Základy matematiky (MA-0001) verze září 2024 Břetislav Fajmon OBSAH 1 Obsah 1 Logické spojky, univerzálni výroky, důkaz výčtem pravdivostních hodnot 4 1.1 Přednáška.................................... 4 1.2 Cvičení...................................... 12 2 Důkaz implikace (přímý a nepřímý), důkaz řetězcem ekvivalencí (typ 04) a důkaz ekvivalence (typ 05) 16 2.1 Přednáška.................................... 16 2.2 Cvičení...................................... 18 3 Důkaz dedukcí, indukcí, sporem, protipříkladem a konstrukcí 20 3.1 Přednáška.................................... 20 3.2 Cvičení...................................... 24 4 Operace s množinami, kartézský součin množin 26 4.1 Přednáška.................................... 26 4.2 Cvičení...................................... 32 5 Dělitelnost celých čísel, základní charakteristika racionálního čísla 35 5.1 Přednáška.................................... 35 5.2 Cvičení...................................... 40 6 Binární relace a její vlastnosti 41 6.1 Přednáška.................................... 41 6.2 Cvičení...................................... 47 7 Ekvivalence a rozklady 50 7.1 Přednáška.................................... 51 7.2 Cvičení...................................... 53 8 Uspořádané množiny, maximální prvek, největší prvek, supremum 56 8.1 Přednáška.................................... 56 8.2 Cvičení...................................... 62 9 Zobrazení, posloupnost, funkce, operace 67 9.1 Přednáška.................................... 67 9.2 Cvičení...................................... 72 10 Elementární funkce — úvod 75 10.1 Přednáška: vlastnosti funkce - shrnutí .................... 75 10.2 Vlastnosti funkce - opakování k ústní zkoušce................ 80 10.3 Cvičení: Funkce lineární, funkce s absolutní hodnotou, funkce kvadratická . 81 10.4 Samostudium při neznalostech: Funkce lineární (typ A), funkce s absolutní hodnotou (typ B), funkce kvadratická (typ C)................ 83 2 OBSAH 11 Výpočet a graf funkce inverzní, lineárně lomená funkce, mocninná a odmocninná funkce 85 11.1 Přednáška: Vlastnosti funkce II, výpočet a graf funkce inverzní....... 85 11.2 Cvičení: Lineárně lomená funkce, mocninná a odmocninná funkce; výpočet funkce inverzní ................................. 86 11.3 Samostudium při neznalostech: Funkce lineárně lomená (typ D), funkce mocninná a odmocinná (typ E)........................ 87 12 F) = Funkce exponenciální a logaritmické 91 12.1 Přednáška.................................... 91 12.2 Cvičení...................................... 93 13 G) = Goniometrické funkce 95 13.1 Přednáška.................................... 95 13.2 Cvičení...................................... 104 14 Výsledky některých příkladů 107 14.1 Výsledky ke kapitole 1.2 - logické spojky, univerzální výroky, důkaz výčtem pravdivostních hodnot ............................. 107 14.2 Výsledky ke kapitole 2.2 - důkaz implikace (přímý a nepřímý), důkaz ekvivalence ...................................... 108 14.3 Výsledky ke kapitole 3.2 - důkaz sporem, indukcí, konstrukcí a protipříkladem 109 14.4 Výsledky ke kapitole 4.2 - Operace s množinami, důkaz užitím Vennových diagramů, kartézský součin........................... 111 14.5 Výsledky ke kapitole 5.2 - Dělitelnost celých čísel, důkaz užitím Dirichletova principu, operace s komplexními čísly..................... 113 14.6 Výsledky ke kapitole 6.2 - Binární relace a její vlastnosti.......... 114 14.7 Výsledky ke kapitole 7.2 - ekvivalence a rozklady.............. 119 14.8 Výsledky ke kapitole 8.2 - Uspořádané množiny, maximální prvek, největší prvek a supremum ............................... 122 14.9 Výsledky ke kapitole 9.2 - Zobrazení, funkce, posloupnost, operace..... 127 14.10Týden 10 - přednáška a cvičení........................ 129 14.10.1 Výsledky ke kapitolce 10.2 - Vlastnosti funkce - shrnutí ...... 129 14.10.2 Výsledky ke kapitole 11.3 - Lineární a kvadratické funkce, funkce s absolutní hodnotou........................... 130 14.11 Výsledky ke kapitole 11.2 - Lineárně lomené funkce, funkce mocninné a odmocninné................................... 132 14.12Výsledky ke kapitole 12.2 - Funkce exponenciální a logaritmické...... 139 14.13Výsledky ke kapitole 13.2 - Funkce goniometrické a cyklometrické..... 144 OBSAH 3 Úvod Tato skripta jsou vytvářena jako podpora přednášek i cvičení do předmětů Základy matematiky (MA-0001) na PdF MU Brno. První základní věcí zde probíranou jsou principy logického usuzování a metody prokazování platnosti matematických tvrzení - v textu čtenář najde tuto problematiku v prvních třech kapitolách a ve čtrnácti typech důkazů. Tyto důkazy pak hrají roli při potvrzení platnosti asi sedmnácti matematických vět v textu uvedených a jsou příkladem práce s matematickou precizností, kdy uživatel matematiky nejen zjistí, že platí určité vzorce a zákonitosti, ale také by měl možnost se přesvědčit, proč platí, a to na základě známých pojmů a matematických tvrzení dokázaných již dříve. Druhou základní věcí tohoto předmětu některé zmínky o množinách a množinových operacích; dále několik vět o dělitelnosti celých čísel a charakteristické vlastnosti čísel racionálních. Těm budou věnovány týdny 4 a 5. Třetím tématem a nej důležitějším pojmem tohoto předmětu je pojem relace. Studenti prozkoumají některé vlastnosti známých relací <, C, relace dělitelnosti |, a pak se seznámí s faktem, že při matematicky přesném popisu jsou na pojmu binární relace založeny pojmy ekvivalence, uspořádání, zobrazení, posloupnost, funkce a binární operace. Výstavbě těchto pojmů a jejich vlastnostem budou věnovány týdny 6 až 9. Čtvrtým tématem tohoto předmětu budou základní reálné funkce jedné proměnné a jejich vlastnosti - probíráno v týdnech 10 až 13. S určováním vlastností funkcí souvisí dovednost i nakreslit jejich graf, která bude u těchto základních funkcí procvičována s největším důrazem, protože poskytuje jakýsi „geometrický" či grafický obraz o předpisech funkcí, které matematika dodává dalším oborům lidského bádání a podnikání. Pátou základní věcí, která prostupuje celým textem, je úkol naučit se rozumět matematickému zkrácenému (symbolickému) zápisu jedná se vlastně o jakýsi symbolický jazyk matematiky, který je hojně využíván v jakýchkoli matematických metodách a popisech. Dovednost spočívající ve čtení a psaní (používání) tohoto stručného matematického zápisu bude také v předmětu zkoušena, a rozvíjena dále v předmětech Algebra 1 a Algebra 2. Tento text vznikl v roce 2017-2020. V roce 2023 se s rostoucí zkušeností z výuky text jeví nedostatečným a je přepracováván za pochodu v průběhu podzimního semestru 2023, tam kde něco zbývá doplnit, bude napsáno DOPLNIT. Břetislav Fajmon, Brno, říjen 2023 4 1 LOGICKÉ SPOJKY, UNIVERZÁLNÍ VÝROKY, DŮKAZ VÝČTEM PRAVDIVOSTNÍCH HODNOT 1 Logické spojky, univerzální výroky, důkaz výčtem pravdivostních hodnot 1.1 Přednáška Zaměřme se nejprve na následující odpověď na otázku o významu a roli matematiky: podstatou matematiky je přesné a logické odvozování. Řecké slovo mathéma = nauka (věda) či poučka, platné či pravdivé tvrzení - tj. matematika je vědou založenou na přesném vyjadřování, vědou o pravdách, jejichž platnost byla prokázána. Zajímají ji výroky s pravdivostní hodnotou „pravdivý" - ty nazývá matematickými větami (teorémami)1 Definice 01: Výrok je písemně zaznamenatelné tvrzení, kterému lze v daných souvislostech jednoznačně přiřadit pravdivostní hodnotu - výroky jsou tedy taková tvrzení, která lze označit buď za pravdivá (= s pravdivostní hodnotou 1), nebo za nepravdivá (= s pravdivostní hodnotou 0). A) Zákony logiky a filosofie. Podstatou přesného či správného vyjadřování jsou tři zákony, na kterých stojí nejen matematika, ale i filosofie: • Zákon sporu: Nemůže současně platit výrok i jeho negace2. Jinými slovy, pokud při logickém usuzování dospějeme k tomu, že platí současně výrok i jeho negace, říkáme, že nastal spor = kontradikce (protiřečení, protimluv), a to znamená, že některý z předpokladů našeho usuzování má nesprávnou pravdivostní hodnotu. • Zákon vyloučení třetího (= princip pravdivostní dvouhodnotovosti): Buď platí výrok, nebo jeho negace, ale je vyloučena třetí možnost.3 Znáte nějakou situaci, kde nastanou více než uvedené dvě možnosti? V životě někdy máme více než dvě řešení, jak se zachovat, a při výběru jedné varianty jednání tím pádem všechny ostatní vylučujeme - ovšem tento výběr z více než dvou možností je něco jiného než fakt, že při popisu reality používáme dvouhodnotovou logiku pravda/nepravda; pro každou z více než dvou možností se totiž rozhodujeme „dvouhodnotově": buď si ji zvolíme, nebo ne. • Zákon negace negace: Negací negace dostáváme zase původní výrok4. Příklad 1.1. Všechny tři zákony přesného vyjadřování platí u následujících dvou výroků: výrok A : 2 + 2 = 4; jeho negace je -A: 2 + 2^4. Negací negace dostaneme zase původní výrok A. Taktéž nemůže platit současně A i -- B nazveme (definice 08) implikací utvořenou z výroků A, B, jestliže pro dílčí pravdivostní hodnoty výroků A, B platí tabulka pravdivostních hodnot z nich vytvořené implikace vzhledem k pravdivostním hodnotám jednotlivých výroků p{A) p(B) p(A =>• B) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 6 [2], str.31-32. 1.1 PŘEDNÁŠKA 7 Symbol =>- tedy představuje implikaci ve zkráceném symbolickém zápisu, slovně lze implikaci vyjádřit: „Pokud platí A, tak z toho plyne, že BCÍ; „když A, tak BCÍ; apod. V případě platnosti implikace A =>- B se výrok A (definice 08 pokračování) nazývá dostatečná podmínka pro platnost výroku B (protože platnost výroku A dostačuje, postačuje, aby bylo zaručeno, že platí výrok B - implikaci lze tedy slovně formulovat „Platnost podmínky A je dostatečná pro to, aby platilo Blí) a výrok B se nazývá (definice 08 pokračování) nutná podmínka, která nutně vyplývá z platnosti výroku A (slovní formulace: „pokud platí A, z toho nutně plyne, že platí i Blí). Příklad 1.3. Příklady implikace: a) Když půjde Ondra na ten večírek, půjdu i já; b) Když bude pršet, vezmu si deštník; c) Když je přirozené číslo dělitelné šesti, tak je toto číslo dělitelné i třemi. • výrok A B nazveme (definice 9) ekvivalencí utvořenou z výroků A, B, jestliže pro dílčí pravdivostní hodnoty výroků A, B je tabulka ekvivalence vzhledem k pravdivostním hodnotám jednotlivých výroků Symbol tedy představuje ekvivalenci ve zkráceném symbolickém zápisu, slovně lze spojku ekvivalence vyjádřit: VA platí právě tehdy, když platí BCÍ; VA tehdy a jen tehdy, když 5"; a podobně. ^ Příklad 1.4. Příklad ekvivalence: Přirozené číslo je dělitelné šesti právě tehdy, když je dělitelné dvěma i třemi současně. C) Stručný matematický zápis. Budeme postupně (opakovat a) učit se řadě symbolů stručného matematického zápisu -výstižně a přesně se vyjadřovat je jedním z cílů matematiky „na úrovni B2", pokud bychom si vypůjčili na popis vysokoškolské úrovně matematiky označení zažité z evropského referenčního rámce výuky cizích jazyků. • označení 00: N = {1,2,3,...} ... množina přirozených čísel; někdy také N0 = {0,1,2, 3,...} ... množina přirozených čísel včetně nuly; • označení 01: Z = {..., —2, —1, 0,1, 2, 3,...} ... množina celých čísel; • označení 02: množina racionálních čísel p(A) p(B) p(A B) 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 m E Z, 8 1 LOGICKÉ SPOJKY, UNIVERZÁLNÍ VÝROKY, DŮKAZ VÝČTEM PRAVDIVOSTNÍCH HODNOT • označení 03: / ... množina iracionálních čísel, tj. R = Q U /; • označení 04: R ... množina reálných čísel; • označení 05: C ... množina komplexních čísel; • označení 06: ->A ... negace výroku A; • označení 07: A A B ... konjunkce výroků A, B; • označení 08: A V B ... disjunkce výroků A, B; • označení 09: A => B ... implikace utvořená z výroků A, B - s významem „Když platí A, tak platí i 5"; • označení 10: A ^ B ... ekvivalence utvořená z výroků A, B - s významem VA platí právě tehdy, když platí 5"; D) Základní kategorie při výstavbě matematiky Matematika je věda o přesném vyjadřování, a my se nyní tento jazyk budeme učit -jinými slovy, budeme se učit a) přesně formulovat pojmy, b) přesně formulovat, ze kterých jednoduchých a platných faktů vycházíme, c) dokazovat platnost nových faktů na základě faktů samozřených nebo dokázaných už dříve. Definice 10: (matematická) definice je přesné vymezení pojmu, z něhož je patrno, které objekty toto vymezení splňují a které ne (např. bod, úsečka, přímka, kružnice, úhel, rovnoběžka ... to vše jsou pojmy, které musíme jednoznačně definovat v tzv. Eukleidovské geometrii). Definice 11: (matematický) axiom je tvrzení o vlastnostech pojmů či o vztazích mezi pojmy, které se nedokazuje, nýbrž všeobecně přijímá jako pravdivé (např. axiomy Euklidovské geometrie). Definice 12: (matematická) věta je tvrzení o vlastnostech pojmů či vztazích mezi pojmy, které musíme dokázat pomocí axiomů, definic a vět dokázaných již dříve7. 7Např.: střed kružnice trojúhelníku vepsané leží na průsečíku os jeho úhlů ... platnost tohoto tvrzení plyne ze vztahu mezi definicí kružnice (= množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od svého středu) a definicí osy úhlu (= množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od obou ramen úhlu). Z těchto dvou definic plyne, že osy úhlů trojúhelníka se protínají v jednom bodě, a navíc v tomto bodě musí ležet i střed hledané kružnice. Podrobněji dokazovat nebudeme, daná skutečnost slouží jen jako příklad matematické věty, která nemusí být každému zcela zřejmá a jejíž platnost je dobré podrobněji zdůvodnit na základě definic a axiomů. 1.1 PŘEDNÁŠKA 9 E) Důkaz výčtem pravdivostních hodnot. Definice 13: Výroková forma8 je výraz složený z výrokových proměnných a logických spojek vyjádřených symboly. Například implikace A =>- B nebo ekvivalence A B jsou výrokové formy. Pokud nyní budeme mluvit o pravdivosti výrokových forem, učíme se takto principy správného logického usuzování, aniž bychom znali konkrétní výroky dosazené za výrokové proměnné A a B. Typ důkazu číslo 1: Důkaz ekvivalence výrokových forem. Sestavíme tabulku výsledných pravdivostních hodnot obou výrokových forem. Pokud na každém řádku tabulky (jeden řádek = jedna kombinace dílčích pravdivostních hodnot) mají obě formy stejné pravdivostní hodnoty, jsou ekvivalentní. Zajímavá pravidla logického usuzování dostáváme při kombinaci několika logických spojek, jak je vidět ze dvou následujících matematických vět: (věta 01) Výroková forma ->(AAB) je ekvivalentní s výrokovou formou (-*A) V (~b) 1 1 0 1 1 0 1 0 1 ; dále ->A V->B): 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 iAAB): Vidíme, že pravdivostní hodnoty výrokových forem jsou stejné na každém řádku (= pro tytéž hodnoty dílčích výroků), tj. obě výrokové formy jsou logicky ekvivalentní. Jednu formu lze ekvivalentně zaměnit tou druhou a naopak. □ Příklad 1.5. Výrok A A B zní: Vezmu si klobouk a vezmu si i boty. Jeho negaci lze provést velmi pragmaticky uvedením záporky „Není pravda, že", tj. dostaneme výrok typu ->(A A B): Není pravda, že si vezmu klobouk i boty. Matematik ovšem chce pracovat precizně a vyzkoušet i další možnosti - mimo jiné proto, že často je v jeho zájmu odstranit závorky ve složených výrokových formách (podobně jako někdy pomůže odstranit závorky při početních úpravách s proměnnými výrazy). Využije věty 1 a vysloví negaci ve tvaru -B: Číslo 20 není dělitelné dvěma, a současně toto číslo není dělitelné třemi. To je výrok nepravdivý (což se dalo čekat, protože negace pravdivého výroku je nepravdivá), ale jedná se o správně vytvořenou negaci původního výroku. O principu vyloučení třetího (buď platí výrok, nebo jeho negace, a je vyloučena třetí možnost) už byla řeč. Princip vyloučení třetího je formulován ve větě 03: (věta 03) Forma A =>- B je ekvivalentní s formou -iB =>• ->A (formu -iB =>• ->A nazýváme obměnou implikace A =>- B). Důkaz: Pomocí tabulky pravdivostních hodnot lze ukázat, že daná výroková forma má na každém řádku tabulky pravdivostních hodnot stejnou hodnotu jako forma A =>- B. □ (věta 04) Forma A =>- B je ekvivalentní s formou (—<Á) V B. Důkaz: Důkaz provedeme pomocí tabulky logických hodnot, stejně jako důkazy vět 1,2,3. □ (věta 05) Forma —i{A=^B) je ekvivalentní s formou A A (~- B) A {B =>- A) jsou ekvivalentní. Důkaz: pomocí tabulky pravdivostních hodnot obou výrokových forem pro všechny možné kombinace pravdivostních hodnot dílčích výroků A, B bude proveden ve cvičení 1, respektive studenti tento důkaz mají na samostatné procvičení. □ 1.1 PŘEDNÁŠKA 11 (věta 07) Forma —<(A <š=> B) je ekvivalentní s formou (A A -iB) V (BA -.A). Důkaz: Mohli bychom provést například pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Nebo jiný způsob je využít větu 6, větu 5 a větu 1. □ Příklad 1.8. Uvažujme ekvivalenci „Číslo n je dělitelné šesti tehdy a jen tehdy, když je dělitelné dvěma i třemi." Negace tohoto výroku (mimochodem nepravdivá, protože původní výrok je pravdivý) je podle věty 07 celá dlouhá věta: (Číslo n je dělitelné šesti a současně není dělitelné dvěma i třemi) nebo (číslo n je dělitelné dvěma i třemi a současně není dělitelné šesti). F) Univerzální výroky a existenční výroky. Matematika se snaží o vytváření tzv. univerzálních výroků (definice 14, část první), které platí pro více hodnot z jisté množiny, například pro všechna přirozená čísla, apod. Jsou to tedy jakési výroky typu „více v jednom" nebo „nekonečno v jednom", jinými slovy pomocí proměnných vyjádříme výrok, který platí pro více hodnot nebo nekonečně mnoho hodnot. (definice 15) Výroková funkce je výraz, který sám není výrokem, protože není specifikováno, jaké hodnoty nabývá proměnná x, kterou obsahuje, takže není možné stanovit pravdivostní hodnotu. Až právě kvantifikátor (definice 16) je ta část výroku, která vymezuje, jakých hodnot může proměnná ve výrokové funkci nabývat. Příklad 1.9. Zde je příklad na výrokovou funkci a kvantifikátor: a) Výraz x > 0 není výrok, protože není stanoveno, čemu se rovná proměnná x - je to ovšem výroková funkce. b) Výraz \/x G N : x > 0 je pravdivý výrok, protože podmínku x > 0 splňují všechna přirozená čísla. Část \/x G N je právě kvantifikátor - říká se mu obecný kvantifikátor, protože upřesňuje, že výroková funkce bude platit pro každý prvek uvedené množiny (= platí obecně pro všechny prvky dané množiny). c) Výraz \/x G R: x > 0 je nepravdivý výrok, protože existují reálná čísla, pro která daná nerovnost neplatí. Mohli bychom jej pozměnit do tvaru 3x G R : x > 0, 1 LOGICKÉ SPOJKY, UNIVERZÁLNI VÝROKY, DŮKAZ VYCTEM 12 PRAVDIVOSTNÍCH HODNOT který už platí. Část 3x G -R je opět kvantifikátor - říká se mu existenční kvantifikátor, a dosazením před výrokovou funkci tvrdí, že existuje aspoň jedno reálné číslo, pro které platí x > 0. Symbol 3 tedy znamená „existuje aspoň jeden" (prvek z dané množiny). Výroky, které obsahují tento existenční kvantifikátor, se nazývají existenční výroky (definice 14, část druhá) a vyjadřují, že v dané množině se vyskytuje aspoň jeden prvek s vlastností, která je ve výroku obsažena. G) Další symboly stručného matematického zápisu • označení 11: V(x) ... výroková funkce s proměnnou x; • označení 12: V ... pro každé, pro každou; • označení 13: 3 ... existuje; 3! ... existuje právě jedno, právě jeden; /9 ... neexistuje, neexistují; • označení 14: : (dvojtečka) ... tak, že; platí • označení 15: G ... patří do, je prvkem; • označení 16: H ... průnik množin; • označení 17: U ... sjednocení množin; 1.2 Cvičení Návrh obsahu cvičení 1: 1. Výrok a jeho negace • Co je to výrok? • Negace výroků typu: aspoň tři, právě dva, nejvýše devět, označení množiny, žádný učený z nebe nespadl: ^% Příklad 1.10. Negujte výroky: a) Číslo 19 má aspoň tři dělitele. b) Rovnice x2 — 5x + 6 má právě dva reálné kořeny. c) Pravidelný šestiúhelník má nejvýše devět úhlopříček. d) Množina A = {x G Z : \x\ < 4} má nejvýše sedm prvků. • Existenční a univerzální výrok, existenční a univerzální kvantifikátor. • Negace výroků typu 3, V. Příklad 1.11. Negujte výrok: \/x G R : y/x > 0. 1.2 CVIČENÍ 13 Příklad 1.12. Negujte výrok: 3x G R : x2 < 0. Poznámka: Zde existují dva způsoby negace, jeden je velmi pohodlný, a sice namísto 3 bude /9 a vše ostatní bude stejně. Tato negace, stejně jako negace stylem „není pravda, že je vyjádřena negativně a nás by spíše v matematice zajímalo, co bude platit pro všechny prvky množiny pozitivně, tj. preferujeme negaci způsobem9 Vxe R: x2 > 0. 2. Označení spojek a čtení spojek • zopakujte označení a čtení logických spojek z přednášky; • u implikace A =>- B (jestliže A, tak B) doplň i další možná vyjádření v češtině: pokud A, (tak) B. Pro studenty je zejména matoucí, když v češtině vyjádříme obě části souvětí v opačném pořadí: B, pokud A; B (tehdy), když A; B, jestliže A. • U ekvivalence doplň další možná čtení v češtině, kromě „právě tehdy, když" nebo „právě když" je to „jen tehdy, když" nebo „jen když". Příklad 1.13. Označme: Z výrok „bude zima", S výrok „bude sněžit", D *^ výrok „zůstanu doma". Přeložte do české věty a) (Z A S) => D, b) (Z V S) => D, c) -i(£> Z). Příklad 1.14. 10 Označme Z výrok „dám si zmrzlinu", C výrok „dám si čokoládu". Vyjádřete naopak české věty symbolickým matematickým zápisem výroků: a) Dám si zmrzlinu nebo čokoládu. b) Nedám si zmrzlinu ani čokoládu. c) Jestli si dám zmrzlinu, nedám si čokoládu. d) Zmrzlinu si dám, pokud si nedám čokoládu. e) Zmrzlinu si dám, právě když (nebo: jen když) si nedám čokoládu. Příklad 1.15. Označme: A výrok „přijde Adam", F výrok „přijde Filip", K výrok „přijde Katka". Vyjádřete následující české věty symbolickým matematickým zápisem výroků: a) Přijde Adam, ale Filip ne. b) Ze sourozenců Adam, Filip přijde aspoň jeden. c) Ze sourozenců Adam, Filip přijde nejvýše jeden. d) Z trojice A,F,K nepřijde nikdo. 3. Pravdivostní hodnota složeného výroku 9Tedy změníme kvantifikátor 3 na V a negujeme podmínku, která byla ve výroku uvedena za dvojtečkou. °Za tento a následující příklad vděčím kolegyni Paňácové, skripta pro budoucí učitele prvního stupně. 14 1 LOGICKÉ SPOJKY, UNIVERZÁLNÍ VÝROKY, DŮKAZ VÝČTEM PRAVDIVOSTNÍCH HODNOT • Vyjdřete pravdivostní hodnotu složených výroků A =>- B, ->B =>• ->A, B =>- A, -iA V B pro všechny pravdivostní hodnoty dílčích výroků (v tabulce pravdivostních hodnot). Všimněte si, že některé tyto složené výroky jsou si navzájem logicky ekvivalentní, některé nejsou. • Co je to tautologie? • Ohodnoťte pravdivostní hodnotu složeného výroku Z V (S =>• D) pro všechny možné pravdivostní hodnoty dílčích výroků. • Dokažte ekvivalenci výroku A B s výrokem (A =>- B) A {B =>- A). 4. Negace složených výroků: Negujte složené výroky A A B, A V B, A =>- B, A B: nejprve na příkladu, a pokuste se pak tuto negaci vyjádřit symbolickým zápisem. • Včera jsem šel nakoupit a také jsem byl běhat. • Zítra půjdu na vycházku nebo se podívám na film. • Když bude pršet, zůstanu doma. • Přirozené číslo n je dělitelné třemi právě tehdy, když jeho ciferný součet je dělitelný třemi. Návrh domácího úkolu v rámci přípravy na první prověrku: Cvičení 1.1. Dokažte věty 2,3,4,5,6,7 z přednášky 1 pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Cvičení 1.2. Negujte výroky lépe než jen dodáním záporky „není pravda, že": a) Každé přirozené číslo n je rovno součtu svých dělitelů. b) Dnes bude pršet a budeme psát písemku z matematiky. c) Žádný učený z nebe nespadl. d) Existují aspoň tři přirozená čísla, která jsou rovna součtu všech svých dělitelů. e) Existují nejvýše čtyři prvočísla. f) Možná, že dnes večer půjdu do kina nebo si přečtu nějakou zajímavou knihu. g) Existují právě dvě celá čísla, která se rovnají své druhé mocnině. Cvičení 1.3. Zapište následující výroky symbolickým matematickým zápisem, ve kterém nepoužijete ani jedno slovo z běžné češtiny: a) Pro každé přirozené číslo existuje přirozené číslo, které je větší než dvojnásobek toho prvního čísla zvětšený o jedničku. b) Pro každé celé číslo existuje celé číslo, které když zmenšíme o jedničku, stále je výsledek menší než třetí mocnina toho prvního čísla. Cvičení 1.4. Negujte následující výroky: 1.2 CVIČENÍ 15 a) Půjdu na ten večírek právě tehdy, když tam půjde Ondra. b) Pokud přijde Honza, řeknu mu o tom. Cvičení 1.5. Zjednodušte symbolický zápis, aby ve výsledku nebyl symbol negace před žádnou závorkou, pouze u dílčích výrokových proměnných: a) np^5)A(ľ) ^ b) =>- (B V C)) <=> c) npv5)AC) Cvičení 1.6. Zapište následující výroky symbolickým matematickým zápisem, ve kterém nepoužijete ani jedno slovo z běžné češtiny: a) Existuje přirozené číslo, které když zvětšíme o 5, výsledek bude větší než 10. b) Přirozené číslo je dělitelné šesti právě tehdy, když je současně dělitelné dvěma i třemi. Cvičení 1.7. Negujte výroky ze cvičení 1.6 (symbolicky zapsané) pouze pomocí symbolického zápisu (bez českých slov). Cvičení 1.8. Studenti by měli umět utvořit negaci logické ekvivalence bez použití ostré disjunkce (věta 07). Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.1. 