Masarykova univerzita Pedagogická fakulta Katedra matematiky Teorie grafů ve venkovní výuce pro 1. stupeň ZS Diplomová práce Brno 2023 Vedoucí práce Mgr. Helena Durnová, Ph.D. Vypracovala Zdena Stanová Bibliografický záznam Autor: Zdena Stanová Pedagogická fakulta Masarykova univerzita Název práce: Teorie grafů ve venkovní výuce pro 1. stupeň ZS Studijní program: PdF M-ZS5 Učitelství pro základní školy (pětileté) Studijní obor: PdF ZS15 Učitelství pro 1. stupeň základní školy Vedoucí práce: Mgr. Helena Durnová, PhD. Rok: 2023 Počet stran: 86 Anotace Diplomová práce „Teorie grafů ve venkovní výuce pro 1. stupeň ZŠ" si klade za cíl poskytnout příklady aktivit týkajících se teorie grafů, které je možné s žáky realizovat ve venkovním prostředí. Jako motivace pro žáky zde slouží tradice místních hodů. Teoretická část se zabývá definicemi základních pojmů z teorie grafů, specifiky venkovní výuky, přibližuje tradici sivických hodů a případně může sloužit jako odborný základ pro učitele, který následně realizuje výukový program. Empirická část obsahuje popis výukového programu včetně řešení jednotlivých úloh a reflexi na základě jeho realizace. Klíčová slova teorie grafů, uzel, hrana, kořenový strom, jednotažka, venkovní výuka, sebereflexe Abstract The diploma thesis "Graph theory in outdoor teaching at elementary schools" aims to provide examples of activities related to graph theory that can be implemented with pupils in an outdoor environment. The tradition of local feasts serves as motivation for pupils here. The theoretical part deals with the definitions of basic terms from graph theory, the specifics of outdoor learning, also brings the tradition of Sivice's feasts closer and could be used as a theoretical basis for the teacher, who subsequently leads the teaching program. The empirical part contains a description of the educational program including the solution of individual tasks and its reflections based on implementation. Key words graph theory, vertex, edges, rooted tree, single stroke drawing, outdoor teaching, self-reflection Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval/a samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů. V Brně dne: 20. dubna 2023 Zdena Stanová Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala vedoucí své diplomové práce paní Mgr. Heleně Durnové, Ph.D. za cenné rady, podporu a trpělivost, kterou se mnou v průběhu tvorby diplomové práce měla. Děkuji také sivickým páťákům za nadšení, se kterým přistupovali k aktivitám realizovaným ve výukovém programu. Další velké díky patří mojí rodině, obzvlášť sestře Petře, která mi byla vždy nablízku s radou, nápadem či emoční podporou, když to bylo nejvíce potřeba. Obsah Teoretická část...............................................................................................................................................1" 1. Teorie grafů...........................................................................................................................................H 1.1 Vznik teorie grafů..............................................................................................................................11 1.2 Základní pojmy z teorie grafů...........................................................................................................12 1.2.1 Různé typy grafů......................................................................................................................16 1.2.2 Aplikace teorie grafů v některých algoritmech řešících otázky optimalizace..........................18 1.2.3 Orientovaný graf......................................................................................................................20 1.3 Obdobné pojmy užívané ve školské matematice...............................................................................21 1.4 Teorie grafů ve slovních úlohách......................................................................................................23 2. Použité diagnostické metody................................................................................................................25 2.1 Sebereflexe učitele.............................................................................................................................25 2.2 Metoda analýzy výkonů žáků a výsledků učebních činností žáků.....................................................27 2.3 Didaktický test...................................................................................................................................27 2.4 Dotazník............................................................................................................................................28 3. Tradice sivických hodů.........................................................................................................................30 3.1 Přípravy na hody................................................................................................................................30 3.2 Hodový den.......................................................................................................................................31 3.3 Jednotlivé části současného sivického selského kroje.......................................................................32 3.4 Kácení máje v Sivicích......................................................................................................................33 4. Venkovní výuka....................................................................................................................................34 4.1 Místně zakotvené učení.....................................................................................................................34 4.2 Terénní výuka....................................................................................................................................34 4.3 Venkovní výuka, venkovní vzdělávám..............................................................................................36 4.4 Outdoorová výuka a následné soustředění žáků................................................................................38 Empirická část...............................................................................................................................................40 5. První výukový blok...............................................................................................................................41 5.1 Program včetně předpokládané časové dotace..................................................................................42 5.2 Vlastní zpětná vazba..........................................................................................................................50 5.3 Analýza dotazníku.............................................................................................................................52 6. Druhý výukový blok.............................................................................................................................54 6.1 Program včetně předpokládané časové dotace..................................................................................54 6.2 Vlastní zpětná vazba..........................................................................................................................60 6.3 Analýza dotazníků.............................................................................................................................61 7. Třetí výukový blok................................................................................................................................63 