Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Konstrukční úlohy – základní geometrické konstrukce a symbolika
Irena Budínová
Pedagogická fakulta MU
irena.budinova@seznam.cz
Dovednost narýsovat obrázek nebo jej s porozuměním přečíst potřebuje mnoho techniků,
řemeslníků, někdy i umělců. Na základních školách se této dovednosti žáci učí prostřednictvím
řešení konstrukčních úloh v geometrii.
Konstrukční úlohy tvoří jednu z důležitých částí učiva geometrie, neboť přispívají
k rozvoji mnoha klíčových kompetencí žáků, ale také dovedností potřebných v matematice i
běžném životě. Vedou žáky k přesnosti, trpělivosti, pečlivosti, schopnosti vytvořit plán a tento
plán zrealizovat, rozvíjí jemnou motoriku aj.
Konstrukční úlohy mohou být pro některé žáky náročným a neoblíbeným učivem.
Vyžadují určitý stupeň geometrické představivosti, kterou nemají někteří žáci dostatečně
rozvinutou. Geometrickou představivost žáků je třeba postupně utvářet pravidelným zadáváním
geometrických úloh, ve kterých se žáci postupně seznamují s geometrickými útvary a jejich
vlastnostmi. Při řešení konstrukčních úloh se pak žáci učí vytvářet plán řešení, tento plán
realizovat vytvořením příslušného obrázku i se zápisem pomocí symbolického jazyka. To bývá
často pro žáky náročné.
Zařazování konstrukčních úloh pravidelně a v určitých metodických řadách je vhodné již
od prvního stupně základní školy. I když je v současné době možné využívat interaktivní tabule
a různých počítačových programů, není možné rýsování nahradit animacemi, které umožňuje
tato technika. Žáci sice mohou pozorovat, jak jednotlivé prvky v konstrukci vznikají a přibývají,
avšak žáci tak získávají jen pasivní znalosti, pouze zprostředkovaně. Animacemi je možno
doplnit výuku až v případě, kdy žák učivu porozumí, vyřeší několik úloh a pochopí vztahy mezi
jednotlivými prvky.
Nejprve je vhodné žáky seznámit se základními konstrukcemi. Jedná se o konstrukce,
které žáci velice často využívají ve všech dalších konstrukčních úlohách a při popisu konstrukce
je již uvádí jako celek. Když např. narýsujeme přímku, která je rovnoběžná s přímkou ,
neuvádíme v popisu konstrukce, jak jsme rovnoběžnou přímku rýsovali.
Řešení konstrukčních úloh má zpravidla ustálená pravidla, mezi která řadíme rozbor,
polis konstrukce, vlastní konstrukci a zkoušku (příp. diskusi). Pro žáky je velmi náročný popis
konstrukce. V každém bodě postupu je symbolicky sděleno, CO bylo narýsováno a JAK to bylo
narýsováno. Např. zápis ; ( , = 2 cm) znamená, že byla narýsována kružnice ; má střed
v bodě a poloměr 2 cm.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
V rámci řešení konstrukčních úloh by se žáci také měli seznamovat s matematickým
symbolickým způsobem zápisu. Žáci mají mnohdy s touto činností problém. Je proto vhodné
seznamovat žáky se symbolikou v postupných krocích. V závěru materiálu uvádíme seznam
používaných matematických symbolů.
Základními konstrukcemi jsou obvykle myšleny tyto konstrukce:
1. Narýsovat přímku, která prochází danými dvěma body.
2. Narýsovat úsečku dané velikosti.
3. Narýsovat dvě přímky, které jsou rovnoběžné.
4. Narýsovat dvě přímky, které jsou navzájem kolmé.
5. Přenést úsečku k dané polopřímce.
6. Sestrojit grafický součet úseček.
7. Sestrojit grafický rozdíl úseček.
8. Narýsovat kružnici o daném středu a daném poloměru.
9. Narýsovat úhel dané velikosti.
10. Přenést úhel k dané polopřímce do dané poloroviny.
11. Sestrojit osu úsečky.
12. Sestrojit osu úhlu.
13. Sestrojit grafický součet úhlů.
14. Sestrojit grafický rozdíl úhlů.
15. Rozdělit úsečku na n shodných částí.
16. Rozdělit úsečku v daném poměru.
S některými konstrukcemi by se žáci mohli seznámit již na 1. stupni ZŠ. Učitelé druhého
stupně základní školy zpravidla předpokládají, že žáci tyto dovednosti zvládli a navazují na ně.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Rýsování rovnoběžek
Rovnoběžné přímky rýsujeme použitím dvou pravítek, z nichž alespoň jedno je
trojúhelník. Jednu stranu trojúhelníku (přeponu nebo jednu odvěsnu) přiložíme k narýsované
přímce. K druhé odvěsně trojúhelníku přiložíme druhé pravítko, podél kterého trojúhelníkem
posunujeme. Pak narýsujeme rovnoběžku.