16 2 DŮKAZ IMPLIKACE (PŘÍMÝ A NEPŘÍMÝ), DŮKAZ ŘETĚZCEM EKVIVALENCÍ (TYP 04) A DŮKAZ EKVIVALENCE (TYP 05) 2 Důkaz implikace (přímý a nepřímý), důkaz řetězcem ekvivalencí (typ 04) a důkaz ekvivalence (typ 05) Plán přednášky a cvičení 2: ve druhém týdnu výuky se budeme zabývat hlavně logickým zdůvodňováním výroků, na základě terminologie představené v prvním týdnu. Většina matematických výroků, které budou zdůvodňovány jako pravdivé, se týká dělitelnosti přirozených čísel. V prvním týdnu jsme se zabývali dokazováním (zdůvodňováním typu 1, na základě tabulky pravdivostních hodnot. V tomto týdnu se budeme věnovat důkazům implikace A =>- B, a sice důkazu přímému (typ 02) a nepřímému (typ 03), a dvěma přístupům využívající ekvivalenci: důkazu výroku A pomocí řetězce ekvivalencí (typ 04) a rozdělení důkazu ekvivalence A B na dvě implikace (typ 05). 2.1 Přednáška Typ důkazu číslo 2: Přímý důkaz implikace A =>- B. Při přímém důkazu implikace A =>- B vyjdeme z toho, že platí výrok A; na základě A a dříve dokázaných matematických vět provedeme logicky korektní úsudek Ui\ na základě A, U\ a dříve dokázaných vět provedeme logicky korektní úsudek U2; atd. až po k krocích logicky korektně usoudíme, že platí B, a to na základě platnosti A, Ui, ..., U\.. Příklad 2.1. Pro celá čísla a, b, c platí: a) a\b A a\c =>- a\(b + c); b) a\b A a\c =>- a\(b — c) (tedy pokud a dělí dvě celá čísla, dělí i jejich součet, a dělí také jejich rozdíl). DOPLNIT důkaz ... viz přednáška. Zopakujme znění věty 03: (věta 03) Výrokové formy A =^ B a -iB =>• ->A jsou ekvivalentní. Důkaz: pomocí tabulky pravdivostních hodnot dílčích výroků bylo provedeno v rámci cvičení l.D Na větě 03 je založen typ důkazu 03: Typ důkazu číslo 3: NEpřímý důkaz implikace A =^ B. Při NEpřímém důkazu implikace A =^ B vlastně dokazujeme platnost logicky s ní ekvivalentní formy -iB =>• ->A, a sice PŘÍMO (předpokládáme platnost -iB a dokazujeme platnost -iÁ). 2.1 PŘEDNÁŠKA 17 Definice 17: Forma ->B =>• -iA se nazývá obměna implikace A =>- B11. Pozor, neplést s obrácením B =>- A, to totiž není logicky ekvivalentní s původní implikací (jak lze snadno ověřit pomocí tabulky pravdivostních hodnot). Příklad 2.2. Pro všechna přirozená čísla a, b platí: když nelze zkrátit zlomek pak nelze zkrátit ani f. DOPLNIT důkaz ... viz přednáška. Nyní uvedeme dva typy důkazu, které souvisí s logickou ekvivalencí výroků. Typ důkazu číslo 4: Důkaz výroku A pomocí řetězce ekvivalencí. Výrok A vyjádříme ekvivalentně pomocí ekvivalentního úsudku Ui, ten zase pomocí ekvivalentního úsudku U2, atd. až dojdeme k ekvivaletnímu úsudku Uk, jehož platnost je už evidentní či snadno zdůvodnitelná. A protože všechny úsudky byly vykonány s logicky stejnou vahou, je tím dokázána i platnost původního výroku A. Příklad 2.3. Dokažte, že platí výrok A: Va,be R:a2 + b2 > 2ab. Důkaz: odečtením 2ab od obou stran nerovnice dostaneme ekvivalentní úsudek Ui. a2 - 2ab + b2 > 0. To lze ekvivalentně vyjádřit pomocí úsudku U2'. (a — b)2 > 0. O pravdivosti tohoto výroku se lze snadno přesvědčit (druhá mocnina výrazu v závorce je nezáporná pro každé reálné x). A protože naše úsudky byly logicky ekvivalentní s původním výrokem A, je dokázán i on. S důkazy či odvozováním typu 4 se setkáváme právě při ekvivalentních úpravách rovnic a nerovnic - to jsou takové úpravy, které nemění obor pravdivosti výroků, tj. množinu řešení. Rovnici či nerovnici ekvivalentně upravujeme do takového tvaru, ze kterého už lze obor pravdivosti snadno určit. □ Zopakujme větu 06 z přednášky 1: Výrokové formy A B a (A =>- B) A {B =>- A) jsou ekvivalentní. Na větě 06 je založen typ důkazu 05: Typ důkazu číslo 5: důkaz ekvivalence A B. Při důkazu ekvivalence A B vlastně musíme dokázat, že platí obě z implikací A=> B a. B A. Definice 18: Forma B =>- A se nazývá obrácení implikace A =>- B.12. 11 Obměna implikace je tedy výrok s touto implikací logicky ekvivalentní, tj. nepřímý důkaz implikace = přímý důkaz její obměny. 12Tedy při důkazu ekvivalence musíme dokázat, že současně platí příslušná implikace i její obrácení. 18 2 DŮKAZ IMPLIKACE (PŘÍMÝ A NEPŘÍMÝ), DŮKAZ ŘETĚZCEM EKVIVALENCÍ (TYP 04) A DŮKAZ EKVIVALENCE (TYP 05) Příklad 2.4. Dokažte následující ekvivalenci: Pro každé přirozené číslo n platí 2\n2 2\n. Důkaz DOPLNIT ... viz přednáška. Rozdělíme na dvě implikace a každou dokážeme zvlášť. □ 2.2 Cvičení Cvičení 2.1. (na hodině) Napište Následující výroky symbolicky bez českých slov a proveďte jejich negaci: a) Každé přirozené číslo je sudé. b) Existuje aspoň jedno reálné číslo, pro které platí: x2 — Ax + 7 > 0. c) Pro každé přirozené číslo platí: Jestliže jeho druhá mocnina je dělitelná dvěma, tak i ono samo je dělitelné dvěma. Cvičení 2.2. (na hodině) U výroku Vn G N : 6\n =>• 3\n proveďte jeho a) obrácení, b) obměnu, c) negaci. Které z těchto čyř výroků (včetně zadaného) jsou logicky ekvivalentní? Cvičení 2.3. (na hodině) Jestliže stále nevěříte tomu, jak se sestaví negace implikace, budete si muset dokázat větu 04 a její důsledek (věta 05) pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Cvičení 2.4. (na hodině) Dokažte důkazem přímým (typ 02): Jestliže s je přirozené číslo, které vznikne jako součet tří po sobě jdoucích mocnin čísla 2 (tedy s = 2n + 2n+1 + 2n+2), tak s je dělitelné sedmi. Cvičení 2.5. (na hodině) Dokažte důkazem přímým (typ 02): Jestliže je přirozené číslo liché, tak jeho druhá mocnina zmenšená o číslo 1 je dělitelná osmi. Cvičení 2.6. (na hodině) Dokažte důkazem přímým (typ 02): Jestliže a, b jsou lichá přirozená čísla, pak rozdíl jejich druhých mocnin je dělitelný osmi. Cvičení 2.7 (domácí úkol neboli HW) Dokažte důkazem přímým (typ 02): Jestliže a, b, c jsou přirozená čísla bezprostředně po sobě jdoucí a a, c jsou lichá, tak součet (a + b + c) je dělitelný šesti. Cvičení 2.8 (na hodině) Dokažte důkazem nepřímým (typ 03): Pro každé celé číslo z platí: Jestliže 7z — 8 je sudé, tak také z je sudé. 2.2 CVIČENÍ 19 Cvičení 2.9 (HW) Dokážte důkazem nepřímým (typ 03): Pro každé celé číslo z platí: Jestliže (z2 + 4) není dělitelné pěti, tak platí, že ani (z — 1), ani (z + 1) není dělitelné pěti. Cvičení 2.10 (na hodině) Dokažte řetězcem ekvivalencí (typ 04): Pro každé reálné x platí: x4 + 1 > 2x2. Cvičení 2.11 (na hodině) Dokažte důkazem typu 05: Pro každé přirozené číslo platí: 3\n2 <=> 3\n. Cvičení 2.12 (HW) Dokažte důkazem typu 05: Pro každé přirozené číslo platí (pozor, tento důkaz je chyták, logická ekvivalence neplatí - jednu implikaci snadno dokážete, ale druhou implikaci vyvrátíte protipříkladem): 4\n2 ^ A\n. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.2. 2B DŮKAZ DEDUKCÍ, INDUKCÍ, SPOREM, PROTIPŘÍKLADEM A KONSTRUKCÍ 3 Důkaz dedukcí, indukcí, sporem, protipříkladem a konstrukcí Plán třetího týdne: Typ důkazu 06: Důkaz univerzálního výroku (např. Vn G N : V (n)) deduktivním rozborem dílčích případů. Typ důkazu 07: Důkaz univerzálního výroku (např. Vn G N : V (n)) úplnou matematickou indukcí. Typ důkazu 08: Důkaz výroku A sporem. Typ důkazu 09: Vyvrácení univerzálního výroku (Vn G N : V (n)) protipříkladem. Typ důkazu 10: Důkaz existenčního výroku (např. 3n G N : V (n)) nalezením příkladu či konstrukcí. 3.1 Přednáška V typech důkazů 06 a 07 se budeme zabývat zdůvodněním univerzálního výroku, tj. platností výroky pro všechny objekty dané množiny objektů, zpravidla (ikdyž ne vždy) pro všechna čísla z nějaké číselné množiny. Typ důkazu číslo 6: Deduktivní důkaz pomocí rozdělení na dílčí případy. Objekty (čísla) zpravidla rozdělíme do několika skupin a výrok dokážeme pro danou skupinu zvlášť, s využitím dalšího faktu, který pro tuto skupinu objektů platí.. Označení 18: | ... dělí beze zbytku = je dělitelem. Například 2|6 (dvojka dělí šestku), 218 (dvojka dělí osmičku), 3|21 (číslo 3 je dělitelem čísla 21). Příklad 3.1. Dokažte, že \/n E N : 9|(n3 + (n + l)3 + (n + 2)3) (slovně: dokažte, že číslo 9 je dělitelem výrazu v závorce, kde n je libovolné přirozené číslo) Důkaz: provedeme typem 06, tedy rozdělením na tři různé situace podle toho, zda číslo n je dělitelné třemi (n = 3k), zbytek po dělení čísla n třemi je roven jedné (n = 3k + 1) nebo zbytek po dělení čísla n třemi je roven dvěma (n = 3k + 2): n = 3k: Dosadíme do zkoumaného výrazu v našem výroku a dostaneme: (n3 + (n + l)3 + (n + 2)3) = zbytek viz přednáška... 3.1 PŘEDNÁŠKA 21 n = 3k + 1: Dosadíme do zkoumaného výrazu v našem výroku a dostaneme: (n3 + (n + l)3 + (n + 2)3) = zbytek viz přednáška... n = 3k + 2: Dosadíme do zkoumaného výrazu v našem výroku a dostaneme: (n3 + [n + l)3 + (n + 2)3) = zbytek viz přednáška... Příklad 3.2. Prozkoumejte deduktivně, čemu se rovná součet l + 2 + 3 + -- - + n prvních n přirozených čísel. Typ důkazu číslo 7: Důkaz matematickou indukcí. Při matematické indukci dokazujeme tzv. univerzální výrok, který platí většinou pro všechna přirozená čísla, která jsou větší nebo rovna přirozenému číslu no, tj. výroky typu Platnost tohoto univerzálního výroku dokazujeme ve dvou krocích: a) Dokážeme platnost výroku V(n0). b) Dokážeme platnost implikace V(n) =>• V(n + 1). Pokud platí obě tyto věci, „dosáhne" platnost V(n) na jakékoli přirozené číslo n._ Definice 19: Indukční předpoklad se nazývá předpoklad V(n) v implikaci v podmínce (b), kterou dokazujeme při indukci. Poznámka: důkaz indukcí vyplývá ze struktury množiny N: ad a) jednička je nejmenší přirozené číslo; ad b) každé další přirozené číslo různé od jedničky získáme zvýšením předchozího přirozeného čísla o jedničku. Tedy nekonečným opakováním kromu (b) projdeme všechna přirozená čísla - viz [2], str. 121: „pravdivost tohoto výroku se dědí od čísla k číslu". My ovšem při důkazu tohoto tzv. indukčního kroku = části (b) projdeme tento proces jen jednou - dokážeme, že jakékoli přirozené číslo větší než uq danou vlastnost „dědí" od čísla o jedničku menšího. Ad příklad 3.1: dokažme výrok z příkladu 3.1 úplnou matematickou indukcí: Vn > uq : V(n). V{n) =>V(n + l) VneN: 9|(n3 + (n + l)3 + (n + 2)3). Důkaz: důkaz úplnou matemat. indukcí spočívá ve dvou krocích: 22 DŮKAZ DEDUKCÍ, INDUKCÍ, SPOREM, PROTIPŘÍKLADEM A KONSTRUKCÍ krok a) Ukažme, že rovnost platí pro uq = 1: 9|(l + 23 + 33) = 27... to platí. krok b) Dokažme platnost implikace V(n) =>• V(n + 1), která má v našem případě tvar 9|(n3 + (n + l)3 + (n + 2)3) 9|((n + l)3 + (n + 1 + l)3 + (n + 1 + 2)3). V(n) V(n+1) Předpokládejme, že platí indukční předpoklad V(n), tedy číslo (n3+(n+l)3+(n+2)3) je dělitelné devíti. Úsudek Uim. Vyjádřeme si náš předpoklad pomocí definice dělitelnosti13: existuje nějaké přirozené číslo k, že (n3 + (n + l)3 + (n + 2)3) = 9fc. Úsudek U2'. Upravujme číslo {{n + l)3 + (n + 1 + l)3 + (n + 1 + 2)3) a snažme se jej vyjádřit jako násobek čísla 9 - pokud se nám to podaří, budeme vědět, že je dělitelné devíti a důkaz bude u konce. Tak tedy: ((n+l)3+(n+2)3+(n+3)3) = (n + l)3 + (n + 2)3 + n3 +3n2-3+3n-9+27 = 9-(A;+n2+3nH k Použili jsme pouze vzorec (a + 6)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a označení čísla k z rovnosti předpokladu. Jsme hotovi - skutečně se dalo číslo 9 vytknout z celého výrazu, tj. (n + l)-ní člen posloupnosti zadané naším vzorcem „zdědí" dělitelnost devíti od členu předchozího. Protože jsme v předpokladu vyšli od libovolného přirozeného n, platí tato vlastnost pro všechna přirozená čísla. □ Ad příklad 3.2. Dokažte úplnou matematickou indukcí, že pro každé přirozené číslo n platí rovnice n • (n + 1) l + 2 + 3 + --- + n =-K—- Zdůvodnění (= důkaz): i) n = 1 dosadíme do obou stran rovnosti: 1 = ^ ... platí; n = 2 dosadíme do obou stran: 1 + 2 = ... platí. ii) Předpokládáme platnost indukčního předpokladu: Vzorec platí pro n, tj. n • (n + 1) A odtud nyní dokážeme platnost vztahu (= chceme dokázat) pro (n + 1): (n + l)-(n + 2) 13Kterou jsme sice ještě neprohráli, ale řekněme si ji za čtrnáct dní a intuitivně ze střední školy chápeme, o co se jedná 3.1 PŘEDNÁŠKA 23 Zkusme upravit levou stranu dokazované rovnosti s využitím pravé strany indukčního předpokladu (a poté převedeme na společného jmenovatele a vytkneme člen (n + 1) v čitateli): 1+2+...+„+(n+1) *sř "■';+1»+(n+1) = "■'"+1»+2''n+1» = 1 lze „zaplatit" sumou pouze dvoukorunových a pětikorunových mincí předaných v jisté obálce nebo kontejneru. Řešení je jednoduché - kromě jedničky existuje ještě jedno přirozené číslo, které nelze vyčíslit sečítáním kladných násobků dvojky a pětky - najdete ho? Úpravou dostaneme pravdivé tvrzení, které lze dokázat deduktivně, rozdělením na dva případy: Každé přirozené číslo n > 3 lze „zaplatit" sumou pouze dvoukorunových a pětikorunových mincí předaných v jisté obálce nebo kontejneru. Typ důkazu číslo 10: Důkaz existenčního výroku (tedy výroku typu 3xq G M : neplatí V(xq)) nalezením-sestrojením příkladu. Skutečnost, že jistá struktura existuje, zdůvodníme prostě tak, že ji nalezneme či sestrojíme (popíšeme její konstrukci). Příklad 3.5. Dokažte následující existenční výroky pomocí obrázku: a) Čtyři rovnostranné trojúhelníky lze sestavit pomocí 12 zápalek stejné délky. b) Čtyři rovnostranné trojúhelníky lze sestavit pomocí 9 zápalek stejné délky. c) Čtyři rovnostranné trojúhelníky lze sestavit pomocí 6 zápalek stejné délky. 3.2 Cvičení Cvičení 3.1. (na hodině) Uvažujme výrok VnGiV: 3\(n3 + 2n). Dokažte jej a) deduktivním rozdělením na dílčí případy; b) úplnou matematickou indukcí. Cvičení 3.2. (HW) Uvažujme výrok VneJV: 7|(23n+1 + 5). Dokažte jej a) deduktivním rozdělením na dílčí případy; b) úplnou matematickou indukcí. Cvičení 3.3. (HW) Uvažujme výrok VííGJV: A\(nA-n2). Dokažte jej a) deduktivním rozdělením na dílčí případy; b) úplnou matematickou indukcí. 3.2 CVIČENÍ 25 Cvičení 3.4. Dokážte indukcí: a) (na hodině) Vn G N : l2 + 22 + • • • + n2 = n(n+1fn+1); b) (HW) WneN : 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2. Cvičení 3.5. (na hodině) Dokažte sporem, že y/Š není racionální číslo. Cvičení 3.6. (na hodině) Dokažte sporem, že Vn G N : 2\n2 =>- 2\n. Cvičení 3.7. (na hodině) Vyvraťte následující univerzální výroky: a) Wn G N : 4|n2 4|n b) Va,6GÍV: 6|a • 6 =^ 6|aV6|6. Cvičení 3.8. (na hodině) Dokažte nebo vyvraťte: \/n £ N : 6\n2 =^ 6\n. Cvičení 3.9. (na hodině, ale možná se stihne až ve čtvrtém cvičení) Dokažte následující existenční výroky: a) 3a,b G R: (a + b)2 = a2 + b2; b) 3 řešení rovnice x5 + 2x — 5 = 0 na intervalu (1; 2). Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.3. 26 4 OPERACE S MNOŽINAMI, KARTÉZSKÝ SOUČIN MNOŽIN 4 Operace s množinami, kartézský součin množin Po tématu logiky v týdnech 1-3 se budeme v týdnech 4-5 zabývat druhým základním pilířem matematiky, a sice číselnými množinami. To je téma studentům známé, proto jen něco málo o operacích s množinami v této kapitole a o dělitelnosti zejména přirozených a celých čísel v kapitole následující. Návrh plánu přednášky: • Operace A U B, A H B, A: definice jednak Vennovými diagramy, jednak logickým symbolickým zápisem. • Některé vlastnosti těchto operací: de Morganova pravidla, distributivní zákon sjednocení a průniku množin ... dokazujeme nejlépe Vennovými diagramy, typ důkazu č. 11. • Typ 12 důkazu rovnosti množin: Pomocí univerzálního prvku a řetězce ekvivalencí. • Typ 13 důkazu rovnosti množin: Pomocí univerzálního prvku a dvou inkluzí. • Operace označené symboly \, x ... definice Vennovými diagramy, kartézským grafem, a symbolickým logickým zápisem. • x ... vlastně se nejedná o operaci, protože výsledkem je struktura jiného charakteru, s jinými objekty jako prvky (prvky kartézského součinu množin jsou tzv. uspořádané dvojice). • Prozkoumejte některé vlastnosti operací \, asociativitu operace vztah (A \ B) n C = ..., vztah (A\B) + C = .... • Obrázek tří množin v obecné poloze, obrázek čtyř množin v obecné poloze - u čtyř množin dělicí křivky rozdělí rovinu na šestnáct oblastí u tří množin na osm oblastí (pravděpodobně jen obrázek, příklady se stihnou na cvičení). 4.1 Přednáška V kapitole 4 se budeme zabývat pěti druhy množinových operací, a sice sjednocením, průnikem, rozdílem, doplňkem a symetrickým rozdílem. Šestým typem „operace" je kartézský součin množin14, ale jedná se o postup trochu jiné kategorie, protože výsledkem kartézského součinu je množina prvků jiného typu než jsou prvky sjednocení, průniku, doplňku, rozdílu či symetrického rozdílu. Množinou M (definice 20) rozumíme soubor navzájem rozlišitelných15 prvků, o kterých lze jednoznačně rozhodnout, že do něj patří. Prvky množiny budeme vypisovat do složených závorek: • označení 19: Levá závorka { a pravá závorka } označují množinu. 14Pojem operace bude přesně definován v definice 54 kapitoly 6, ale kartézský součin vytváří množiny objektů jiného typu, než jsou vstupní množiny, a proto kartézský součin množin není považován za binární operaci (jako jsou sjednocení, průnik, rozdíl, symetrická diference) nebo unární operaci (jako je doplněk množiny). 15Tj. jeden objekt nemůže být dvakrát prvkem téže množiny: {6, 6} = {6}. 4.1 PŘEDNÁŠKA 27 Například N = {1,2,3,...} označuje množinu přirozených čísel, čísla 1, 2, 3 jsou prvky množiny N. A) Zadávání množiny. Množiny lze zadávat buď výčtem prvků jako v předchozím příkladě, nebo charakteristickou vlastností, jež splňují její prvky. Příklad 4.1. Zadání množiny charakteristickou vlastností: A = {i£i?:0 1 definujeme: p je prvočíslo, jestliže ... h) pro přirozená čísla a, b definujeme: a, b jsou nesoudělná čísla jestliže ... Cvičení 5.5. Naučte se na prověrku důkaz věty 11. Cvičení 5.6. Naučte se na prověrku důkaz věty 12. Cvičení 5.7. Naučte se na prověrku důkaz věty 14. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.5. 41 6 Binární relace a její vlastnosti 6.1 Přednáška Třetí odpovědí na otázku o podstatě matematiky je pojem binární relace na množině. Tento pojem je klíčovým pojmem tohoto předmětu, protože všechny klíčové definice následujících kapitol (uspořádání, ekvivalence, zobrazení, posloupnost funkce) jsou speciálním příkladem relace. Plán šesté přednášky: • Šestá přednáška je kratší, protože první hodina je strávena testíkem. Ve druhé hodině zbyde čas jen na motivaci relace, několik příkladů ze života i z matematiky. • Definice relace: lidová - soubor určitých vazeb-vztahů mezi prvky dvou různých množin (to by byla relace mezi množinami A a B), nebo mezi prvky jedné množiny (to by byla relace na množině A). • Nebo: množina uspořádaných dvojic reprezentujících vazby mezi prvky (daných dvou množin, nebo dané jedné množiny). • A konečně přesná definice relace: nějaká podmnožina kartézského součinu A x B, respektive (u relace na množině) A x A. • Zadání přesné matematické je množinou uspořádaných dvojic. Reprezentace relace bude pro nás nejčastěji pomocí kartézského grafu nebo orientovaného diskrétního grafu. • Průchod definic vlastností relace, (11), anti-(ll), (12), anti-(12), (13), (14); a vždy vysvětlení, jak lze tuto vlastnost poznat z diskrétního grafu (a pokud vyjde čas, tak i z kartézského grafu). • V ideálním případě se zakončí příkladem 6.2, který se zadá studentům, aby si jej do začátku cvičení vytvořili, a tím si poprvé sami prošli uvedených šest vlastností relace. Letos se nestihlo a začínáme tím šesté cvičení. a) Pojem relace V běžném životě užíváme řadu relací mezi prvky dvou různých množin, např. • „mám v rozvrhu" je relace mezi množinou dnů v týdnu a množinou předmětů ve škole; • „má občas k snídani" je relace mezi množinou lidí a množinou potravin (poživatin); Příkladem relací mezi prvky jedné množiny jsou • „je biologickým dítětem" ... relace na množině lidí; zvláštní vlastností této relace je to, že každé dítě je v relaci se dvěma rodiči; • „jeho matka je" ... relace na množině lidí; zvláštní vlastností této relace je to, že jedno dítě je v relaci s jedinou matkou, tj. tato relace splňuje podmínku zobrazení (viz kapitola 10): každé dítě jednoznačně odkazuje na svou matku. 42 6 BINÁRNÍ RELACE A JEJÍ VLASTNOSTI • <, > na množině celých čísel; • | (dělí = je dělitelem) na množině přirozených čísel; • C, D na množině všech podmnožin dané množiny; • atd. Lidově řečeno, relace je množina nějakých vztahů, přičemž každý vztah spojuje dva objekty (dva prvky) buď ze dvou různých množin, nebo z jedné množiny. Platí ovšem ještě jedna věc, kterou splňují všechny výše uvedené příklady: v tomto vztahu mezi dvěma objekty záleží na pořadí, ve kterém je uvádíme - to se rozumí samo sebou, ale zejména v relaci mezi prvky téže množiny si musíme dát pozor, který prvek uvádíme jako první a který jako druhý, aby bylo patrno, např. kdo je matka a kdo dcera; které číslo je menší než to druhé číslo, apod. Nicméně kromě lidové definice musí všichni studenti umět i přesnou, matematickou definici: Definice 31a: relace mezi množinami M\ a M2 je nějaká podmnožina kartézského součinu Mi x M.2- Definice 31b: relace na množině M je nějaká podmnožina kartézského součinu M x M. Prvky relace jsou tedy uspořádané dvojice [x,y], ve kterých záleží na pořadí. Pozor na rozdíl mezi pojmem kartézský součin a relace - kartézský součin je množina všech možných uspořádaných dvojic, které můžeme z daných dílčích množin sestavit; kdežto relací rozumíme každou podmnožinu kartézského součinu. Např. pro M = {1,2,3} je M x M = {[1; 1], [2; 2], [3; 3], [1; 2], [2; 1], [1; 3], [3; 1], [2; 3], [3; 2]}, ovšem např. relace „je ostře menší než" obsahuje jen některé uspořádané dvojice přirozených čísel z kartézského součinu M x M: je ostře menší než = {[1; 2], [1; 3], [2; 3]}. Poznámka: Rozdíl mezi relacemi a operacemi Kromě řady relací se v matematice používá řada operací. O operacích (např. sčítání, odčítání, průnik, sjednocení) bude ještě řeč - nyní jen zmíníme hlavní rozdíl mezi relacemi a operacemi: výsledkem operace * (za hvězdičku si dosaďte např. sčítání, násobení, průnik, apod) mezi dvěma prvky a, b je obecně nějaký třetí prvek a * b (např. 2+3 = 5), kdežto relace jen uvádí do vztahu dané dva prvky a, b (např. 2 < 3). b) Zadání a reprezentace relace: Relaci lze zadávat • výčtem uspořádaných dvojic: například P = {[a, b], [b, a], [b, c], [b, b}}; 6.1 PŘEDNÁŠKA 43 ve shodě s učebním textem [14], str. 17, budeme též relaci vypisovat takovým stylem, že označení relace bude umístěno v zápise mezi danými prvky (podobně jako znak „<" je napsán mezi čísly 2 a 3, tj. v našem příkladu tatáž relace bude zapsaná pomocí vztahů apb, bpa, bpc, bpb. • orientovaným diskrétním grafem, kde prvek [a, b] znázorníme šipkou vycházející z a a směřující do b, prvek [b, b] znázorníme smyčkou z b do b, atd. Tedy v našem příkaldu relace se čtyřmi prvky (= čtyřmi vztahy = čtyřmi dvojicemi) (V a Obrázek 2: Grafová reprezentace relace p - příklad. • maticí, tedy pro tentýž příklad: a b c d a (° 1 0 °\ b 1 1 1 0 c 0 0 0 0 d l o 0 0 o J (na průsečíku prvního řádku (= řádku prvku a) a druhého sloupce (= sloupce prvku b) matice je hodnota 1, protože uspořádaná dvojice [a, b] je prvkem relace p; dále na průsečíku druhého řádku a druhého sloupce matice je 1, protože smyčka [b,b] je prvkem relace p; na třetím a čtvrtém řádku matice jsou samé nuly, protože c ani d není první souřadnicí žádné uspořádané dvojice z p, atd). Čtyřem šipkám v grafové reprezentaci odpovídají čtyři hodnoty 1 v matici relace. Reprezentace maticí je vhodná pro výpočet skládání relací, ale my se tomuto skládání relací nebudeme věnovat. • kartézským grafem viz přednáška, ve skriptech DOPLNIT. Kartézský graf navazuje na definici kartézského součinu - pak relace na množině M (nebo relace mezi množinami A, B) je nějaká podmnožina „kartézské sítě" M x M (či „kartézské sítě" A x B). 44 6 BINÁRNI RELACE A JEJI VLASTNOSTI c) Základní vlastnosti relace: U pojmu relace budeme studovat určité další definované vlastnosti a rysy, to zejména u relace typu 31b, tj. relace na množině M. Příklad 6.1. (vyučující - studenti) V následujících definicích řekněte, (i) jak lze danou vlastnost poznat z grafové reprezentace relace; (ii) uveďte příklad této relace ze života nebo z matematiky. Relace p na množině M se nazývá (kromě čísla identifikujícího danou vlastnost si prosím pamatujte i její název) reflexivní, když \/x G M : xpx (vlastnost (11)) (Slovně: Každý prvek zadané množiny je v relaci se sebou samotným); antireflexivní. když \/x G M : ->(xpx); (vlastnost (anti-11)) (Slovně: Žádný prvek zadané množiny není v relaci se sebou samotným); symetrická, když \/x,y G M : xpy =^ ypx; (vlastnost (12)) (Lidově: každý vztah, který existuje, je oboustranný! Přesně matematicky: Relace může obsahovat uspořádané dvojice stejných prvků a musí s každou dvojicí různých prvků obsahovat i dvojici těchto prvků v opačném pořadí); antisymetrická, když \/x,y G M : (xpy A ypx =^ x = y); (vlastnost (anti-12)) (Lidově: žádný vztah (kromě vztahu k sobě samému) není oboustranný. Přesně matematicky: Relace může obsahovat uspořádané dvojice stejných prvků a nesmí s žádnou dvojicí různých prvků obsahovat také dvojici prvků v opačném pořadí); tranzitivní, když \/x,y, z G M : xpy A ypz =^ xpz; (vlastnost (13)) (Lidově řečeno: Relace dědičnosti, neboli prvek z automaticky zdědí od prvku y i jeho vztah k prvku x. Přesně matematicky: Pokud prvek x je v relaci s prvkem y a prvek y je v relaci s prvkem z, tak musí být i prvek x v relaci s prvkem z); úplná, když \/x,y G M : xpy V ypx; (vlastnost (14)) (Pro každou dvojici prvků (nebo i stejné prvky) musí platit, že prvek x je v relaci s prvkem y nebo prvek y je v relaci s prvkem x). 