7.1 Program včetně předpokládané časové dotace..................................................................................63 7.2 Vlastní zpětná vazba..........................................................................................................................70 7.3 Analýza dotazníků.............................................................................................................................72 Závěr...............................................................................................................................................................74 Seznam zdrojů................................................................................................................................................76 Seznam obrázků.............................................................................................................................................78 Přílohy.............................................................................................................................................................80 Úvod Téma své diplomové práce j sem zvolila z důvodu nízkého povědomí učitelů 1. stupně v mém okolí o problematice teorie grafů. Přitom úlohy týkající se této matematické disciplíny se v některých učebnicích pro 1. stupeň základní školy objevují. Bohužel pouze jako součást jiných témat, nikoli jako téma samostatné. Domnívám se, že by si toto téma svým možným širokým uplatněním napříč nej různějšími obory větší pozornost jistě zasloužilo. Snažila jsem se proto vytvořit výukový program pro žáky prvního stupně, který by toto téma pojal samostatně a zároveň podporoval současný trend vyučovat ve venkovním prostředí. Chtěla jsem také, aby užitou motivací a skladbou učebních úloh program maximálně využíval aspektů místního prostředí naší vesnice. V teoretické části práce je možné najít definice základních pojmů, které s teorií grafů souvisejí. V empirické části práce se pak většina pojmů aktivně používá, případně je jejich znalost pro učitele vhodná k lepšímu vhledu do problematiky mimo jiné z důvodu, že s některými pojmy pracují žáci pouze implicitně. Dále se teoretická část práce zabývá specifiky venkovní výuky a přibližuje případnému nezainteresovanému čtenáři tradici sivických hodů. Teoretická část by tedy měla dobře posloužit jako odborný základ pro učitele, který by následně toužil realizovat navržený výukový program. Empirická část obsahuje podrobný popis výukového programu. Výukový program je koncipován pro žáky 5. ročníku základní školy v celkové délce osmi vyučovacích hodin a je rozdělen do tří výukových bloků. Dva bloky jsou navrženy po dvou vyučovacích hodinách, poslední po čtyřech. Využívá se tedy i velkého privilegia, které učitel na prvním stupni ZS má, tj. uzpůsobit časově stávající vyučovací harmonogram dle požadavků programu. Z důvodu, že většinu vyučovacích předmětů učí stejný učitel, nebývá problém provést pro účely programu jednorázové rozvrhové změny. V empirické části práce nechybí ani řešení jednotlivých úloh. Je ale nutné zdůraznit, že některé úlohy je možné řešit vícero různými způsoby a neznamená to, že by musely být nutně nekorektní. Po každém výukovém bloku jsou k dispozici výsledky orientačního dotazníku, jakým způsobem žáci porozuměli danému tématu, a moje sebereflexe upozorňující na možná úskalí a návrhy, co na výukovém bloku pozměnit. Diplomová práce si klade za cíl navázat na již obhájené diplomové práce a rozšířit povědomí o teorii grafů a jejím možném využití již na 1. stupni ZS. Současně chce 8 poskytnout příklady aktivit týkajících se této matematické disciplíny, které je možné s žáky ve venkovním prostředí realizovat, a analyzovat jejich průběh. Protože se domnívám, že by se teorii grafů mělo v rámci výuky matematiky věnovat více času, přikládám ilustrativní výčet alespoň některých možných aplikací napříč různými obory: tvorba vývojového diagramu v IT, taxonomické řazení živočichů, tvorba myšlenkových map, optimalizace rozvodných sítí, optimalizace navigačních zařízení, tvorba rodokmenu, zjištění počtu izomerů (chemie),... 9 Teoretická část 1. Teorie grafů Teorie grafu se řadí jako samostatná část do diskrétní matematiky. Název přímo odkazuje na skutečnost, že se bude věnovat grafům. Grafu je však v matematice více druhů. Většina lidí si pod pojmem graf často představí graf funkce, koláčový graf, spojnicový graf, sloupcový graf, bodový graf, aj. Tyto grafy se pojí spíše, nikoli výlučně, se statistikou. Teorie grafů však pracuje s grafy, které s těmi výše jmenovanými nemají příliš společného. 1.1 Vznik teorie grafů Počátky teorie grafů se pojí se jménem švýcarského matematika a fyzika Leonharda Eulera. Poprvé se graf objevil v 18. století v souvislosti s řešením úlohy o sedmi mostech města Královce, kterou se Euler zabýval. Tento problém byl sice znám už o století dříve, nicméně Euler přišel jako první na to, jak tuto úlohu vyřešit, navíc zcela originálním způsobem. Jeho způsob řešení byl zveřejněn ve sborníku Petrohradské akademie. Přestože se jednalo o sborník za rok 1736, vyšel až v roce 1741. (Sišma, 1997) Město Královec (někdy též Königsberg nebo Kaliningrad) na několika místech rozděluje řeka Pergel (viz Obr. 2 Mapa současného Královce s vyznačenými sedmi mosty). Úloha se zabývá otázkou, zdaje možné přejít po všech sedmi mostech právě jednou a dojít zpět do místa, odkud se vyšlo. Tento problém lze zakreslit pomocí grafu (viz Obr. 1 Graf sedmi mostů) a z něj vyvodit, že to možné není. Se jménem Leonharda Eulera, touto úlohou a způsobem jejího řešení souvisí i pojem eulerovský graf. (Fuchs, 1986) O eulerovských grafech je toho více zmíněno v kapitole Základní pojmy z teorie grafů. Obr. 1 Graf sedmi mostů Zdroj: vlastní zpracování 11 Obr. 2 Mapa současného Královce s vyznačenými sedmi mosty 0B.M.23 13:35 KaurhngrM - Mn&y Google Google Kalinin9rad Sedm moslů mesla královce MapwS dala £2023 Guo^e 200 ml ntQsrrwwwgoogie íartťmapi diaľs. K.iiii*nrjrM *Kalfiingr& reflexivita • pokud není uzel ut spojen hranou s u2, tak ani u2 není spojen hranou s ut (z definice hrany jako dvouprvkové podmnožiny množiny U). —> symetrie • pokud není uzel ut spojen hranou s u2 a u2 není spojen hranou s u3, potom ut není spojen hranou s u3 (V jednotlivých třídách ekvivalentního rozkladu jsou spolu uzly v relaci (tzn., nemají společnou hranu), tím splňují podmínky tranzitivity. Ve všech ostatních případech už uzly ve společné relaci nejsou (z definice úplného bipartitního grafu).) —> tranzitivita Obr. 5 Příklad úplného bipartitního grafu Zdroj: vlastní zpracování V další části budou definovány pojmy, které souvisejí s problematikou, jakým způsobem graf procházet, jak ho analyzovat, čeho si všímat. 