteli v tomto případě nezmizí). Např. při x = 2 bude 1 = 15A + 5B + 3(2C + D). Dosazením 0 vždy dostaneme rovnost konstantních členů; zde bude 1 = A — B — D, pročež D = A — B — 1 = i — 1 = —|. Dosadíme-li nalezené A, B, D do předchozí rovnice, dostaneme 1 = | + 6C — |, C = 0. □ Poznámka 11.41 (o způsobu určení neznámých koeficientů u parciálních zlomků). Koeficienty vždy můžeme vypočíst tak, že přirovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin na obou stranách rovnosti (v případe, kdy polynom ve jmenovateli má komplexní kořeny, se tomu nevyhneme; viz např. příklad 11.44). Dosazení kořenů jmenovatele výpočet urychluje (typickým je příklad 11.40). § II.4.1.2. Integrace parciálních zlomků Podle hořejšího lze výpočet integrálu ryze lomené funkce převést na integraci příslušných parciálních zlomků, dokážeme-li rozložit jmenovatel na součin kořenových činitelů; pak lze považovat úlohu integrace za vyřešenou. Je tedy potřeba umět integrovat jednotlivé parciální zlomky. § II.4.1.21. Parciální zlomky 1. druhu Integrace parciálních zlomků 1. druhu , .k (definice 1.14) je vždy jednoduchá: / dx = (X-C)k A ln \x — c\ pro k = 1; (x - c)k )Af(x-c)k d(x - c) = -^(x - c)1 k pro k > 1. § II.4.1.22. Parciální zlomky 2. druhu U parciálních zlomků 2. druhu (x2+ax+p)k' ^ = 1 > 2> • • • > bývá integrace technicky složitější, ovšem také je vždy možná. V praxi zvláště často potkáváme rozklady na parciální zlomky, skládající se z členů typů ^x^k a x^^~xB+p • 91 Jelikož má daný vztah platit pro všechna x, pak zcela jisté i pro kořeny polynomu ve jmenovateli. Dosazení těchto kořenuje výhodné, samozřejmě, proto, že se takto odstraní všechny členy s příslušnými kořenovými činiteli. 27 Případ k = 1 Jedná se o parciální zlomek ^+B,R ; kde je diskriminant polynomu x2 + ax + /3 záporný:22 a2 < 4/3 a polynom proto lze převést na tvar součtu čtverců. Standardními úpravami dostaneme23 x2 + ax + p = (x + Š)2 + r]2, kde je £ = \a, r\ = y j3 — \a2, a integrál zapíšeme ve tvaru ľ Ax + B ľ Ax + B J x2 + ax + p J (x + %)2 + t]2 Ve jmenovateli je polynom kvadratický a v čitateli — polynom lineární. Upravme tedy lomený výraz tak, aby v čitateli vznikla derivace jmenovatele ((x + £)2 + r]2) = 2(x + £) = 2x + a: (x + £)2 + ?72 2(x + Š)2 + r]2 2 (x + Š)2 + r]2 Při integrací dostaneme součet dvou integrálů f Ax + B _ A ľ 2x + a A Í2B \ ľ dx J (x + tf + V2 dX~2j (x + ^2 + r]2dx+ 2 VÄ~a)J (x + Š)2 + í]2' přičemž dle příkladů 11.34, II.31 obojí dovedeme vypočítat: / 7-^-rdx= / ±--—-dx = ln l(x + + T) J (x + Š)2 + r]2 J (x + Š)2 + r]2 vv C dx ľ d(x + £) _ 1 x + Š J (x + £)2 + t]2 ~ J (x + £)2 + t]2 ~ t] 31018 Integrál f x2_^uX+p ^x tecty Je lineární kombinací členů s logaritmem jmenovatele a arcus tangens posunutého argumentu. Případ k > 1 V případě, když k > 1, je výpočet integrálu f (x2+*x+p)k ^x technicky složitější (pro komplikované výpočty se takovými případy zabývat nebudeme; vzorce však lze dle potřeby nalézt v literatuře). Výpočet takového integrálu lze provést tak, že podobně předchozímu případu přepíšeme kvadratický polynom ve jmenovateli na součet čtverců Ax + B dx, 3 (x2 + ax + p)k 3 (i . i \2 . 2\ V opačném případě bychom dovedli tento polynom dále rozložit na součin reálných kořenových činitelů a tím úlohu zredukovat na předchozí případ parciálních zlomků 1. druhu. 