Rýsování kolmice
Nejčastějším způsobem rýsování kolmice je použití trojúhelníku s ryskou. Druhým
způsobem je použití dvou pravítek, z nichž alespoň jedno je pravoúhlý trojúhelník:
• K narýsované přímce přiložíme přeponu pravoúhlého trojúhelníku.
• K jedné odvěsně trojúhelníku přiložíme pomocné pravítko.
• Trojúhelník otočíme k pomocnému pravítku druhou odvěsnou o 90° (nesmíme jej při
tom překlopit).
• Podél přepony trojúhelníku narýsujeme přímku kolmou k zadané přímce.
Grafický součet úseček
Jestliže máme narýsovat grafický součet úseček AB a CD, můžeme postupovat tak, že
buď využijeme další polopřímku PX, nebo z jedné zadaných úseček polopřímku vytvoříme.
Popíšeme druhý způsob.
Narýsujeme úsečky a . Úsečku prodloužíme na polopřímku ⟼ . Do kružítka
vezmeme úsečku a sestrojíme oblouk, který má střed v bodě B a poloměr CD. Průsečík
oblouku a polopřímky ⟼ označíme písmenem . Úsečka je shodná s úsečkou +
, jedná se tedy o hledaný grafický součet.
Velmi častou chybou je, že se nerozlišuje mezi grafickým součtem úseček a součtem
délek úseček. Pokud jsou zadány délky jednotlivých úseček, není nutné provádět grafický
součet úseček, ale nejdříve se sečtou délky úseček a pak se narýsuje úsečka s výslednou délkou.
To je snadné v případě úseček s celočíselnými délkami. Na následujícím příkladu ukážeme, že
v případě úseček s iracionálními délkami není možno grafický součet obejít sečtením délek
úseček.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Příklad: Sestrojte grafický součet úseček s délkami √2 a √3.
Rozbor:
Úsečky zadaných délek můžeme sestrojit pomocí Pythagorovy věty. Délku √2 má přepona
pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 1 a 1. Délku √3 má přepona pravoúhlého trojúhelníku
s odvěsnami 1 a 2. Dále postupujeme tak, jak je uvedeno výše.
Popis konstrukce:
1. ; | | = √2
2. ; | | = √3
3. ⟼AB
4. ; ( , √3)
5. ; ∈ ∩⟻
6. ≅ +
A B E
Grafický rozdíl úseček
Máme-li narýsovat grafický rozdíl úseček, pracujeme jen s těmito dvěma úsečkami.
Narýsujeme úsečky a ( > ). Do kružítka vezmeme úsečku a sestrojíme
oblouk, který má střed v bodě B a poloměr CD. Průsečík oblouku a úsečky označíme
písmenem . Úsečka je shodná s úsečkou − , jedná se tedy o hledaný grafický rozdíl
úseček.
Opět je třeba rozlišovat, zda určujeme grafický rozdíl úseček, nebo rozdíl délek úseček.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Osa úsečky, střed úsečky
Rozbor:
V krajních bodech úsečky , sestrojíme kružnice stejného poloměru, který je větší než
polovina úsečky. Přímka, která prochází oběma průsečíky kružnic, je osa úsečky. Bod na
úsečce, který protíná osa úsečky, je střed úsečky.
Popis konstrukce:
1.
2. ; ( , > | |)
3. ; ( , )
4. !, "; !, " ∈ ∩
5. #$%; !, " ∈ #$%
6. &; & ∈ !" ∩
k1
A
k2
B
K
L
oAB
S
Osa úhlu
Rozbor:
Sestrojíme kružnici libovolného poloměru se středem ve vrcholu úhlu. Na každém rameni úhlu
vzniknou průsečíky , . Sestrojíme dvě další kružnice se stejným poloměrem, jejich středy
leží v bodech , . Polopřímka (případně přímka) určená průsečíkem kružnic a vrcholu úhlu je
osa úhlu.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Popis konstrukce:
1. ∢ (
2. ; ((, )
3. , ; ∈ ∩⟼ ( , ∈ ∩⟼ (
4. ) , ) ; ) ( , *), ) ( , *)
5. +; + ∈ ) ∩ )
6. ⟼ (+
Konstrukce:
A
V
B
k
C
D
l1
l2
P
Grafický součet úhlů
Jestliže máme narýsovat grafický součet úhlů ∢ ( a ∢ , , využíváme přenášení úhlů
k dané polopřímce do dané poloroviny.