14 Buď [U, H] graf, x0, xn £ U buďte libovolné uzly. Posloupnost uzlů a hran tvaru x0< X0X1< xl< xlx2< ■■■> xn-l< xn-lxn< xn se nazývá sled začínající v uzlu x0 a končící v uzlu xn. (Fuchs, 1986, s. 87) Z definice sledu vyplývá, že v případě posloupnosti jednotlivých uzlů a hran se mohou uzly i hrany opakovat. Jinak tomu je u speciálních případů sledů - tahu a cesty. Sled, v němž se neopakuje žádná hrana, se nazývá tah v daném grafu. Je-li počáteční uzel roven koncovému, nazývá se tah uzavřený. V opačném případě se tento tah nazývá otevřený. Sled, v němž se neopakuje žádný uzel, se nazývá cesta. (Fuchs, 1986, Podmínka, že se ve sledu neopakuje žádný uzel, implikuje, že se neopakuje ani žádná hrana. Lze tedy prohlásit, že každá cesta je současně i tahem a každý tah je současně i sledem. Obrácená implikace z definic neplatí. Graf, v němž mezi každými dvěma uzly existuje sled, se nazývá souvislý. (Fuchs, 1986, s. 88) Komponenta souvislosti grafu G (též souvislá komponenta nebo i jen komponenta) je každý podgraf H grafu G, který je souvislý a který je maximální s touto vlastností, tj. není částí většího souvislého podgrafu. (Demel, 2002, s. 57) Kružnice je uzavřená cesta. Kružnice se třemi hranami se nazývá trojúhelník. (Demel, 2002) s. 87) Obr. 6 Příklad kružnice o o o Zdroj: vlastní zpracování 15 Graf G' je podgrafem grafu G, vznikne-li z grafu G vynecháním nějakých (nebo žádných) vrcholů a hran. Podstatné je, že podgraf musí být také grafem: spolu s každou hranou, která je v podgrafu, tam musí být i oba její krajní vrcholy. (Demel, 2002, s. 18) Graf Gf je faktorem grafu G právě tehdy, když Gf je podgrafem G a obsahuje všechny uzly grafu G. (Fuchs, 1986) 1.2.1 Různé typy grafů Konečný souvislý graf neobsahující jako podgraf žádnou kružnici, se nazývá strom. (Fuchs, 1986, s. 91) Obr. 7 Příklad stromu Zdroj: vlastní zpracování Les je graf, který neobsahuje kružnici. (Demel, 2002, s. 58) Obr. 8 Příklad lesu O ô Zdroj: vlastní zpracování Z definic stromu a lesu vyplývá, že les je širší pojem než strom. Pokud je graf stromem, je současně i lesem. Opačná implikace neplatí. Současně platí, že každý les je složený z jednotlivých stromů, tj. komponentami souvislosti lesajsou stromy. Také lze říct, že strom je konečný souvislý les. (Demel, 2002; Fuchs, 1986) 16 Jednotažky „Řekneme, že graf G lze sestrojit jedním tahem, když v G existuje tah obsahující všechny hrany tohoto grafu." (Fuchs, 1986, s. 109) „Konečný graf bez izolovaných uzlů, jehož každý uzel je sudého stupně, se nazývá eulerovský." (Fuchs, 1986, s. 110) Pravidla jednotažek Věta: „Konečný souvislý graf lze sestrojit jedním uzavřeným tahem právě tehdy, když je tento graf eulerovský." (Fuchs, 1986, s. 110) Věta: „Buď G konečný souvislý graf. Pak lze G sestrojit jedním otevřeným tahem právě tehdy, když G obsahuje právě dva uzly lichého stupně. Obsahuje-li G právě dva uzly lichého stupně, pak otevřený tah v jednom z těchto uzlů nutně začíná a ve druhém končí." (Fuchs, 1986, s. 111) Ohodnocené grafy „Graf, jehož hrany a (nebo) vrcholy jsou opatřeny hodnotami, nazýváme ohodnoceným grafem." (Demel, 2002, s. 14) Obr. 9 Příklad ohodnoceného grafu Zdroj: vlastní zpracování 17 1.2.2 Aplikace teorie grafů v některých algoritmech řešících otázky optimalizace Jednou z potenciálních aplikací teorie grafů j sou optimalizační úlohy. Tato kapitola bude pojednávat o algoritmu řešícím hledání nejkratší možné cesty a o některých algoritmech vyhledávajících minimální kostru, což se v praxi využívá například při optimalizaci nákladů rozvodných sítí. Hledání minimální cesty Hledání minimální cesty řeší Dijkstrův algoritmus. Podmínkou pro využití Dijkstrova algoritmu je, že hodnoty hran jsou nezáporné. Dle požadavků konkrétní úlohy se volí jeden výchozí uzel. Z něj lze pomocí Dijkstrova algoritmu nalézt nejkratší cesty do všech dalších uzlů grafu. Pokud tedy konkrétní úlohu zajímá nejkratší možná cesta z výchozího uzlu do jiného, ale ne do všech, je možné po nalezení této cesty algoritmus ukončit. Mějme množinu N uspořádaných dvojic uzlů s přiřazenou hodnotou označující nejkratší cestu z výchozího uzlu. Do této množiny bude umístěn výchozí uzel s hodnotou 0. Ke každému dalšímu uzlu se postupně přiřadí číselné hodnoty. Číselné hodnoty se nejprve určí u uzlů, do kterých vede hrana z výchozího uzlu. Tato hodnota se rovná hodnotě hrany, kterou jsou tyto uzly spojeny s výchozím uzlem. Následně se z uzlů opatřených číselnou hodnotou vybere ten, jehož hodnota je nejnižší. Pro tento uzel už je nalezena nejkratší cesta, lze jej tedy společně s jeho hodnotou přiřadit do množiny N. V dalším kroku se přiřadí číselné hodnoty k některým uzlům, kterým zatím nebyly přiřazeny. Pokud je některý uzel bez číselné hodnoty spojen přímo hranou s nově přidaným uzlem z N, bude mu přiřazena hodnota tohoto uzlu z N zvýšená o hodnotu hrany, kterou je s tímto uzlem spojen. Dále bude v tomto kroku vyšetřena hodnota uzlů, které zatím nejsou přidány do množiny N, ale mají společnou hranu s nově přidaným uzlem z N. Pokud je součet hodnoty nově přidaného uzlu z N s hodnotou hrany spojené k příslušnému uzlu nižší než aktuální hodnota tohoto uzlu, pak se hodnota přepíše na novou. Opět se provede výběr z uzlů, které ještě nejsou v N. Uzel, jehož hodnota je nejnižší, se do N nově zařadí. Postupuje se stále dokola podle pokynů tohoto odstavce do okamžiku, než |N| = |U|. 18 Hledání minimální kostry Pro hledání minimální kostry je nejprve potřeba pojem kostra zavést. Faktor grafu G, který je stromem, nazýváme kostrou grafu G. (Demel, 2002, s. 58) Dále platí věta: „Každý konečný souvislý graf obsahuje alespoň jednu kostru." (Fuchs, 1986, s. 94) Algoritmů, jak minimální kostru získat, existuje mnoho. Zde jsou uvedeny tři nej známější. Hladový algoritmus Jednotlivé hrany grafu G je důležité nejprve seřadit od nejmenší po největší podle jejich hodnoty. Pokud mají některé hrany stejnou hodnotu, na pořadí nezáleží a může být zvoleno libovolně. Nechť je dán prázdný graf L. Seřazené hrany grafu G se budou postupně vyšetřovat a přidávat se svými uzly do grafu L, pouze pokud svým přidáním nezpůsobí vznik kružnice. Hrany se budou přidávat do grafu L tak dlouho, dokud v něm nebudou obsaženy všechny uzly grafu G. (Demel, 2002) Jarníkův-Primův algoritmus Nejprve se zvolí jeden uzel v grafu G. Ten se přidá do zatím prázdného grafu L. Dále se vybere hrana, která vede ze zvoleného uzlu a je nejkratší. Tato hrana se přidá společně s uzly do grafu L. Graf L už je nyní tvořen komponentou. V dalším kroku se vybírá hrana z grafu G, která je přímo spojená s komponentou L a je nejkratší možná. Tato hrana se opět společně se svými uzly přidá do grafu L. Graf L je stále tvořen komponentou. Postup se opakuje do chvíle, kdy se počet uzlů L rovná počtu uzlů G. (Demel, 2002) Borůvkův algoritmus Podmínkou správného fungování tohoto algoritmu je, že každá hrana má jinou hodnotu. Pokud tomu tak v grafu není, je možné hodnoty dvou hran, které jsou stejné, zapsat nově s malou odchylkou, která je bude odlišovat. Ke každému uzlu grafu G se vybere nekratší hrana, která z něj vede. Tato hrana se společně s uzly přidá do zatím prázdného grafu L. Tím vznikne graf L, který je les a skládá se z jednotlivých komponent. Ke každé z těchto komponent se poté vybere nejkratší hrana, která z ní vede. Tato hrana se 19 rovněž přidá do grafu L. Hrany se přidávají stále stejným způsobem, dokud se z lesa nestane jeden strom. (Demel, 2002) 1.2.3 Orientovaný graf Zde se v postupu definic Fuchs (1986) a Demel (2002) rozcházejí. Zatímco Fuchs (1986) nejprve postupuje v definicích od neorientovaných grafů a na závěr pojem grafu zobecní a připustí existenci orientovaných hran, Demel (2002) definuje orientovaný graf již na začátku: Orientovaný graf je trojice G — (V, E, e) tvořená neprázdnou konečnou množinou V, jejíž prvky nazýváme vrcholy, konečnou množinou E, jejíž prvky nazýváme orientovanými hranami, a zobrazením e:E->V2, které nazýváme vztahem incidence. Toto zobrazení pňřazuje každé hraně e£E uspořádanou dvojici vrcholů (x, y). Prvý z nich x nazýváme počátečním vrcholem hrany a značíme jej Py(e) druhý nazýváme koncovým vrcholem hrany a značíme jej Kv(e). (s. 11) Obr. 10 Příklad orientovaného grafu Zdroj: vlastní zpracování Jestliže Py(e) = Kv(e), pak hranu e nazýváme (orientovanou) smyčkou. (Demel, 2002, s. 11) Cyklus je orientovaná uzavřená cesta. (Demel, 2002, s. 20) Kořenový strom je orientovaný graf, v němž existuje význačný vrchol r, tzv. kořen, takový, že do kořene nevede žádná hrana, do každého jiného vrcholu vede přesně jedna hrana a navíc