23x2 + ax + P = x2+2-x-\a + P = x2 + 2-x-\a + \a2 + - \a2 = (x - \af + - \a2. 28 kde r] = y ji — \a2, a vykonáme substituci x + ja = t, počemž dostaneme Ax + B , f At + B - \uA ľ Ax + B dx _ f Át + ■dt ((x + \af + n2) J (t2 + n2) = A ľ d(t2 + r]2) + ÍB _ 1 A ľ ét 2 J (t2 + rj2f V 2 JJ {t2 + n2)k kde první z integrálů se vypočte snadno24 a ten druhý je shodný s //t (f) z úlohy 11.42. Úloha 11.42. Dokažme, že pro integrály ľ dx h(x) = / (11.41) 7 (x2 + a2)* kde /: je přirozené číslo, platí rekurentní formule h+Áx) = ^féh(x) + n; 2í * 2.k. (11.42) 2ka2 2ka2(x2 + a2)k Řešení. Při k = 1 máme integrál z příkladu 11.31. Budiž k > 1. Integrací po částech obdržíme /fc(jc) = [ (x2 + a2) k ■ 1 dx = — 1 x - í (-2fcx (x2 + a2) U) i di 7 (x2 + a2)* 7 x ľ x2 x ľ x2 + a2 — a2 + 2k I —---—r—r- dx = —--—;--h 2k I —--„ , , ^ dx J (x2 + a2)k+1 (x2 + a2)kxf J (x2 + a2)k J (x2 + a2)k+l (x2 + a2)kxf J (x2 + a2)k+l x + 2k í „ 1 „ , dx - 2ka2 í —-l——-dx, J (x2 + a2)k J (x2 + a2)k+1 (x2 + a2)k což vzhledem k (11.41) znamená, že platí Ik^ = t 7 X 7^ + 2kIk(x) ~ 2ka2Ik+l. (x2 + az)k Z tohoto vztahu úpravou obdržíme rekurentní vzorec (11.42). □ důsledek 11.43. Platí / dx 1 x arctg —h (x2 + íí2)2 2a3 ba 2a2(x2 + a2)' Důkaz. Uvažovaným integrálem je l2Íx). Z formule (11.42) při k = 1 dostaneme 1 x h(x) = ^h(x) + 2a2 2a2(x2 + a2)' a zbývá jen využít vzorce (11.32) pro I\ (x). □ § II.4.2. Integrály typu / /?(cos x, sin x), kde R je racionálni lomená funkce Integrály, v nichž integrand je lomenou funkcí členů cos x a sin x: i?(cosx, sin x) dx, (11.43) / lze vždy převést na integrál racionální lomené funkce nebo v určitých případech i vypočíst s pomocí elementárních úprav integrandu. 24Dle vzorce pro integraci mocninné funkce bude f (/2 + r]2) d(/2 + r\2) = jz^(t2 + f]2)1 k. 29 § II.4.2.1. Univerzální trigonometrická substituce Pro integrály tvaru (11.43), kde R je racionální lomenou funkcí podle každého z argumentů, lze využit univerzální trigonometrické substituce í = tg|, (11.44) kde t značí novou proměnnou.25 Pro vykonání v integrálu (11.43) substituce (11.44) musíme získat vyjádření sinx, cos x přes t a dx přes dt. Jelikož (11.44) je ekvivalentní s rovností x = 2arctgř, pro diferenciály platí vztah26 dx = dr. Vzhledem k tomu, že platí cos2 | - sin2 | 1 - tg2 | . 2 sin | cos | tg * cos x = -=— =-—-, srn x = -=— = 2- cos2 § + sin2 § 1 + tg2 |' cos2 | + sin2 § 1 + tg2 |' integrál tak převedeme na integrál racionální lomené funkce, a to pomocí následujících vzorců. Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce t = tg |: 1-t2 2t . 2dt cos x = --, srn x dx = (IL45) 1+t2 1 + t2 t2+l Z (11.45) ihned plyne, že27 tg x = ctgx = ^f-, sec x = a esc x = ^f-, to jest po zavedení nové proměnné t substitucí (11.44) převedeme všecky výskyty trigonometrických funkcí v integrandu na racionální lomené výrazy proměnné t, přičemž podobný výraz vznikne i po přepočtu diferenciálu. Po vypočtu upraveného integrálu použijeme (11.44) a vrátíme se k původní proměnné x. PŘÍKLAD 11.44. Vypočtěme sinx — 1 dx. / cos x + 2 Řešení. Použijeme-li substituci (11.44), podle vzorců (11.45) obdržíme f sin x - 1 f -Trp: - 1 2 f / -d* = / -L±í5--ň-dt = 2 - J cosx + 2 J l=ll + 2t2 + l J 1 — -12 f 2t-(l+t2) 1 —ň-dŕ = 2 / -—±-'—--dř + 2t2 + l J l-t2 + 2(l + t2)t2+l „ ľ t2-2t +1 i J „ r t2-2t + \ J -2 /--dř = -2 / -dř. J 3 + t2 t2 + l J (t2 + l)(t2 + 3) V integrandu je ryze lomená funkce, již můžeme dále rozložit na součet příslušných parciálních zlomků (§ 1.3.2): t2-2t + l At + B + Ct + D (At + B)(t2 + 3) + (Ct + D)(t2 + 1) (t2 + \)(t2 + 3) t2 + 1 t2 + 3 (t2 + \)(t2 + 3) Potřebujeme tedy, aby pro libovolné t platilo (At + B)(t2 + 3) + (Ct + D)(t2 + 1) = t2 - 2t + 1. 