6.1 PŘEDNÁŠKA 45 Poznámky k úplné relaci. Z definice úplné relace je vidět, že úplná relace je automaticky reflexivní (tj. pro x = y plyne, že xpx. Někdy se úplná relace definuje na základě podmínky, která platí jen pro navzájem různé prvky, tj. zhruba jako \/x, y E M :i/i/4> xpy V ypx; my se ovšem budeme držet té definice úplné relace, která zahrnuje i reflexivitu. Tato rozdílnost v definici zpravidla nehraje roli, protože většina relací, které jsou zajímavé pro naše studium a používané v praxi, jsou úplné a současně reflexivní. A ještě jedna poznámka k úplné relaci: úplná relace stále ještě nemusí být rovna kartézskému součinu daných množin (nebo kartézské mocnině dané množiny): Například relace „<" na množině přirozených čísel je úplná, ale neobsahuje všechny možné uspořádané dvojice z kartézského čtverce (= kartézské druhé mocniny) N x N, protože například [2; 1] není prvkem relace „<". Příklad 6.2. (v trojicích, jen studenti) Vezměte si stránku A4 a rozdělte na osm částí. V každé části nakreslete pět bodů znázorňujících pětiprvkovou množinu, označte je a, b, c, d, e. Do množiny šipkami znázorněte relaci, která 1. je reflexivní, 2. je antireflexivní, 3. není ani reflexivní, ani antireflexivní24, 4. je symetrická, 5. je antisymetrická, 6. není ani symetrická, ani antisymetrická25, 7. je tranzitivní, 8. není tranzitivní. Příklad 6.3. (v trojicích, jen studenti) Jaké vlastnosti splňuje relace | (dělí, je dělitelem) na množině(Z, •)? Relaci | definujeme normálně, jak bychom u dělitelnosti čekali: \/x, y E Z : x\y (3p G Z : y = x ■ p) Příklad 6.4. (vyučující - studenti) Může být některá relace symetrická a antisymetrická současně? Příklad 6.5. (v trojicích, jen studenti) U následujících příkladů rozhodněte, jaké vlastnosti splňují zadané relace: a) Relace < na množině N = {1, 2,3,...}; b) relace || (být rovnoběžný) na množině přímek v rovině; 46 6 BINÁRNÍ RELACE A JEJÍ VLASTNOSTI Obrázek 3: Příklad 6.5.c. c) Relace je zadána grafovou reprezentací26 na obrázku 3: d) Zadání opět grafem27, obrázek 4: Obrázek 4: Příklad 6.5.d. d) Pojem inverzní relace: Definice 32: Inverzní relace p-1 k relaci p je taková relace, která obsahuje právě ty uspořádané dvojice, které byly utvořeny z prvků relace p přehozením pořadí prvků. Tedy platí p-1 = {[y,x]EMxM : [x,y] E p}. Inverzní relaci k zadané relaci sestrojíme velmi jednoduše v grafové reprezentaci -v inverzní relaci se všechny šipky grafové reprezentace otočí opačným směrem (a 24Takové relace existují, protože vlastnosti reflexivity a antireflexivity nejsou si navzájem negacemi, nýbrž „opačnými póly spektra" vzhledem ke sledované vlastnosti. 25Takové relace existují, protože vlastnosti symetrie a antisymetrie nejsou si navzájem negacemi, nýbrž „opačnými póly spektra" vzhledem ke sledované vlastnosti. 26 [14], str.20, obr. 2a. 27[14], str.20, obr. 2b. 6.2 CVIČENÍ 47 smyčky zůstanou, protože na orientaci smyčky v grafové reprezentaci prvku [x; x] nezáleží). V maticové reprezentaci se matice transponuje podle hlavní diagonály, tj. pro ty, kdo ještě nerozumí, o čem je řeč: řádky maticové reprezentace relace p se napíší do sloupců maticové reprezentace relace p_1. Z definice pojmu inverzní relace k relaci na množině je vidět, že pro jakoukoli relaci p její inverzní relace vždy existuje. 6.2 Cvičení Návrh šestého cvičení: • Začneme cvičením 6.3: kolik možných relací existuje na dvojprvkové množině, troj-prvkové množině? ... hodně ... tj. už na malých množinách existují různé možné soubory vztahů-vazeb, neboli relace. • Příklad 6.2 z přednášky, pokud se nestihl už na přednášce. • Doplnění definic, které se nestihly, letos: a) definice antisymetrie, b) alternativní definice antisymetrie, která na levé straně implikace vylučuje rovnost prvků, tj. pak v tvrzení implikace je pro studenty přirozenější varianta: „opačná vazba" mezi dvěma různými prvky je zakázána; c) definice úplné relace; také lze zmínit dvě různá pojetí, u toho, které je ve skriptech napsáno, budeme počítat s tím, že z úplnosti už plyne reflexivita (u úplnosti zejména poznámka-příklad na pětiprvkové množině, že úplnost neznamená, že by relace musela obsahovat všechny vazby). • Některé základní zkoumání relací, budeme procházet každou z vlastností R, AR, S, AS, T, U: — relace rovnobežnosti přímek v rovině; — relace kolmosti přímek v rovině; — relace dělitelnosti na množině přirozených čísel; — relace < na množině přirozených čísel; — relace C na množině 2A všech podmnožin množiny A = {1,2,3,4}; • A ještě skupina příkladů na reprezentaci relace kartézským grafem: — relace p = {[1; 2], [2; 2], [3; 3], [4; 4]}; jaké má tato relace vlastnosti? je tato relace zobrazením? náznak definice zobrazení; co je to první obor relace, co je to druhý obor relace? přesné definice 0±, O2: Pro relaci p mezi množinami X a Y nazveme prvním oborem relace p množinu d := {x G X : By G Y : [x, y] G p} a druhým oborem relace p množinu 02:={yEY: 3x G X : [x, y] G p}. 48 6 BINÁRNÍ RELACE A JEJÍ VLASTNOSTI — relace dělitelnosti na množině {2; 3; 4; 6; 11; 18}; je tato relace zobrazením? přesná definice zobrazení a) pomocí zákazu dvou prvků nad sebou v kartézském grafu;: relace p mezi množinami X a,Y ]e zobrazením, jestliže \/x G X, Vy, z G Y : ([x, y] e p A y Ý z) [x, z] ^ p. b) pomocí formulace „existuje nejvýše jeden prvek": relace p mezi množinami V a V je zobrazením, jestliže \/x G X, 3 nejvýše jeden prvek y E Y : ([x, y] G p. ... formulace je dobrá, ale není zcela bez českých slov, proto preferujme definice a) nebo: c) pomocí tzv. prvního a druhého oboru relace p lze definici b) vylepšit na „existuje právě jeden": relace p mezi množinami V a V je zobrazením, jestliže yx e 01(p) 3\y e 02(p) : [x,y]eP. — pokusme se prozkoumat podmínku tranzitivity z kartézského grafu ohledně návaznosti vazeb mezi čísly 3, 6, 18 z předchozího příkladu ... formulace není jednoduchá, pomocí jistého obdélníku a úhlopříčky obdélníku? Nebudu po vás chtít. Cvičení 6.1. Úvodní cvičení k pojmu relace: Viz realisticky.cz (materiál [18]), matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce, pdf hodina 2102 pro studenty - výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 6.2. Úvodní cvičení k pojmu zobrazení: Viz realisticky.cz (materiál [18]), matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce, pdf hodina 2103 pro studenty - výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 6.3. Nakreslete všechny relace (v grafové reprezentaci) na a) jednoprvkové možině, b) na dvouprvkové množině, c) na tříprvkové množině; d) pokuste se vyslovit větu o počtu všech relací na n—prvkové množině. Cvičení 6.4. Uveďte příklad relace p na množině {1,2,3,4}, která je symetrická a současně není tranzitivní. Cvičení 6.5. Pokud dvě relace p1? p2 jsou obě tranzitivní, pak jejich sjednocení p\ U p2 je také tranzitivní. Dokažte nebo vyvraťte tvrzení v předchozí větě28. Cvičení 6.6. Uveďte příklad relace p na množině {1,2,3,4}, která není ani symetrická, ani antisymetrická a obsahuje mimo jiné také prvky [3; 4] a [4; 3]. Cvičení 6.7. a) Je relace dělitelosti | antisymetrická na množině N? b) Je relace dělitelnosti | antisymetrická i na množině Zl 28Pokud si studenti neví rady, doporučte nakreslení tří obrázků: jeden obrázek pro relaci p1; druhý pro relaci p2 a třetí pro relaci p\ U p2- Dále doporučte studentům tvrzení spíše vyvracet než dokazovat. 6.2 CVIČENÍ 49 Cvičení 6.8. Na množině Z je dána relace p definovaná vztahem xpy x2 = y. Určete její vlastnosti, zejména ověřte (11), anti-(ll), (12), anti-(12), (13), (14). Cvičení 6.9. Negujte vlastnost (12) relace p na množině M, a to důkladněji než jen stylem „není pravda, že". Postup: a) Napište vlastnost (12) symbolickým matematickým zápisem; b) Negujte část (a). Cvičení 6.10. Negujte vlastnost anti-(12) relace pna množině M, a to důkladněji než jen stylem „není pravda, že". Postup: a) Napište vlastnost anti-(12) symbolickým matematickým zápisem; b) Negujte část (a). Cvičení 6.11. Negujte vlastnost (13) relace pna množině M, a to důkladněji než jen stylem „není pravda, že". Postup: a) Napište vlastnost (13) symbolickým matematickým zápisem; b) Negujte část (a). Cvičení 6.12. Podmnožiny X, Y množiny A = {1,2,3,4,5} jsou v relaci p, když X U Y = A. Zjistěte, které z vlastností (11), anti-(ll), (12), anti-(12), (13), (14) platí pro tuto relaci. Cvičení 6.13. Na množině přirozených čísel je dána relace p\ takto: xp±y, když x ■ y je liché číslo. Zjistěte, jaké vlastnosti ((11), anti-(ll), (12), anti-(12), atd.) má tato relace. Cvičení 6.14. Ve fotbalové lize hraje29 v každém ročníku každý tým s každým jiným týmem dva zápasy, z toho jeden zápas se hraje na hřišti jednoho týmu a druhý na hřišti druhého týmu. Definujme relaci ap2& tehdy, když tým A hraje proti týmu B na svém hřišti v daném roce. Určete vlastnosti relace na množině všech týmů ligy v daném ligovém ročníku. Cvičení 6.15. Co se ještě nedělalo z příkladů Bl (tento příklad obsahuje inverzní relaci), B2, B6, B8, B9, BIO, Bil na stranách 48-49 sbírky [17]. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.6. 29Tento systém platil do roku 2018, Od té doby to v první fotbalové lize bude podle všeho fungovat jinak: kromě dvou zápasů každého s každým jsou v daném roce ještě další ligové zápasy s některými soupeři, jakási nadstavbová část. Tuto situaci v příkladu neuvažujte. 50 7 EKVIVALENCE A ROZKLADY 7 Ekvivalence a rozklady V tomto týdnu se budeme zabývat jedním důležitým typem relace, a sice relací ekvivalence na množině - pozor, nezaměňovat s logickou ekvivalencí. Relace ekvivalence je jistým typem binární relace na množině. Nej novější plán přednášky 7: • Ohlasy z testíku (a) ... budou se hodit, protože studenti někteří budou ještě potvrzovat znalosti; • z kapitoly 6 dodělejme ještě inverzní relaci ... definici a příklad < versus > na množina přirozených čísel, příklad C versus D na množině všech podmnožin 2A množiny A. • kapitola 7: příklad základní školy, která má šestnáct tříd samostatných, v každém ročníku dvě ... těchto šestnáct podmnožin množiny všech žáků M tvoří rozklad množiny M. Definice rozkladu množiny. • Relace p určená rozkladem ... znázorníme diskrétním orientovaným grafem (soustavou šipek), určíme vlastnosti této relace: p= {[x,y] G M x M : 3Mi : x G Mt A y G M*}. • Definice relace ekvivalence ... vztah mezi logickou ekvivalencí a relací ekvivalence; každé relace určená (indukovaná) rozkladem množiny na podmnožiny je tedy ekvivalence. • Pokusme se zkoumat na sedmiprvkové množině: Může být nějaká relace ekvivalence daná jinak než rozkladem na podmnožiny? Na několika obrázcích zjišťujeme, že při každé relaci ekvivalence znázorněné orientovaným diskrétním grafem vznikají na tomto grafickém znázornění „shluky prvků", které když umístíme do jedné podmnožiny, dostaneme postupně rozklad množiny M na podmnožiny, resp. systém podmnožin určený ekvivalencí p ... dostaneme podmnožiny Mi = {x G M : 3y G M : xpy). • Shrnutí předchozího bodu: lze jednoduše popsat postup, na základě něhož sestavíme rozklad na podmnožiny určený zadanou relací ekvivalence: a) vybereme libovolný prvek y Neumístěný do žádné vytvářené podmnožiny rozkladu; b) najdeme všechny prvky, které jsou s prvkem y v relaci ekvivalence; ze symetrie relace víme, že vazby existují i „opačným směrem"; a z tranzitivity relace víme, že vlastně mezi takto vybranými prvky existují úplně všechny vazby; c) smyčky existují kolem každého prvku, to plyne z reflexivity naší relace; d) opakováním kroků a),b) dostáváme různé podmnožiny hledaného rozkladu ... tento rozklad nazveme rozklad určený-utvořený-indukovaný zadanou ekvivalencí; • Důležitým příkladem relace ekvivalence je kongruence modulo 5, viz příklad v textu; protože se jedná o relaci ekvivalence, lze sestrojit rozklad množiny Z na pět podmnožin. Množina těchto podmnožin {Mi, M2, ■ ■ ■, Mk} (rozklad určený ekvivalencí) se nazývá faktormnožina, nebo též rozkladová množina určená zadanou ekvivalencí. 7.1 PŘEDNÁŠKA 51 7.1 Přednáška Definice 33: Relace p na množině M se nazývá ekvivalence, pokud splňuje vlastnosti (11), (12) a (13). Příklad 7.1. Relace rovnoběžnosti na množině přímek v rovině je ekvivalence (viz příklad 6.5.b). Ověřte, že platí vlastnosti (11), (12), (13). Příklad 7.2. Na množině všech zlomků existuje známá ekvivalence p mezi těmi zlomky, které všechny lze zkrátit najeden základní tvar. Tuto relaci ekvivalence na množině Q všech zlomků lze definovat takto: a c b'd G p tehdy, když platí ad = bc. Například | je číslo ekvivalentní s číslem ||, které lze převést na | vykráčením čitatele i jmenovatele pěti (platí tedy definiční podmínka 3 • 25 = 5 • 15). Nebo číslo ^ je v ekvivalenci s číslem -^p, které lze převést na ^ vykráčením třemi (protože platí (—1) -9 = 3- (—3)), atd. S pojmem relace ekvivalence velmi úzce souvisí další pojem, a to rozklad množiny. Definice 34: Řekneme, že systém podmnožin Mi množiny M tvoří rozklad množiny M, když a) Mi ý 0; b) \Ji=1_nMi = M; c) M,t n Mj = 0 pro i Ý j- Tj. ad a) množiny MJsou neprázdné, ad b) sjednocením množin Mj je celá množina M, a ad c) množiny Mi jsou po dvou disjunktní, tj. každé dvě z nich mají prázdný průnik. Příklad 7.3. Vypište (a znázorněte graficky) všechny možné rozklady tříprvkové množiny M = {a, b, c}. Řešení: viz příprava ... takových možných rozkladů existuje pět: a) rozklad M na tři jednoprvkové podmožiny, b) rozklad M na M\ = {a,b}, M2 = {c}; c) rozklad M na M\ = {a, c} a M2 = {b}; d) rozklad M na M\ = {b, c} a M2 = {a}; e) a konečně, rozklad M na jedinou tříprvkovou podmnožinu M\ := M. □ Pojem rozkladu je spojen s definicí ekvivalence následujícími dvěma způsoby: 52 7 EKVIVALENCE A ROZKLADY A) Konstrukce ekvivalence na základě rozkladu Je zadán rozklad množiny M - definujeme-li relaci E vztahem xEy x,y E Mi pro nějaké i, (prvky x, y jsou v relaci, když leží ve stejné třídě rozkladu), pak tato relace je ekvivalence a nazývá se relace určená (= indukovaná) rozkladem množiny M (definice 35). Příklad 7.4. Napište relaci ekvivalence indukované (= určené) každým z rozkladů tříprvkové množiny M = {a, b, c} v předchozím příkladu. Příklad 7.5. (jen studenti) a) Nakreslete všechny možné rozklady čtyřprvkové množiny M = {a, b, c, d}; b) jinou barvou do diagramů těchto rozkladů vyznačte (pomocí grafové reprezentace) relaci ekvivalence indukovanou vždy daným rozkladem. Na obě části úkolu máte dohromady deset minut. B) Konstrukce rozkladu na základě ekvivalence Je zadána ekvivalence E na množině M - definujeme-li rozklad M způsobem „v jedné třídě rozkladu leží právě ty prvky, které jsou navzájem všechny po dvojicích ekvivalentní", dostaneme také strukturu označenou stejně jako v předchozí definici s tím rozdílem, že první nebylo vejce, ale slepice (promiňte - první nebyl rozklad, ale ekvivalence), a množina M j e se nazývá (definice 36) faktorová množina množiny M podle ekvivalence E, nebo krátce faktormnožina30. značíme (označení 31) M/E := {M1,M2,...,Mn}. Pro upřesnění, které se nám bude hodit v předmětu Algebra 1, dodejme, že jednotlivé třídy Mi považujeme za prvky této faktormnožiny M/e- Ad příklad 7.2. Pokud se vrátíme k relaci = (rovnost zlomků), tak v jedné třídě rozkladu Q/= jsou právě ty zlomky, které lze krácením či rozšířením převést navzájem jeden na druhý. Říkáme, že každá třída rozkladu označuje jedno racionální číslo — a toto číslo lze reprezentovat libovolným zlomkem z dané třídy. Tedy racionální číslo je označení pro celou množinu zlomků, z nichž všechny mají tentýž jediný obraz na reálné ose! To je důležitý rozdíl mezi pojmem zlomku a pojmem racionálního čísla, který lze vyjádřit právě pomocí rozkladu množiny všech zlomků podle uvažované ekvivalence. Než přikročíme k důležitému příkladu 7.6, definujeme na množině Z relaci kongruence: • Definice 37: celá čísla a, b jsou kongruentní podle modulu n, pokud n\(b — a); • Označení 32 vztahu z definice 37: a = b (mod n); Příklad 7.6. Podle relace kongruence podle modulu 5 lze množinu celých čísel rozdělit do pěti podmnožin. V této situaci lze nyní říci: 30Česky: rozkladová množina (ale vžil se anglický název, FACTOR (jako sloveso) znamená ROZLOŽIT). 7.2 CVIČENÍ 53 Obrázek 5: Množina zbytkových tříd Z5 a) Označíme-li znakem E danou relaci kongruence, můžeme psát xEy, když x, y náleží do stejné podmnožiny rozkladu ... tato relace je relací ekvivalence na Z (je to relace reflexivní (např. 5 = 5), symetrická (např. 5 = 10 implikuje31, že 10 = 5), tranzitivní (5 = 10, 10 = 30 ^5 = 30). b) Označíme-li tyto podmnožiny M0 := [0], M1 := [1], M2 := [2], M3 := [3], M4 := [4], tak systém podmnožin {M0, M1} M2, M3, M^} tvoří rozklad množiny Z podle ekvivalence E. c) Když se na Mg přestaneme dívat jako na množiny a začneme se na ně dívat jako na prvky, dostaneme pětiprvkovou množinu Z/e :={M1,M2,M3,M4,M5}, kde všechna čísla v každé množině Mi jsme ztotožnili v jedno a označili za jediný prvek. Je to faktorová množina (= rozkladová množina) množiny Z podle ekvivalence E, nebo krátce faktormnožina. □ Relace E kongruence podle modulu 5 a k ní příslušná faktormnožina jsou důležitým příkladem „ze života" = ze situací matematiky na SŠ i ZŠ: v jedné třídě ekvivalence i? jsou právě ta celá čísla, které mají po vydělení pěti tentýž NEZÁPORNÝ zbytek VE SMYSLU VETY 11, neboli jejich obrazy na číselné ose jsou stejně vzdáleny směrem doprava od obrazu nejbližšího celočíselného násobku čísla 5 o úsek stejné délky. 7.2 Cvičení Návrh cvičení 7: • rozdání testíků; další příklady z kapitoly 6 budou v rámci domácího úkolu (přípravy na testík-b). Nyní se pustíme do kapitoly 7. 31Cesky: z toho plyne, že ... 54 7 EKVIVALENCE A ROZKLADY • Kolik existuje rozkladů množiny {a, b, c} na podmnožiny? Nakreslete všechny tyto rozklady graficky na tabuli. • Kolik existuje rozkladů množiny {a, b, c, d] na podmnožiny? Nakreslete všechny tyto rozklady graficky na tabuli. • Co je to vlastně rozklad? • Nakreslete do obrázků některých rozkladů čtyřprvkové množiny relaci určenou těmito podmnožinami: p = {[x,y] e M x M : 3Mi taková, že x E M,t A y E Mi}. Určete vlastnosti této relace ... R,S,T (tj relace ekvivalence). • Na množině {1,2,3,4,5,6,7,8} nakreslete podmnožiny M\ = {1,2,3}, M2 = {3,6,7,8}, M3 = {3,4,5,6} ... pomocí soustavy šipek (orientovaného diskrétního grafu) znázorněte relaci určenou těmito podmnožinami ... a určete její vlastnosti ... tato relace není R,S,T ... jak je to možné? • Shrnutí posledních dvou příkladů: relace určená systémem podmnožin je ekvivalence, jen když tento systém podmnožin množiny M je rozkladem množiny M. • Na množině Z je definována relace =6 kongruence modulo 6 ... vypište několik vazeb z této relace ... jaké má tato relace vlastnosti? Někdo jiný: Nakreslete systém podmnožin množiny Z určený zadanou kongruencí (nemusíte v něm už dělat šipky jednotlivých vazeb): vytváříme tedy všechny možné (napiš na tabuli, ale spíše obecně se znakem p a systém podmnožin určený ekvivalencí p) podmnožiny M,, = {x E M : 3y E M : xpy). • Shrnutí předchozího příkladu: rozklad množiny Z na systém podmnožin {Zq, Zi, Z2, Z3, Z4, Z$} se nazývá faktor množina (rozkladová množina) určená ekvivalencí =g, označujeme Z/=6 '■= {Z0, Zi, Z2, Z3, Z4, z5}. na množině Q všech zlomků lze definovat relaci p takto: a c b'ď. E p tehdy, když platí ad = bc. Vypište si několik konkrétních vazeb v této relaci, a pak určete její vlastnosti. Jestliže se jedná o ekvivalenci, někdo další: nakreslete rozklad množiny Q na podmnožiny určený danou ekvivalencí (vlastně: nakreslete faktormnožinu Q/p). • Shrnutí předchozího příkladu: racionální číslo je vlastně jeden prvek vytvořené fak-tormnožiny: soubor všech možných zlomků, které mají stále stejnou hodnotu, definuje jedno racionální číslo. viz cvičení 7.3 níže • viz cvičení 7.4 níže. 7.2 CVIČENÍ 55 • Zbylá cvičení níže jsou za domácí úkol. Cvičení 7.1. V relaci ekvivalence E jsou navzájem ty prvky z množiny M = {1,2,... ,20}, které dávají po vydělení číslem 4 stejný zbytek. Popište (nebo nakreslete) faktormnožinu M/e množiny M podle relace E. Cvičení 7.2. Je zadán rozklad množiny M na podmnožiny M\ = {1,3,5}, M2 = {2,4,10}, M3 = {6,7,8}, M4 = {9}. Popište (nebo nakreslete) relaci ekvivalence indukovanou (určenou) tímto rozkladem. Cvičení 7.3. Na množině reálných čísel je definován rozklad na dvě podmnožiny: Mi tvoří všechna kladná reálná čísla a nula; M2 tvoří všechna záporná čísla. Definujte symbolickým zápisem (charakteristickou vlastností množiny) relaci ekvivalence určenou (indukovanou) tímto rozkladem. Cvičení 7.4. Na množině {|, ^, |, f, |, f, f, f,\, §} definujte nějakou užitečnou (tu nejznámější či nej přirozenější) relaci ekvivalence E (řekněte, kdy jsou dva prvky ve vztahu relačním) a nakreslete obrázek faktormnožiny podle této ekvivalence. Dokončete i zápis: M/p = {...} Cvičení 7.5. Uveďte příklad ekvivalence p na množině reálných čísel, aby rozklad R/p této množiny určený ekvivalencí p měl dvě třídy. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.7. 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY, MAXIMÁLNÍ PRVEK, NEJVĚTŠÍ PRVEK, 56 SUPREMUM 8 Uspořádané množiny, maximální prvek, největší prvek, supremum V tomto týdnu budeme procházet vlastnosti dalšího důležitého typu binární relace, a sice relace uspořádání. 8.1 Přednáška V této přednášce se budeme zaobírat teoretickým zázemím pro dvě důležité struktury, které se objevují dokonce i na základní škole: struktura všech podmnožin dané množiny (s relací „být podmnožinou") a množina přirozených čísel s relací dělitelnosti. a) Pojem uspořádané množiny Příklad 8.1. (ve trojicích, jen studenti) Jaké vlastnosti splňuje relace na obrázku32 číslo 6? Relace podobného typu, jako je ta na obrázku, jsou v matematice natolik důležité, že mají své jméno a budeme se jim věnovat téměř dva týdny naší exkurze po základních pojmech matematiky. Kupodivu si lze položit otázku: co mají společného relace < na množině racionálních čísel, relace C (být podmnožinou) na množině všech podmnožin jisté množiny a relace dělitelnosti | na množině všech přirozených čísel. Jedná se o tři různé vztahy mezi prvky různého charakteru, a přesto mají tyto tři základní relace v matematických přístupech na základní a střední škole něco společného, co je charakterizuje. A tak dříve než v navazujících semestrech se budeme věnovat tomu, co a jak učit na základní (a střední) škole v matematice, nyní v tomto vysokoškolském úvodu do studia matematiky, se chvíli podívejme na otázku, kterou by si položili studenti v kursu „matematika pro dospělé": co mají relace „menší nebo rovno", „je podmnožinou" a „je dělitelem" společného? Ukazuje se, že tyto celkem různorodé relace mají společné celkem tři vlastnosti: (11), anti-(12) a (13). Matematicky hloubavý člověk v této situaci zbystří, odstoupí od konkrétních středoškolských operací a studuje právě jen i obecné struktury, Obrázek 6: 32 [14], str.24. 8.1 PŘEDNÁŠKA 57 které splňují uvedené tři vlastnosti - tyto struktury se nazývají uspořádané množiny. Definice 38: Binární relace na množině P, která je reflexivní (11), antisymetrická (anti-12) a tranzitivní (13), se nazývá uspořádání. Množina P, na které je definovaná relace uspořádání, se nazývá částečně uspořádaná množina - v textu [14]33 je označována poněkud nezvyklým termínem poset (z anglického Partially Ordered SET)34. Poznámka: obecné označení relace uspořádání. Ikdyž relace uspořádání je blízká relaci < (respektive < je čtenáři známým příkladem uspořádání), budeme ji označovat (v souladu s textem [14]) obecnějším symbolem <, který zaručuje, že se ne vždy bude jednat o relaci zcela totožnou s klasickou relací < na množině celých či reálných čísel. Obecnou uspořádanou množinu budeme tedy zapisovat zápisem (P, <). Poznámka: Hasseův diagram Definice 39: Pro relaci uspořádání zavádíme kromě grafové reprezentace přehlednější strukturu, a sice tzv. Hasseův diagram, ve kterém 1. reflexivitu (= smyčky) nevyznačujeme, protože ji automaticky předpokládáme u všech prvků uspořádané množiny; 2. šipky odstraníme tak, že Hasseův diagram jednoznačně orientujeme zdola nahoru, a pak místo šipek spojujeme prvky neorientovanou úsečkou - jestliže prvek je spojen s jiným prvkem umístěným výše v diagramu, tak je s ním v relaci; 3. hranami vyznačíme jen bezprostředně následující prvky - ostatní šipky vyplývající z tranzitivity nevykreslujeme; pak pokud x < y, tak je mezi prvky x a, y řetězec spojů mezi bezprostředními předchůdci a následovníky; 4. antisymetrie bude z nákresů patrna též - ta ovšem spočívá spíše v neexistenci oboustranných šipek mezi různými prvky (a právě díky neexistenci oboustranných šipek na stejné úrovni můžeme orientaci šipek z částečně uspořádané množiny odstranit -hrany v Hasseově diagramu tedy vždy směřují zdola nahoru, tj. dolní prvek hrany je prvním prvkem dané uspořádané dvojice). Příklad 8.2 — Hasseův diagram. Pro ilustraci je na obrázku 7 nakreslen Hasseův diagram pro pětiprvkovou množinu P = {a, 6, c, d, e} a relaci p na P definovanou výčtem uspořádaných dvojic: p = {[a,o], [6,6], [c,c], [d,d], [e,e], [a,d], [d,e], [a,e], [b,d], [d,e], [6,e]}. Příklad 8.3 ilustrační — Hasseův diagram: Překreslete relaci uspořádání z úvodního příkladu této kapitoly (obr. 6) do Hasseova diagramu (zde není provedeno). 33Str.23, definice 1.6. 34Je to skutečně neobvyklý termín pro češtinu, až extrémní - ale navrhuji jej autorovi, panu Kopkovi, odpustit, určitě jej použil s dobrým záměrem, aby studenti a vyučující nemuseli stále vypisovat dlouhý termín částečně uspořádaná množina. 