jsou všechny vrcholy z kořene r orientovane dostupné. (Demel, 2002, s. 21) 20 Obr. 11 Příklad kořenového stromu Zdroj: vlastní zpracování Je-li graf G kořenovým stromem a vede-li hrana z vrcholu x do vrcholu y, pak vrchol x nazýváme otcem vrcholu y a vrchol y nazýváme synem vrcholu x. Vrchol, který nemá žádného syna, nazýváme listem. (Demel, 1989, s. 54) Řehák & Gregor (1984) používají označení počáteční uzel pro kořen a koncový uzel pro list. Dále definují pojem větev: „Každé spojení počátečního uzlu s některým z koncových uzlů se nazývá větví." (s. 20) 1.3 Obdobné pojmy užívané ve školské matematice Jedním z mnohoznačných termínů, které mají jiný význam v teorii grafů (viz kapitola Základní pojmy z teorie grafů) a jiný v eukleidovské geometrii, je kružnice. Definice pojmu kružnice z eukleidovské geometrie je uvedena ze skript Francová &Lvovská(2014): Nechť je dán bod S ležící v rovině p a úsečka r. Kružnicí k o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny p, pro které platí, že úsečka |SX| je shodná s úsečkou r. Symbolicky: k(S,r) = {X £ p; SX = r}. (s. 59) Na první pohled se může zdát, že definice kružnic toho nemají mnoho společného. V teorii grafů kružnice při zakreslení představuje uzavřenou rovinnou křivku, která prochází danými uzly. Dokonce lze říct, že je tato křivka jednoduchá, protože kružnice je uzavřená cesta. Jednotlivé uzly se v ní tudíž neopakují, a ke každému grafu jsme proto schopni nalézt graf izomorfní tak, aby v něm příslušná kružnice představovala 21 jednoduchou uzavřenou rovinnou křivku. K tomuto tématu se přímo pojí dvě různé definice Jordánovy křivky: „Jordánova křivka je jednoduchá rektifikovatelná (konečně dlouhá) uzavřená křivka." (Rektorys, 2000, s. 547) „Buď n £ N , J c Rn Pak řekneme, že množina J je Jordánova křivka, jestliže J je homeomorfní s kružnici § (jednotková kružnice v rovině R2 se středem v počátku), tj. existuje-li homeomorfismus H: S -» J." (Dudák, 2017, s. 3) Jeden z možných typů Jordánových křivek dle první definice může být výše zmíněná kružnice z teorie grafů. Oproti tomu druhá definice popisuje homeomorfní zobrazení jednotkové kružnice z eukleidovského metrického prostoru na Jordánovu křivku. Obě definice tedy směřují k Jordánově křivce, tudíž je již etymologická souvislost jednotlivých významů mnohoznačného pojmu kružnice patrná. Jordánovou křivkou podle v pořadí třetí níže uvedené definice rozumíme i jednoduchou uzavřenou lomenou čáru, kterou žáci 1. stupně z hodin geometrie běžně znají. Francová & Lvovská, 2014: Lomenou čárou A0A1A2 ...An, (n > 1), rozumíme sjednocení všech úseček A0A1A2,An_1An konečné posloupnosti úseček, z nichž žádná neleží v přímce, která obsahuje předcházející (následující) úsečku této posloupnosti. Jednoduchou lomenou čárou rozumíme lomenou čáru, jejíž každé dvě nesousední strany jsou disjunktní - tzn. žádné dvě nesousední strany nemají společný bod. Jednoduchou uzavřenou lomenou čárou rozumíme jednoduchou lomenou čáru A0A1A2 ... An, kde A0 = An. (s. 74-75) Z důvodu netriviální etymologické souvislosti jednotlivých významů mnohoznačného pojmu kružnice není žákům pojem kružnice v kontextu teorie grafů v rámci výukového programu zaveden. Žáci pojem kružnice znají z hodin geometrie v kontextu eukleidovské geometrie. Říct jim náhle v kontextu teorie grafů, že nejkratší kružnicí je trojúhelník, by pro ně mohlo být matoucí. Navíc pokud jsou v grafu hrany mezi jednotlivými uzly zakresleny pomocí úseček, pak se s kružnicí v kontextu teorie grafů žáci 22 běžně setkávají v podobě jednoduché uzavřené lomené čáry. Proto je pro žáky zavedení pojmu kružnice v kontextu teorie grafů nadbytečné. Dalším mnohoznačným termínem objevujícím se v eukleidovské geometrii i v teorii grafů je pojem vrchol. Žáci na 1. stupni ZS se setkávají s pojmem vrchol zpravidla v souvislosti s vrcholem úhlu. „Uhel se nazývá část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímky se nazývají ramena úhlu, společný počátek obou polopřímek je vrchol úhlu." (Odvárko & Kadleček, 2004, s. 151) Polopřímka je jednoznačně zadána počátečním bodem a pomocným bodem. V případě úhlu mají 2 polopřímky společný počátek, tj. vrchol úhlu. Obdobně v případě, kdy jdou dány 2 podmnožiny U1; U2 tvořené prvky 1^= {u1; u2}, U2= {u2, u3}, je jejich průnikem vrchol u2. Hrany utu2, u2u3 mohou být analogií ramen úhlu a vrchol u2 může být analogií vrcholu úhlu. Je však důležité nezaměnit pojem vrchol z teorie grafů za vrchol úhlu z eukleidovské geometrie, protože je význam vrcholu v teorii grafů širší. Např. prvky u1; u3 jsou rovněž nazývány vrcholy, ale pomocné body polopřímek vrcholy nazývány nejsou. 1.4 Teorie grafů ve slovních úlohách Už z výše zmíněného případu, kdy se poprvé objevil graf jako řešení úlohy o sedmi mostech města Královce, je patrné, že zadání matematického problému právě pomocí slovní úlohy má v této matematické disciplíně výsadní postavení. Bez slovního zadání matematického problému bychom nevěděli, proč má smysl graf vůbec sestavovat, které jeho aspekty má smysl zkoumat a ani které informace v grafu číst. Graf zde slouží především jako zjednodušené a strukturované znázornění situace a vzájemných vztahů mezi prvky. Někdy z něj můžeme přímo vyčíst i řešení. Žáci na prvním stupni základních škol jsou učiteli již od prvního ročníku vedeni při řešení slovních úloh i k jejich grafickému znázornění. Z tohoto pohledu teorie grafů nabízí jen další způsob, jakým si vztahy mezi informacemi ve světě, který žáky bezprostředně obklopuje, znázornit. 23 Blažková et al. (2002) o grafickém znázornění slovních úloh píšou: Vztahy mezi údaji v úloze je vhodné znázornit na konkrétním modelu nebo graficky. Žáci by měli poznávat různé možnosti grafického znázornění a vhodně šije podle charakteru úlohy vybírat. (...) Grafické znázornění situace, které je důležitou součástí rozboru, dobrým žákům usnadní, slabším žákům někdy přímo umožní řešení úlohy. (s. 8) Obdobně jako u jakýchkoli jiných slovních úloh vhodně zvolené slovní úlohy týkající se teorie grafů mohou žáky při jejich řešení vést k manipulaci s předměty nebo ke dramatickému ztvárnění situace. Některé slovní úlohy, především ty kombinatorického charakteru, lze samozřejmě řešit i jiným způsobem než znázorněním pomocí grafu. Proto mohou žáci své postupy mezi sebou nebo i s učitelem vzájemně porovnávat. Rovněž některé úlohy přímo cílí na nalezení většího počtu různých řešení. Tato tvrzení dokazují i slova Blažkové et al. (2002, s. 13) k žádaným vlastnostem slovních úloh: „Náměty úloh by měly být pestré, dětem blízké. Je velmi prospěšné, podílej í-li se děti samy na formulaci slovních úloh. Úlohy by měly být dobře a srozumitelně formulovány. Vhodné jsou zejména ty úlohy, jejichž zadání umožňuje úlohu řešit více způsoby." Řešení slovních úloh pomocí teorie grafů lze podložit i očekávanými výstupy žáků v RVP ZV 2021, konkrétně: M-5-2-02 čte a sestavuje jednoduché tabulky a diagramy M-5-4-01 řeší jednoduché praktické slovní úlohy a problémy, jejichž řešení je do značné míry nezávislé na obvyklých postupech a algoritmech školské matematiky (s. 33-34) 24 2. Použité diagnostické metody 2.1 Sebereflexe učitele V rámci determinace pojmu sebereflexe tato kapitola postupně poskytne odpovědi na 3 klíčové otázky: „Co je to sebereflexe? Jak by měla sebereflexe vypadat? Proč by ji měli učitelé provádět?" Slavík & Siňor (1993) definují pojem reflexe následovně: Význam termínu reflexe je odvozen z latinského pojmu re-flecto = obracet se nazpátek. Reflektovat znamená uvažovat o tom, co bylo učiněno, tj. popisovat, vysvětlovat a hodnotit (svoje) minulé jednání. Smyslem reflexe je získat náhled na ty jevy v dosahu naší