25Samozřejmě, v příslušném oboru: — f + 2jik < j < j + 2nk, k e Z, přičemž vždy vyloučíme nulové body jmenovatele. 26. Tentýž vztah lze obdržet i přímo z (11.44): dř = dtg | = I dx = \ (l + tg2 f) dx = ± (l + ř2)) d x. 7 Připomeňme, že funkce sekans a kosekans se definují vzorci sec x = esc x = J—. r 7 J cosx' sinx 30 Přirovnáním koeficientů uř0,/1,^2 ař3 obdržíme podmínky28 3B + D = \, 3A + C = -2, B + D = \, A + C = 0, odkud vypočítáme A = — l,B = 0, C = —\,D = 1. Pak t2 -2t + 1 , í -t , f t + 1 -2 /--r dt =-2--dt-2 J (t2 + \)(t2 + 3) J t2 + \ J dt t2 + 3 dt J t2+\ J t2+ 3 J t2+ 3 Máme / = I atctg^), / ^ dí = / ^ = ln(^ + D J 4š dí = ln(^ + 3)' až na aditivní konstantu, jíž k výsledku přidáme později. Potom -2 / F^í^jd' =ln('2 + " -ln('2 + 3) - 7!310,8 (Ti) ŕ2+ 1 2 /í\ = lnír+3"7farcts(vf)' smi obsahovat pouze sudé mocniny u. Výraz ^c°cs0*^m*'> tedy obsahuje cos x jen v sudých mocninách a tudíž lze v něm cos x racionálně vyjádřit přes sin x s pomocí vzorce cos2x = 1 — sin2x. V (11.50) pak uděláme substituci sin x = t. Je-li R(u,v) lichá podle v, lze postupovat podobným způsobem: využijeme úpravy (II.51) a položíme cos x = t; dostaneme pak integrál racionální lomené funkce proměnné t. Budiž nyní R taková, že R(-u,-v) = R(u,v) (11.52) pro všechna u,v, což znamená, že se hodnota R(u,v) nemění, změníme-li zároveň u u a u v znaménka na opačná. V tomto případě zvolme jednu z těchto proměnných, např. v, a vytknutím podílu ^ vyjádřeme všecky její mocniny nt\, mi, ■ ■ ■, jež se v R(u, v) vyskytují, takto: vmi = (^u)mi = (^)mi umi atd. Obdržíme tak racionální výraz, obsahující pouze mocniny podílu ^ a proměnné u, to jest R(u, v) = Ro (u, — ^ , kde Ro značí jistý racionální lomený výraz dvou proměnných. Jelikož vzhledem k vlastnosti (11.52) platí Ro {—u, —) = Ro {—u, —) = R(—u, —v) = R(u, v) = Ro (u, —) , V m/ V —m/ V m/ je i?o sudá podle druhého argumentu a tudíž všecky mocniny proměnné iívÄo jsou sudé. Toto znamená, že všecky členy v R (cos x, sin x) lze racionálně vyjádřit přes mocniny výrazu ^| a sudé mocniny cosx. Zavedeme-li substituci t = tg x, bude dí = \ dx, přičemž cos2x a další sudé mocniny kosinu lze vyjádřit přes t s pomocí vzorce 1 + tg2x = *2 . Podobně lze využít substituce t = cotg X. □ Poznámka 11.47. Je zajímavé, že vlastnosti, uvedené v (11.49), ve skutečnosti pokrývají všecky možné případy, neboť libovolnou racionální lomenou funkci R lze rozložit na součet lomených funkcí, splňujících jednotlivé podmínky z (11.49): R(u,v) - R(-u,v) R(-u,v) - R(-u,-v) R(-u,-v) + R(u,v) R(u, v) = v '---— + —--—---:-- + —--:---. (11.53) 2 2 2 Pro výpočet integrálu (11.43) tedy vystačí tři speciální substituce z úvahy 11.46. Univerzální trigonometrická substituce (11.44) je využitelná v každém z případů. Substituce, doporučená úvahou 11.46, může být vhodnější než univerzální trigonometrická substituce (11.44). PŘÍKLAD 11.48. Vypočtěme integrál cos2 x sin3 x dx. Řešení 11.48.1. Využití univerzální substituce t = tg | dle vzorců (11.45) vede na integrál '2^2 8ř3 2 rt3(\-t2)2 ľ 7 3 ľfl-t2\ 8ř3 2 ľ I cos x sin xdx = I-- -7—-dt = 16 / J J \l+t2J (l + ř2)3ř2+l J (\ + t2f dt. Dostáváme tedy integrál neryze lomené funkce, přičemž i po vyčlenění ryze lomené části zůstává úloha výpočetně náročnou jakožto integrace parciálního zlomku s vysokým stupněm jmenovatele bez reálných kořenů. Zkusme proto raději najít jinou cestu. 