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY, MAXIMÁLNÍ PRVEK, NEJVĚTŠÍ PRVEK, 58 SUPREMUM Obrázek 7: Hasseův diagram relace uspořádání. Příklad 8.4. (úkol pro studenty) Nakreslete Hasseovy diagramy všech různých (až na přeznačení prvků) tříprvkových posetu35. Označení 33: Pokud (P, <) je poset, označme symbolem < relaci uspořádání (reflexivní, antisymetrická, tranzitivní) a symbolem < relaci ostré uspořádání na množině P, pokud < je antireflexivní (anti-11), antisymetrická (anti-12) a tranzitivní (13) (ostré uspořádání je tedy uspořádání zbavené reflexivity, nemůže nastat x označujeme relaci inverzní k relaci relaci inverzní k <|. B) Význačné prvky posetu: Pokud (P, <) je poset, M ^ 0 je podmnožina množiny P, tak prvek a E M nazveme a) (definice 40) nejmenší prvek množiny M, když VxGM: a < x; b) (definice 41) minimální prvek množiny M, když /9 x G M : x < a; 35 Jedno prvkový poset je až na přeznačení jeden, dvouprvkové posety jsou dva. 36 Pomocí ostrého uspořádání < a relace bezprostředního předchůdce -< lze lépe popsat konstrukci Hasseových diagramů: vyznačujeme v nich hranami pouze relaci bezprostředního předchůdce ([14], str.30, lemma 4). Pro konečný poset (P, <) a jeho prvky a, b G P tedy platí: a < b (ostře menší než) znamená, že v množině P existuje řetězec bezprostředních následovníků a = xq -< x\ -< -< ■ ■ ■ -< xn = b. 11 PREDNÁŠKA 59 c) (definice 42) největší prvek množiny M, když Vx E M : a>x; d) (definice 43) maximální prvek množiny M, když /Q x a. Příklad 8.5 ilustrační. Ad obrázek 8: V tříprvkové množině M s uspořádáním zadaným v Hasseově diagramu je 1 prvek minimální a nej menší současně, a dále 3 je prvek maximální a největší současně. V množině N s klasickým uspořádáním < je nejmenší prvek 1 a číslo 1 je též minimální prvek. Největší prvek množiny N neexistuje. M- 'i 8 I ť H' M r « o Obrázek 8: Dva příklady posetu. Dále na obrázku 9 je množina M, ve které a je minimální i nejmenší prvek současně. Na druhé straně, největší prvek tato množina nemá - má pouze dva maximálni prvky c, d. Obrázek 9: Rozdíl mezi maximálním a největším prvkem. Tj. maximální prvek množiny M je takový, „nad kterým" už není v této množině žádný prvek. Na druhé straně největší prvek musí být srovnatelný (= v relaci) se všemi prvky množiny M a musí být větší nebo roven než libovolný z nich. * Označení 36: Symbol 2A označuje množinu všech podmnožin množiny A. Například množina A = {1,2,3} má osm podmnožin: prázdnou množinu, tři jednoprvkové 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY, MAXIMÁLNÍ PRVEK, NEJVĚTŠÍ PRVEK, 60 SUPREMUM podmnožiny, tři dvouprvkové podmnožiny a osmou podmnožinou je množina A samotná. Označení má svou logiku: pokud A má n prvků, jejích všech možných podmnožin je 2n. Příklad 8.6. Dva důležité příklady posetu. a) Relace C na množině 2P všech možných podmnožin množiny P = {1,2,3} je poset, jeho Hasseův diagram je na obrázku 10: b) Na množině N definujme uspořádání pomocí dělitelnosti, tj. a < b a\b. Pak (N, <) je poset, který má nekonečně mnoho prvků. Na obrázku 11 je nakreslena jen jeho dolní část: Ze struktury dělitelů vidíme, že např. číslo 24 má dělitele 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 a 24). Příklad 8.7 — úkol pro studenty. Nakreslete Hasseovský diagram posetu všech kladných dělitelů čísla 60 vzhledem k relaci |. 8.1 PŘEDNÁŠKA 61 Podívejme se nyní na další význačné prvky v posetech: Když (P, <) je poset a M je nějaká neprázdná podmnožina množiny P, nazýváme prvek a E P (pokud takový prvek existuje): • (definice 44) dolní závora množiny M, pokud a < x Ví G M; • (definice 45) infimum množiny M (označujeme inf M), pokud je největším prvkem na množině všech dolních závor množiny M; tj. a je infimum, pokud pro všechny další dolní závory d platí d d < a; • (definice 46) horní závora množiny M, pokud a > x Ví G M; • (definice 47) supremum množiny M (označujeme supM), pokud je nejmenším prvkem na množině všech horních závor množiny M. Tj. a je supremum, pokud pro všechny další holní závory h platí h>x Vx E M => h j> a; Nej důležitějším postřehem k předchozím definicím je asi to, že závory nebo infima-suprema množiny M nemusí samy být prvky množiny M\\ Obecně závora, infimum či supremum je prvek množiny P, který může a nemusí ležet v dané množině M. Příklad 8.8 ilustrační. a) Například v posetu přirozených čísel s uspořádáním zadaným dělitelností těchto čísel (obr. 11) uvažujme množinu M = {12,8,20}. Dolní závorou množiny M jsou čísla 1, 2, 4 (společní dělitelé prvků v množině M), a tedy infimem je číslo 4 jako největší z těchto prvků (tj. infimem v (N, |) je největší společný dělitel prvků v množině M. Analogicky horní závorou množiny M jsou společné násobky čísel 12, 8, 20, tj. čísla 120, 240, 360, atd., a tedy supremem je nejmenší horní závora, tedy číslo 120. b) V posetu podmnožin tříprvkové množiny (obr. 10) například platí inf{{l,2},{l,3}} = {l,2}n{l,3} = {l}, inf{{l,2},{2},{2,3}} = {2}, tedy infimem několika prvků je jejich vzájemný průnik, sup{{l,2},{l}} = {l,2}U{l} = {l,2} (supremem několika množin v dané struktuře je jejich sjednocení). Příklad 8.9. úkol pro studenty Najděte suprema množin na obrázku 12, pokud existují (studenti sami). Pokud už zhruba známe pojmy infima a suprema podmnožiny M posetu P, budiž řečeno, že definice 48) svaz je takový poset, v němž pro každou dvouprvkovou 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY, MAXIMÁLNÍ PRVEK, NEJVĚTŠÍ PRVEK, 62 SUPREMUM Obrázek 12: Příklad suprem dvouprvkových podmnožin posetu. podmnožinu {x, y} existuje její supremum i infimum. Označení „svaz" je trefné: každé dva prvky x, y svazu jsou v příslušném Hasseově diagramu „svázány" zdola infimem a shora supremem. Ve smyslu tohoto pojmu jsou oba významné posety z příkladu 8.8 svazy - konstrukce infim a suprem je popsána v příkladu 8.8. 8.2 Cvičení Přehled cvičení osmého: • Kontrola úkolu z přednášky, i když ještě pojmy suprema a infima nebyly zopakovány: nakreslete Hasseho diagram všech přirozených dělitelů čísla 60 uspořádaných podle 8.2 CVIČENÍ 63 relace „je dělitelem". Vybereme nějakou tříprvkovou podmnožinu M a pokusíme se od studentů vyzvědět, jaké je její supremum a infimum (pojmy ještě budou probrány později, ale nyní jen upozorníme na skutečnost, že sup(M) je nejmenším společným násobkem všech prvků v M, inf(M) je největší společný dělitel všech prvků v M). • Kontrola úkolu z přednášky, i když ještě pojmy suprema a infima nebyly zopakovány: nakreslete Hasseho diagram všech podmnožin množiny {1,2,3,4} uspořádaných podle relace „je podmnožinou". Vybereme dvě nesrovnatelné podmnožiny do množiny M, jaké je její supremum a infimum? Pojmy ještě budou probrány později, nyní jen upozorníme na skutečnost, že sup(M) vznikne sjednocením všech podmnožin v M, inf(M) vznikne průnikem všech podmnožin v M ... tyto dva školy tedy slouží jako motivace pojmů, které budou v dnešním cvičení následovat. • Nyní po motivaci vše popořadě: Jaké vlastnosti má relace dělitelnosti na NI Právě takové, že pro ni lze nakreslit Hasseho diagram. Jak v Hasseho diagramu realizujeme reflexivitu? Jak antisymetrii? (orientací všech vazeb jedním směrem, a sice zdola nahoru) Jak tranzitivitu? (ta vyplývá z cesty zdola nahoru vytvořené z vazeb mezi bezprostředními předchůdci a následníky). • Cvičení 8.12 .... jaké má daná relace vlastnosti? jestliže R, AS, T, tak lze pro ni vytvořit Hasseho diagram - pokuste se o to. Toto cvičení motivuje název relace uspořádání: Prvky lze USPOŘÁDAT do Hasseho diagramu. • Naopak cvičení 8.1, a nebo jen pro relaci na {a,b,c,d} zadanou pomocí „písmene Y postaveného na hlavu": Vypište relaci p zadanou tímto Hasseho diagramem ... nesmíme zapomenout na to, že máme „vyčíst" z Hasseho diagramu i vztahy reflexivní i vztahy tranzitivní. Tj. studenti musí být z Hasseho diagramu schopni vyčíst celou relaci, jak jsme ji zadávali či vypisovali v předchozích dvou týdnech. • K tabuli jdou čtyři studenti současně, měli by každý napsat definici: a),b) a G M je minimální-nejmenší prvek množiny M, c),d) b G M je maximální-největší prvek množiny M, jestliže ... Komentář k definicím: definice maximálního-minimálního prvku z přednášky jsou řečeny pouze formou jB ..., přeformulujme je nějak pozitivně: u minimálního prvku a platí \/x G M — {a} : x ft a, u maximálního prvku b platí Vx G M - {b} : x ý- b (omlouvám se, ale nemohu v Tex najít symbol <, O, který lze dobře přeškrtnout ... tedy použil jsem symbol přeškrtnutého běžného znaménka, i když se jedná o obecnou relaci uspořádání). • Studenti musí vědět, co to jsou nesrovnatelné prvky (cvičení 8.8). • Cvičení 8.6, 8.7 ... trocha práce s maximálními a minimálními prvky. 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY, MAXIMÁLNÍ PRVEK, NEJVĚTŠÍ PRVEK, 64 SUPREMUM • K tabuli jdou čtyři studenti současně, měli by každý napsat definici: a) d G P je dolní závora množiny M, jestliže ... b) a G -P je infimum množiny M, jestliže ... c) h G P je horní závora množiny M, jestliže ... d) b G -P je supremum množiny M, jestliže ... Lze tolerovat i definici infima a = nejv(D(M)), kde D(M) = {d : Vx G M : d < x}, a podobně i definici suprema b = nejm(H(M)), kde H (M) = {h : Vx G M : x < h}. • Nyní nastává tedy důkladné procvičení těchto čtyř pojmů, k tabuli jdou další čtyři studenti, nakreslí každý Hasseho diagram množiny P a v něm označí bublinou množinu M C P, aby a) sup(M) G M, b) sup(M) ^ M, c) sup(M) neex. a současně #(M) = 0, d) sup(M) neex. a současně H(M) ^ 0. • Totéž pro infimum: k tabuli jdou další čtyři studenti, nakreslí každý Hasseho diagram množiny P a v něm označí bublinou množinu M C P, aby a) in f {M) G M, b) in f {M) ^ M, c) in f {M) neex. a současně D(M) = 0, d) in f (M) neex. a současně D (m) ý 0- Tato a předchozí odrážka má upozornit na skutečnost, že horní-dolní závory mohou a nemusí existovat, a také mohou a nemusí být obsaženy v samotné množině M, kterou „zavírají". • Závěrečné cvičení se týká cvičení 8.5, ale z pěti uvedených množin (viz obrázek na konci textu ke cvičení 8.5) vyučující nakreslí na tabuli jen tři obrázky, Mi, M%, M$, každou na jinou část tabule ... množiny jsou v bublinách, to, co je přesahuje, jsou nějaké další prvky množiny P. A nyní je úkolem tří studentů, kteří jdou k tabuli, vypsat všech osm následujících charakteristik: a) nejv(M) = ... , b) Max(M) = ..., c) nejm(M) = ..., d) Min(M) = ..., e) D(M) = ...,{) inf(M) = ..., g) H(M) = ...» sup(M) = .... Studenti si jdou sednout, kontrola jednotlivých položek a vysvětlení, kde udělali chybu. • To je vše, na některých cvičeních se stihlo i cvičení 8.4, ale na jiných ne a zůstává za domácí úkol, jako i další cvičení, co se nestihla ... výsledky téměř všech těchto cvičení jsou na konci textu. Cvičení 8.1. • i) Vypište podle Hasseova diagramu relaci < výčtem uspořádaných dvojic na obrázku 13: a) poset (a); b) poset (b)37; • ii) Vypište podle Hasseova diagramu obou posetu relaci < ostrého uspořádání; • iii) Vypište podle Hasseova diagramu obou posetu relaci -< bezprostředního předchůdce. 8.2 CVIČENÍ 65 Obrázek 13: Uspořádané množiny (a) a (b). Cvičení 8.2. Nakreslete Hasseův diagram posetu 2P pro P = {1,2,3,4} - pro zjednodušení k uzlům diagramu nevpisujte závorky a čárky, tj. množiny budou označeny jen znaky prvků: např 0, 12, 124 jsou označení různých množin. * Cvičení 8.3. Nakreslete Hasseův diagram posetu všech kladných dělitelů čísla 144 vzhledem k relaci dělitelnosti beze zbytku. Cvičení 8.4. Nakreslete Hasseovy diagramy všech různých (až na přeznačení prvků) čtyřprvkových posetu. Cvičení 8.5. Jaký je rozdíl mezi minimálním prvkem, nejmenším prvkem a infimem množiny Ml Cvičení 8.6. Uveďte příklad pětiprvkového posetu, který má právě dva prvky maximální a právě tři prvky minimální. Cvičení 8.7. Nalezněte poset, který má právě jeden maximální prvek, ale nemá největší prvek. Cvičení 8.8. Uveďte příklad posetu, který obsahuje nějaké dva nesrovnatelné prvky - uveďte, které to jsou. Cvičení 8.9. Uveďte příklad pětiprvkového posetu, ve kterém současně platí všechny následující podmínky: a) v Hasseově diagramu jsou znázorněny minimálně čtyři hrany. b) Platí a < b a současně b < c. c) Každý prvek je srovnatelný aspoň s jedním dalším prvkem. d) Existují v něm tři prvky, které jsou navzájem mezi sebou nesrovnatelné. [14], str.28, obrázky 5a,5b. 8 USPOŘÁDANÉ MNOŽINY, MAXIMÁLNÍ PRVEK, NEJVĚTŠÍ PRVEK, 66 SUPREMUM Cvičení 8.10. a) uveďte definici nej většího prvku: x0 z posetu (P, <) je nej větší prvek množiny M C P, když ... (pokračujte zkráceným matematický zápisem); b) negujte předchozí definici, tj.: x0 z posetu (P, <) není největší prvek množiny M C P, když ... (pokračujte zkráceným matematický zápisem - nestačí přitom položit znak negace před část a), proveďte tuto negaci podrobněji); Cvičení 8.11. a) Vysvětlete, co je to Hasseův diagram (jak je v něm zachycen vztah [x,y] relace? jaké relace pomocí Hasseova diagramu popisujeme?) a jak jsou v něm zachyceny vlastnosti (11), anti-(12) a (13). b) Nakreslete Hasseův diagram množiny všech kladných dělitelů čísla 72 uspořádané vzhledem k relaci | (= je dělitelem). Cvičení 8.12. Relace je zadána grafovou reprezentací (viz obrázek 14). Zjistěte, zda se jedná o uspořádání, a pokud ano, překreslete tuto relaci do Hasseova diagramu. Pokud ne, uveďte, která vlastnost uspořádání není splněna. c3 Obrázek 14: Ke cvičení 8.12: Relace zadaná grafovou reprezentací. Cvičení 8.13. a) Na posetu (P, <) uvažujme neprázdnou podmnožinu M. Číslo m je infimum množiny M v tomto posetu, když ... dokončete definici: b) Na posetu (N, |) přirozených čísel uspořádaných podle relace „dělí běze zbytku", máme podmnožinu M = {8,12, 30}. Nalezněte infM a supM. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.8. 67 9 Zobrazení, posloupnost, funkce, operace Už čtvrtou přednášku se zabýváme pojmem relace, a tento oddíl tomu bude nejinak -podíváme se na definici jedné z relací, která jev matematice klíčová, a to je zobrazení38, a budeme studovat některé vlastnosti tohoto pojmu. Přednáška 9 se odehraje víceméně podle následujícího textu. 9.1 Přednáška Definice 49: Relace / na kartézském součinu X x Y se nazývá zobrazení z množiny X do množiny Y, jestliže pro ni platí podmínka Wx G X, y, z G Y : [x, y] G / A [x, z] G / => y = z (tj. v grafové reprezentaci zobrazení nemohou z prvku x vycházet orientované hrany do dvou různých prvků y, z množiny Y). Na obrázku 15 je znázorněn příklad relace, která není zobrazením. Obrázek 15: Příklad relace /, která není zobrazením. Ekvivalentní definice zobrazení: Relace / na kartézském součinu X x Y se nazývá zobrazení z množiny X do množiny Y, jestliže pro ni platí podmínka Wx G X, y, z G Y : [x, y] G / A y Ý z => [x; z] f (jestliže prvek x je v relaci s prvkem y, pak už nemůže být v relaci s žádným dalším prvkem z). Dále definujeme (definice 50) definiční obor zobrazení / jako množinu D(f) těch prvků z X, které jsou v relaci / s některým z prvků množiny Y, neboli ve stručném matematickém zápisu D(f) = {xeX: ByeY : [x,y] e f} a (definice 51) obor hodnot zobrazení / jako množinu Im(f) těch prvků z Y, se kterými jev relaci / aspoň jeden prvek množiny X, neboli H(f) = {yeY: 3x G X : [x,y]ef}. V této kapitole bude využit výklad z knihy [8], kapitola 6. 68 9 ZOBRAZENÍ, POSLOUPNOST, FUNKCE, OPERACE Poznámka: ekvivalentní zápis zobrazení prvků. Pokud je / zobrazení z X do Y, tak pro [x, y] G / můžeme vzhledem k jednoznačnosti prvku y psát y = f {x) (a číst: prvek y G Y je obrazem prvku x E X vzhledem k zobrazení /; dále prvek x se nazývá vzorem prvku y vzhledem k zobrazení /) a v této symbolice zapisovat veškeré vlastnosti týkající se zobrazení /, tj. také i pojmy definičního oboru a oboru hodnot zobrazení /: D(f) = {xeX: ByeY : y = f(x)} H(f) = {y(=Y: 3x G X : y = f (x)}. Definice 52: Podle toho, jakou část množiny X zabírá D(f), jakou část množiny Y zabírá H(f)a zda je zobrazení / prosté nebo ne (tato vlastnost bude hned vysvětlena), rozeznáváme šest typů zobrazení: a) zobrazení z X do Y, pokud D(f) je vlastní podmnožina množiny X, H(f) je vlastní podmnožina množiny Y; příklad viz obrázek (přitom D(f) = {a,b,c} a H(f) = {x,z}): b) zobrazení X do Y, pokud D(f) = X, H(f) je vlastní podmnožina množiny Y; příklad viz obrázek (toto zobrazení typu b), tj. zobrazení X do Y, má speciální označení -(označení 37) / : X -> Y) c) zobrazení z X na Y, pokud D(f) je vlastní podmnožina množiny X, H(f) = Y; příklad viz obrázek: 9.1 PŘEDNÁŠKA 69 d) zobrazení X na Y, pokud D(f) = X, H(f) = Y; příklad viz obrázek: e) prosté zobrazení mezi množinami X a Y (v daném pořadí), pokud platí podmínka prostého zobrazení (e): Vx,y(=D(f):xry ^/(*/)• Prosté zobrazení může být tedy zobrazením všech čtyř předchozích typů a,b,c,d, jen navíc platí podmínka, že různé vzory z definičního oboru se zobrazí na různé obrazy (viz obrázek, všechny čtyři typy zobrazení v zelené oblasti): f) injekce, pokud platí dvě věci: jednak D(f) = X (zobrazení je typu (b)); a druhák platí podmínka injektivity (f): Wx,y e X : x ^ y f (x) ^ f (y). 70 9 ZOBRAZENÍ, POSLOUPNOST, FUNKCE, OPERACE (jediný rozdíl v definici vlastnosti e) a vlastnosti (f) je v tom, že vlastnost (e) je řečena \/x,y G D(f), kdežto vlastnost (f) je řečena \/x,y G X, tj. u injekce „jednoznačně vnořujeme" nikoli jen D(f), ale celou množinu X do druhé množiny). Příklady injekce vidíte na předchozím obrázku v červeném rámečku.39 g) surjekce neboli zobrazení na Y, pokud je splněna jediná věc, a sice H f = Y. Surjekce je tedy zobrazení typu c) nebo d). h) bijekce neboli prosté zobrazení X na Y, pokud je surjekce a současně injekce.40 Příklad viz žlutě vyznačený typ zobrazení na předchozím obrázku. O zobrazení bijektivním lze říci, že se jedná o vzájemně jednoznačné přiřazení prvků celé množiny na celou množinu. Inverzní zobrazení k bijektivnímu zobrazení je také bijektivní, tj. bijekce je v jistém smyslu „obousměrná" (v tom smyslu, že inverzní zobrazení k bijekci je také bijekce). Věta 16. Podmínce prostého zobrazení(= podmínce injektivity) je logicky ekvivalentní podmínka Vx,y E X : f(x) = f(y) => x = y (neboli pokud se dva obrazy rovnají, tj. f(x) = f(y), tak se musí jednat o tentýž vzor, tj. x = y). Důkaz: Plyne z platnosti vět v kapitole 1 tohoto textu: dokazovaná vlastnost je logicky ekvivalentní obměně implikace z vlastnosti prostého zobrazení (52e). □ Kromě jednoho zobrazování či zobrazení lze studovat-popisovat ty situace, kdy skládáme dvě různá zobrazení, tj. nejprve zobrazujeme prvky z V do V, a pak z Y do Z: Definice 53: Pokud / : X —> Y je zobrazení a g : Y —y Z je zobrazení, definujeme složené zobrazení g o f (označení 38) množiny X do množiny Z takto: (g ° f)(x) g(f(x)) (čti „g po /" - toto čtení také umožňuje zapamatovat si pořadí, v jakém zobrazování provádíme: nejprve na prvek x použijeme zobrazení /, a pak teprve zobrazení g) Příklad 9.1. Vezměme X = Y = Z množinu reálných čísel a zobrazení / : R —>• R definované předpisem f(x) = 2x, podobně g : R —>• R definované g (x) = x+ 5. Pak složené zobrazení g o f je definované vztahem g(f(x)) = g(2x) = 2x + 5, jedná se tedy opět o zobrazení R —>• R. 39Podle předchozích vlastností můžeme říci: Injekce je prosté zobrazení X do Y nebo prosté zobrazení X na Y. Tj. injekce je typ (e,b,c) nebo typ (e,b,d) v řeči označení vlastností malými písmeny. 40V řeči našeho označení pomocí malých písmen je bijekce zobrazením typu (e,b,d). 9.1 PŘEDNÁŠKA 71 Pozor ovšem, záleží na pořadí skládání - při opačném pořadí skládaných funkcí dostaneme f(g(x)) = f(x + 5) = 2(x + 5) = 2x + 10. Poznámka: Iverzní relace / 1 někdy není zobrazením. Inverzní relaci f~ľ netřeba zvlášť definovat, protože je to relace, v jejíž grafové reprezentaci všechny šipky změní směr na opačný vzhledem k / (a v množinové reprezentaci všechny uspořádané dvojice změní pořadí svých souřadnic). Problém je ten, že inverzní relace f~ľ není vždy zobrazením: Uvažujme zobrazení / : R —>• R dané vztahem pro druhou mocninu f(x) = x2. Pak např. /(2) = 4 a /(—2) = 4, tj platí [4; 2] G f~ľ a [4; —2] G tj. f~ľ není zobrazení. Věta 17. Inverzní relace f~ľ z V do V je zobrazením z Y do X právě tehdy, když zobrazení / : X —> Y je injekce. Důkaz: Dokažme (typ 4) obě implikace této ekvivalence. • Dk. implikace „=^":dokažme f~ľ je zobrazení =>- / : X —> Y je injekce. Sporem (typ 5): předpokládáme platnost negace, tj. platí a A ->b: f~ľ je zobrazení A / : X —> Y není injekce. Pak existují prvky x, y G X, x ^ y tak, že f {x) = z = f {y) pro nějaké z G ľ. To by ale znamenalo, že [z, x] G [z, y] G a to je spor s tím, že J-1 je zobrazení. Tedy neplatí výchozí předpoklad a platí daná implikace. • Dk. implikace „<í=":dokažme / : X —> Y je injekce =^ J-1 je zobrazení . Sporem (typ 5): předpokládáme platnost negace, tj. platí a A ->b: f : X —ř Y je injekce A J-1 není zobrazení . Pak existují prvky Xi,x2 G X a z G Y, x\ ý x2 tak, že [z, x\] G J-1 a [z,£2] £ To by ale znamenalo, že /(rci) = z, fixz) = z, a to je spor s tím, že / je injekce. Tedy neplatí výchozí předpoklad a platí daná implikace. □ 72 9 ZOBRAZENÍ, POSLOUPNOST, FUNKCE, OPERACE Příklad 9.2. Například zobrazení / : R —>• R zadané vztahem f(x) = 2x je prosté (injektivní), a tedy k němu existuje zobrazení inverzní f^1(x) = | (tedy předpis zobrazení představujícího násobení dvěma je inverzní k předpisu zobrazení představujícího dělení dvěma). And last but not least, nyní jsme schopni si říci vysokoškolskou definici operace: (definice 54): Binární operace P na množině M je zobrazení MxM-> M, tj. zobrazení, které přiřadí uspořádané dvojici [a; b] z kartézského součinu M x M výsledek této operace, prvek atyb. Příkladem operací, které lze dosadit za symbol je celá řada: +, —, •, :, H, U, atd. Jejich podrobnějšímu studiu se budeme věnovat ve druhém semestru studia. Definice 55: Zobrazení / : N —>• R (tedy D(f) je množina přirozených čísel, H(f) je množina reálných čísel) se nazývá posloupnost reálných čísel. Například posloupnost někdy zapisujeme ve tvaru (0,1,0,2,0,3,...) a to znamená, že přirozené číslo 1 se zobrazilo na reálné číslo označené a\, přirozené číslo 2 se zobrazilo na reálné číslo označené a2, atd. Definice 56: Zobrazení / z množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R se nazývá (reálná) funkce (jedné) reálné proměnné. 9.2 Cvičení Návrh devátého cvičení: • Tři velmi důležité definice, které studenti musejí znát: Definice posloupnosti, definice reálné funkce, definice binární operace ... ať studenti definici vymyslí a uvedou příklad. • Vraťme se k definici zobrazení, základnímu pojmu této hodiny: dva (či tři) tvary definice z přednášky. • Definice a) až h) různých typů zobrazení ... vyučující vyzví definice od studentů (od šesti až osmi studentů). • Titíž šest až osm studentů jdou k tabuli nakreslit pro definici, kterou uvedli, typický příklad. • Všichni v lavici nyní vymýšlejí reálné funkce, které jsou jednoho z osmi předchozích typů (a) až (h) ... u každého typu uveďte jinou funkci jako příklad (většinou studenti vykřiknou z lavice, vyučující nakreslí na tabuli skicu grafu dané funkce, aby jejich tvrzení potvrdil). • Jakého typu (z předchozích osmi typů) je funkce y = 2X a funkce y = log2x? 9.2 CVIČENÍ 73 • cvičení 9.4 a 9.5 ... studenti přijdou k tabuli vyřešit; • správné sestavení složeného zobrazení ... cvičení 9.6 a 9.7. • Příklad s nekonečnou množinou: Definujte pomocí obrázku zobrazení / : N —> N, které je a) injekce, ale ne surjekce; b) surjekce, ale ne injekce; c) je bijekce. • Zbytek cvičení otázky od studentů, nebo příklady na opakování, protože bude testík. Ze souboru druha.tretina v IS může být na tesítku-b vše kromě příkladů očíslovaných 5b). Cvičení 9.1. Úvodní cvičení k pojmu zobrazení už bylo v kapitole 6, cvičení 6.2. Nyní se věnujme už pojmu funkce a její graf: Viz realisticky.cz (materiál [18]), matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce, pdf hodina 2105 pro studenty - výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 9.2. Funkce a její graf 2: Viz realisticky.cz (online materiál [18]), matematika pro SŠ, oddíl rovnice a funkce, pdf hodina 2106 pro studenty - výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 9.3. Prostá funkce: Spojení definice (52e) a (56) této kapitoly: Prostá funkce je prosté zobrazení R —> R. Příklady viz realisticky.cz (materiál [18]), matematika pro SŠ, oddíl rovnice a funkce, pdf hodina 2107 pro studenty - výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Tato úvodní tři cvičení 9.1, 9.2, 9.3 dobře prezentují pojem funkce, kreslení grafu funkce a určování D(f), H(f). Cvičení 9.4. Nakreslete příklad zobrazení / : X —> Y, které je injekce, ale není surjekce. Cvičení 9.5. Nakreslete příklad zobrazení / : X —> Y, které je surjekce, ale není injekce. Cvičení 9.6. a) Uveďte definici složení dvou zobrazení f,g. b) f(x) = sinrr, a dále g(x) = y/x jsou reálné funkce; zadejte vzorcem zobrazení g o /. Cvičení 9.7. a) Co je to zobrazení? Uveďte definici. b) Jsou zadány reálné funkce f(x) = 2X, g{x) = (x + l)2, h(x) = K Sestavte složenou funkci h o g o f proměnné x. Cvičení 9.8. a) Nakreslete tři příklady zobrazení (pokud možno tvořivě, zobrazení různých typů) a u každého příkladu si bokem vypište, jakého z šesti typů zobrazení z definice 52 se týká (jedno zobrazení může být někdy současně zobrazením více typů). 