zodpovědnosti, které mají nezanedbatelný vliv na nás nebo na naše okolí, a proto vyžadují hodnotící diskusi a kontrolu, (s. 156-157) Oproti tomu jiným, ale ne zcela odlišným způsobem definuje pojem sebereflexe Švec (1997): Profesionální sebereflexí se obvykle rozumí zamýšlení se učitele nad jednotlivými stránkami jeho pedagogické činnosti, např. nad učivem, které zprostředkovává žákům, uplatňovanými výukovými metodami a formami, průběhem pedagogické komunikace (nad tím, jak komunikace probíhala, co učitel dělal, jak reagovali žáci, jak tuto komunikaci prožíval), nad svým vztahem k žákům a třídě apod. Součástí této sebereflexe je však také zamýšlení nad tím, jak probíhala komunikace s kolegy, rodiči atd. Profesionální sebereflexe tedy představuje zpětné ohlédnutí se učitele za svým vyučováním a jednáním ve třídě, za svými myšlenkami, postoji, činnostmi i emocemi, které se vztahují i k jeho ostatním pedagogickým aktivitám, (s. 3) Tato definice je již směrem k učitelské profesi podstatně konkrétnější. Nicméně obě definice spojuje to, že se učitel během sebereflexe dívá zpět do minulosti, kterou popisuje a přemýšlí o ní. V prvním kroku sebereflexe si učitel začne postupně vybavovat jednotlivé situace a jevy. K tomu mu může pomoci vlastní příprava na výuku, případně videozáznam nebo audiozáznam, u kterých je však potřebné dopředu řešit informovaný souhlas týkající se všech zúčastněných osob. To je nutné proto, aby nebyla porušena ochrana osobních údajů účastníků. V dalším kroku učitel jednotlivé jevy a situace popisuje. Z tohoto popisu vybere pro reflexi podstatné úseky, tj. to, co chce reflektovat, na co se chce zaměřit. Jednotlivé vybrané jevy učitel následně analyzuje a zkoumá jejich možné příčiny a důsledky. Dále učitel odhaduje, jak by mohl vypadat budoucí vývoj daných jevů. V závěrečném kroku 25 učitel popíše, jak by se daly případné chyby napravit, z čeho se poučil, co by udělal v budoucnosti jinak. (Slavík & Siňor, 1993) Sebereflexe by měla co nejvíce odpovídat realitě, tomu, co se opravdu stalo. Neměla by pohled na jednotlivé situace a jevy zjednodušovat, naopak by se na ně měla dívat v celé šíři a ideálně z různých úhlů pohledu. Měla by být strukturovaná, mít jasně stanovené, které jevy bude hodnotit, za jakým účelem a podle jakého klíče. Měla by se maximálně přizpůsobit aktuální situaci, nelpět na zaběhnutých postupech. (Slavík & Siňor, 1993) Švec (1997) uvádí výčet pozitivních dopadů na učitele, pokud pravidelně provádějí sebereflexi. Při provádění sebereflexe učitel rozvíjí svoje pedagogické myšlení, které se může týkat: • vhodnosti použití různých výukových metod • didaktické transformace učiva • cílového zaměření hodin - naplňování jednotlivých cílů a jejich kognitivní náročnosti • rozvíjení klíčových kompetencí u žáků • speciálních potřeb žáků • diagnostiky žáků a jejich hodnocení Dále si učitel při provádění sebereflexe upevňuje své názory týkající se: • školy, na které vyučuje • jednotlivých funkcí školy • našeho školského systému • kurikulárních dokumentů • postoje k jednotlivým aktérům výchovně-vzdělávacího procesu - k žákům, ke kolegům, k vedení, k rodičům, případně ke kontrolním orgánům Učitel v průběhu provádění sebereflexe rovněž analyzuje: • svoje chování směrem k jednotlivým aktérům výchovně-vzdělávacího procesu 26 • svoje chovaní v jednotlivých situacích • vliv vlastních emocí Dalším pozitivním dopadem provádění sebereflexe a vedení si pedagogického deníku může být prevence vzniku syndromu vyhoření. (Nevypusť duši, 2019) Výčet možných pozitivních dopadů sebereflexe s sebou souhrnně přináší rozvíjení profesních kompetencí učitele, zejména té reflexivní, jejíž definici popsali Slavík a Siňor (1993): Reflexivní kompetenci učitele chápeme jako míru připravenosti učitele reflektovat a hodnotit pedagogické jednání. Reflexivní kompetence tedy označuje kvalitu toho, jak učitel dokáže diagnostikovat vlastní činnost a vyvodit z ní poznatky, které mají do budoucna pozitivně ovlivnit jeho pedagogické působení. Jednoduše řečeno, míra reflexivní kompetence učitele je vyjádřena hodnotou odpovědi na otázku „Jaký jsem učitel?" (s. 157) 2.2 Metoda analýzy výkonů žáků a výsledků učebních činností žáků Tato metoda je součástí pedagogické diagnostiky. Žáky pedagog diagnostikuje na základě informací, které od nich získá. U této metody pedagog potřebné informace získává různými způsoby, kterými jsou např.: písemné projevy žáků - slohové práce, vyplněná učebnicová cvičení, domácí úkoly, kresby, portfolio,...; pozorování žáků - jejich chování, jednání... Dopředu by měl pedagog vědět, za jakým účelem informace sbírá, co je cílem jeho diagnostické práce. Tyto informace následně pedagog analyzuje a vyvozuje na základě nich závěry. Analýza se může týkat vývoje žáka, jeho specifických výkonů (zájmů a nadání), specifických chyb, laterality, vzorců chování, soustředěnosti. (Spáčilová, 2003) 2.3 Didaktický test Průcha (2009) definuje didaktický test následovně: Didaktický test (angl. achievement test) je zkouška, která se zaměřuje na objektivní zjišťování úrovně zvládnutí učiva u určité skupiny osob. Od běžné zkoušky se didaktický test ovšem liší zejména tím, že je navrhován, ověřován, hodnocen a interpretován podle určitých (předem stanovených) pravidel. (...) Dobré didaktické testy by měly postihovat obě sféry výsledků výuky, tj. rozsah a kvalitu vědomostí, ale rovněž úroveň dovedností, (s. 594) 27 Spáčilová (2003) se věnuje pozitivům a negativům didaktického testu. Mezi hlavní pozitiva se řadí jejich vyšší objektivita oproti jiným metodám. Na druhou stranu to s sebou přináší nerespektování individuálních zvláštností jednotlivých žáků, nastavení stejné úrovně všem. Jako negativní se dá dále považovat (podobně, jak už bylo zmíněno v definici výše) větší zacílení na rozsah a kvalitu vědomostí, oproti zjišťování aktuální úrovně dovedností. S tím se pojí i možná nízká kognitivní náročnost jednotlivých testových úloh. Pro komplexnější pohled je proto vhodné využít více diagnostických metod. Průcha (2009) rozděluje didaktické testy do dvou kategorií jako standardizované a ne standardizované. Standard značí normu, proto se standardizované testy nejprve zkouší na velkém množství respondentů, kteří tuto normu určí. Následně při práci se standardizovanými testy (tj. při zadávání a vyhodnocování testů) obvykle mívá examinátor k dispozici i testovou příručku. Někdy dokonce examinátor musí pro práci s určitými testovými bateriemi absolvovat kurz. Oproti tomu testy nestandardizované nejsou ověřovány na velkém množství respondentů, učitel si je zpravidla vymýšlí sám, a tudíž výsledky testu nemusejí být vypovídající. 