33 Řešení II.48.2. Daný integrál má tvar (11.43) s r(u,v) = u2v3. Funkce i? je lichá podle v a tudíž dle úvahy 11.46 použijme substituci t = cos x. Dostaneme dt = — sinxdx, + sinx = — dt, dt — at j cos2 x sin3 x dx = j cos2 x sin2 x sin x dx = — j t2 (l — t2) dt = j t4 dt — j ť 1 5 1 3 1 5 1 3 = -t--1 = - cos x--cos x, 5 3 5 3 což je výrazné jednodušší než příslušná integrace v řešení 11.48.1. □ Uvedená výše úvaha 11.46 tedy může navrhnout postup vhodnější než využití obecné trigonometrické substituce. Avšak ani toto řešení nemusí být vždy optimální; při integrací bychom měli, pokud možno, zvažovat různé možnosti, z nichž zvolíme tu nejpohodlnější. PŘÍKLAD 11.49. Vypočtěme integrál / cos4 x dx. Řešení 11.49.1. Využijeme-li univerzální trigonometrické substituce t = tg | pro —^ + nk < x < j + nk, k G Z, dle vzorců (11.45) obdržíme ľ 4 /V 1 -12\4 2dt ľ (1 -t2)4 / cos4xdx = /----= 2 / -^dř, J J \\ + t2J t2 + \ J (1 + t2)5 čímž zadání zredukujeme na výpočet integrálu racionální lomené funkce. Funkce je navíc ryze lomená a tudíž lze aplikovat postup z § II.4.1. Jedná se však o technicky složitější případ, vyžadující hodně únavných výpočtů (jmenovatel má jen imaginární kořeny, a to vysoké násobností). Je tedy vhodné zkusit pohledat nějaké jiné řešení. Řešení II.49.2. Funkceu i-* u4 je sudá. Dle úvahy 11.46 pro —^ -\-2nk x dx = / (1 - coS: x) coS: x dx = / coS x dx - / coS< x dx. Jelikož podobně příkladu 11.14 / cos2xdx = j f (1 + cos2x)dx = § + | / cos2xdx = f + I / cos 2x d(2x) = | + I sin2x (implicitní substituce 2x = ř)» dostáváme vztah y cos4 x dx = sin x cos3 x + 3 ^— + - sin 2x — j cos4 x dx^j 3x 3 /" = sin x cos3 x H---1—sin2x — 3 / cos4xdx, 2 4 J jenž je rovnicí pro f cos4 x dx. Zbývá tedy tuto rovnici vyřešit: / 3x1 3 3x1 3 cos4 x dx =--1— sin x cos3 x H--sin 2x =--1— sin x cos3 x H— sin x cos x. 8 4 16 8 4 8 K výsledku pak, samozřejmě, přidáme integrační konstantu. □ Řešení II.49.4. Jelikož integrand obsahuje jen sudou mocninu kosinu, lze využít vzorce pro kosinus dvojného úhlu cos 2x = cos x2 — sin2 x = 2 cos2 x — 1, díky němuž cos2 x = j (1 + cos2x) a cos2(2x) = j (1 + cos4x). Dostaneme j cos4 x dx = - j (1+ cos 2x)2 dx = - j (l + 2 cos 2x + cos2 2x) dx = — H— í cos 2x dx H— í (1 + cos 4x) dx 4 2J 8/ X 1 ľ s x X 1 ľ = —I— / cos2xd(2x)H---1--/ cos4xd(4x) 4 4,/ v ' 8 32; v ' 3x 1 . „ 1 . „ =--1— sin2x H--sin 4x. 8 4 32 Tento vzorec se zdánlivě liší od výsledku řešení 11.49.3, po úpravě však, samozřejmě, obdržíme totéž. □ U příkladu 11.49 můžeme konstatovat, že vhodnějšími jsou řešení 11.49.3, II.49.4, navržené, tak říkajíc, „na míru" pro daný integrál, kdežto obecné trigonometrické substituce vedou na složitější výpočty. § II.4.2.22. Integrály f sin"x cosmx dx, kde n, m jsou celá čísla Integrál f sin"x cosmx dx, kde n, m jsou celá čísla, je speciálním případem integrálu (11.43) a tudíž lze ho vždy vypočíst s pomocí univerzální trigonometrické substituce (§ II.4.2.1) nebo — v odpovídajících případech — speciální trigonometrické substituce dle úvahy 11.46. Lze rovněž integrovat po částech (viz řešení 11.49.3 příkladu 11.49). V různých případech lze doporučit některé specifické postupy v závislosti na hodnotách n um. Případ, když jedno z čísel n, m je liché Jedin = 2k + 1, lze napsat sin" x = sin2fcx sinx = (l — cos2x)^ sinx a zavést substituci t = cosx. Dostaneme d t = — sinx dx, sinx dx = —dt, -dr j sin2fc+1x cosmx dx = j (l - cos2x)fc cosmx sin x dx = j (l-t2)ktmdt, 35 kde integrandem je racionální lomená funkce (při kladných k, m polynom). Podobně tomu v případě lichého m využijeme substituce t = sinx. Tento postup je speciálním případem úvahy 11.46. Případ, když obě čísla n, m jsou sudá nebo lichá V tomto případě dle úvahy 11.46 lze aplikovat substituci t = tg x (anebo také t = cotg x). Jsou-li n, m sudá, integrand obsahuje jen sudé mocniny kosinu a sinu, přičemž každá z nich — a rovněž i diferenciál dt = *2 dx = (l + tg2x) dx — se racionálně vyjadřují přes tg x s pomocí vzorců cos2x = -—, sin2x = -— = —-——. (11.54) 1 + tg2 x 1 + cotg2x 1 + tg2X V případě, když jsou obě čísla n, m lichá kladná, má integrand tvar • 2Ä"-M 2/-1-1 • 2.k 2/ • • 2Ä" 2/ 2 sin x cos x = sin x cos x sin x cos x = sin x cos x tg x cos x, kde lze opět využít vzorců (II.54).31 Je-li jedno z čísel n, m záporné, lze v integrandu vyčlenit výraz anebo £21* což rovněž vede na hořejší substituci. sinx ' J Případ, když n, m jsou sudá a nezáporná Pro nezáporná n = 2k,m = 2/je sin"x = (sin2x)fc, cosmx = (cos2x);, to jest integrand je mocninným výrazem podle členů sin2x, cos2x. Proto s pomocí vzorců32 cos2x = - (1 + cos2x), sin2x = - (1 — cos2x) dx (11.55) lze mocniny n, m snížit o polovinu. Využití vzorců (11.55) v tomto případě snižuje početní náročnost integrace dle předchozího odstavce. Případ, když n < 0, m < 0 e-li n = —k, m = —l, kde k > 0, C 1 C sin2x + cos2x /"l ľ 1 / ——rdx= / ~~i—i—dx= / ——rdl+ / ~~i—Tráx- J sin x cos'x J sin x cos'x J srn x cos'x J sin x cos' zx Je-li n = —k, m = —l, kde k > 0, / > 0, lze mocniny členů ve jmenovateli snížit úpravou § II.4.3. Integrály typu / R (^x, y yr^J^) ^x ' ^e ^ Je racionální lomená funkce Integrály tohoto druhu lze převést na integrál racionální lomené funkce zavedením nové proměnné t s pomocí substituce r = ^±1. (11.56) yx + S Pro realizaci substituce potřebujeme sestrojit i substituci zpětnou, to jest vyjádřit x přes t: tm (yx + 8) = ax + p, (ytm - a) = p - 8tm, p-8tm x =- ytm — a a vypočíst diferenciál: d x = ^^fia^ dt, -m8tm-\ytm -a)-(P- 8tm)ymtm~x ^ aS-^y dx =---—-dt = m--—t dt. (ytm-a)2 (ytm-a)2 anebo provést substituci s = sin x, ds = 2 sin x cos x dx 32Rovnosti (11.55) jsou jednoduchými důsledky vzorce pro cosinus dvojného úhlu cos 2x = cos2x — sin2*. 