74 9 ZOBRAZENÍ, POSLOUPNOST, FUNKCE, OPERACE b) Vyměňte si sešity ve dvojicích či trojicích a napište tužkou ke každému zobrazení v sešitě svého souseda jeho typ či typy. Pak si své výsledky zkontrolujte společně. Cvičení 9.9. Nakreslete příklad zobrazení / : Z —>• N, které je injektivní, ale ne surjektivní. Cvičení 9.10. Nakreslete příklad zobrazení / : R —>• Z, které je surjektivní, ale ne injektivní. Cvičení 9.11. Nakreslete příklad zobrazení / : N —>• Z, které je bijektivní. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.9. 75 10 Elementární funkce — úvod 10.1 Přednáška: vlastnosti funkce — shrnutí Tato kapitola byla nově přesunuta jako přednáška 10 a shrnuje základní pojmy u elementárních funkcí, které budou procvičovány a používány v týdnech 10 až 13. Přednáška 10 je zkrácená díky testíku, ale je v ní započata právě následující kapitola s přehledem vlastností funkce - tyto vlastnosti budou dokončeny na přednášce 11. Nástin: • Funkce je zobrazení R do R nebo R na R ... definice. D f = ..., H f = .... • Definice 57: Grafem funkce f (x) budeme rozumět množinu Gr(/) := {[x; y] G R x R : x G D f A y G H f A f (x) = y}. Protože zobrazení je jistá relace, / a Gr(/) je vlastně totéž. Mohli bychom též chápat, že f (x) je vzorec a množina bodů Gr(/) je relace určená tímto vzorcem o y y / y y y • Důležité je, že označení [x; y] (ž f nebo xh>|/ nebo f (x) = y je stále totéž a znamená, že funkce / nabývá v bodě x hodnotu y. • Dále definice, které se stihnou, vždy příslušná definice a k ní obrázek. Reálná funkce jedné reálné proměnné byla definována v definici 56. Ale jedná se o pojem natolik důležitý, že ve zbylých čtyřech týdnech si zopakujeme nej důležitější příklady funkcí, které se používají v mnoha oborech. Na zopakované znalosti těchto základních = elementárních funkcí bude pak navazovat výuka předmětu Matematická analýza 1 - objektem této analýzy bude právě pojem funkce. Definice vlastností funkce V dalším se zaměříme na přesnější vyjádření vlastností reálných funkcí. Studenti budou muset znát definice následujících vlastností, a také vědět, jak se daná vlastnost pozná z grafu funkce f(x). Nově důležité: u zkoušky bude za 15 bodů zkoušena jedna z vlastností funkce, za 7,5 bodu bude uvedení definice, za dalších 7,5 bodu nakreslení obrázku k dané definici. Říkáme, že (definice 58) 1. funkce / je rostoucí na intervalu I = (a; b), když Mx1,x2 e I : xx < x2 =>• f(xľ) < f(x2); 76 10 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE - ÚVOD 2. funkce / je klesající na intervalu I = (a; b), když41 yxx,x2 El: xi < x2 =>• f{xi) > f(x2); 3. x0 z -D(/) je lokální minimum funkce /, když existuje otevřený interval (x0 — 5; x0+5) obsahující x0 a platí Wx E (x0 - S;x0 + S) : f(x)>f(x0); 4. x0 z -D(/) je lokální maximum funkce /, když existuje otevřený interval (x0 — 5; x0+5) obsahující xq a platí Wx E (x0 - S;x0 + S) : f(x) < f(x0); Studenti si musí dát pozor, aby se nestali tzv. obraceči v negativním smyslu slova, že bez přemýšlení obrátí obě nerovnosti v definici rostoucí funkce - tímto způsobem totiž nedostanou definici funkce klesající, ale zase jen funkce rostoucí, s tím rozdílem, že se na graf funkce dívají zprava, z druhé strany!!!!!! Ve správné definici klesající funkce je na rozdíl od definice funkce rostoucí převrácen jen jeden symbol nerovnosti!! Část x < y je stále stejná - stále chceme popisovat tu situaci, že první dosazovaná hodnota je menší než ta druhá, tj. obraz čísla x na reálné ose je stále nalevo od obrazu čísla y. 10.1 PŘEDNÁŠKA: VLASTNOSTI FUNKCE - SHRNUTÍ 77 5. funkce / je sudá na svém definičním oboru, když Vx G D(f) : [(-*) G D(f) A f(-x) = f(x)] 6. funkce / je lichá na svém definičním oboru, když Vx G D(f) : [(-x) G D(f) A f(-x) = -f(x)] V ___i J_ •it-x) 7. funkce / není ani sudá, ani lichá na svém definičním oboru, když pro ni neplatí předchozí dvě definice. 8. funkce / je zdola ohraničená na svém oboru hodnot H(f), když 3d G R : G D(f) : d < f (x); 9. funkce / je shora ohraničená na svém oboru hodnot H(f), když 3h G R : G £>(/) : /(x) < fy 78 10 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE - ÚVOD 10. funkce / je ohraničená na svém oboru hodnot H(f), když je ohraničená shora i zdola, tj. když 3d, h G R : Ví G D(f) : d < f(x) < h; 11. funkce / je periodická, když 3p G R : p > 0 A Ví G £>(/) : (x + kp e D(f) Vk e Z A /(x) = /(x + fcp)). 11 (I *p k=2 Budeme se učit poznávat uvedené vlastnosti (včetně těch, které byly definovány v kapitole 9, jako je D(f), H(f), rozeznání, zda je funkce prostá = injektivní, a následné sestavení inverzní funkce) na základě grafu funkce. Určení některých vlastností z grafu funkce: 1. Definiční obor poznáme z grafu funkce takto: kolmice z bodů grafu na vodorovnou osu soustavy souřadnic ji protínají právě v bodech z D(f). 2. Obor funkčních hodnot: kolmice z bodů grafu na svislou osu soustavy souřadnic ji protínají právě v bodech z H(f). 3. Lokální minimum v bodě xq z D(f) (na vodorovné ose) nastává tehdy, když existují body a, b G D(f) tak, že xq G (a, b) A / je klesající na (a; xq) A / je rostoucí na (xq; b); 4. Lokální maximum v bodě x0 z D(f) (na vodorovné ose) nastává tehdy, když existují body a, b G D(f) tak, že Xq G (a, b) A / je rostoucí na (a; i0) A / je klesající na (rr0; 6); 5. Sudou funkci poznáme tak, že její graf je osově souměrný vzhledem ke svislé ose soustavy souřadnic (osa y je osa souměrnosti). 10.1 PŘEDNÁŠKA: VLASTNOSTI FUNKCE - SHRNUTÍ 79 6. Lichou funkci poznáme tak, že její graf je středově souměrný vzhledem k průsečíku souřadných os (bod [0; 0] je střed souměrnosti). 7. Funkci, která není ani sudá, ani lichá, poznáme tak, že její graf není ani osově souměrný vzhledem ke svislé ose, ani středově souměrný vzhledem k počátku soustavy souřadnic42. 8. Funkci ohraničenou zdola poznáme tak, že existuje konstantní funkce y = K rovnoběžná s osou x tak, že graf funkce f(x) je celý nad přímkou y = K. 9. Funkci ohraničenou shora poznáme tak, že existuje konstantní funkce y = L rovnoběžná s osou x tak, že graf funkce f(x) je celý pod přímkou y = L. 10. Funkci ohraničenou zdola i shora poznáme tak, že existují konstantní funkce y = K a y = L rovnoběžné s osou x tak, že graf funkce f(x) je celý nad přímkou y = K a pod přímkou y = L. 11. To, že funkce / je prostá (injektivní), poznáme z jejího grafu tak, že rovnoběžky s osou x její graf protnou vždy nejvýše v jednom bodě. 12. To, že funkce / je surjektivní, poznáme z jejího grafu tak, že rovnoběžky s osou x vždy protnou její graf v nějakém bodě (aspoň jednom). 13. To, že funkce / je bijekce R na R, poznáme z jejího grafu tak, že rovnoběžky s osou x její graf protnou vždy právě v jednom bodě. 14. Pokud je naším úkolem nakreslit funkci inverzní f~ľ k funkci /, tak můžeme využít faktu, že grafy funkcí / a /_1 jsou osově souměrné vzhledem ke grafu lineární funkce 43 y = x . 15. To, že funkce je periodická, poznáme z jejího grafu tak, že část grafu odpovídající délce nej menší periody na vodorovné ose se opakuje v tom smyslu, že rovnoběžky s osou x protínají graf funkce v nekonečně mnoha bodech, jejichž vzájemná vzdálenost je rovna násobku této nejmenší periody. 42Aby to funkci ani sudé, ani liché nebylo líto, tak pokud je její definiční obor středově symetrický vzhledem k počátku a funkce je dostatečně slušná, tedy například spojitá, lze ji vyjádřit jako součet dvou (spojitých!) funkcí, z nichž jedna je sudá a druhá lichá - tedy z každé spojité funkce na vhodném definičním oboru lze separovat dvě hodnoty, z nichž jedna přispívá do sudosti a druhá do lichosti. Tato separace funkce na sudou a lichou část ovšem nepatří do základních dovedností, jimiž se budeme zabývat. 43To plyne mimo jiné z toho faktu, že při hledání inverzní funkce zaměňujeme x za, y ve funkčním předpisu y = f (x) a vyjadřujeme proměnnou x jako funkci proměnné y, a tedy oba grafy jsou „zaměnitelné" = osově symetrické vzhledem k této „ose zaměnitelnosti" y = x. 80 10 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE - ÚVOD přehled úkolů pro rozbor funkce f{x): a) Určete D(f) a průsečíky grafu funkce s osou x. b) Určete H(f) a průsečíky grafu funkce s osou y. c) Určete intervaly, na kterých je funkce rostoucí (klesající), nalezněte její lokální extrémy. d) Určete, zda je funkce sudá, lichá, nebo není ani sudá, ani lichá. e) Určete zda je funkce ohraničená (zdola nebo shora). f) Určete, zda je funkce prostá - pokud ano, tak vyjádřete funkcí k ní inverzní. g) Určete, zda je funkce periodická - pokud ano, najděte délku její nejmenší periody. h) Nakreslete graf funkce /. 10.2 Vlastnosti funkce — opakování k ústní zkoušce Cvičení 10.1. Dokončete definice nebo jejich negace bez jediného českého slova, jen pomocí matematických symbolů (u negací nejprve vytvořte příslušnou pozitivní definici, a teprve pak symbolický zápis negujte): a) Relace / je zobrazení z X do Y, když ... b) Relace / není zobrazení z X do Y, když ... c) Funkce / je rostoucí na intervalu J, když ... d) Funkce / není rostoucí na intervalu J, když ... e) Funkce / je klesající na intervalu J, když ... f) Funkce / není klesající na intervalu J, když ... g) Reálné číslo xq je lokální minimum funkce /, když ... h) Reálné číslo xq není lokální minimum funkce /, když ... i) Reálné číslo x0 je lokální maximum funkce /, když ... j) Reálné číslo x0 není lokální maximum funkce /, když ... k) Funkce / je sudá, když ... 1) Funkce / není sudá, když ... m) Funkce / je lichá, když ... n) Funkce / není lichá, když ... o) Funkce / je shora ohraničená, když ... 10.3 CVIČENÍ: FUNKCE LINEÁRNÍ, FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU, FUNKCE KVADRATICKÁ 81 p) Funkce / není shora ohraničená, když ... Cvičení 10.2. Uveďte příklad vzorce (nikoli jen obrázku) reálné funkce, která je sudá. Cvičení 10.3. Uveďte příklad vzorce (nikoli jen obrázku) reálné funkce, která je lichá. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.10.1. 10.3 Cvičení: Funkce lineární, funkce s absolutní hodnotou, funkce kvadratická Návrh cvičení 10: V týdnech 10 až 13 se na cvičení budeme zabývat elementárními funkcemi a zjišťování-popisu jejich vlastností. Přehled úkolů při popisu funkce je uveden na konci přednášky 10, tj. na str. 80 nahoře. Na tomto cvičení se budeme věnovat pouze úkolům 1, 2, 3 a 8 (z výše uvedeného přehledu na str. 80) funkcí typu A) lineární funkce, B) funkce s absolutní hodnotou (ovšem jednoduché, pouze funkce lineárně lomené), C) kvadratické funkce. • A) Funkce lineární jsou funkce typu y = a ■ x + b, kde a, b G R jsou konstanty a x, y jsou první a druhá souřadnice vazeb určených daným vzorcem. • Nakreslete graf funkce y = 2x + 3 ... jaký je geometrický význam čísel 2 a 3? ... (v odpovědi zmiňme i trojúhelník o délce základny 1 jednotka, který je pravoúhlý a z něhož plyne: pokud zvýšíme číslo x o jednu jednotku, zvýší se hodnota y o 2 jednotky). • „Inverzní" dovednost: Je dána přímka procházející číslem 1 na ose x a číslem —2 na ose y. Najděte vzorec funkce, jíž je tato přímka grafem. • Tatáž dovednost: Přímka prochází body [1; 0,5] a [2; 0]. Najděte vzorec funkce, jíž je tato přímka grafem. Lze dvěma metodami: dosazením dvou bodů do obecné rovnice v našem modelu, nebo odhadem z jednotkového pravoúhlého trojúhelníčku o délce základny 1 jednotka. • Existuje nějaká přímka v rovině, kterou nelze popsat jako graf funkce lineární y = ax + 6? ... důležitá zmínka • Vsuvka o významu Df, Hf: Petáková str. 24, příklad 11a). Tři studenti jsou k tabuli, z nakresleného grafu mají jen napsat Df, H f ... letos v každém cvičení některý z trojice chyba ... jedná se o základní dovednost, jako zmáčknutí spojky u rozjetí auta. • Podobně tentýž příklad 11b): význam označení f(x) = y Máme najít X\, x2, x3, aby f{xi) = 0,5, f{x2) = 2, f(x3) = —3 ... ještě lze doplnit výpočtem f (2) = ..., /(3) = .... • B) funkce f{x) = \x\, respektive funkce typu f{x) = a ■ \x + b\ + c, kde a = ±1, b,c G R jsou konstanty. První úkol: pouze statická dovednost pro funkci v základním tvaru f{x) = \x\ (dosazování konkrétního x a výpočet y zakreslení bodů do roviny a proložení křivkou), nakreslete graf, určete Df, Hf. 82 10 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE - ÚVOD • Dále dynamická dovednost pro posunutí a-nebo překlopení (osovou souměrnost) a-nebo deformaci funkce v základním tvaru (snažíme se pouze zjistit, kam se posunul vrchol základního grafu y = \x\, zbytek grafu dynamicky dokreslíme, bez dosazování bodů x): tři studenti jdou k tabuli, nakreslete graf, určete Df, H f pro a) f(x) = \x+ 1|, b) f(x) = \x\ +1, c) f(x) = — \x — 2| — 1 ... úkolu (c) lze napomoci rozdělením na tři fáze představující tři posuny: nejprve nakreslete relaci y = \x — 2|, pak relaci y = —\x — 2|, a pak relaci y = —\x — 2| — 1 ... jedná se o složení dvou posunutí a jedné osové souměrnosti!! • Pokročilý příklad na závěr: Nakreslíme graf funkce y = \\x\ — 1|, z toho část „pod" osou x čárkovaně, abychom naznačili, že část pod osou se ve výsledky osově souměrně zobrazila ... studenti by měli přijít na vzorec sami. To z absolutních hodnot stačí, jádrem cvičení jsou totiž kvadratické funkce. • C) funkce kvadratická f(x) = ax2 + bx + c pro nejprve statická dovednost pro funkci v základním tvaru, studenti dosazují body x a počítají hodnoty y: Student jde k tabuli nakreslit sám čtyři funkce do jednoho grafu: f\(x) = x2, j^{x) = | • x2, • Dynamická dovednost pro deformovaný či posunutý či překlopený (osově souměrný) základní tvar: všímáme si jen, zda koeficient u x je kladný nebo záporný, a pak zjistíme, kam se posunul vrchol [0; 0] základního tvaru funkce z předchozího příkladu - to nám stačí na nakreslení grafu, určení Df, H f a zjištění, na kterých intervalech je funkce / rostoucí (klesající). Poznámka k rostoucnosti a klesajícnosti: I když v tomto skriptu používám definici funkce rostoucí na intervalu, do nějž lze zahrnout i pravý či levý krajní bod, vedu studenty k tomu, aby popisovali monotonii jen na otevřeném intervalu, protože pravděpodobně na přednášce (Matematická analýza 1) budou definovat monotonii na intervalu pomocí monotonie v bodě, a tak nebudou krajní body zahrnovat. • Tak tedy příklad: Nakreslete graf, určete Df, H f a intervaly monotonie funkce f{x) = x2 — 2x + 3 ... doplněním výrazu na úplný čtverec zjistíme souřadnice vrcholu. • Nakreslete graf, určete Df, H f a intervaly monotonie funkce f{x) = —x2 — 6x — 8 ... doplnění na čtverec provádíme až po vytknutí minus z celého trojčlenu. • Dva studenti jdou k tabuli ... totéž pro funkce f{x) = x2 + 5x — 1, f{x) = — 0,5x2 + x + 2. ... stále platí: vytkněte koeficient u x2 z celého trojčlenu, a pak až upravujte na čtverec. Zde řešení těchto příkladů jsem už posílal emailem. • A konečně inverzní úloha: vrchol paraboly je [2; —1] a je otočená nahoru: nalezněte vzorec kvadratické funkce, jíž je parabola grafem ... tato funkce není určena jednoznačně, například je řešením y = (x — 2)2 — 1. • A ještě jedna: vrchol paraboly je [—3; —2] a je otočená dolů: nalezněte vzorec kvadratické funkce, jíž je parabola grafem ... tato funkce není určena jednoznačně, například je řešením y = — (x + 3)2 — 2. • Na závěr cvičení nebo začátkem cvičení následujícího: Souřadnici vrcholu paraboly lze určit i z první derivace funkce /, lze získat vzorec xq = ^ a souřadnici yo dopočítat ze vzorce funkce: f(x0) = y0. 10.4 SAMOSTUDIUM PŘI NEZNALOSTECH: FUNKCE LINEÁRNÍ (TYP A), FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU (TYP B), FUNKCE KVADRATICKÁ (TYP C) 83 10.4 Samostudium při neznalostech: Funkce lineární (typ A), funkce s absolutní hodnotou (typ B), funkce kvadratická (typ C) Právě prodělané cvičení 10.3 se týkalo funkce A) lineární, B) s absolutní hodnotou, C) funkce kvadratické, k nimž na přednášce nebyl proveden úvod. Studenti, kteří na desátém cvičení měli potíže, se ve vlastní zájmu podívají na funkce typu A,B,C v samostudiu na základě online materiálu [18] nebo gymnaziální učebnice Matematika funkce (literatura [9])podle následujícího návrhu: A) Lineární funkce f(x) = a ■ x + b Opakování tohoto typu viz cvičení, nebo využijte online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce: • Lineární funkce I. pdf hodina 2108 pro studenty - výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Model plnění vody přehrady při povodních roku 2002. K modelování této reálné situace kupodivu je dostatečný i nejjednodušší typ funkce, a to právě funkce lineární. • Lineární funkce II. pdf hodina 2109 pro studenty - výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Ještě k modelu plnění přehrady vodou. Ve druhé části cvičení se studenti učí kreslit grafy lineárních funkcí na základě předpisu (vzorce). Tato dovednost bude dále procvičena na cvičení. B) Funkce s absolutními hodnotami Musíme též zopakovat pojem absolutní hodnoty, aspoň na středoškolské úrovni. Poslouží nám k tomu opět středoškolské materiály [18] - matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce, některé pdf hodiny, které snad není nutné přepisovat do tohoto textu: • Funkce absolutní hodnota pdf hodina 2401 pro studenty - definice absolutní hodnoty; geometrický význam absolutní hodnoty rozdílu reálných čísel; graf funkce absolutní hodnota. • Kreslení grafu funkce metodou napodobení výpočtu, pdf hodina 2402 pro studenty - kreslení grafů funkcí, které vzniknou modifikací nebo složením lineárních funkcí a funkce absolutní hodnoty. C) Kvadratická funkce Kvadratická funkce je reálná funkce typu f(x) = ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálné konstanty a x je reálná proměnná. Podrobnější probrání kvadratických funkcí viz [9], str. 56-71. Určitě si projděte následující věci (odkazy se týkají učebnice [9], některé příklady jsou řešené v jejím textu, u většiny neřešených příkladů je uveden výsledek na konci knihy [9]): • grafy kvadratických funkcí (paraboly): 84 10 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE - ÚVOD str. 61 ... graf funkce y str. 64 ... graf funkce y příklad 4.9 na str. 67; • řešení kvadratických nerovnic str. 69, př. 1: řešte v R: 2x2 + 5 < 3x2 + x - 1; — příklad 4.23 na str. 71. Cvičení 10.4. Nakreslete graf funkce y = —2x2 + 3x + 1 a určete Dy a Hy. Cvičení 10.5. Napište vzorec kvadratické funkce, pro kterou platí: Df = R, H f = (—oo, 2), vrchol nastává pro x = 3. Můžete nakreslit i její graf, ale vzorec je klíčový. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.10.2. 85 11 Výpočet a graf funkce inverzní, lineárně lomená funkce, mocninná a odmocninná funkce 11.1 Přednáška: Vlastnosti funkce II, výpočet a graf funkce inverzní V této kapitole pokračujeme v přehledu základních typů funkcí využívaných v mnoha oborech lidské činnosti a praxe. Plán přednášky: • První polovina přednášky: vrátíme se ještě k jedenácti pojmům-vlastnostem funkce v definici 58 a ke každé vlastnosti si nakreslíme obrázek (děkuji studentce Lydii Kotrlové za dodání obrázků!!). U zkoušky pak bude jedna otázka na pojem-pojmy, a sice polovina bodů za správnou definici algebraicky (= symbolickým zápisem), a druhá polovina bodů za správný obrázek, na kterém tento pojem vysvětlíte. • Druhá polovina přednášky: musíme se zabývat výpočtem a vlastnostmi inverzní funkce u různých základních typů funkcí, které probíráme. Zhruba podle klíče: — Už bylo řečeno v kapitole 9, že pokud / je funkce prostá, tak f~ľ je též funkcí jedné reálné proměnné. — Pokud tedy relace f~ľ je funkcí, právě díky inverznímu charakteru dochází k „přehození" definičního oboru a oboru hodnot: Df~ľ = H f, Hf~ľ = D f. — jestliže / je klesající, tak také J-1 je klesající... to je dobrá pomůcka pro ověření správnosti grafu inverzní funkce. — pomůcka pro kreslení grafu funkce / a oba grafy jsou osově souměrné množiny bodů v rovině vzhledem k ose ... — Výpočet inverzní funkce a nakreslení grafu f~ľ ... u lineárních funkcí (typ A): f(x) = 3x-2 — Základní algoritmus výpočtu f~ľ je u všech typů funkce stejný: 1) zaměníme x za y ve vzorci y = f (x), 2) vyjádříme ze vzorce opět y, jak jsme zvyklí. — Výpočet inverzní funkce a nakreslení grafu f~ľ ... u funkcí typu B ... to dělat nebudeme. — Výpočet inverzní funkce a nakreslení grafu f~ľ ... u kvadratických funkcí (typ C) ... lze s omezením D f jen na tu část, kdy / je prostá. Máme dvě možnosti, jak se omezit, tj. dvě možné inverzní funkce, každou k jiné vstupní prosté funkci — Výpočet inverzní funkce a nakreslení grafu f~ľ ... u lineárně lomených funkcí (typ D). Něco málo lze říci o lineárně lomené funkci samotné, ale to také ještě projdeme na cvičení, tj. zde nyní jen zběžně, a zaměříme se na tu inverzi. — Typ E ... viz cvičení tento týden. — Typ F ... viz příští týden. — Typ G ... viz za čtrnáct dní. 11 VÝPOČET A GRAF FUNKCE INVERZNÍ, LINEÁRNĚ LOMENÁ FUNKCE, 86 MOCNINNÁ A ODMOCNINNÁ FUNKCE 11.2 Cvičení: Lineárně lomená funkce, mocninná a odmocninná funkce; výpočet funkce inverzní Nástin cvičení: • typ D) lineárně lomená funkce: jeden student nakreslí do jednoho grafu funkce fi(x) = ^, f2{x) = |, f%{x) = fi{x) = =^L. Statická dovednost ... dosazuje konkrétní bod x a vypočte konkrétní hodnotu y ... čtyři grafy, čtyřmi různými barvami! • Další student: úkoly 1,2,3,8 pro funkci f(x) = • Další student: úkoly 1,2,3,8 pro funkci f{x) = ~4jr^L1. • Další student: úkoly 1,2,3,8 pro funkci f(x) = navíc úkol nakreslit graf a vyjádřit vzorcem inverzní funkci • Ještě jeden úkolek navíc k předchozímu grafu: nakreslete graf funkce f(x) = |§-p§|- • Ale důležitější než předchozí příklad je inverzní úkol: při zadaném grafu rovnoosé hyperboly s posunutým středem do bodu [2; —1], s grafem nakresleným v posunutém druhém a čtvrtém kvadrantu, navrhněte vzorec funkce, které je grafem. • typ E, mocninná funkce: jeden student do jednoho obrázku dvěma barvami y = x4, y = x6 (statická dovednost, dosazuje různé body), druhý student do dalšího obrázku dvěma barvami y = x3, y = x5 (statická dovednost, dosazuje různé body) ... ať je mezi body určitě 0, |, 1. • Někdo další: vezměte si další barvu a nakreslete k funkci y = x3 do jednoho obrázku graf funkce a také vyjádřete vzorcem. • Jeden student do jednoho obrázku dvěma barvami y = x~2, y = x~4 (statická dovednost, dosazuje různé body), druhý student do dalšího obrázku dvěma barvami y = x~3, y = x~5 (statická dovednost, dosazuje různé body) ... ať je mezi body určitě 0, |, 1. • Dva lidi k tabuli: Nakreslete do jednoho obrázku graf funkce (nyní i pro kreslení funkce / se jedná o dynamickou dovednost posunutí, případné osové souměrnosti a případné deformace základního tvaru: jen zjistěte, do kterého bodu se posunul „střed obrázku funkce v základní poloze", a zbytek dokreslete podle tohoto posunu, základní polohy viz dva příklady zpět): a) f(x) = (x — 2)~3 + 3; b) f(x) = (x + 1)~2 — 3. • Další dva lidi: nakreslete i vypočtěte funkci inverzní ke dvěma předchozím příkladům, tj. ad a) na celém Df, ad b) na zúženém D f = (—oo; — 1). • Naopak jsou zadány grafy a) podobný předchozímu a), ale počátek posunuté soustavy souřadnic je v bodě [3;—2] a H f = (—3;oo), vaším úkolem je najít vzorec funkce, jíž je grafem; b) počátek posunuté soustavy souřadnic je v bodě [3; —2] a H f = R — {3} a graf je nakreslen ve druhém a čtvrtém posunutém kvadrantu ... najděte vzorec funkce, jíž je grafem. 11.3 SAMOSTUDIUM PŘI NEZNALOSTECH: FUNKCE LINEÁRNĚ LOMENÁ (TYP D), FUNKCE MOCNINNÁ A ODMOCINNÁ (TYP E) 87 11.3 Samostudium při neznalostech: Funkce lineárně lomená (typ D), funkce mocninná a odmocinná (typ E) Právě prodělané cvičení 11.2 se týkalo funkce D) lineárně lomené, E) mocninné či odmocninné. Studenti, kteří na cvičení měli potíže, se ve vlastní zájmu podívají na funkce typu D, E v samostudiu podle následujícího návrhu, využívajícího učebnici pro gymnázia: D) Lineárně lomená funkce Jedná se o funkci typu tj. funkci, kterou vytváříme pomocí podílu dvou lineárních funkcí (proto tedy název „lineárně lomená" funkce). Podrobnější výklad viz [9], str. 72-84. Určitě si projděte následující věci (odkazy se týkají učebnice [9]): • str. 77 ... graf funkce y = | pro různé hodnoty konstanty k; • str. 78-80 ... obecnější grafy lineárně lomených funkcí - příklady 1 a 2; • str. 82, příklad 5.9 ... grafy dalších typů, je důležité všechny nakreslit; E) Mocninné funkce f(x) = xn a funkce k nim inverzní Podrobněji viz [9], str. 85-116. Určitě si projděte následující věci (odkazy se týkají učebnice [9]): • Kreslení grafů mocninné funkce: — str. 87 ... grafy funkce y = xn pro n G N; — str. 90 ... grafy funkce y = xn pro n G Z~; — str. 91, příklad 6.7; • Hledání inverzní funkce: — str. 95, př. 1: Nalezněte funkci inverzní k funkci y = 3x — 2 pro D(f) = (—1; 2). Nakreslete grafy obou funkcí / a f~ľ v jedné soustavě souřadnic. — nalezněte inverzní funkci k funkci y = (x — 2)2 + 3 a) pro D(f) = (—oo, 2). Řešení: Graf kvadratické funkce pro D f = R není funkce prostá (nabývá dvou stejných hodnot pro různá x, což poznáme podle toho, že rovnoběžky s osou x protínají její graf ve dvou různých bodech), proto k ní inverzní relace není funkcí. Když se omezíme na interval D f = (—oo; 2), funkce už prostá je (jejím grafem je přesně polovina paraboly): 11 VÝPOČET A GRAF FUNKCE INVERZNÍ, LINEÁRNĚ LOMENÁ FUNKCE, 88 MOCNINNÁ A ODMOCNINNÁ FUNKCE 4-j--f? Funkci inverzní najdeme záměnou x za, y v předpisu (x = (y — 2)2 + 3) a následným vyjádřením proměnné y z této rovnice: y = 2± y/x - 3. Tento vzorec ovšem není jednoznačným vyjádřením funkce díky operátoru ±. Musíme rozhodnout, které z obou znamének vybrat. Pomocí je, že původní funkce / byla definovaná pro záporná x - to znamená, že (/ a f~ľ si navzájem zaměňují definiční obor a obor hodnot) funkce f~ľ bude nabývat záporných hodnot, tj. správná volba znaménka je MINUS a hledaná funkce má tvar f-^x) = 2- y/x~^3: — nalezněte inverzní funkci k funkci y = x3 pro D(f) = R. Řešení: Funkce f(x) = x3 je prostá pro všechna reálná x (= rovnoběžky s osou x protínají její graf vždy jen v jednom bodě), tj. k ní existuje funkce inverzní: Najdeme ji ze vztahu y = x3 záměnou proměnných xai/a vyjádřením proměnné y- x = y3 =3- y = y/x =>• f~1(x) = y/x~. 