2.4 Dotazník Spáčilová (2003) definuje dotazník následovně: „Dotazník je způsob psaného řízeného rozhovoru. Je sestaven z otázek a položek, u kterých se používá forma písemných odpovědí. Zaměřuje se na zjištění skutečností a informací o respondentovi, zjišťování jeho názorů, postojů, mínění, zálib, chovám za určitých okolností apod. Při sestavování dotazníku je třeba promyslet a přesně určit cíl dotazníkového šetření, logicky a stylisticky správně připravit konkrétní otázky." (s. 44) Gavora (2000, s. 99) oproti tomu souvislost s rozhovorem nezmiňuje: „Je to způsob písemného kladení otázek a získávání písemných odpovědí." (Termín rozhovor se vjeho publikaci vůbec nevyskytuje, místo něj je používáno interview ve smyslu výzkumné metody založené na mezilidském kontaktu respondenta a výzkumníka.) Mezi pozitiva dotazníku se řadí: • ekonomičnost - zisk velkého množství informací za krátký čas 28 snadné vyhodnocení - kvantitativně pomocí statistických metod nebo kvalitativně jako diagnostická metoda učitele anonymita - pokud je dotazník koncipován jako anonymní Mezi negativa dotazníku se řadí: odpovídání sociálně žádoucím způsobem, nikoli podle pravdy zjednodušování komplexnějších situací, názorů,... (Spáčilová, 2003; Gavora, 2000) Typy otázek v dotazníku Otevřené - respondent na otázky odpovídá vlastními slovy, tvoří vlastní formulace vět. Výhoda otevřených otázek spočívá v lepším postihnutí reality, nevýhoda v problematičtějším statistickém vyhodnocení. Uzavřené - respondent vybírá z několika možných předem daných odpovědí. Rovněž je uvedeno, zda výzkumník očekává právě jednu odpověď (otázka výběrová), nebo více odpovědí (otázka výčtová). Tuto skutečnost lze odlišit dle tvaru odrážek. Kulaté odrážky označují odpovědi na výběrovou otázku, čtvercové na výčtovou otázku. Speciálním případem je tzv. dichotomická otázka, na kterou respondent odpovídá pouze ano, nebo ne. U uzavřených otázek je vhodné jako jednu alternativu uvést i odpověď „nevím". Skálované - respondent může své odpovědi značit na číselnou škálu (bipolární škála), rovněž je vhodné jako jednu alternativu uvést i odpověď „nevím". Další možností je respondenta požádat, aby k jednotlivým odpovědím přiřadil číselné hodnoty a vyjádřil tím např. svůj preferenční žebříček (pořadová škála). Respondenta lze také požádat, aby vyjádřil míru svého souhlasu s daným výrokem (Likertova škála). U bipolárních a Likertových škal se upřednostňují liché počty stupňů škal za účelem existence možnosti volby prostřední varianty. Polouzavřené - respondent má možnost volby z předem připravených možností, současně může nabídku možností doplnit, případně svou volbu odpovědi zdůvodnit (Spáčilová, 2003; Gavora, 2000). 29 3. Tradice sivických hodů Sivické hody, jakožto nej významnější a nej důležitější svátek obce, se dle tradice slaví vždy nejbližší srpnovou neděli termínu svátku patrona obce sv. Rochá. Je to tedy svátek pohyblivý. Svatý Roch má v liturgickém kalendáři svátek 16. srpna. Protože obec Sivice spadá pod farnost Pozořice, kde se koná pouť nejbližší neděli ke slavnosti Nanebevzetí Panny Marie 15. srpna, hody se v Sivicích slaví vždy týden po farní pouti v Pozořicích. 3.1 Přípravy na hody Přípravy na hody obvykle začínají s koncem školního roku a začátkem prázdnin. Stárkovat u nás může každý, kdo je občanem Sivic, je svobodný a má dokončenou základní školu. Stárkovat lze i opakovaně. Všichni, kteří stárkovali předchozí rok i noví zájemci, se nejprve sejdou na akci zvané „první-poslední". Při ní se ještě nic důležitého neřeší, spíše dochází k vzájemnému seznamování a při rozhovorech zájemců o stárkování se již některé páry dávají dohromady. Na další schůzce proběhne volba hlavního páru a poté už se stárci pravidelně scházejí dvakrát týdně ve večerních hodinách. Učí se společně zpívat hodové písně, tančit, řeší se organizační záležitosti. V průběhu prázdnin se také obvykle jeden den věnuje údržbě parketu. Protože rodiny některých stárek i stárků vlastní svůj kroj, zodpovědnost za jeho přichystání (tzn. naškrobení a nažehlení) k hodovému dni a na kácení spadá na každého individuálně. Pokud tomu tak není, je třeba si již začátkem prázdnin zamluvit zapůjčení kroje v některé z mnoha půjčoven. V sobotu týden před hody probíhá žádání stárků rodičů o stárku. Skupina stárků přijde společně s písní na rtech k domu stárky. Poté stárek před rodiči poklekne a pronese žádost. Každý rok hlavní stárek sestavuje text této žádosti, lépe řečeno drobně jej oproti předchozímu roku pozmění. Proto se nezřídka stává, že obzvlášť zkušenější stárci text slibu popletou. Současně ostatní stárci dělají různé žerty, aby znemožnili říct text slibu správně a v odpovídající důstojnosti. Poté, co se stárci shodnou na tom, že text byl pronesen správně, a rodiče udělí souhlas, čeká všechny v domě stárky drobné občerstvení. V předhodový, místně nazývaný „svatý", týden už se scházejí stárci každý den navečer. Dívky vyrábí dekorace, zdobí sál, umývají lahve na víno, připravují rozmarýny 30 a tombolu, doma pečou cukroví a uklízejí svá obydlí. Chlapci ve středu jedou do lesa pro máju, opracovávají ji, chystají místa k sezení pro hosty večerní zábavy, připravují bary, staví podium, parket, atd. Společně se nacvičuje nástup. V sobotu se na návsi staví ručně mája za pomoci obyvatel obce. Je také pozván kněz a stárci mají možnost v místní kapli přijmout svátost smíření. V sobotu večer stárky přišívají stárkům na klobouk rozmarýn a na džbánek asparágus. 3.2 Hodový den Stárky musí vstávat brzy ráno, aby se oblékly do kroje. Stárci zase celou noc na návsi hlídají, aby jim přespolní nepodřezali máju. Okolo sedmé hodiny si přijde stárek vyzvednout svou stárku k ní domů, aby společně odešli slavit ranní mši svatou. Mše je slavnostní. Sjíždí se na ni lidé z širokého okolí a doprovází ji hrou na žesťové nástroje místní Sivická kapela. Nechybí ani úvodní slovo starosty obce. Po mši malé stárky z řad dětí roznášejí koláče, zatímco starší krojovaní tančí v párech. Stárek poté odvede svou stárku zpět domů. Stárka se převlékne z kroje. Obvykle se následně stárky nechají učesat kamarádkou, příbuznou nebo kadeřnicí. V současné době, pokud má stárka dostatečně dlouhé vlasy, převažují jako účesy drdoly s copánky. Je nutné, aby byl účes pevný a vydržel opětovné oblékání do kroje i časté tancování. V průběhu dopoledne se v domě stárky rovněž chystá slavnostní oběd a případně přijíždějí pozvaní hosté. Po obědě se s ohledem na pořadí v průvodu stárka zpět obléká do kroje. Stárci dopoledne ve dvojicích obcházejí vesnici a s ošatkou rozmarýn zvou místní občany na večerní zábavu. V průběhu obcházení vesnice rovněž vybírají příspěvky. Okolo třinácté hodiny se stárci sejdou v kulturním domě, odkud vychází hodový průvod. Za zpěvu stárků a hraní kapely průvod přichází k jednotlivým domům stárek. Stárka ozdobí svého stárka bílou zástěrou a připne mu rozmarýn s ušitou mašlí na vestu. Ostatní stárci se mezitím chytí za ruce, utvoří kolo a zpívají písně. Pár poté za zvuku kapely přichází odtančit do kola sólo. Po sóle se opět zpívají písně v kole a kapela dostane drobné občerstvení. Následuje sólo s rodiči stárky. Potom se všichni zpět seřadí a průvod putuje k dalšímu domu. 31 V letošním roce se poprvé v závěru průvodu nešlo tančit před místní hospodu z důvodu jejího zrušení. Místo toho si stárci zazpívali, zatančili a drobně se občerstvili před hasičskou zbrojnicí. Na závěr dorazí průvod zpět ke kulturnímu domu pod máju, kde proběhne nástup všech stárek a stárků, zpěv písně „Cí só hode" a tanec v párech. Po něm jednotlivé páry odchází ke stárce domů na večeři a vrací se zpět okolo dvacáté hodiny na večerní zábavu. Večerní zábava začíná opět nástupem všech stárek a stárků, posléze hlavní pár přivítá všechny hosty a sdělí některé organizační informace. V průběhu hodové zábavy se tančí a zpívá v kolech pod májou. Bývá dobrým zvykem první taneční sérii věnovat krojovaným s rodiči. Před půlnocí se stárky a stárci sejdou na parketu ke zpěvu písně „Mamičko, ožením sa". Stárky a stárci stojí naproti sobě v řadách. Stárci se drží za ramena, stárky za pas. Po odzpívání písně mají sivičtí stárci sólo. Všichni, stárci i stárky, tančí v párech, kolem nich se tvoří kola tvořená hosty večerní zábavy a po skončení písně krojované „vynesou" na ramenou na bar, kde za to dostanou láhev vína. Poté se vyhlašuje tombola. Oficiální část hodového dne tím končí, ale hodová zábava pravidelně pokračuje do ranních hodin. 