Narýsujeme úhel ∢ ( . Úhel ∢ , přeneseme k polopřímce VB do poloroviny
opačné k polorovině BVA, označme ji BVU. Sestrojíme oblouk se středem v bodě Y a
vhodném poloměru tak, aby protnul obě ramena úhlu. Průsečíky s rameny úhlu CYD označíme
K, L. Déle sestrojíme oblouk se středem v bodě V se stejným poloměrem. Průsečík oblouku
s ramenem VB označíme M. Do kružítka vezmeme úsečku KL a sestrojíme oblouk se středem
v bodě M a poloměrem KL. Průsečík obou oblouků označíme X a narýsujeme polopřímku VX.
Úhel AVX je grafickým součtem úhlů ∢ ( + ∢ , .
Opět je třeba rozlišovat mezi grafickým součtem (rozdílem) úhlů a součtem (rozdílem
velikostí úhlů.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Dělení úsečky na shodné části
Úsečku AB máme rozdělit na n shodných částí. Jedním krajním bodem úsečky vedeme
pomocnou polopřímku, např. polopřímku AX. Zvolíme jednotkovou úsečku a kružítkem
naneseme na polopřímku AX n shodných úseček. Poslední bod na pomocné polopřímce
spojíme s druhým krajním bodem úsečky. Rovnoběžky s danou spojnicí vedené každým bodem
na polopřímce rozdělí úsečku na n shodných částí.
A B
Dělení úsečky v daném poměru
Úsečku máme rozdělit v poměru -: /. Sestrojíme pomocnou polopřímku 0, na kterou od
bodu kružítkem naneseme - + / shodných dílů. Poslední bod (označíme 1) na polopřímce
0 spojíme úsečkou s bodem . Vedeme rovnoběžku s úsečkou 1, která prochází --tým
bodem. Průsečík této přímky s úsečkou dělí úsečku v poměru -: /.
Thaletova kružnice
Množina všech vrcholů všech pravých úhlů roviny, jejichž ramena procházejí body A, B je
kružnice o průměru AB (neboli: Množina všech bodů, ze kterých vidíme úsečku pod úhlem
90°, je kružnice nad průměrem kromě bodů , ). Tuto kružnici nazýváme Thaletova
kružnice nad průměrem .
Nalezneme střed & úsečky a sestrojíme kružnici se středem & a poloměrem | |,
5$% 6&, | |7.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Seznam symbolů
, , … Bod , , …
8, 9, … Přímka 8, 9, …
↔ Přímka určená body ,
⟼ Polopřímka (polopřímka s počátkem a vnitřním bodem )
⟻ Polopřímka opačná k polopřímce (polopřímka s počátkem )
Úsečka (úsečka s krajními body , )
⟼ Polorovina s hraniční přímkou a vnitřním bodem
⟼ ; Polorovina s hraniční přímkou ; a vnitřním bodem
∢ ( Konvexní úhel ( (konvexní úhel s vrcholem ( a rameny
v polopřímkách ( , ( )
(&, ) Kružnice se středem & a poloměrem
< Průměr kružnice
!(&, ) Kruh se středem & a poloměrem
5$% Thaletova kružnice s průměrem
= Kružnicový oblouk (kružnicový oblouk s krajními body , )
∈ ; ( ∉ ;) Bod leží (neleží) na přímce ;
⊂ ; ( ⊄ ;) Úsečka je (není) částí přímky ;
= ( ≠ ) Bod je totožný s bodem (různý od bodu )
8 = 9 (8 ≠ 9) Přímka 8 je totožná s přímkou 9 (různá od přímky 9)
8‖9 (a ⫲ 9) Přímka 8 je (není) rovnoběžná s přímkou 9
8⊥9 Přímka 8 je kolmá k přímce 9
+ ∈ 8 ∩ 9 Průsečík + přímek 8, 9
8 ∩ 9 = D+E Průsečík + přímek 8, 9
≅ Úsečka je shodná s úsečkou
∢ ( ≅ ∢ F Konvexní úhel ( je shodný s konvexním úhlem F
∆ ≅ ∆ !"H Trojúhelník je shodný s trojúhelníkem !"H
∆ ~∆ !"H Trojúhelník je podobný trojúhelníku !"H
| | Délka úsečky
| ;| Vzdálenost bodu od přímky ;
|89| Vzdálenost rovnoběžných přímek
|∢ ( | Velikost konvexního úhlu (
|∢89| Odchylka přímek 8, 9
JK Orientovaná úsečka
|JK| Velikost orientované úsečky
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
L: 0 → 0′ Bod 0′ je obrazem bodu 0 v zobrazení L
O(#) Osová souměrnost s osou souměrnosti #
&(&) Středová souměrnost se středem souměrnosti &
P(JK) Posunutí určené orientovanou úsečkou JK
Q(&, R) Otočení se středem & a úhlem otočení R
S(&, T) Stejnolehlost se středem & a koeficientem T
Literatura:
Pomykalová, E.: Matematika pro gymnázia – Planimetrie. Prometheus, Praha 1993
Kuřina, F. a kol.: Matematika a porozumění světu. Academia, Praha 2009