11.3 SAMOSTUDIUM PŘI NEZNALOSTECH: FUNKCE LINEÁRNĚ LOMENÁ (TYP D), FUNKCE MOCNINNÁ A ODMOCINNÁ (TYP E) 89 Všimněte si z grafů / a f~ľ jednoho důležitého faktu: pokud / je rostoucí funkce, tak f~ľ je také rostoucí - tato skutečnost nám může vždy pomoci jako kontrola, zda jsme graf funkce inverzní nakreslili správně. Cvičení 11.1. Lineárně lomená funkce — zavedení pojmu, pdf hodina 2601 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.2. Grafy lineárně lomené funkce 1. pdf hodina 2602 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.3. Grafy lineárně lomené funkce 2. pdf hodina 2603 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.4. 4a) Nakreslete graf funkce f(x) = a určete D f a H f. 4b) Uveďte vzorec lineárně lomené funkce, tj. funkce typu f(x) = ^f^, pro kterou platí, že D f = R \ {3}, H f = R \ { — 1} a / je rostoucí pro x > 5 (možná je / rostoucí i na jiných intervalech, ale hlavně ať je rostoucí pro x > 5). 4c) Lineárně lomená funkce je zadaná vztahem f(x) = Určete její Df, H f a na- kreslete graf. Cvičení 11.5. Mocninné funkce — přirozený mocnitel, pdf hodina 2701 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.6. Mocninné funkce — záporný mocnitel, pdf hodina 2702 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.5. Nerovnosti — použití grafů mocninných funkcí, pdf hodina 2703 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. 11 VÝPOČET A GRAF FUNKCE INVERZNÍ, LINEÁRNĚ LOMENÁ FUNKCE, 90 MOCNINNÁ A ODMOCNINNÁ FUNKCE Cvičení 11.6. Inverzní funkce — první pohled na tento pojem, poté co byl představen v kapitole 9 ve formě inverzního zobrazení (inverzní funkce = inverzní zobrazení mezi množinami reálných čísel), pdf hodina 2708 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SŠ, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.7. Druhá odmocnina, pdf hodina 2709 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SŠ, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.8. Druhá odmocnina — graf. pdf hodina 2710 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SS, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.9. n-tá odmocnina. Pouze první příklad pdf hodiny 2711 pro studenty - online materiál [18], matematika pro SŠ, oddíl rovnice a funkce. Výsledky viz tatáž hodina, pdf pro učitele. Cvičení 11.10. 10a) Nakreslete graf funkce f{x) = (xl2)2 ^ Pro x ^ °°)- 10b) Najděte vzorec funkce f^1{x) inverzní k funkci f(x) z části (a) a nakreslete její graf do téhož obrázku jako graf z části (a). Cvičení 11.11. 11a) Pro funkci f(x) = (x + 1)~2 — 3 určete Df, H f a nakreslete graf. 11b) Vypočtěte inverzní funkci k té funkci z části (a), jejíž definiční obor je zúžen pouze na kladná x, a nakreslete grafy obou funkcí do jednoho obrázku. Cvičení 11.12. Pro následující funkce nakreslete jejich graf, určete D(f), H(f) a najděte příslušnou funkci inverzní: a) f(x) = —x2 + l, b) f(x) = (x — 5)3, c) f(x) = -jr + 2. Cvičení 11.13. Pro následující funkce nakreslete jejich graf, určete D(f), H(f) a najděte příslušnou funkci inverzní: a) f(x) = 2x~2, b) f(x) = x~3 — 1. Cvičení 11.14. Nakreslete grafy funkcí y = x~3 a y = x~4. Existuje nějaký bod z definičného oboru těchto funkcí, ve kterém tyto funkce nabývají lokálního minima? Pokud ano, který? Pokud ne, proč? Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.11. 91 12 F) = Funkce exponenciální a logaritmické 12.1 Přednáška Nástin přednášky: • Ještě k pojmům sudá-lichá funkce, nebo funkce, která není ani sudá, ani lichá ... viz funkce typu A,B,C,D,E. • A pojem funkce ohraničené zdola, shora, zcela ... viz funkce typu A,B,C,D,E ... tomuto a předchozímu pojmu jsme se na cvičení moc nevěnovali. • F) exponenciální a logaritmické funkce: Kde se vzala funkce logaritmu? Podívejte se na anglické video (Tarek Said), které při zapnutých titulcích není až zas tak složité, a ukazuje, jak se objevily logaritmy: https://www.youtube.com/watch?v=habHK6wLkic&ab_channel=TarekSaid (dva záchytné body: 1614 Napier zveřejňuje tabulky, podle kterých se převede násobení čísel na sčítání ... jakási tabulková kalkulačka; kolem roku 1627 byla zveřejněna geometrická posloupnost s kvocientem 1,000001, která převádí násobící se čísla na aritmetickou posloupnost s kvocientem 0,000001 (nebo něco velmi blízkého tomuto převodnímu vztahu); čísla v aritmetické posloupnosti byla nazvána logoi aritmoi = poměrná čísla (logaritmoi); 1647 Řehoř od svatého Vincenta vyřešil problém, že obsah plochy mezi grafem nepřímé úměrnosti ^ a osou x na intervalu od 1 do a je roven logaritmos(a); až kolem roku 1667 byly přirozené logaritmy nezávisle vypočteny Mercatorem a Newtonem pomocí rozvoje nekonečné řady 2 S 4 CL' ĹL' ln(l + x) = x —— + —----1---- pro x E (-1; 1); 2 ó x a až 101 let po práci sv. Vincenta, roku 1748, poskytl Euler základ, který charakterizuje příslušnou logaritmickou i exponenciální funkci: e = 2,71828182845904...). • Kde se vzala funkce exponenciální? Rybník o rozloze 1000 metrů čtverečních zarůstá sinicemi, každý den se počet metrů čtverečních zelené plochy zdvojnásobí. Na konci prvního dne je porostlý jen 1 metr čtvereční. Za kolik dnů se zaplní povrch rybníka? Nebo: každý den přibývá už jen 90 procent nakažených v nějaké nemoci, za kolik dní bude nárůst nakažených už stokrát menší, než první den? Řešíme vlastně rovnici 0,9* = 0,01. • Funkce exponenciální a logaritmická pro a G (0; 1), výpis základních vlastností. Tyto funkce jsou si navzájem inverzní! • Funkce exponenciální a logaritmická pro a G (l;oo), výpis základních vlastností. Tyto funkce jsou si navzájem inverzní! • definice logaritmu uvádí do souvislosti pojem logaritmické funkce jako inverzní funkce k funkci exponenciální (kde neznámá x se nachází v exponentu funkce): loga z = x <í=> ax = z. Pak následující příklady (učebnice pro gymnázia [9], Funkce (nakl. Prométheus)): 92 12 F) = FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ — str. 132, příklad 1: log2 8 = ... — str. 133, příklad 2: log10 0,01 = ... — str. 134, příklad 4: log81 = 3 =>- t = ... — str. 134, příklad 5: loga 100 = 2 a = ... Metodika nakreslení grafu funkce y = logi rr: tento graf skutečně kreslíme jinak, y 4 y než jsme byli dosud zvykli: na ose y vyznačíme hodnoty y = 0, y = 1, y = — 1 tak, že vedeme červeně tečkované rovnoběžky osy x protínající osu y v bodech 0, 1, — 1 ... příslušné rr-souřadnice spočteme tak, že umocníme základ | na tyto hodnoty: (j) = ..., (j) = ..., (j) = ..., (j) = ... tyto souřadnice vyznačíme na ose x, k ose x vedeme kolmice k těmto souřadnicím a na průsečíku s příslušnou tečkovanou přímkou dostaneme bod grafu. Tj. graf funkce logaritmu skutečně získáme pomocí výpočtu mocnin, ale musíme umocňovat číslo y a výsledkem umocnění je číslo rr. str. 135-136 učebnice pro gymnázia [9], Funkce (nakl. Prométheus) ... věty o logaritmech: protože logaritmy jsou vlastně mocniny, tak z pravidel pro mocniny vyplývají i pravidla pro logaritmy: ^ga{r-s) = logar + logas r log« - = log«r - log« S log«(rS) = s-logar • Mezi logaritmy různých základů existuje vztah, který převádí logaritmus jistého základu na logaritmus jiného základu. Z těchto vzorců se nám bude hodit speciálně převod všech základů na logaritmus o tzv. přirozeném základu (označení 39) \nx := loge x, kde e = 2,718281828459... je tzv. Eulerovo číslo, v matematice velmi důležité. Převodní vzorec je tvaru \nx log« X=-- m a (vzorec lze zapamatovat tím způsobem, že ve funkci loga x píšeme v jistém smyslu x nad hodnotu a, respektive a je napsáno v dolním indexu - podobně ve zlomku na pravé straně se vyskytuje podíl funkcí ln a opět argument x se vyskytuje graficky nad argumentem a)44. • A ještě poslední označení (označení 40): pokud u funkce logrr není uveden žádný základ, zpravidla se jedná o logrr := log10 rr 44Tento převodní vzorec budou studenti potřebovat v předmětu matematická analýza - při derivaci či integraci logaritmů různých základů obvykle převádíme na základ přirozený, Eulerovo číslo, a pak teprve provádíme integraci či derivaci. Hodí se nám přitom vědět, že lna je konstanta, protože základ a se nemění, tak proto s lna zacházíme při integraci či derivaci stejně jako s jakoukoli jinou konstantou. Také díky vzorci je možné si pamatovat (nebo mít tabulky) pouze logaritmy o přirozeném základu a všechny logaritmy o ostatních základech pomocí toho přirozeného základu spočítat. 12.2 CVIČENÍ 93 (není to vždy pravidlem, v některých učebnicích se výrazem log x označuje přirozený logaritmus - v tom případě by to ovšem učebnice měla dát čtenáři vědět; v tomto textu logrr znamená logaritmus o základu 10 a pro přirozený logaritmus budeme užívat jeho klasickou značku Inx). • Ve zbytku přednášky čtyři rovnice exponenciální a logaritmické, také jsou vzaty z dané učebnice pro gymnázia: 2 • log10(x - 1) = 0,5 • (log10 x5 - log10 x); 1 ~! = 3U; 3"(«+2) log10x = 2-log105; \og2(x + 14) + \og2(x + 2) = 6. 12.2 Cvičení Nástin cvičení: • Dva lidi k tabuli: jeden nakreslí grafy y = x4, y = Ax; druhý grafy y = x3, y = 3X ... jaký je rozdíl mezi funkcí mocninnou a funkcí exponenciální? Další dva lidi: Nakreslete graf funkce y = 2X a vypište její vlastnosti; nakreslete graf funkce y = (^) a vypište její vlastnosti. Statická dovednost: dosaďte x = 0, x = 1. • Další dva lidi: pojďte do téhož obrázku nakreslit graf funkce inverzní f~ľ a vypište její vlastnosti, které jsou odlišné od vlastností funkce /. Statická dovednost: dosaďte x = 1, x = základ logaritmu. /„\-0,5 • Porovnejte hodnoty ( ^ J a 1 pomoci grafu funkce y = • Porovnejte hodnoty 0,41,6 a 0,41,8 pomocí grafu funkce y = 0,AX. • Další dva studenti k tabuli: Nakreslete graf následující funkce, který vznikne buď po úpravě vzorce, nebo spojením posunutí a osové souměrnosti ze základního tvaru grafu exponenciální funkce: a) y = 2X+3 — 1, b) y = 2~x. • Nalezněte vzorec inverzní funkce f~ľ k exponenciální funkci v části (a) předchozí odrážky a do téhož obrázku jako / nakreslete graf funkce • Nakreslete graf funkce f(x) = 2 — 0,3^ a určete její vlastnosti. • Najděte inverzní funkci f~ľ k funkci / z předchozí odrážky a nakreslete jinou barvou do téhož obrázku její graf. • Práce s logaritmickými funkcemi: Začneme řešením logaritmických nerovnic s grafickou podporou. Najděte všechna x G R, pro něž platí \og2x > log24, zdůvodněte s využitím grafu funkce y = log2 x. • Najděte všechna x G R, pro něž platí log0 5 x > log0 5 2, zdůvodněte s využitím grafu funkce y = log0 5 x. 94 12 F) = FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ • Dva lidi k tabuli: nakreslete grafy mírně modifikovaných logaritmických funkcí (osovou souměrností a posunutím), určete jejich Df, Hf: a) y = logi (x + 2) — 1; b) y = log3(l -x) + 2. • K funkci (a) z předchozí odrážky určete funkci inverzní grafem i vzorcem. • A závěrem opačná dovednost: graf funkce rostoucí je takový, že H f = (—oo; 2) a prochází bodem [3; 1], tedy funkční hodnoty se pro rostoucí x blíží asymptoticky ke konstantní funkci y = 2. Najděte vzorec exponenciální funkce (mírně pozměněné, díky posunutí a osové souměrnosti), které je grafem. • A druhý díl závěrečné dovednosti: Funkce / je klesající s definičním oborem D f = (2; oo) a prochází bodem [3; 2]. Přímka x = 2 je svislou asymptotou funkce. Nalezněte její vzorec pomocí posunutého logaritmu. Cvičení 12.1. Nakreslete graf funkce f(x) = 0,5X a určete Df a Hf. Napište vzorec funkce f~ľ(x) inverzní k funkci f{x) z části (a). Cvičení 12.2. Nakreslete graf funkce f{x) = 0,3~x + 2, určete D f a H f. Najděte vzorec inverzní funkce f~ľ k funkci z části (a). Cvičení 12.3. Nakreslete graf funkce f{x) = \og2(x — 1) a určete D f a H f. Vyjádřete neznámou y z rovnice \ny = x2 + 2. Cvičení 12.4. Nakreslete graf funkce f{x) = — \og2(x — 1) + 2 a určete D f a H f. Nalezněte vzorec funkce inverzní k funkci (a) a nakreslete její graf. Cvičení 12.5. Je dána funkce f(x) = 2X 1 + 3. Najděte vzorec funkce inverzní / 1 a nakreslete oba grafy do jednoho obrázku, určete D(f), H(f), D(f~1), H(f~1). Cvičení 12.6. Nakreslete grafy funkcí (do tří různých obrázků) a) y = 0,3X; b) y = —0,3^; c) y = 2 — 0,3^; k poslední uvedené funkci najděte vzorec pro funkci inverzní a nakreslete ji do obrázku c). Cvičení 12.7. Pro funkci y = 2 • \og4x — 1 nalezněte vzorec funkce inverzní. Cvičení 12.8. Je dána funkce f (x) = \og5(x + 2) — 1. Najděte vzorec funkce inverzní J-1 a nakreslete oba grafy do jednoho obrázku, určete D(f), H (f), D(f~1), H(f~1). Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.12. 95 13 G) = Goniometrické funkce 13.1 Přednáška Odkud se vzaly goniometrické funkce? Označení pochází z řečtiny: hé gé ... země, odtud „geometrie" = měření země, zeměměřičství; dále hé gónia ... úhel, roh, úhelný kámen, tj. odtud „goniometrie" = měření úhlů, úhloměřičství. Nástin přednášky (spíše asi skripta přes projektor, je to přednáška v obrazech): • Definice funkcí úhlu (v pravoúhlém trojúhelníku, viz obrázek), orientovaný úhel, stupňová a oblouková míra úhlu („namotáme" reálnou osu na kružnici o jednotkovém poloměru, viz obrázek) • Rozšíření goniometrických funkcí z úhlů trojúhelníku na R: — důvod rozšíření funkcí sin rr, cos x na celé R: pohyb po kružnici, kmitání pružiny-struny netlumené nebo tlumené. — jak si zapamatovat hodnoty funkcí sinrr, cos x pro šestnáct základních úhlů ... viz dva obrázky; — řešení rovnic ... vyřešte v R: sin x = 0,5; vyřešte v R: cos x = —Tp-- • Dovednost, za jejíž neznalost byste mohli zkoušku nesložit: Nakreslete grafy funkcí sinrr, cosrr, tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x a vypište jejich základní vlastnosti. • Dovednost, za jejíž neznalost NEbudete vyhozeni od zkoušky: Nakreslete grafy funkcí mírně modifikované posunutím, osovou souměrností nebo vynásobením konstantou z funkcí sinrr, cosrr, tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x a vypište jejich základní vlastnosti. A. Označení goniometrických funkcí Pokud přeskočíme definici úhlu ze základní školy a podíváme se na středoškolskou definici goniometrických funkcí, mohla by se odehrávat následovně: Když se podíváme na pravoúhlé trojúhelníky ABC, AB'C, AB"C", které jsou podobné díky všem třem úhlům navzájem shodným (viz obrázek 17, trojúhelníky ABC, AB'C, AB"C"), Obrázek 17: Pravoúhlé trojúhelníky, které jsou podobné. 96 13 G) = GONIOMETRICKÉ FUNKCE vidíme, že například poměr délky odvěsny protilehlé vrcholu a ku délce přepony se nemění a zůstává ve všech třech pravoúhlých trojúhelnících stejný - a je tedy spíše vlastností úhlu a sklonu přepony vůči vodorovné odvěsně, než vlastností délek; označme tento poměr siná: _ \bc\ _ \b'c'\ _ \b"c"\ sma:~ ]ač\ " Jao\ - ~\a&\- V praxi pak například lze určit z těchto vztahů \bc\ = \ac\ ■ siná, tj. délku jedné strany pravoúhlého trojúhelníka lze vypočítat pomocí délky jiné strany a hodnoty siná. Podobně v obrázku vidíme další poměry stran, které se nemění, pokud zachováváme všechny úhly trojúhelníka stejné, přičemž jeden z nich je pravý, a sice tg a : = cotg a : = \ab\ \ab'\ \ab"\ \ac\ ~ \ac'\ ~ \Acy \bc\ \b'c'\ \b"c"\ siná \ab\ \ab'\ \ab"\ cos a' \ab\ \ab'\ \ab"\ cos a 1 \bc\ \b'c'\ \b"c"\ siná tg a (v daných rovnostech jsou uvedeny jak definiční vztahy :=, tak z nich vyplývající vztahy mezi jednotlivými definicemi, které plynou z toho, že u funkcí tg a, cotg a dáváme funkce siná, cos a do vzájemného poměru). Tím způsobem jsme definovali funkce popisující jistou vlastnost ostrých úhlů, tj. úhlů, které mohou vzniknout jako vnitřní úhly při vrcholu a v pravoúhlém trojúhelníku abc. B. Dvě metody měření úhlů Při měření a popisu úhlů existují dvě základní metody neboli míry: a) Stupňová míra ... plnému úhlu se přisoudí velikost 360°, pravému úhlu velikost 90°, přímému úhlu velikost 180°, atd. b) Oblouková míra = délka oblouku: Když reálnou číselnou osu „namotáme"45 na jednotkovou kružnici se středem v počátku a poloměrem 1, na této kružnici dostáváme obrazy reálných čísel - nyní dostáváme úhly určené na jedné straně polopřímkou určenou kladným směrem vodorovné osy, na druhé straně polopřímkou vycházející z počátku, která prochází obrazem reálného čísla „namotaného" na jednotkové kružnici. Obloukové míře se někdy říká i radiánová míra, kde jednotka jeden radián odpovídá úhlu s vrcholem v počátku a rameny procházejícími obrazy bodů 0 a 1 na jednotkové kružnici (úhel o velikosti jednoho radiánu tedy vytíná na jednotkové kružnici popsané v předchozí konstrukci oblouk délky 1). V těchto dvou mírách potom Na obě strany donekonečna, tj. to namotávání by nám zabralo hodně času - nicméně toto přibližné vyjadřování je formální, ne že bychom to nekonečné namotávání museli prakticky provést. 13.1 PŘEDNÁŠKA 97 --1--1----1-1----—*— Obrázek 18: Namotání reálné osy na kružnici o poloměru 1. hodnotě 45° odpovídá oblouková délka | rad, hodnotě 90° odpovídá oblouková délka | rad, hodnotě 180° odpovídá oblouková délka 7r rad, atd. C. Rozšířená definice goniometrických funkcí Tímto „namotáním" reálné číselné osy na jednotkovou kružnici, která se dále nachází také v rovině, ve které jsme umístili kartézskou soustavu souřadnic (= vodorovnou a svislou osu) s počátkem ve středu kružnice, lze rozšířit definici goniometrických funkcí sinrr, cosrr (a tím i tg rr, cotg rr) pro jakékoli reálné x následovně - viz obrázek 19 : Obrázek 19: Rozšíření definice funkcí sinrr a cosrr pro libovolné reálné x. 98 13 G) = GONIOMETRICKÉ FUNKCE Souřadnice obrazu bodu x po namotání na jednotkovou kružnici jsou v kartézské soustavě bodů v rovině, ve které se kružnice nachází, rovny [cosx, sinrr]. D. Význačné hodnoty goniometrických funkcí Je důležité pamatovat si hodnoty goniometrických funkcí pro některé důležité úhly x, minimálně hodnoty v tabulce: s 0 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° x (rad) 0 7t fi 7t 4 7t 3 7t 2 7T 3tt 2 sinrr 0 1 2_ 2_ V3 2 1 0 -1 cosx 1 2_ 2 1 2 0 -1 0 tg X 0 3 1 v7! není def. 0 není def. cotg X není def. 1 V3 3 0 není def. 0 Zapamatování údajů z předchozí tabulky právě usnadňuje geometrický význam těchto hodnot jako souřadnic [cosx, sinrr] obrazu bodu x při namotání reálné osy na jednotkovou kružnici46. • Význačné hodnoty funkcí sin x, cos x pro násobky úhlu | jsou uvedeny na obrázku 20: 46Pozor, záleží na pořadí, první souřadnice bodů na jednotkové kružnici je rovna hodnotě cos x, druhá souřadnice hodnotě sinx. 13.1 PŘEDNÁŠKA 99 • Význačné hodnoty funkcí sin x, cos x pro násobky úhlu | jsou uvedeny na obrázku 21: Obrázek 21: Jednotková kružnice nám usnadňuje zapamatovat si hodnoty sin x a cos x pro násobky úhlu ^. Znalost hodnot goniometrických funkcí v těchto úhlech je důležitá pro řešení goniometrických rovnic: Příklad 13.1. vyřešte v R: sinrr = 0,5; Příklad 13.2. vyřešte v R: cosrr = —íp. 100 13 G) = GONIOMETRICKÉ FUNKCE E. Graf a vlastnosti goniometrických funkcí Podívejme se nyní na grafy funkcí sinrr, cosrr, tg rr, cotg x s definičním oborem rozšířeným pro všechna rr E R a z grafů se pokusíme vyčíst jejich vlastnosti. • Vlastnosti funkce sinrr vyčtené z jejího grafu: a) Graf vidíme na obrázku: b) D(f) = R. c) U(/) = <-l;l>. d) Funkce sin x je rostoucí na každém z intervalů + 2kir, | + 2kir) a klesající na každém z intervalů (| + 2kn, ^ + 2kn) (pro k E Z). Odtud lze odvodit, že lokální minimum nastává v bodech -y1 + 2kir (pro k E Z), lokální maximum v bodech | + 2kir (pro k E Z). e) Funkce sin x je lichá, protože její graf je středově souměrný podle počátku sou- stavy souřadnic, tj. platí sin(—rr) = — sin x pro libovolné x E R. f) Funkce sin x je ohraničená zdola (např. konstantou K = — 1) i shora (např. konstantou L = 1). g) Funkce sin x je periodická s délkou nejmenší periody p = 2tt. h) Funkce f(x) = sinx není prostá (= injektivní), protože například hodnoty nula nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f~ľ s nekonečně mnoha body, a tak je porušena podmínka z definice zobrazení. Tedy obecně řečeno k funkci sinx funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na f(x) = sinx pro x E (-^-; f), tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní existuje, označujeme ji f^1(x) = arcsin x: 13.1 PŘEDNÁŠKA 101 • Vlastnosti funkce cosx vyčtené z jejího grafu: a) Graf funkce cos x vidíme na obrázku: i -tr ir i N -1-- -- 1 TS. -Zit .-vfN. 2- £ -1 b) D(f) = R. c) U(/) = <-l;l>. d) Funkce cos x je rostoucí na každém z intervalů (tt + 2/c7r,27r + 2Aľ7r) a klesající na každém z intervalů (0 + 2/c7r,7r + 2kir) (pro A; G Z). Odtud lze odvodit, že lokální minimum nastává v bodech 7r + 2kir (pro k E Z), lokální maximum v bodech 0 + 2kir (pro k E Z). e) Funkce cos x je sudá, protože její graf je osově souměrný podle svislé osy y, tj. platí cos(—x) = cosx pro libovolné x G R. f) Funkce cosx je ohraničená zdola (např. konstantou K = — 1) i shora (např. konstantou L = 1). g) Funkce cosx je periodická s délkou nejmenší periody p = 2tt. h) Funkce f(x) = cosx není prostá (= injektivní), protože například hodnoty nula nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f~ľ s nekonečně mnoha body, a tak je porušena podmínka z definice zobrazení. Tedy obecně řečeno k funkci cosx funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na f(x) = cos x pro x G (0; 7r), tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní existuje, označujeme ji /_1(x) = arccos x: 102 13 G) = GONIOMETRICKÉ FUNKCE • Vlastnosti funkce tg x vyčtené z jejího grafu: a) Graf funkce tg x vidíme na obrázku: b) c) d) e) f) g) h) ' 2 kn) a nemá lokální D(f) = R -{f+ M-H {f) = R. Funkce tg x je rostoucí na každém z intervalů (—| + kn extrémy. Funkce tg x je lichá47, protože její graf je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic, tj. platí tg (—x) = —tg x pro libovolné x G D(f). Funkce tg x není ohraničená shora ani zdola. Funkce tg x je periodická s délkou nejmenší periody p = tt. Funkce f(x) = tg x není prostá (= injektivní), protože například hodnoty nula nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f~ľ s nekonečně mnoha body, a tak je porušena podmínka z definice zobrazení. Tedy obecně řečeno k funkci tg x funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na f{x) = tg x pro x G (-^f;f)? tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní existuje, označujeme ji f^1{x) = arctg x: jr • 2. — " - — — - — — — — - --- -I • i- 47Součin nebo podíl dvou funkcí, z nichž jedna je lichá a druhá sudá, je lichá funkce vlastnosti víme, že funkce tg x i cotg x jsou liché. díky této 13.1 PŘEDNÁŠKA 103 • Vlastnosti funkce cotg x vyčtené z jejího grafu: a) Graf funkce cotg x vidíme na obrázku: b) c) D(f) = R- {0 + kn}. H(f) = R. d) Funkce cotg x je klesající na každém z intervalů (0 + kir, 7r + kir) a nemá lokální e) Funkce cotg x je lichá, protože její graf je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic, tj. platí cotg (—x) = —cotg x pro libovolné x G D(f). f) Funkce cotg x není ohraničená shora ani zdola. g) Funkce cotg x je periodická s délkou nejmenší periody p = tt. h) Funkce f(x) = cotg x není prostá (= injektivní), protože například hodnoty nula nabývá v nekonečně mnoha bodech, tj. 0 je v relaci f~ľ s nekonečně mnoha body, a tak je porušena podmínka z definice zobrazení. Tedy obecně řečeno k funkci cotg x funkce inverzní neexistuje. Ovšem pokud bychom se omezili na f(x) = cotg x pro x G (0;7r), tato funkce prostá je a inverzní funkce k ní existuje, označujeme ji f~ľ(x) = arccotg x: Zapamatovat si průběh grafů zúžených goniometrických funkcí a funkcí k nim inverzních lze pomocí následujících dvou faktů: a) inverzní funkce k rostoucí funkci je opět rostoucí (jak je to u funkcí zúžený sin x a zúžený tg x); inverzní funkce ke klesající funkci je opět klesající (jak je to u funkcí zúžený cos x a zúžený cotg x); b) D(f) = H(f~1) a H(f) = D(F~1) ... platí pro všechny čtyři zúžené goniometrické funkce. extrémy. 