3.3 Jednotlivé části současného sivického selského kroje Mužský kroj V současné době chlapci nosí dlouhé černé kalhoty a bílou košili s dlouhými rukávy. Na košili oblékají červenou vestu s kovovými knoflíky. Na nohou mají obuté černé polobotky a v nich černé ponožky. Hlavu pokrývá klobouk zdobený po bocích umělými květy a rozmarýnem, vzadu mašlí. Na průvodu rovněž oblékají bílou zástěru. V ruce drží stárek malovaný ozdobený džbánek s vínem. Ženský kroj Dívky oblékají tělové silonové punčochy. Na nohy obouvají černé boty na podpatku. Okolo pasu uvazují nejprve jelito, na něj se následně posadí obvykle 1 kratší spodní sukně a na ni poté 2 delší spodní sukně společně s jednou vrchní barevnou brokátovou sukní zdobenou květy. Dále dívky oblékají bílé škrobené rukávce a na ně šněrují černou zdobenou sametovou kordulku. Na závěr se umístí na přední stranu sukně 32 bílá zástěrka a na zadní stranu sukně doprostřed bílá mašle. Kroj se dozdobí stuhami barvy brokátové sukně a malými nepříliš rozvitými růžemi umístěnými ve výstřihu a ve vlasech. V ruce drží stárka rozmarýn ze spodní části zabalený v plátěném kapesníku. Obr. 12 Fotografie sivického kroje (Kousalová, 2021a) 3.4 Kácení máje v Sivicích Ke kácení máje dochází dva týdny po sivických hodech. V pátek dopoledne některé stárky připravují večeři. Odpoledne prochází krojovaný průvod obcí. Délka trasy průvodu je oproti hodům podstatně kratší. V místním kulturním domě stárci a stárky povečeří. Následuje večerní zábava. V sobotu odpoledne se za hojné účasti přihlížejících mája ručně skácí. 33 4. Venkovní výuka Venkovní výuka, terénní výuka, učení venku, outdoorové vyučování, místně zakotvené učení a mnoho dalších. Všechny tyto termíny a jejich různé varianty jsou spojovány se situací, kdy učitel společně s žáky opustí vnitřní prostory školy a vydá se žáky učit pod širé nebe. Tato kapitola se zabývá některými pojmy spjatými právě s tímto způsobem vyučování a jej ich zasazení do širšího kontextu. 4.1 Místně zakotvené učení Jak už název napovídá, místně zakotvené učení (v anglicky psané literatuře place-based learning, place-based education) je vzdělávací přístup, který se snaží pro žáky soustředit vzdělávací obsah do místa jejich bydliště nebo jeho blízkého okolí. Tento vzdělávací přístup navíc neopomíjí afektivní výukové cíle spojené s aktivní občanskou angažovaností a postoji k problémům, které se žáků bezprostředně dotýkají. Proto bývá místně zakotvené učení spojováno s environmentálni výukou, poznáváním místní kultury, ale i se seznamováním žáků s ekonomickými aspekty místního veřejného rozpočtu. Jako přirozený důsledek žáci touto formou výuky rozvíjejí komunikativní kompetence -komunikace s politickými představiteli obce, spoluobčany. (Hanuš et al., 2010) 4.2 Terénní výuka Hofmann et al. (2003) charakterizuje terénní výuku následovně: Terénní výuka je komplexní výukovou formou, která v sobě zahrnuje různé výukové metody (pokus, laboratorní činnosti, pozorování, projektová metoda, kooperativní metody, metody zážitkové pedagogiky...) a různé organizační formy výuky (vycházka, terénní cvičení, exkurze, tematické školní výlety - expedice...), pňčemž těžiště spočívá v práci v terénu - především mimo školu. (s. 6) Dále Hofmann et al. (2003) terénní výuku dělí podle různých kritérií: časového, z hlediska vedení, z hlediska krajiny. Z časového hlediska se dělí terénní výuka na: • krátkodobou - v rámci jednotek vyučovacích hodin, z toho důvodu zpravidla v přímém nebo blízkém okolí školy ideálně pro tento způsob výuky dobře vybaveném; 34 • středně dlouhou - v rámci jednoho dne, zpravidla exkurze, komentované prohlídky, projektové dny v terénu, výlety, návštěvy vzdělávacích programů,...; • dlouhodobou - v rámci vícedenního pobytu např. na škole v přírodě. Z hlediska krajiny, ve které terénní výuka probíhá, Hofmannovo et al. (2003) rozdělení v podstatě odpovídá jednotlivým typům krajiny (přírodní, kulturní, městská, devastovaná,...). Z hlediska vedení může terénní výuka podle Hofmanna et al. (2003) vypadat tak, že výuku: • připravují a vedou žáci; • připravují žáci společně s učitelem a vedou žáci; • připravuje a vede učitel, (s. 4) Vzhledem k tomu, že u středně dlouhé terénní výuky Hofmann et al. (2003) výslovně zmiňuje i možnost návštěvy muzea nebo planetária, domnívám se, že klasifikace terénní výuky z hlediska jejího vedení by se mohla doplnit ještě o možnost vedení některé její části externím pracovníkem nebo odborníkem z oboru. Z hlediska harmonogramu výuky Hofmann et al. (2003) rozlišuje jednotlivé fáze terénní výuky: • Přípravná fáze učitele - učitel vybírá lokalitu, sestavuje program a metody, které použije, sestavuje časový harmonogram, případně zajistí dovoz/odvoz žáků a zajistí finanční prostředky, vymyslí náhradní variantu v případě nepříznivého počasí • Přípravná fáze žáků - motivace žáků, seznámení s výukovými cíli, poučení o bezpečnosti a zápis do třídní knihy, informování rodičů, které věci je nutné mít s sebou, vysvětlení teorie, kterou je nutné znát při práci v terénu • Realizační fáze - samotná realizace programu • Závěrečná fáze - závěrečné zhodnocení programu realizované aktivním zapojením žáků do tohoto procesu, diskuze s žáky nad naplněním vzdělávacích cílů programu, poskytnutí prostoru pro vyjádření jejich názorů na výukový program, sebereflexe učitele 35 4.3 Venkovní výuka, venkovní vzdělávání Zahraniční literatura pracuje s pojmy „outdoor teaching" a „outdoor education", překlad obou těchto pojmů je ve své podstatě téměř totožný. První pojem by se dal přeložit jako venkovní výuka, druhý jako venkovní vzdělávání. „Venkovní výuka je spojena s vyučovacími předměty a tématy, které jsou situovány do venkovního prostředí. Neznamená to, že by se pouze změnilo místo vyučování z interiéru do exteriéru, ale že existuje souhra mezi aktivitami uvnitř a venku." (Faskunger et al., 2018, s. 12) „Venkovní vzdělávání je širší pojem než venkovní výuka a zahrnuje také pedagogické aktivity mimo instituci školy, např. přírodní a kulturní průvodcovství v rámci zážitkové turistiky, podporu zdraví realizovanou v místním prostředí." (Faskunger et al., 2018, s. 12) Výhody a nevýhody venkovní výuky Pozitivní aspekty venkovní výuky: • pobyt na čerstvém vzduchu • větší míra pohybu i aktivně trávené přestávky • při kvalitně vytvořeném programu větší míra názornosti • vede více učitele při přípravě k mezipředmětovému propojování Negativní aspekty venkovní výuky: • nepředvídatelnost počasí • nutnost myslet na to, že veškeré papírové materiály a pomůcky, případně jiné lehké předměty je nezbytné ve venkovním prostředí zafixovat • nevyhnutelnost nošení veškerých pomůcek a materiálů s sebou • často nevhodné polohy a pozice žáků pro psaní • delší pobyt venku si žádá promyšlenost přestávek pro naplnění základních biologických potřeb a pitného a stravovacího režimu žáků • zvýšená náročnost na přípravu učitele, mimo sestavení programu taktéž nutnost výběru vhodné lokality 36 • zajištění bezpečnosti žáků, zavedení preventivních pravidel pro pobyt venku, nezbytnost výbavy učitele nabitým mobilním telefonem, lékárničky, reflexních prvků při pohybu na pozemních komunikacích • zajištění informovanosti žáku či jejich zákonných zástupců o pobytu ve venkovních prostorách - prevence nevhodnosti oblečení, neočekávaných alergických reakcí apod. Zajištění bezpečnosti žáků patří mezi časté obavy učitelů a důvody, proč nerealizují výuku ve venkovním prostředí. Někdy mohou tyto obavy pramenit z neznalosti předpisů ajejich překročení v případě úrazu, proto je v následující části přiložena citace metodického pokynu MSMT k zajištění bezpečnosti a ochrany zdraví dětí, žáků a studentů ve školách a školských zařízeních zřizovaných Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy: ČI. 9 Poučení žáků (1) Škola zajistí, aby žáci byli poučeni o možném ohrožení zdraví a