36 Substituci lze provést, je-li a8 ^ /3y (v opačném případě |- ' yx+& X&X+& 8 ' což znamená, že se jedná o integrand, v němž y ^fqžf fakticky není). PŘÍKLAD 11.50. Vypočtěme f *d*__ Jť J 1+ i/x + l x = ŕ Řešení. Dle doporučeného vzorce (11.56) položme x + 1 = t5. Pak bude dx = 5t4 dt, 1, ľ xdx _ ľ (t5 - 1) ŕ J i + Vx~TT ~ J t +1 ■dí, což je integrál neryze lomené funkce. Dělením polynomů t9 — ř4 a ř + 1 dostáváme 33 t + 1 ŕ -t1 + ŕ -t5 + ŕ - 2ŕ + 2t2 -2t + 2- t +1 a tudíž / (t5-i)ŕ ŕ ŕ t7 ŕ t + l d-___ ___ 2J-L r+ 2í-21n|í + II. Pro obdržení výsledku poslední výraz vynásobíme pěti a zpětně dosadíme t = (x + l)s. □ Podobným způsobem lze integrovat některé obecnější výrazy, obsahující více členů s radikály. Je-li v integrandu několik výrazů typu ^ , (y^+g ) , • • •, kde q\, q2,... jsou racionální čísla, lze rovněž využít substituce (11.56), v níž zvolíme za m společný jmenovatel zlomků qx, q2,.... PŘÍKLAD 11.51. Vypočteme s/x dx 4/3č+ r Řešení. Zaveďme t vztahem x = t6 (aby se „umocnilo" jak l/x, tak i *Jx). Pak bude dx = 6t5 dt, sfx = t3, Ifx = t2, a obdržíme integrál racionální lomené funkce proměnné t: ľ sfxdx ľ i WTT = 6i -rdi dt t2 + l J t2 +1 Výraz ^-j- není ryze lomený, proto z něj dělením vyčleníme polynomiální část: t8 t2+\ r + t2 1 ŕ + ŕ -r-v t2 + i a obdržíme /2 + 1 ŕ-ŕ + t2-\ + . Pak bude /^-' = /('6-'4 + '2-i^ + /^ = y-y + t + arctgř. 33 Pro děleni zde lze využit Hornerova schématu. 37 Po návratu k proměnné x dostaneme J 3^^* = 6 ^^y- — + — + arctgxe^ . □ § II.4.4. Integrály typu / R(x, y/ccx2 + fix + y), kde R je racionální lomená funkce Případ a = 0 odpovídá integrálům z § II.4.3. Pro a ^ 0 je vhodné převést kvadratický polynom na součet nebo rozdíl čtverců: ax2 + fix + y = a {(x + £)2 ± a2) v závislosti na tom, zda je jeho diskriminant kladný nebo záporný. V případě záporného diskriminantu se jedná o součet čtverců a při a > 0 po lineární substitucí x + í- = t místo y/ax2 + fix + y) obdržíme člen \/t2 + a2 (při a < 0 a nemá integrand smysl); v případě rozdílu čtverců pak dostaneme integrál s Vř2 — a2 anebo Va2 — t2. Výpočty jsou založeny na sofistikované substitucí a jsou poměrně složité (§ II.4.4.1). Dále uvádíme jen několik často se vyskytujících integrálů tohoto typu. Některé z nich nalezneme v rozsáhlejších tabulkách integrálů (příklady 11.53,11.54,11.55); u jejich důkazů lze dobře vyzkoušet různé techniky integrace. § II.4.4.1. Eulerovy substituce V obecném případě lze tyto integrály zredukovat na integrály racionální funkce s pomocí zajímavých Eulerových substitucí. Podle hořejšího se lze zaměřit zejména na integrály f R(x, <ř>(x)) dx, kde 0. Definičním oborem integrandu je množina {x : \x\ > a}. Řešení 11.53.1. Funkce je sudá; uvažujme x > a. Vykonejme substituci x = a sec t, kde t e (0, ^) (připomeňme, že sec t = ^-j a 0 < cos x < 1 pro t e (0, |-)). Pak a2 V1 x2 — a2 = Va2 sec21 — a2 = J —---a2 = a ^\ + tg2ř — 1 = a tg t V cos2 t (proř e (0,f)jetgí > 0)adx = -^dř = f^dř, dt /dx ľ 1 atgt ľ Vx2 - a2 J atgt cos t J cos t Jelikož tg2t + 1 = ^ a dle substituce ^ = f, platí tg t = y- 1 = Pro f využijme výsledek příkladu 11.45, řešení 11.45.1; pak obdržíme a2. f*i==fiLrj_>í + c J sjx2 - a2 J cos t \cost J 39 In ( - + -Vx2 -a2 ) + C = ln(x + Vx2 - a2) + v<3 a ) kde (^ľ = C — ln a) je libovolná konstanta. Tento vzorec jsme dokázali pro x > a. Jelikož funkce v integrandu je sudá, pro x < —a místo F(x) = ln(x + Vx2 — a2) její primitivní funkce bude35 — F(—x) = — ln(—x + Vx2 — a2). Úpravou obdržíme: -F(-x) = -ln(-x + Vx2 - a2) = ln 1 - ln(-x + Vx2 - a2) 1 , \Jx2 — a2 + x = ln , - = ln —--— = ln(—x — Vx2 — a2). Vx2 - a2 - x x2-l-x2 Sjednocením dvou posledních rovností obdržíme vzorec, platný pro všechna x s |x| > a: dx f Vx^ lnlx + Vx2 -a2 \ + K. Řešení II.53.2. Funkce v integrandu je sudá a tudíž se můžeme omezit případem, kdy x je kladné, to jest x > a. Vzhledem k vlastnostem hyperbolických funkci36 (viz (11.63)) je zde vhodné provést substituci x = a cosh ŕ, (11.64) pak Vx2 — a2 = Va2 cosh2 t — a2 = a Vcosh2 t — 1 = a Vsinh2 t = a sinh t a diferenciál bude dx = a sinh t dt : í dX Í 1 ■ U A Í I —- / -asinhřdř= / J Vx2 - a2 J asinhř J dt = t. Zbývá tedy jen vykonat inverzní substituci a vrátit se k původní proměnné x. Vztah x = a cosh t znamená (viz pozn. 36), že x = |(eř + e~'), to jest e2t — ^-e' + 1 = 0, což je kvadratická rovnice s2 — + 1=0 pro s = e'. Vyřešíme-li tuto rovnici, obdržíme s = ^ ± \ Vx2 — a2, kde vezmeme znaménko „+", protože s = e' a tudíž musí být 5 > 0 (navíc uvažujeme x > a). Jelikož t = lnx, obdržíme t = ln (— H—Vx2 — a2 ) = ln(x + Vx2 — a2) — lna v<3 a J a proto dostaneme vzorec dx / _= ln(x + Vx2 - a2) + C, (11.65) Vx2 — a2 což je v souladu s výsledkem řešení 11.53.1. □ Zde využijeme takové vety: VĚTA. Buďte / sudá funkce a F její primitivní funkce na [0, +00). Pak je funkce F(x) — —F(—x), x < 0, primitivní funkcí pro / na (—00, 0]. Důkaz. Vskutku, pro x < 0 máme F'(x) = -^F(-x) = -F'(-x) = -f(-x) = f(x). □ 36Připomeňme, že hyperbolické kosinus a sinus (§ 1.1) se definují jako coshx — \(ex + e~x), sinhx — \{ex —e~x) a platí (sinhx)' = coshx, (coshx)' = sinhx, cosh2 x - sinh2 x = 1. (11.63) 40 PŘÍKLAD 11.54. Vypočtěme / dx Vx2 + a2' kde a > 0. Řešení 11.54.1 (Eulerova substituce). Využijeme-li substituce (11.57) (§ II.4.4.1) a odpovídajících vzorců (11.58), dostaneme \Jx2 + a2 = s — x = s — j(s — y-^ = \ + , dx i /• i / 5 s2 + a2 s2 + a" /vfe = 5/l(^)(1 + ^)dJ = / Po zpětném dosazení s = x + Vx2 + a2 obdržíme ln I x + Vx2 + a2|. ln 15* I. □ Řešení II.54.2. Připomeňme si vzorec tg2 x + 1 = a zaveď me substituci x = atgř, ř e (-§, f). Pak Vx2 + a2 = yja2tg2t + a2 = a^tg2t + 1 = adx = ^rjdt, odkud í dx _ í 1 a dř _ f dt J Vx2 + a2 ~ J ^7 cos2 ŕ l~ j cos ť Integrál f lze vypočíst různými způsoby (viz příklad 11.45, str. 31). Zde je pohodlné využít řešení 11.45.3: / dt cos t = ln cos t + tgř + K = ln V1 + tg2 ŕ + tgř + K a tudíž / dx Vx^T = ln x^ x 1 + ^ + + Ä" = ln x 1 r~;-r - + -yjx2 + a2 a a + K = lnlx + \J x2 + a2\ + C, kde C = K — lna. Z (11.65) a (11.66) obdržíme tabulkový integrál (11.12): dx / Vx2 ± ln(|x + Vx2 ±a2\) + C. (11.66) □ (11.67) PŘÍKLAD 11.55. Vypočtěme j Vx2 — a2dx, kde a > 0. Řešení. Zde lze využít výsledku (11.67) z příkladu 11.54. Vskutku, aplikujme metodu per partes s u(x) = Vx2 — a2, v'{x) = 1 a vzorec (11.67) j Vx2 — a2 dx = xVx2 — a2 — j % V. ■ dx = xVx2 — a2 f x2 — a2 x2 — a2 + a2 dx x X Vx2 — a2 — í Vx2 — a2 dx — a2 f , J J Vx^ : dx Vx2 — a2 — j Vx2 — a2dx — a2ln(|x + Vx2 — a2\), 41 odkud algebraickou úpravou nalezneme f Vx2 — a2 dx a obdržíme r _ j _ a2 _ / Vx2-a2dx = -xVx2-a2-yln(|x +Vx2-a2|) + C. (11.68) PŘÍKLAD 11.56. Mějme j \J x2 + a2dx, kde a > 0. Vypočítejme tento integrál různými způsoby. Řešení II. 56.1. Daný integrál lze vypočíst metodou per partes podobně příkladu 11.55 s volbou u(x) = v'x2 + a2, v'(x) = 1 a využitím vzorce (11.67): u u u ľ'- v " /- v ľ V r J y/x2 + a2 dx = '"P y/x2 + a2 — J '"P - Vx^T X A dx x2 + a2 — a2 dx = x\J x2 + a2 — / ,_ J = x\Jx2 + a2 — I \Jx2 + a2dx + a2 I -dx J J Vx2 + a2 = x\Jx2 + a2 - j \Jx2 + a2dx + a2ln(|x + Vx2 - a2\). Poslední vztah je rovnici pro nalezení f \/x2 + a2 dx, odkud dostáváme /l a2 Vx2 + a2dx = -xVx2 + a2 + — ln(|x + y/x2 + a2|) + C. (11.69) Řešení II.56.2. Vzhledem k vlastnostem hyperbolických kosinu a sinu (§1.1.1) lze zavést substituci x = a sinhř, (11.70) pak dx = acoshřdř. Jelikož dle (1.4) cosh2 t = sinh2ř + 1, cosh2ř = cosh2 t + sinh2ř, cosh2 t = |(cosh(2ř) + 1) a f sinhřdř = coshř, máme j \J x2 + a2 dx = j ay/ a2 sinh21 + a2 cosh t dt = a2 j a y/ sinh2 t + 1 cosh t dt /a2 ľ a2 a2 cosh2 tát = — I (cosh(2ř) + 1) dt = — sinh(2ř) + —t, kde integrační konstantu přidáme až na konci výpočtů. S využitím vzorce (1.6) pro inverzní funkci arsinh = sinh-1 z (11.70) obdržíme x t = arsinh — = In | — a a proto dle vzorce pro sinh dvojitého uhlu (1.4) a vztahu a2 cosh2 t = a2 sinh2 t + a2 2 2 2 2 1 2 a a a a 1 a — sinh(2ř) H--1 = —2 sinh t cosh t H--1 = -a sinh t ■ a cosh t H--ř 4 2 4 2 2 2 = -a sinh t ■ V a2 sinh2 t + a2 H--1 2 2 = -x J x2 + a2 + — In (x + J x2 + a2) — —lna. 2 2 v ; 2 42 Obdrželi jsme tedy vzorec yjx2 + a2dx = -xyjx2 + a2 + — ln(x + Vx2 + a2) + C, (11.71) Sjednocením rovností (11.68) a (11.69) obdržíme vzorec _ \ _ a2 _ Vx2 ±a2dx = -xVx2 ± a2 T — ln(|x + Vx2 ± a2\) + C. (11.72) PŘÍKLAD 11.57. Pro a > 0 vypočtěme integrál dx / (11.73) ■s/a2 — x2 Řešení 11.57.1. Integrál lze snadno vypočíst elementární úpravou a lineární substitucí: /dx í dx í 1 (\(x\ • Řešení II.57.2 (Eulerova substituce). Porovnejme využitý elementární postup s postupem, založeným na Eulerově substitucí. Danému případu odpovídá substituce (11.60): Va2 — x2 = s (a — x). Využijeme-li tedy vzorců (11.61), (11.62), po vykonání zpětné substituce dostaneme a—x ľ 1 , /" 1 4aí „ /" 1 „ /a + x / - H x = / —----- = 21 —-ds = 2arctgí = 2arctg J-. i v^? J ^(s2 + l)2 J s2+l S SVa-x Poznamenejme, že po srovnaní s řešením 11.57.1 zde opět pozorujeme různé tvary téhož výsledku; ve skutečnosti se tyto dvě funkce liší o konstantní sčítanec, jenž bude součástí integrační konstanty. □ Poznámka 11.58. Vzorců, odvozených v předchozích příkladech, lze využít po převedení kvadratického polynomu s libovolnými koeficienty na součet nebo rozdíl čtverců. PŘÍKLAD 11.59. Vypočtěme integrál dx / (11.74) V3 + 2x - x2 Řešení. Jelikož pro polynom ve j menovateli platí vyj ádření 3 + 2x - x2 = -(x2 - 2x - 3) = -(x2 - 2-1-X+1-1-3) =-((x-l)2-4) = 4-(x - l)2 (11.75) obdržíme /dx f dx 1 f dx V3 + 2x - x2 ~ J y/A - (x - l)2 ~ 2 J L (*-i)2 f Jg) . (x-\\ = I — - = arcsin - J i/í^W 1 2 ^ PŘÍKLAD 11.60. Vypočtěme integrál / V4x2 - Ax - 1 dx. 43 Řešení. Jelikož 4x2 - 4x - 1 = (2x)2 - 2 ■ 2x ■ 1 + 1 - 8 = (2x - l)2 - 8, platí J V4x2-4x-7dx = J \](2x- l)2-8dx = ^J yj(2x - l)2 - 8d(2x - 1) = J \](2x- l)2-(V8)2dx, odkud substitucí 2x — 1 = t obdržíme integrál tvaru J\/t2 — a2 dt (viz příklad 11.55). □ PŘÍKLAD 11.61. Vypočtěme integrál / dx Vx2 — 2x — 3 Řešení. Tento integrál se liší od (11.74) pouze znaménkem polynomu, výsledek integrace však je zcela odlišný. Podle (11.75) obdržíme integrál typu (11.67): d(x - 1) /dx ľ dx ľ Vx2 - 2x - 3 ~ J y/{x- l)2-4 ~ i y/{x - l)2 - 4 = ln(|x - 1 + y/(x- 1)2-4|) = ln(|x - 1 + Vx2-2x-3|) 44 Bibliografie [1] V. Jarník. Integrální počet. I. 6. vyd. Praha: Academia, 1984. URL: http: //hdl. handle. net/10338.dmlcz/500550.