104 13 G) = GONIOMETRICKÉ FUNKCE 13.2 Cvičení Poznámky ke cvičení 13: • Z bloku A jen 1) vyznačení šestnácti základních úhlů na jednotkové kružnici (násobky zkoušení, o jaký úhel se jedná; 2) nějaké goniometrické rovnice ze 13.3, sinrr = cos x = —preferovaně v obloukové míře. • Z bloků B,C,D kreslení grafů goniom. a cyklomet. fcí v základní poloze a výpis všech jejich vlastností (zejména pokud se některá z osmi funkcí nestihla na přednášce). • První dvě odrážky jsou povinná znalost při zkoušení - dále snad z bloku D jen cvičení 13.7 nebo nějaké jiné z bloků B,C,D na posun grafu goniom. a cyklomet. funkce kousek ze základní polohy. Pokud na tuto odrážku nezbude moc času, tak řešení 13.7 je na konci skript, řešení příkladů z učebnice pro gymnázia [10] (Matematika pro gymnázia - goniometrie) je na konci učebnice pro gymnázia. • Odkazy na strany v následujícím se týkají učebnice [10] pro gymnázia, Matematika pro gymnázia - goniometrie. Blok A: goniometrické rovnice řešené pomocí jednotkové kružnice, řešením může být jen šestnáct základních úhlů Cvičení 13.1. Velikost úhlu ve stupňové a obloukové míře 1. Str. 21-23, řešený př. 1. 2. Převodní vztahy mezi stupni a radiány získáme z trojčlenky podle toho, zda se nám líbí více vzorec se 180° nebo 360°: 71" 27t 1 rad ... -stupňu =-stupňu; 180 F 360 F ' x rad ... a stupňů. Odtud získáme vzorec pro převod stupňů na radiány x ■ 180 x ■ 360 a =-=- 7t 2n nebo radiány na stupně a ■ 7t a ■ 2n X ~ TŠÔ" ~ 360 3. Str. 24, příklady 5 a 6 ... konkrétní převod míry úhlu z radiánu na stupně nebo naopak. Další příklady str. 25, př. 2.10.a), 2.11.a). Cvičení 13.2. Orientovaný úhel a jeho vlastnosti 1. Str. 27-28 ... základní velikost orientovaného úhlu: 0 < a < 2% v obloukové míře, respektive 0 < a < 360 v úhlové míře; 13.2 CVIČENÍ 105 2. orientovaný úhel, který nemá základní velikost, lze převést na úhel se základní velikostí odečtením či přičtením vhodného násobku 2%, respektive v úhlové míře vhodného násobku 360°; 3. př. 1-str. 29, další příklady: 2.19-str.32, 2.20-str.33, 2.21, 2.22. Cvičení 13.3. Základní příklad: Goniometrické rovnice řešte pouze z náčrtku jednotkové kružnice, ze které odečtete hodnotu cosi jako souřadnici první, siní jako souřadnici druhou koncového bodu na oblouku délky i kružnice o jednotkovém poloměru - řešením může být pouze jeden ze šestnácti úhlů, jehož hodnoty sinus a cosinus se máte naučit nazpaměť: 1. Str. 61 - příklad 1 ... využití jednotkové kružnice; 2. další příklady: str.68 - př. 2.52. Blok B: Funkce siní a cosi Cvičení 13.4. Vlastnosti funkcí siní, cosi 1. Řešené příklady 6-str.37 a 1-str.38-39; 2. další příklady: str.40-41, příklady 2.24 až 2.33. Cvičení 13.5. Základní příklad: nakreslete grafy funkcí siní, cosi a určete jejich vlastnosti; rozšiřující příklady: 1. Str. 42 ... grafy; str. 43 - př. 1, str. 44 - př. 2, str. 46 - př. 3, str. 48 - př. 2.39; 2. další příklady: str. 49 - př. 2.40. Blok C: Funkce tg i, cotg i Cvičení 13.6. Základní příklad: nakreslete grafy funkcí tg i, cotg i a určete jejich vlastnosti; rozšiřující příklady: 1. Str. 57-58 ... grafy; str. 55 - příklad 1; 2. str. 60 - př. 2.43 až 2.49. Blok D: Funkce arcsin i, arccos i, arctg i, arccotg i Cvičení 13.7. Základní příklad: nakreslete grafy cyklometrických funkcí arcsin i, arccos i, arctg i, arccotg i a určete jejich vlastnosti; rozšiřující příklady: 1. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arccos i; 2. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arccos (—i); 3. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = —arccos i; 4. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arccos (i + 2); 5. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arccos (2i); 106 13 G) = GONIOMETRICKÉ FUNKCE 6. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = 2 • arccos x; 7. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = 2 + arccos x; 8. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arcsin (|) — |; 9. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = arccos (3x — 2); 10. Nakreslete graf a určete vlastnosti funkce f(x) = | • arccotg (2x — 5) + n Blok E: Úlohy na zopakování goniometrických a cyklometrických funkcí: Cvičení 13.8. Úlohy k opakování - str. 69-70, příklady 2.60 až 2.68. Výsledky některých příkladů a cvičení jsou uvedeny na konci textu v oddílu 14.13, některých zase na konci odkazované učebnice Goniometrie. 107 14 Výsledky některých příkladů 14.1 Výsledky ke kapitole 1.2 — logické spojky, univerzální výroky, důkaz výčtem pravdivostních hodnot Ad cvičení 1.1. Studenti sami - každý řádek obou výrokových forem má stejnou pravdivostní hodnotu při všech kombinacích pravdivostních hodnot jeho dílčích výrokových proměnných. Ad cvičení 1.2. Negace výroků: a) Existuje přirozené číslo, které není rovno součtu všech svých dělitelů. Mimochodem, číslům, která jsou rovna součtu všech svých dělitelů mimo číslo samotné, se říká dokonalá čísla - patří mezi ně např. 6 nebo 28, protože 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. b) Dnes nebude pršet nebo nebudeme psát písemku z matematiky. Tím pádem ten den nebude tak hrozný. c) Aspoň jeden učený z nebe spadl. d) Existují nejvýše dně přirozená čísla, která jsou rovna součtu všech svých dělitelů. e) Existuje aspoň pět prvočísel. f) Dnes večer nepůjdu do kina ani si nepřečtu zajímavou knihu. Rozhodl jsem se trucovat. g) Existuje nanejvýš jedno nebo existují aspoň tři celá čísla, která se rovnají své druhé mocnině. Původní věta je skutečně pravdivá - danými právě dvěma celými čísly jsou 0 a 1. Ad cvičení 1.3. Symbolický zápis je: a) Vn G N 3 k G N : k > 2n + 1. Jedná se o pravdivý výrok. b) \/z£Z3k£Z:k — 1 < z3. Krásně rozlišujeme prvky množiny malými písmeny, samotné množiny označujeme velkými písmeny. Matematický zápis má pravidla, která by měla být pomocí čtenáři i autorovi textu. Výrok je mimochodem také pravdivý. Ad cvičení 1.4. Negace jsou: a) Půjdu na ten večírek, ale Ondra tam nepůjde, nebo se také může stát, že Ondra půjde na večírek a já tam nepůjdu. b) Přijde Honza a já mu o tom neřeknu. Nebo: Přijde Honza, ale neřeknu mu o tom. Ad cvičení 1.5. Negace výroků podle ekvivalentních úprav: a) np^B)AC) "41 ->(A =^ 5) V (-.C) ds4°6 (A A -^B) V -.C. 108 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ b) ->(A => (B V C)) dslďe A A -i(B V C) "42 A A -5 A -.C. c) -.((A V B) A C) "41 V B)\I -iC v^ (-.A A -.5) V -.C. Ad cvičení 1.6. Symbolický zápis výroků: a) 3n G A : n + 5 > 10. b) Vn G A : 6|n ^ (2|n A 3|n). Ad cvičení 1.7. Negace výroků ze cvičení 1.6: a) Vfi G JV : n + 5 < 10 (výrok je nepravdivý). Znak 3 jsme tedy nahradili v negaci znakem V, a současně jsme znegovali i podmínku za dvojtečkou. b) 3n G N : [6\n A (2 /n V 3 /n)] V (2|n A 3\n A 6 /n). 14.2 Výsledky ke kapitole 2.2 — důkaz implikace (přímý a nepřímý), důkaz ekvivalence Ad cvičení 2.5. Předpokládáme, že platí n = 2k — 1. Pak zkoumáme druhou mocninu tohoto čísla zmenšenou o 1 a dostaneme: (2k - l)2 - 1 = 4k2 - 4k + 1 - 1 = 4fc(/c - 1). Součin k{k — 1) je součin po sobě jdoucích čísel, a tedy číslo sudé nebo pro k = 1 nula, tj. číslo dělitelné dvěma. Odtud jeho čtyřnásobek je dělitelný osmi. Ad cvičení 2.6. Předpokládáme, že platí a = 2k + 1, b = 21 + 1. Pak zkoumáme rozdíl jejich druhých mocnin a dostaneme: (2k + l)2 - {21 + l)2 = 4A;2 + Ak + 1 - 4/2 - 4/ - 1 = 4fc(/c + 1) - 41(1 + 1). Podle cvičení 2.5 se jedná o rozdíl čísel dělitelných osmi, tj. výsledek je číslo dělitelné osmi. Ad cvičení 2.7. Předpokládáme, že platí a = 2k — 1, b = 2k, c = 2k + 1. Pak zkoumáme jejich součet a dostaneme: 2k — 1 + 2k + 2k + 1 = 6/c, a to je číslo evidentně dělitelné šesti (každý násobek šesti je dělitelný šesti). 14.3 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - DŮKAZ SPOREM, INDUKCÍ, KONSTRUKCÍ A PROTIPŘÍKLADEM 109 14.3 Výsledky ke kapitole 3.2 — důkaz sporem, indukcí, konstrukcí a protipříkladem Ad Cvičení 3.1. Viz cvičení. Ad Cvičení 3.2. Viz domácí úkol - konzultace před prověrkou. Ad Cvičení 3.4. Ad a): viz cvičení, ad b): i) n = 1 dosadíme do obou stran rovnosti: 1 = l2 ... platí; n = 2 dosadíme do obou stran: 1 + 3 = 22 ... platí. ii) Předpokládáme platnost indukčního předpokladu: Vzorec platí pro n, tj. 1 + 3 + 5 • • • + (2n - 3) + (2n - 1) = n2. Odtud nyní dokážeme (chceme dokázat) platnost vztahu pro (n + l)48: 1 + 2 + • • • + (2(n + 1) - 3) + (2(n + 1) - 1) = (n + l)2, což lze upravit na vztah 1 + 2 + • • • + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + l)2. Zkusme upravit levou stranu dokazované rovnosti s využitím pravé strany indukčního předpokladu (a poté použijeme vzorec (a + 6)2 = a2 + 2ab + b2, ale z druhé strany, tj. zprava doleva): 1 + 2 + • • • + (2n - 1) +(2n + 1) in=' n2 + 2n + 1 = (n + l)2. =n2 A to jsme chtěli dokázat, důkaz je hotov. S využitím platnosti vztahu pro n jsme dokázali, že platí i pro (n + 1). Ad Cvičení 3.5. Důkaz sporem: Předpokládejme, že y/3 JE racionální číslo, tj. lze je vyjádřit ve tvaru zlomku. Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že v tomto zlomku už nelze krátit, tj. pokud je krácení možné, provádíme je tak dlouho, až dospějeme do vztahu i- m Vš = —, n kde m E Z, n E N a čísla m, n jsou nesoudělná (= nemají společného dělitele většího než číslo 1). Umocněním obou stran na druhou dostaneme 2 m 3 = 77-, a tedy o 2 2 48 Napíšeme tedy přesně stejný vztah, ale místo n píšeme všude (n + 1). 110 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ Z poslední rovnosti plyne, že číslo m2 je dělitelné třemi, a tedy i číslo m musí být dělitelné třemi, tj. m = 3k pro k G N. Dosazením do naší rovnosti máme 3n2 = 9k2, po vydělení třemi n2 = 3k2. Z poslední rovnosti plyne, že číslo n2 je dělitelné třemi, a tedy i číslo n musí být dělitelné třemi, tj. n = 31 pro nějaké / G N - ale to je spor s konstrukcí čísel m, n, protože jsme je sestavili tak, aby neměli žádného jiného přirozeného dělitele než číslo 1. Dospěli jsme řetězcem přesných úvah ke sporu - nesprávný je tedy původní předpoklad, tj. platí jeho opak, y/Š není číslo racionální, nelze ji vyjádřit ve tvaru zlomku. Ad cvičení 3.6. Větu 2\n2 =>- 2\n dokážeme nepřímo, tj. budeme dokazovat přímo její obměnu: 2 J(n =>■ 2 \n2. Úsudek 01: Pokud 2 J(n, tak n je liché, tj. n = 2k + 1 pro nějaké k G N. Úsudek 02: Pokud n = 2k + 1, tak n2 = Ak2 + Ak + 1, tedy číslo liché. Závěr: n2 je liché, tj. 2 ){n2. Důkaz je hotov. Ad cvičení 3.8. Implikaci lze dokázat, nejlépe nepřímo. 14.4 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - OPERACE S MNOŽINAMI, DŮKAZ UŽITÍM VENNOVÝCH DIAGRAMŮ, KARTÉZSKÝ SOUČIN 111 14.4 Výsledky ke kapitole 4.2 — Operace s množinami, důkaz užitím Vennových diagramů, kartézský součin Ad cvičení 4.9. Symbolické definice pojmů: a) Ä = {x G U : x ^ A}. b) A\B = {x G A : x £ B}. c) A x B = {[x,y] : x e A, y e B}. d) A U B = {x : x G A V x G 5}. e) A n B = {x : x G A A x G 5}. f) A^-JB = {x: (xGAAx^5) V (x e B A x ^ A)}. Ad cvičení 4.10. (A U B) n C = {17,18,19}. Ad cvičení 4.11. a) Množina je soubor navzájem rozlišitelných prvků. b) Například S= (C- A) U (A n B n C). Ad cvičení 4.12. a) Například (5flC)\A; b) například (5\(AUC))U(in5nC); c) například (B íl D) \ C; d) například 5\(iUC). Ad cvičení 4.13. Označme Z\ množinu studentů, kteří složili zkoušku první, Z2 množinu těch, co složili zkoušku druhou, Z3 množinu těch, co složili zkoušku třetí. Na-kreslíme-li si tyto množiny v obecné poloze, můžeme pomalu vyplňovat počty prvků v jednotlivých oblastech roviny - počínaje těmi, které víme naprosto jistě. Postupně dostaneme: • Deset procent studentů nesložilo žádnou zkoušku ... mimo kruhy píšeme číslo 12. • Nebyl nikdo, kdo by složil zkoušku pouze z druhého předmětu ... do Z2 — Z\ U Z3 píšeme číslo 0. 112 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ • Dvacet studentů neobstálo ani u jednoho z nich - je míněno „ani u druhého, ani u třetího předmětu", o nichž byla řeč v první části souvětí (i čeština správně pochopená hraje roli) ... do Z\ — Z2 U Z% píšeme číslo 8, protože jsme od 20 odečetli ještě 12 studentů, kteří jsou úplně mimo. • 9 studentů složilo druhou zkoušku, ale ne zkoušku první ... to je krásná informace o počtu studentů v množině Z2 fl Z% — Z\ (zkouška: 0 + 9 = 9 studentů se nachází v množině Z2 — Zi). • 56 studentů složilo úspěšně zkoušku ze druhého i třetího předmětu ... toto je informace o počtu prvků množiny Z2 fl Z% ... odtud lze určit počet studentů v průniku všech tří množin: 56 — 9 = 47. • 33 studentů nevyhovělo ze třetího předmětu ... mimo množinu Z% je 33 studentů a tyto oblasti roviny mimo jediné máme už prošetřeny, tj. do zbývajícího pole Z\ fl Z2 - Z3 píšeme 33 - 12 - 0 - 8 = 13. • 47 studentů složilo ze tří zkoušek dvě ... tato informace se týká součtu počtu studentů ze tří různých oblastí - jedná se o studentu nacházející se v průniku vždy dvou množin, ale mimo průnik všech tří množin. Dvě z těchto tří částí máme už popsány, tj. tu třetí určíme odečtením počtu prvků zbylých dvou od 47, dostaneme Nyní máme ve Vennově diagramu informace o všech částech roviny kromě té, na kterou se ptá zadání úlohy: Kolik studentů složilo výlučně předmět třetí? Tuto informaci získáme, když odečteme všech sedm počtů navzájem disjunktních množin od čísla 120: Z\ n z% — z2 47- 13 - 9 = 25. 120 - 12 - 0 - 8 - 13 - 47- 25 -9 120 114 6. 14.5 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL, DŮKAZ UŽITÍM DIRICHLETOVA PRINCIPU, OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY 113 14.5 Výsledky ke kapitole 5.2 — Dělitelnost celých čísel, důkaz užitím Dirichletova principu, operace s komplexními čísly Ad Příklad 5.3. ad a) 25 : 3 = 8, zbytek je 1; tedy 25 = 3 • 8 + 1, tj. q = 8, r = 1. ad b) (—25) : 3 = —8, zbytek je —1; tedy —25 = 3 • (—8) + (—1) ... to ještě nesplňuje podmínku věty, odečteme tedy dělitele 3 od pravé strany a současně jej přičteme: -25 = 3-(-8)-3 + 3-1 = 3-(-9)+ 2 =>■ q = -9, r = +2. Ad cvičení 5.2. Proveďme Euklidův algoritmus pro hledání největšího společného dělitele: 364 : 208 = 1, zbytek r0 = 156; 208 : 156 = 1, zbytek rx = 52; 156 : 52 = 3, zbytek r2 = 0. Tj. NSD je posledním nenulovým zbytkem, tj. jedná se o číslo 52. Tentýž NSD jsou schopni studenti najít i rozkladem na prvočinitele: 364 = 22 • 91 = 22 • 7 • 13; 208 = 23 • 26 = 24 • 13. Tedy NSD = 22 • 13 = 52 ... brali jsme součin všech mocnin prvočísel, které jsou děliteli obou z daných čísel. 114 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ 14.6 Výsledky ke kapitole 6.2 — Binární relace a její vlastnosti Ad Příklad 6.1.: • reflexivní relace je reprezentována smyčkami u všech prvků (jedničkami na celé hlavní diagonále), • antireflexivní relace nepřítomností smyček (nepřítomností jedniček na hlavní diagonále), • symetrická relace má pro každou šipku též šipku v opačném směru, • antisymetrická relace nemůže mít oboustranné šípky mezi dvěma různými prvky, • tranzitivní relace musí pro např. šipku od a do b a od b do c obsahovat i šipku od a do c, • úplná relace jednak obsahuje všechny smyčky, a pak pro každé dva různé prvky x, y vede šipka buď z x do y (tedy x je v relaci s y), nebo šipka z y do x, nebo obojí. Ad Příklad 6.2.: Studentům by mělo být jasné, že např. antireflexivní (anti — 12) relace není negací relace reflexivní (11), ale úplným protipólem reflexivní relace - tj. že existují relace s nějakou smyčkou, které nejsou ani reflexivní, ani antireflexivní. Podobně u tranzitivní relace nemusí být všechny možné tranzitivní spoje prvky relace, ale jen ty, které jsou vynuceny šipkami v posloupnosti tří prvků (tj. xpy a ypz vynucují šipku xpz). Možná řešení viz obrázek: 14.6 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - BINÁRNÍ RELACE A JEJÍ VLASTNOSTI 15 Ad Příklad 6.3.: R je reflexivní (11) a tranzitivní (13). Je důležité si všimnout, že relace R není antisymetrická, protože například 3|(—3) a (—3)|3, ale odtud neplyne 3 = —3. Není ani symetrická, protože pokud 3|6, neplyne odtud, že 6|3. Ad Příklad 6.4.: ad a) může, ale jen relace, která je podmnožinou reflexivní relace, bez šipek mezi různými prvky; tedy jedná se o relaci, jejíž jediné prvky jsou nějaké smyčky (ne nutně všechny). Ad Příklad 6.5.: ad a) i? je reflexivní (11), antisymetrická (anti — 12) a tranzitivní (13). ad b) R je reflexivní (11), symetrická (12) a tranzitivní (13). ad c) R je reflexivní (11), antisymetrická (anti — 12) a tranzitivní (13). ad d) i? je pouze reflexivní (11), jinak nic rozumného nelze říci. Ad cvičení 6.3. Ad a) Relace na jednoprvkové množině jsou dvě: prázdná relace a relace obsahující jednu smyčku jediného prvku do sebe sama. Ad b) Relací navzájem různých na dvouprvkové množině je šestnáct - viz obrázek: Q O G'0 Qŕ Co í 9f c ° o i H c Q o U r ° (J Rozbor obrázku: na dvouprvkové množině existují čtyři kombinace rozdělení smyček, tj. čtyřikrát se musí násobit jakákoli verze rozdělení šipek mezi různými prvky. Rozdělení šipek mezi různými prvky jsou čtyři, tj. celkový počet je dán součinem 4-4 = 16 variant. Ad c) Relací navzájem různých na tříprvkové množině je 512: 116 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ G 0 6, ° Q° t Qt f f 14 1 lil G" ° G° n č> o O V °x ° tt 9 O ! \ k . , j \ ti t t ii r\ t 1 y i i Rozbor obrázku: existuje osm rozdělení smyček, tj. počet různých rozdělení šipek mezi navzájem různými prvky se musí násobit osmi. Pro různá rozdělení variant šipek mezi různými prvky existuje • jedna varianta bez šipek mezi různými prvky; • šest variant jedné šipky mezi různými prvky; • z šesti variant jedné šipky vybíráme dvě šipky, tj. variant se dvěma šipkama mezi různými prvky je = 15 variant; • variant se třemi šipkami existuje 6 V 3 h • variant se čtyřmi šipkami existuje • variant s pěti šipkami existuje • variant se šesti šipkami existuje 2; 6 ■ 5 h 14.6 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - BINÁRNÍ RELACE A JEJÍ VLASTNOST117 Tedy celkem dostáváme 8- = 512 variant. ad d) Můžeme se pokusit o hypotézu, kolik různých relací existuje na n-prvkové množině: • Počet rozmístění smyček ... 2n. • Dále počet rozmístění šipek mezi různými prvky ... 2 na počet variant umístění jedné šipky mezi různými prvky. • Jednu šipku umístíme kolika způsoby? Vybereme dva různé prvky (™) způsoby, a vynásobíme dvěma. Jednu šipku mezi různé prvky tedy umístíme • 2 = n(n — 1) způsoby. • Celkem tedy máme: Počet relací na n-prvkové množině ... 2n • 2n(-n ^ = Ad cvičení 6.4. Například p = {[1; 2], [2; 1], [2; 3], [3; 2]}. Ad cvičení 6.5. Například p\ = {[1;2]}, p2*[[2;3]} jsou obě tranzitivní (protože neporušují podmínku tranzitivity), ale jejich sjednocení tranzitivní není. Ad cvičení 6.6. Například p = {[3; 4], [4; 3], [1;2]} - porušuje podmínku symetrie i podmínku antisymetrie. Ad cvičení 6.7. a) Relace | je antisymetrická na množině N. b) Relace | není antisymetrická na množině Z, protože z faktu, že 3|(—3) A (—3)13 neplyne 3 = —3. Ad cvičení 6.8. Relace není reflexivní, protože např. [2; 2] jínp; není ani antireflexivní, protože [1; 1] G p. Není symetrická, protože např. [2; 4] G p, ale [4; 2] ^ p. Antisymetrická je, protože neporušuje podmínku antisymetrie - jediná dvojice navzájem symetrických prvků je totiž [1; 1], a v ní se o navzájem různé prvky nejedná. Není tranzitivní, protože např. [2; 4] G p, [4; 16] G p, ale [2; 16] ^ p. Není úplná, protože např. [2; 3] ^ p a současně ani [3; 2] £ p. Ad cvičení 6.9. Vlastnost symetrie (12) relace p na množině M: a) (12) symbolicky: \/x,y G M : xpy =>- ->(ypx); b) Negace (12): 3x,y G M : xpy A ->(ypx). Ad cvičení 6.10 Vlastnost anti-(12) relace pna množině M: a) anti-(12) symbolicky: \/x,y G M : xpy A ypx =^ x = y; h) Negace anti-(12): 3x,y G M : xpy A ypx A x ^ y. 118 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ Ad cvičení 6.11. Negujte vlastnost (13) relace pna množině M, a to důkladněji než jen stylem „není pravda, že". Postup: a) (13) symbolicky: \/x,y,z G M : xpy A ypz =>- xpz. b) Negace (13): 3x,y,z G M : xpy A ypz A ->(xpz). Ad cvičení 6.12. Reflexivita (11): neplatí, protože např. {1; 2} není v relaci se sebou samotnou. Antireflexivita anti-(ll): neplatí, protože celá množina A je v relaci se sebou samotnou. Symetrie (12): platí, při sjednocení v podmínce relace nezáleží na pořadí množin. Anti-(12): neplatí, např. {1;2} a {3; 4; 5} jsou v relaci, a přitom se jedná o různé podmnožiny. Tranzitivita (13): Neplatí, např. {l}p{2; 3; 4; 5} a současně {2; 3; 4; 5}p{l; 2}, ale 7({l}p{l;2}). Úplnost (14): Neplatí, např. -i({l}p{l; 2}) a současně 2}p{l}). Ad cvičení 6.13. Jakákoli dvě lichá čísla jsou navzájem v relaci p\. Liché číslo není v relaci se žádným sudým číslem, ani dvě sudá čísla nejsou nikdi v relaci. A proto tedy: Reflexivita (11): Neplatí, protože např. [2; 2] ^ p\. Antireflexivita anti-(12): Neplatí, protože např. [3; 3] G p\. Symetrie (12): Platí, protože u součinu nezáleží na pořadí čísel. Anti-(12): Neplatí, protože např. [1; 3] G pi a [3; 1] G pi a čísla 1 a 3 jsou navzájem různá. Tranzitivita (13): Platí, vlastnost lichého výsledku se přenáší na součin jakýchkoli dvou lichých čísel. Úplnost (14): Neplatí, např. [2; 4] pi ani [4; 2] p\. Ad cvičení 6.14. Vlastnosti relace u týmů, které hrají proti soupeři na domácím hřišti: Reflexivita (11): Neplatí, týmy nehrají se sebou samotným v soutěžním zápase (i když na tréninku ano, ale to se nepočítá). Antireflexivita anti-(ll): Platí. Symetrie (12): Platí, oba týmy hrají společně na domácím hřišti i na hřišti soupeře. Anti-(12): Neplatí, ze symetrického vztahu neplyne, že tým hraje sám se sebou. Tranzitivita (13): Ano, protože hraje každý s každým, tj. v relaci jsou obsaženy všechny uspořádané dvojice se dvěma různými týmy. Úplnost (14): Podle definice pojmu vlastnosti (14) tato relace není úplná, protože úplnost, jak jsme ji definovali, zahrnuje i reflexivitu. Kdyby někdo definoval pojem úplné relace jen pro navzájem různé prvky, relace by úplná byla. Ad cvičení 6.15. Viz odpovědi na otázky a výsledky na konci sbírky [17]. 14.7 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - EKVIVALENCE A ROZKLADY 119 14.7 Výsledky ke kapitole 7.2 — ekvivalence a rozklady Ad Příklad 7.4. Relace jsou reprezentovány šipkovými grafy v obrázku množin: Ad Příklad 7.5. a) Možných rozkladů čtyřprvkové množiny na podmnožiny je patnáct, b) Relace ekvivalence je v každém množinovém rozkladu vyznačena soustavou šipek (šipkovým grafem). U ekvivalence určené rozkladem platí, že v relaci jsou všechny možné prvky v každé podmnožině rozkladu: Ad cvičení 7.1. Faktormnožina má čtyři prvky - jsou jimi podmnožiny M±, M2, M%, M4, viz obrázek: 120 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ Ad cvičení 7.3. Rozkladu na dvě podmnožiny Odpovídá relace ekvivalence na množině reálných čísel definovaná p = {[x;y]: (x < 0 A y < 0) V (x > 0 A y > 0)}. Ad cvičení 7.4. Ekvivalenci lze přirozeně definovat mezi těmi zlomky, které lze rozšířit či zkrátit jeden na druhý. Faktormnožina podle této ekvivalence má šest prvků - množiny Mi, M2, ..., M6. Viz obrázek: 14.7 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - EKVIVALENCE A ROZKLADY 121 Ad cvičení 7.5. Chceme rozdělit rozkladem reálná čísla na dvě podmnožiny -například na čísla záporná a čísla nezáporná. V každé podmnožině musí být v relaci ekvivalence každý prvek s každým prvkem. Tedy můžeme třeba i využít zkrácený zápis: p = {[x-y] e R2 : (x < 0 A í/ < 0) V (x > 0 A í/ > 0)}. Uvedené řešení je jedno z možných řešení - rozdělit množinu do dvou podmnožin lze provést mnoha způsoby (nekonečně mnoha způsoby). Ad cvičení 7.6. Výsledky viz sbírka [17], ke konci textu. 122 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ 14.8 Výsledky ke kapitole 8.2 — Uspořádané množiny, maximální prvek, největší prvek a supremum Ad Příklad 8.1: Relace je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní - takže je to podle definice, která bude následovat, uspořádání!! Ad Příklad 8.3: Daný Hasseúv diagram je na obrázku 13 (b). Ad Příklad 8.4: Neizomorfních posetu na tříprvkové množině je pět - viz obrázek 22: Obrázek 22: Všechny navzájem různé (až na přeznačení prvků) tříprvkové posety. Ad Příklad 8.7: Všech přirozených dělitelů čísla 60 je dvanáct, jejich uspořádání do posetu vytváří něco jako „dva kvádry nad sebou", pokud je spojíme úhledně - viz obrázek: Ad Příklad 8.9: ad a) sup{a, d] = c, sup{e, /} = e. ad b) sup M neexistuje, protože množina horních závor {b,c,d} nemá nejmenší prvek. Ad cvičení 8.1: i) x0 V x ^ x0). 126 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ Ad cvičení 8.11. ad a) Hasseův diagram je schéma, které zachycuje relaci uspořádání. Vztah [x,y] relace je v něm zachycen tak, že existuje posloupnost bezprostředních předchůdců a následovníků, že x -< x\ -< X2 -< ■ ■ ■ -< y. Přitom uspořádanost dvojice je zachycena tím, že první prvek ve dvojici je nakreslen níže než druhý prvek ... díky této úmluvě se šipky nekreslí, protože všechny by směřovaly směrem nahoru. Zachycení vlastností uspořádání: (11) ... smyčky se nekreslí a rozumí se, že všechny prvky jsou v relaci se sebou automaticky; anti-(12): nemohou být spojeny hranou dva prvky v diagramu vedle sebe - to by znamenalo, že jsou navzájem v relaci, a přitom jsou různé, tj. byla by porušena podmínka anti-(12); (13): Pokud a c se nesmí kreslit. Jakmile jsou některé dva prvky spojeny řetězcem bezprostředních předchůdců a následovníků, jsou (v daném pořadí: nižší prvek s vyšším prvkem) v relaci, i když diagram je nespojuje hranou. ad b) Tento diagram je téměř stejný jako ten ze cvičení 8.3, ovšem není v něm zakreslena horní řada prvků z 8.3, tj. čísla 16, 48, 144. Ad cvičení 8.12. Ano, jedná se o poset, viz obrázek: 5 Ad cvičení 8.13. a) Na posetu (P, <) uvažujme neprázdnou podmnožinu M. Číslo m je infimum množiny M v tomto posetu, když je největší dolní závorou množiny M. b) Největší dolní závorou je největší společný dělitel daných čísel z množiny M, nejmenší horní závorou je nejmenší splečný násobek těchto čísel. Tedy inf{8,12, 30} = 2 a sup{8,12,30} = 120. Ad cvičení 8.14. Viz výsledky na konci textu [17]. 14.9 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - ZOBRAZENÍ, FUNKCE, POSLOUPNOST, OPERACE 127 14.9 Výsledky ke kapitole 9.2 — Zobrazení, funkce, posloupnost, operace Ad cvičení 9.4. Viz obrázek v definici 52e). Ad cvičení 9.5. Viz obrázek v definice 52d). Ad cvičení 9.6. ad a) Viz definice 53; ad b) g o f(x) = y/sm.x. Ad cvičení 9.7. ad a) viz definice 52; ad b) ho g o f(x) = j^+Ty1- Ad cvičení 9.8. Porovnejte své odpovědi s definicemi jednotlivých typů zobrazení. Zaměřte se také na to, zda každý příklad zobrazení je nebo není zobrazením více typů současně. Zdůvodněte proč se jedná o daný typ. Ad cvičení 9.9. Definujeme příklad zobrazení / : Z —>• N, které je injektivní, ale ne surjektivní. Řešení zde existuje celá řada, popišme jen jedno z nich (je výhodou si celou situaci kreslit): • Nemá se jednat o surjekci, tak nechejme třeba čísla 1 a 2 neobsazená žádným vzorem. • Nulu v Z zobrazíme například na trojku v N: /(O) = 3. • Zdá se, že zobrazit dvě nekonečné množiny (množinu kladných celých čísel a množinu záporných celých čísel) na jednu nekonečnou množinu není možné, ale zobrazení je možné zkonstruovat díky paradoxům, které platí u nekonečných množin: množinu {4, 5, 6,...} lze totiž rozdělit na dvě nekonečné podmnožiny, například na podmnožinu jejích sudých čísel a podmnožinu jejích lichých čísel: {4,5,6,7,8,9,...} = {4,6,8,...} U {5,7,9,...}. To nám už napovídá, jakým způsobem definujeme hledané zobrazení /: — Kladná celá čísla zobrazíme injektivně na množinu {4,6,8,...}: /(I) = 4, f (2) = 6, /(3) = 8, f (A) = 10, atd. — Záporná celá čísla zobrazíme injektivně na množinu {5,7,9,...}: /(—1) = 5, f (-2) = 7, f (-3) =9, /(-4) = 11, atd. Zobrazení / jsme tedy zkonstruovali tak, že žádné dva obrazy nejsou stejné (tj. jedná se o injekci), a přitom čísla 1, 2 v množině N nejsou obsazena žádným vzorem (NEjedná se o surjekci). Ad cvičení 9.10. Definujme příklad zobrazení / : R —>• Z, které je surjektivní, ale ne injektivní. Řešení existuje celá řada, popíšeme jedno z nich (je výhodné si celou situaci kreslit): • Má se jednat o surjekci, tak pokryjme nejprve celou množinu Z obrazy bodů z R -můžeme vzít třeba velmi jednoduchý předpis f(k) = k pro všechna k E Z. Už nyní víme, že / bude surjekce. 128 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ • Nyní zbývá dodefinovat zobrazení / pro ta reálná čísla, která nejsou celá. Musíme to ovšem udělat takovým způsobem, aby všechny obrazy byly celočíselné. Vezměme například f(x) = k pro každé x z intervalu (k;k + 1). Zobrazení / je definováno tak, že pro každé celočíselné k se celý interval (k; k + 1) zobrazí na celé číslo k. Jinými slovy, / není injekce, protože různá x z intervalu (k;k + l se zobrazují na stejné celé číslo. Ad cvičení 9.11. Definujme příklad zobrazení / : N —>• Z, které je bijektivní.Řešení existuje celá řada, popíšeme jedno z nich (je výhodné si celou situaci kreslit): • Nejprve pokryjeme nulu, například jedničkou: /(l) = 0. • Dále pokryjme záporná čísla, kterých je nekonečně mnoho: pokryjeme je sudými přirozenými čísly, kterých je také nekonečně mnoho!!! /(2) = —1, /(4) = —2, /(6) = —3, /(8) = —4, atd. obecně f[k) = — | pro sudá k. • A zbývá pokrýt kladná celá čísla, kterých je také nekonečně mnoho. Nám ovšem ještě nekonečně mnoho neobsazených vzorů zbývá, tj. /(3) = 1, /(5) = 2, f (7) = 3, /(9) = 4, atd. obecně /(/) = ^ pro lichá / > 3. Takto definované zobrazení je konstruováno tak, aby pokrylo všechna celá čísla (tj. je surjekce), a současně D f = N a / nenabývá dvou stejných hodnot (tj. je injekce). Dohromady je tedy bijekcí. Ad cvičení 9.12. Výsledky na konci učebnic [8], [17]. V případě nejasného vysvětlení kontaktujte svého cvičícího. 14.10 TÝDEN 10 - PŘEDNÁŠKA A CVIČENÍ 129 14.10 Týden 10 — přednáška a cvičení 14.10.1 Výsledky ke kapitolce 10.2 — Vlastnosti funkce — shrnutí Ad cvičení 10.1. Definice v těchto odpovědích nemusí být zcela totožné s definicemi v textu. ad a) Relace / je zobrazení z X do Y, když ... \/x G X 3 nejvýše jedno y E Y : [x; y] G /. ad b) Relace / není zobrazení z X do Y, když ... 3xeX,y,zeY : [x; y] E f A [x; z] e f A y ^ z. ad c) Funkce / je rostoucí na intervalu J, když ... \/xi,x2 G / : Xi < x2 =>• f(xi) < f(x2). ad d) Funkce / není rostoucí na intervalu J, když ... 3xi,x2 G / : Xi < x2 A f(xi) > f(x2). ad e) Funkce / je klesající na intervalu J, když ... \/xx,x2 E I : xi < x2 =>- f(xi) > f(x2). ad f) Funkce / není klesající na intervalu J, když ... 3xľ,x2 E I : xi < x2 A f(xi) < f(x2). ad g) Reálné číslo x0 je lokálni minimum funkce /, když ... 3(a; b) C D(f) : x0 G (a; b) A f(x0) < /(rr)Vrr G (a; b). ad h) Reálné číslo xq není lokální minimum funkce /, když ... V((a;6) C D(f) : x0 G (a;b))3x1 G (a; b) : f(x0) > f(xľ) (slovně: xq není lokálním minimem funkce /, když pro jakýkoli interval (a; b), který obsahuje bod xq, leží v tomto intervalu nějaký bod x\ s nižší funkční hodnotou f(xx) < f(x0)). ad i) Reálné číslo x0 je lokální maximum funkce /, když ... 3(a; b) C D(f) : x0 G (a; 6) A /(rr0) > /(rr)Vrr G (a; 6). ad j) Reálné číslo rro není lokální maximum funkce /, když ... V((a;6) C D(/) : x0 G (a;6))3rri G (a; b) : /(rr0) < /(^i) (slovně: xq není lokálním maximem funkce /, když pro jakýkoli interval (a; b), který obsahuje bod xq, leží v tomto intervalu nějaký bod x\ s vyšší funkční hodnotou f(xx) > f(x0)). 130 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ ad k) Funkce / je sudá, když ... Wx G D(f) : (-x) G D(f) A f(-x) = f(x). ad 1) Funkce / není sudá, když ... 3x G D(f) : (-x) i D(f) V ((-x) G D(f) A f(-x) Ý /(*)• ad m) Funkce / je lichá, když ... Wx G D(f) : (-x) G D(f) A f(-x) = -f(x). ad n) Funkce / není lichá, když ... 3x G D(f) : (-x) i D(f) V ((-x) E D(f) A f(-x) Ý ~f(x)- ad o) Funkce / je shora ohraničená, když ... 3LeR : Wx G D(f) : f(x) < L. ad p) Funkce / není shora ohraničená, když ... WL G R 3 x G D(f) : f(x) > L (slovně: funkce / přesáhne v některém bodě jakoukoli konstantu L, ať je jakkoli velká). Cvičení 10.2. Příklady sudé funkce: f(x) = cosx, f(x) = x2. Cvičení 10.3. Příklady liché funkce: f(x) = sinx, f(x) = tg x, f(x) = cotg x, f(x) = x3. 14.10.2 Výsledky ke kapitole 11.3 — Lineární a kvadratické funkce, funkce s absolutní hodnotou Ad cvičení 10.4. Při úpravě předpisu kvadratické funkce y = —2x2 + 3x + 1 nejprve vytkneme —2, aby u člene x2 v závorce byl koeficient 1, a pak vnitřek závorky doplníme na úplný čtverec (přičteme a odečteme číslo aby se výsledek nezměnil, ale mohli jsme pro první tři členy v závorce použít vzorec (a — b)2 = a2 — 2ab + b2): -2x2 + 3x + 1 -2 • (x2 -x x-- 4 1 2~ 2 312 17 16 -2 • - =-2 x2 - 2 ■ x---h 9 4 16 3\2 17 9 16 x-- 4 Z upraveného tvaru je vidět: —2 znamená, že funkce bude nabývat neohraničené záporných funkčních hodnot (tj. její graf parabola bude otočená směrem k minus nekonečnu na svislé ose), z dalších hodnot vyčteme, že vrchol paraboly nastává v bodě 3. 17 4' 8 14.10 TÝDEN 10 - PŘEDNÁŠKA A CVIČENÍ 131 Z grafu funkce vidíme, že d f = r, h f = (—oo; y) Ad cvičení 10.5. Z vymezujících množin d f = r, h f = (2; oo) vidíme, že parabola bude tentokrát otočená k plus nekonečnu na svislé ose. Vrchol nastává pro x = 3, má tedy souřadnice [3; 2]. Můžeme psát předpis ve tvaru f(x) = (x-3)2 + 2. Tento vzorec není určen jednoznačně, protože v zadání úlohy není uvedeno, jak moc má být parabola sevřená-rozevřená kolem své osy. Koeficient před závorkou nemusí být roven jedné, ale jakékoli nenulové kladné reálné hodnotě. Předpisy f(x) = 0,5 • (x — 3)2 + 2, f(x) = 5 • (x — 3)2 + 2, atd. jsou všechny odpovědí na zadání úlohy. Možná bychom mohli psát f(x) = a ■ (x - 3)2 + 2, kde a G r+. 132 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ 14.11 Výsledky ke kapitole 11.2 — Lineárně lomené funkce, funkce mocninné a odmocninné Ad cvičení 11.4. Výsledky příkladů na lineárně lomenou funkci: a) Abychom získali základní tvar vyjádření funkce f(x) = provedeme dělení poly- nomů: (3x + 2) : (x- 1) = 3 + ^—. x — 1 Odtud už je vidět, že svislá osa je posunuta do přímky x = 1 a vodorovná do přímky y = 3, a tedy můžeme kreslit posunutý graf: Dále Df = R- {1}, Hf = R- {3}. b) Z D f = R \ {3} plyne, že svislá osa je posunutá do přímky x = 3. Z H f = R \ { — 1} plyne, že vodorovná osa je posunuta do přímky y = — 1. Dále protože funkce je pro x > 3 rostoucí, její graf leží v posunutém druhém a čtvrtém kvadrantu, což lze zařídit znaménkem MINUS v čitateli zlomku ze základního tvaru. Tomu odpovídá např. funkce f(x) = —1 — nebo f(x) = —1 — zkrátka každá funkce typu f(x) = -1 - j=3, kde a E R+: 14.11 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - LINEÁRNĚ LOMENÉ FUNKCE, FUNKCE MOCNINNÉ A ODMOCNINNÉ 133 c) Děláme podobně jako (a): Provedeme dělení polynomů (x-1): (2x + 2) 1 2 2 2x + 2 Odtud už je vidět, že svislá osa je posunutá do přímky x = — 1 (je to ta hodnota proměnné x, pro kterou 2x + 2 je rovno nule) a vodorovná osa je posunuta do přímky y = \. Graf kreslíme do druhého a čtvrtého posunutého kvadrantu, což plyne ze znaménka MINUS před zlomkem základního tvaru (to vlastně znamená, že —2 se nachází v čitateli zlomku): Dále Df = R- {-1}, Hf = R- {§}. Ad cvičení 11.10. Jedná se o podobnou funkci jako je y = = x~2 na zúženém definičním oboru, jenže graf zadané funkce je oproti této funkci posunutý o dvě jednotky doprava a tři jednotky nahoru. ad a) Graf funkce f(x) = ,x\-a + 3 pro x G (2; oo): viz obrázek níže. 134 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ ad b) Nejprve zaměníme x a y ve vzorci: x = (v}2)2 + 3, a pak z něj vyjádříme y: 2. ±1 V: X Zůstává otázkou, jaké znaménko zvolit na místě ±. Pomůže nám, že definiční obor funkce f(x) obsahoval pouze kladná čísla (větší než 2) - tj. obor hodnot Hf^1 bude také obsahovat pouze kladná čísla (větší než 2). Tj. v čitateli zlomku volíme znaménko PLUS a hledaná funkce je tvaru f_1(x) = -j=^ + 2. Grafy obou funkcí viz obrázek: Cvičení 11.11. a) D f = R — { — 1}, H f = R — {—3}, graf funkce viz obrázek: b) Nejprve zaměníme x a y ve vzorci: x = , — 3, a pak z něj vyjádříme y: \Jx + 3 14.11 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - LINEÁRNĚ LOMENÉ FUNKCE, FUNKCE MOCNINNÉ A ODMOCNINNÉ 135 Zůstává otázkou, jaké znaménko zvolit na místě ±. Pomůže nám, že definiční obor funkce f(x) obsahoval pouze kladná čísla - tj. obor hodnot H f~ľ bude také obsahovat pouze kladná čísla. Tj. v čitateli zlomku volíme znaménko PLUS a hledaná funkce je tvaru f~ľ(x) = ,1 „ — 1. Graf obou funkcí viz obrázek: /x+3 -i _r I -I Ad cvičení 11.12. Grafy funkcí a) f(x) = — x2 + l, b) f(x) = (x — 5)3, c) f(x) = -^ + 2 jsou na obrázku: a;-f00--x-ť\ l i n - u -1 -i - < -í -\ 1 A z -5, ) 1 \ \ ad a) D(f) = R, H(f) = (—oo; 1) a příslušná inverzní funkce f~ľ neexistuje, protože funkce / není prostá. Eventuálně bychom se mohli se zadáním funkce omezit na nezáporná x, na tomto zúženém intervalu už funkce / prostá je a inverzi najdeme včetně grafu: 136 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ Nebo se můžeme omezit na nekladná x - pro takto zúžený definiční obor také inverzní funkce existuje, viz grafy: ad b) D(f) = R, H(f) = R a inverze existuje, protože / je funkce prostá - viz obrázek níže. ad c) D(f) = R — {0}, H (f) = R — {2} a inverze existuje, protože / je funkce prostá -viz obrázek: Ad cvičení 11.13. Grafy funkcí a) f (x) = 2x 2, b) f (x) = x 3 — 1 jsou na obrázku: 14.11 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - LINEÁRNĚ LOMENÉ FUNKCE, FUNKCE MOCNINNÉ A ODMOCNINNÉ 137 ad a) D(f) = R — {0}, H(f) = (0; oo) a příslušná inverzní funkce f~ľ neexistuje, protože funkce / není prostá. Eventuálně bychom se mohli se zadáním funkce omezit na kladná x, na tomto zúženém intervalu už funkce / prostá je a inverzi najdeme včetně grafu: Nebo se můžeme omezit na záporná x - pro takto zúžený definiční obor také inverzní funkce existuje, viz grafy: 138 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ ad b) D(f) = R — {0}, H(f) = R — { — 1} a inverze existuje, protože / je funkce prostá - viz obrázek: : I Ad cvičení 11.14. Grafy funkcí a) y = x 3, b) y = x 4 jsou na obrázku: ad a) Na intervalu (—oo;0) funkce / nemá minimum, protože není zdola ohraničená. Platí totiž lim — = — oo x^q- x6 (čteme: limita z funkce ^ pro x blížící se k nule zleva se rovná minus nekonečnu). Na intervalu (0; oo) ovšem minimum také neexistuje - funkční hodnoty pro x jdoucí k nekonečnu se sice limitně blíži k nule, tj. 1 lim — = 0, ovšem funkce / této funkční hodnoty nenabývá v žádném konečném bodě. Použitím terminologie z kapitoly 8 říkáme, že množina funkčních hodnot funkce / má pro x z intervalu (0; oo) infimum (rovné nule), nikoli minimum. ad b) Funkce f(x) = j% nemá v žádném bodě svého definičního oboru minimum -pouze je množina H(f) ohraničená a má infimum, ale minimum funkce / neexistuje v žádném bodě definičního oboru. 14.12 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ 139 14.12 Výsledky ke kapitole 12.2 — Funkce exponenciální a logaritmické Ad cvičení 12.1. a) D f = R, H f = R+, graf viz obrázek: b) Nejprve zaměníme x a y, dostaneme x = 0,5y. Nyní z tohoto vztahu vyjádříme y, přitom máme na paměti, že inverzní funkce k mocninné funkce je funkce logaritmická, jejíž základem je číslo, které bylo v exponenciální funkci umocněno na mocninu x, dostaneme tedy: y = log0 5 x. Ad cvičení 12.2. a) Nehezkou zápornou mocninu upravíme: f(x) = 0,3~x + 2 = + 2 = (y) + 2. Vidíme, že D f = R a H f = (2; oo) a funkce je rostoucí, protože základ exponentu je y, což je číslo větší než 1: b) Nejprve zaměníme y a x, dostaneme x = (y)ž/ + 2. Odtud vyjádříme y: f-1 (x) = y = \og^(x - 2). 140 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ Ad cvičení 12.3. a) D f = (1; oo) ... kdo si není jistý, řeší nerovnici x — 1 > 0, tj. argument funkce logaritmické musí být kladný. Dále H f = R. Graf funkce je posunutý o hodnotu 1 doprava vzhledem k základnímu grafu y = log2x: Na levé straně této rovnice jsou funkce navzájem inverzní, tj. obě se vyruší a dosta-neme y = e . Ad cvičení 12.4. a) Vyjdeme z grafu funkce af funkce y = \og2(x — 1), který je výsledkem cvičení 12.3.(a). Nejprve k funkci ze cvičení 12.3.(a) přidáme znaménko MINUS - tím dojde k překlopení celého grafu vzhledem k vodorovné souřadné ose x. A nakonec k výsledku přičteme hodnotu 2, což odpovídá posunu celého grafu v kladném směru osy y: Posun grafu o hodnotu 2 nezměnil ani Dy, ani Hy funkce z předchozího kroku, pouze se bod [2; 0] (průsečík grafu s osou x) posunul do bodu [2; 2]. Celkem vidíme u výsledné funkce, že D f = (1; oo), H f = R. b) Nejprve zaměníme x, y a dostaneme x = — \og2(y —1)+2. Odtud vyjádříme proměnnou y: před umístěním obou stran rovnice do mocniny čísla 2, které je základem logaritmu v našem příkladu, rovnici upravíme do takového tvaru, že logaritmus je na jedné straně s koeficientem 1, vše ostatní je na druhé straně rovnice: b) Rovnici ln y = x2 + 2 lze převést na ekvivalentní rovnici log2(ž/ -1) = 2-x. 14.12 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ 141 Nyní obě strany rovnice napíšeme do exponentu základu 2 - díky „zametení smetí" před logaritmem na levé straně se exponenciální funkce a logaritmus o stejném základu vyruší, tj. dostaneme 2iog2(!/-i) = 22-x y-i = 22-x = 22 • 2-x = 4 • 0,5X => y = 4 • 0,5* + 1. Můžeme vesele kreslit graf exponenciální funkce: Ad cvičení 12.5. K funkci f(x) = 2X 1 + 3 existuje funkce inverzní, jejíž předpis má tvar f-\x) = \og2(x - 3) + 1. D(f) = R, H(f) = (3; oo), Dif-1) = (3; oo), HU'1) = R-Oba grafy vidíte na obrázku osově souměrné vzhldem k přímce y = x, která představuje záměnu proměnných při vyjádření závislosti v inverzním směru: Ad cvičení 12.6. Grafy funkcí a) y = 0,3X; b) y = —0,3^; c) y = 2 — 0,3X vidíte na obrázku: 142 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ Ad cvičení 12.7. K funkci f(x) = 2 • \ogAx — 1 má inverzní funkce předpis / (x) = . Pokud si ještě vyjádříme 4 jako 22, lze vzorec upravit na tvar f-\x) = 22'(f+^ = 2X+1. Ad cvičení 12.8. K funkci f(x) = log5(x + 2) — 1 existuje funkce inverzní zadaná předpisem f~ľ(x) = 5X+1 — 2. Oba grafy vidíte na obrázku: 14.12 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ 143 144 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ 14.13 Výsledky ke kapitole 13.2 — Funkce goniometrické a cyklometrické Ad cvičení 13.1. až 13.6. Výsledky příkladů najdete v učebnici [10]. Cvičení 13.7. Grafy a vlastnosti cyklometrických funkcí: 1. Viz přednáška. 2. Z grafu lze všechny vlastnosti funkce f(x) = arccos (—x) vyčíst: 3. Z grafu lze všechny vlastnosti funkce f(x) = —arccos x vyčíst: <> *^ ■<-t 1 < i i ) í v 14.13 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ 145 4. Z grafu lze všechny vlastnosti f(x) = arccos (x + 2) vyčíst: 5. Z grafu lze všechny vlastnosti funkce f(x) = arccos (2x) vyčíst: 6. Z grafu lze všechny vlastnosti funkce f(x) = 2 • arccos x vyčíst: 146 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ 7. Z grafu lze všechny vlastnosti funkce f(x) = 2 + arccos x vyčíst: H>2- 4 Graf funkce /(rr) = arcsin x \ _ 7t . 2 ) 2 • Vyjdeme z D(arcsin x) = (—1; 1), iJ(arcsin x) = (-^; |): Argument funkce arcsin musí ležet v tomtéž intervalu (—1; 1): x -1< - < 1 ~ 2 ~ -2■ £>(/) = (-2; 2). • H(f) dostaneme tak, že iJ(arcsin x) = |) posuneme o hodnotu | do „záporného směru": H(f) = (—tt;0). • Ještě si můžeme uvědomit, že funkce arcus sinus je rostoucí (pokud v argumentu není minus před x, protože to by způsobilo zase nějaké změny); • Vyznačíme do grafu funkční hodnoty v krajních bodech definičního oboru: /(—2) = —7T, f (2) = 0 a můžeme kreslit graf: y X Vlastnosti funkce f(x): Funkce je rostoucí na celém D(f), lokální i globální minumum nastává v bodě x = —2, lokální a globální maximum nastává v bodě x = 2. 14.13 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ 147 9. Graf funkce f(x) = arccos (3x — 2): • Vyjdeme z D(arccos x) = (—1; 1), iJ(arccos x) = (0;7r): Argument funkce arccos musí ležet v tomtéž intervalu (—1; 1): 1 1 -1 < 3x - 2 < 1 =>• l<3x<3 =>• - < x < 1 =>• £>(/) = (-; 1). 3 3 • H(f) se nemění, protože po vypočtení arkus kosinu argumentu už dále k této hodotě nic nepřičítáme, ani ji ničím nenásobíme, tj. H(f) = (0;7r). • Ještě si můžeme uvědomit, že funkce arcus cosinus je klesající (pokud v argumentu není minus před x, protože to by způsobilo zase nějaké změny); • Vyznačíme do grafu funkční hodnoty v krajních bodech definičního oboru: /(|) = 7T, /(l) = 0 a můžeme kreslit graf: Vlastnosti funkce f(x): Funkce je klesající na celém D(f), lokální i globální minu-mum nastává v bodě x = 1, lokální a globální maximum nastává v bodě x = |. 10. Graf funkce f(x) = \ • arccotg (2x — 5) + n: • Vyjdeme z D(arccotg x) = R, iJ(arccos x) = (0;7r): Argument funkce arccotg může být libovolný, tj. D(f) = R. Maximálně bychom si mohli říci, kam se posune základní bod [0; |] průsečíku grafu funkce arccotg x se svislou osou: tento jakýsi střed souměrnosti grafu se posune do takového bodu, ve kterém platí 2x — 5 = 0, tj. x = |. • H(f) se změní dvěma zásahy: nejprve se násobením jednou polovinou interval iJ(arccotg x) = (0; 7r) zmenší na (0; |), a pak se po přičtení čísla 7r posune na H(f) = (7r; y). Odtud lze určit, že střed souuměrnosti grafu bude mít y-ovou souřadnici ve středu intervalu H(f), tj. pro 1 37T 57T y = -{n -\--) = — y 2 2 4 • Ještě si můžeme uvědomit, že funkce arcus cotangens je klesající (pokud v argumentu není minus před x, protože to by způsobilo zase nějaké změny); 148 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ • Vyznačíme do grafu střed souměrnosti grafu [|; ^], a také asymptoty v krajních bodech intervalu H(f) - jedná se o konstantní funkce ?/ = 7ra?/=y-a můžeme kreslit graf: Vlastnosti funkce f(x): Funkce je klesající v i? a nemá lokální ani globální extrémy - můžeme maximálně říci, že je ohraničená shora i zdola. Ad cvičení 13.8. Výsledky příkladů najdete v učebnici [10]. 14.13 VÝSLEDKY KE KAPITOLE ?? - FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ 149 Seznam literatury: 1 P. Horák: M 1125 Základy matematiky. Elektronický text do analogického předmětu na Přírodovědecké fakultě MU Brno. Počet stran 100 v roce 2013. Tento text pokrývá předmět M0001 Základy matematiky na Pedagogické fakultě asi z poloviny, ale i daná polovina se věnuje záležitostem odlišným od těch, na které je kladen důraz na Pedagogické fakultě. 2 Rediger Thiele: Matematické důkazy. SNTL Praha 1985. Počet stran 160. Představení zákonitostí logického usuzování a dokazování v matematice. Poněkud širší pokrytí tématu logika, kterému jsou v předmětu Základy matematiky věnovány první tři přednášky. 3 Raymond Smullyan: Jak se jmenuje tahle knížka? Zajímavé logické problémy od jed- noduchých hádanek pro ZS až po složitější logické úlohy, které vyžadují důkladný vysokoškolský rozbor. 4 D.Jordán, P.Smith: Mathematical techniques. Oxford 2008, 4th Edition. V kontextu předmětu Základy matematiky nás z knihy zajímá zatím jen kapitolka 35 - sets (= množiny) na str. 791-800. 5 Eva Nováková: Analýza výsledků soutěže Matematický klokan, Brno 2016. Zajímavá kniha seznamující s mezinárodní soutěží Matematický klokan a rozborem výsledků této soutěže v ČR v kategorii pro 4.-5. třídy ZS. Tato kniha dobře uvádí do problematiky didaktiky matematiky na ZS: úlohy různého typu, dělení matematiky na různá odvětví, apod. 6 Hrůša,K., Dlouhý,Z., Rohlíček, J.: Úvod do studia matematiky. SPN 1963. Zdroj několika příkladů v kapitole 4. 7 Herman, Chrápavá, Jančovičová, Simša: Matematika pro primy, sekundy, tercie, kvarty - série 17 učebnic pro nižší třídy gymnázií a 2.stupeň ZS. 8 Charles Pinter: A book of Abstract Algebra, 2010. Jedná se o reprint druhého vydání z roku 1990. Tento text je vhodný pro partie navazujícího předmětu Algebra 1 na PdF MUNI, nicméně autora přednášky Základy matematiky už částečně inspiroval. Je neobyčejně čtivě napsán. Pinter říká, že napsal svou knihu z té pozice, že algebra (a tím i diskrétní matematika) je důležitá a má důležitá uplatnění. 9 O.Odvárko: Funkce, Prométheus 1993. Edice Matematika pro gymnázia, sešit 3, počet stran 160. Tento text je potřeba v závěru předmětu Základy matematiky a v úvodu navazujícího předmětu Matematická analýza 1 na Pedagogické fakultě MU. 10 O.Odvárko: Goniometrie, Prométheus 1994. Edice Matematika pro gymnázia, sešit 7, počet stran 127. Tento text je potřeba v závěru předmětu Základy matematiky a v úvodu navazujícího předmětu Matematická analýza 1 na Pedagogické fakultě MU. 11 S.Kowal: Matematika pro volné chvíle. Praha 1985, druhé vydání. Kniha, která na velkém množství úloh prochází celou historii matematiky v rámci zajímavých úloh, jejichž řešení uvádí buď v textu, nebo na konci každé kapitoly. Název láká širokou 150 14 VÝSLEDKY NĚKTERÝCH PŘÍKLADŮ veřejnost, ale řada úloh je vysokoškolské obtížnosti, i když jejich řešení je často proveditelné i na SS. 12 Jedličková, Krupka, Nechvátalová: Matematika - nová škola. Série 16 učebnic a 16 pracovních sešitů nově vznikající v Brně v letech 2012 až 2024. 13 Odvárko, O.: Finanční matematika. Poslední, dvanáctá učebnice ze séria učebnic a pracovních sešitů k výuce na 2. stupni ZS. 14 Jan Kopka: Svazy a Booleovy algebry (Ústí nad Labem 1991, zejména str. 19-82). Kolega Kopka napsal svůj text z té pozice, že by rád přehledně a srozumitelně podal přehled pojmů algebry a diskrétní matematiky, aby byla vidět její krása. Kniha je hlubším rozvedením pojmu uspořádaná množina uvedeným v předmětu Základy matematiky. 15 Rosický, J.: Grupy a okruhy. Skriptum přírodovědecké fakulty MUNI, Brno 2000. Pokročilý text jako doplněk předmětu Algebra 1, zde byl využit pouze pro důkaz vět o dělitelnosti celých čísel v kapitole 5. 16 Robova, Hála, Calda: Matematika pro SS - komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Prométheus 2013. Tato kniha je dobrým úvodem do komplexních čísel na 56 stranách, do kombinatoriky na 38 stranách (kromě kombinací s opakováním, které jsou vysvětlovány krkolomně), do pravděpodobnosti na 46 stranách (věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec zde nejsou už dost procvičeny) a do popisné statistiky na 57 stranách. Stručně a výstižně, pro kteroukoli z těchto čtyř částí matematiky je to kniha k nezaplacení (a priceless book49). 17 P. Horák: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I, Brno 2002. Sbírka příkladů ke staršímu vydání textu [1] na Přírodovědecké fakultě MU. 18 M.Krynický: Matematika realisticky. Online pdf materiály (cca 500 hodin pro 6. až 9. ročník ZS, cca 500 hodin pro čtyřleté gymnázium) na stránce realisticky.cz. Dobrý výchozí bod ohledně obsahu i didaktiky matematiky na ZS a SS. Vzhledem k tomu, že se jedná o dobrý, spíše výjimečný materiál online, jev České Republice využíván minimálně jako doplňkový materiál na řadě základních a středních škol. Studenti angličtiny pozor: „priceless" kupodivu neznamená něco bezcenného, ale je to označením věcí ceny nevyčíslitelné = nezměrné.