bezpečnosti při všech činnostech, jichž se účastní pň vzdělávám nebo v přímé souvislosti s ním. Žáky zároveň seznámí s konkrétními pokyny, právními a ostatními předpisy k zajištění bezpečnosti a ochrany zdraví žáků a se zásadami bezpečného chování, s možnými riziky a odpovídajícími následnými opatřeními, se kterými se mohou žáci setkat ve škole, jejím okolí a při činnostech mimo školu (například nebezpečí od neznámých lidí, nebezpečí násilí a šikany, nálezy nebezpečných předmětů apod.). Dále žáky seznámí s ustanoveními předpisů a pokynů k zajištění bezpečnosti a ochrany zdraví žáků, pokud se vztahují na příslušnou činnost, akci nebo pracoviště a průběžně také s ustanoveními školního řádu, vnitřního řádu, řádů dílen, laboratoří, odborných pracoven, sportovních zařízení, tělocvičen a hřišť a jiných pracovišť a s dalšími opatřeními školy, jež mohou mít bezpečnostně preventivní význam. (2) Dokladem o provedeném poučení je záznam poučení (např.: v třídní knize), přílohou je osnova poučení. Pokud to stanoví předpisy k zajištění bezpečnosti a ochrany zdraví, nebo je-li to odůvodněno rizikem činnosti, budou znalosti žáků ověřeny. (3) Žáky, kteří nebyli v době poučení přítomni, je třeba v nejbližším vhodném termínu poučit. Ve složitějších případech, zejména při seznámení se s obsahem důležitých předpisů, pokynů a norem o bezpečnosti technických zařízení, se pořídí zápis podepsaný žáky, z něhož lze podle potřeby zjistit konkrétní obsah provedeného poučení. Článek 10 (4) Pň akcích konaných mimo školu, kdy místem pro shromáždění žáků není škola, začíná dozor 15 minut před dobou shromáždění na určeném místě. Po skončení akce dozor končí na předem určeném 37 místě a v předem stanoveném čase. Místo a čas shromáždění žáků a skončení akce oznámí škola nejméně jeden den před konáním akce, buď zákonným zástupcům žáků, nebo přímo zletilým žákům. (5) Podle rozhodnutí ředitele školy mohou dozor konat vedle pedagogických pracovníků i jiné osoby, které jsou zletilé, plně způsobilé k právním úkonům a jsou v pracovněprávním vztahu ke škole. Tyto osoby musí být řádně poučeny o povinnostech dozoru a ředitel školy o tomto poučení provede písemný záznam, který osoba pověřená dozorem podepíše. (6) Pedagogičtí pracovníci vykonávají podle pokynů ředitele dozor i mimo školu, např. pň praktickém vyučování, pň praktické přípravě, pň kurzech, exkurzích a jiných činnostech vyplývajících ze školních vzdělávacích programů, pň účasti na soutěžích, přehlídkách popnpadě pň jejich pňpravě a na jiných akcích organizovaných školou. (7) Pň akcích konaných mimo školu, kdy jsou jejich účastníci ubytováni v objektech jiných osob, dodržují žáci předpisy k zajištění bezpečnosti a ochrany zdraví a předpisy o požární ochraně platné v těchto objektech. Žáci dodržují stanovený režim dne a pokyny vydané pro dobu nočního klidu. Za seznámení žáků s těmito pokyny a za kontrolu jejich dodržování odpovídá vedoucí akce nebo jím určený pedagogický pracovník. Vedoucí akce rozhodne o způsobu provádění dohledu v době nočního klidu. (s. 5-6) 4.4 Outdoorová výuka a následné soustředění žáků Vlivu hodin realizovaných ve venkovním prostředí na soustředění žáků v následujících vyučovacích hodinách v interiéru školy se věnuje studie publikovaná v roce 2018: „Do Lessons in Nature Boost Subsequent Classroom Engagement? Refueling Students in Flight", jejímiž autory jsou Ming Kuo, Matthew H. E. M. Browning a Milbert L. Penner. Tato studie ověřovala hypotézu: „Vyučovací hodiny uskutečněné ve venkovním prostředí mají pozitivní, nikoli negativní, vliv na soustředění žáků a jejich aktivity v následujících vyučovacích hodinách realizovaných uvnitř." (Kuo et al., 2018, s. 1) Experiment byl proveden ve 2 třídách žáků třetí třídy ve věku 9-10 let, na stejné škole, se dvěma různými učiteli. Oba učitelé byli kvalifikování pedagogové s několikaletou praxí a se zkušenostmi s venkovní výukou. Oba při tvorbě příprav navzájem spolupracovali a dané téma zpracovali podle učebnice Project Learning Tree. Úkolem učitelů bylo v průběhu 10 týdnů připravit 20 vyučovacích hodin přírodovědy. To znamenalo na každý týden připravit dvě vyučovací hodiny, které se budou věnovat stejnému tématu. Podle harmonogramu se jedna z vyučovacích hodin odehrála ve venkovním prostředí a jedna uvnitř. Kontroloři, kteří nevěděli, zda se hodina odehrála 38 uvnitř nebo venku, poté podle přesně zadaných kritérií sledovali míru aktivity a soustředěnosti žáků v následující vyučovací hodině po dobu 20 minut. Záznamy kontrolorů následně výzkumníci vyhodnotili. Studie prokázala vyšší míru soustředěnosti a aktivity po vyučovacích hodinách realizovaných ve venkovním prostředí. Současně studie vyvrátila, že by mohly být výsledky zkresleny jakýmkoli jiným faktorem. Tato studie tedy může posloužit jako dobrý argument pro vyvrácení některých mylných závěrů učitelů, kteří do výčtu negativních aspektů venkovní výuky řadí nižší míru soustředěnosti žáků v následující vyučovací hodině. 39 Empirická část 5. První výukový blok Třída: 5. Počet žáků: 11 Místo: ZŠ a MŠ Sivice Téma 1. bloku: Jednotažky Časová dotace: 90 minut Cíle: Žák vysvětlí pojmy uzel, hrana. Žák vysvětlí, kdy lze a kdy nelze nakreslit graf jedním tahem a tato pravidla aplikuje v konkrétních situacích na konkrétních úlohách. Pomůcky: lepicí kartičky se jmény žáků, provázek, vytištěné papíry s úlohami, desky na psaní Poznámka: Záměrně jsem dala přednost termínu uzel, protože žáci termín vrchol znají z hodin geometrie v trochu jiném kontextu a mohlo by to bránit správnému pochopení tohoto pojmu. Současně se domnívám, že termín uzel lépe asociuje správnou představu o tomto pojmu v souvislosti s teorií grafů. Cíl: „Žák vysvětlí pojmy uzel, hrana." neznamená, že by žáci měli znát definici těchto pojmů. Pouze by jim měli správně rozumět a umět je správně používat. To můžeme zjistit například i pomocí otázky v dotazníku (viz níže), kde dané pojmy žáci vysvětlují na základě kresby. Rozvíjené klíčové kompetence podle MŠMT (2021): kompetence k řešení problémů: • samostatně řeší problémy; volí vhodné způsoby řešení; užívá při řešení problémů logické, matematické a empirické postupy • ověřuje prakticky správnost řešení problémů a osvědčené postupy aplikuje při řešení obdobných nebo nových problémových situací, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problémů (s. 11) 41 5.1 Program včetně předpokládané časové dotace Úvod: odehrává se v učebně: 10 minut • Představení se třídě • Rozdání j meno vek • Stručné představení výukového programu: „Program je zaměřený na matematiku. Naučíme se řešit a znázorňovat matematické problémy pomocí teorie grafů. Program se bude odehrávat ve venkovním prostředí. Úlohy, které budeme řešit, budou motivovány místní tradicí hodů. Celkem se bude jednat o tři setkání -dvakrát po dvou vyučovacích hodinách, jednou čtyři vyučovací hodiny. Dnes nás čeká téma jednotažky." • Představení cílů prvního bloku: „Po dnešním dvouhodinovém bloku byste měli: o rozumět pojmům uzel a hrana o vysvětlit, kdy lze a kdy nelze zakreslit útvar jedním tahem" • Stručné poučení o bezpečném chování ve venkovním prostředí a následný zápis o tomto poučení do třídní knihy včetně zápisu prezence • Žáci si s sebou vezmou: desky, pouzdro Hlavní část: odehrává se venku Ornament z kordulky: dvůr kulturního domu: 20 minut Motivace: autentická fotografie kordulky jedné místní stárky Obr. 13 Ornament na kordulce (Kousalová, 202 lb) - upraveno autorkou 42 Vzhledem k nízkému počtu žáků ve třídě není problém tuto aktivitu provádět jako jedna velká skupina, všichni společně. Současně je to pro učitele příležitost diagnostikovat třídu jako sociální skupinu. Žáci mají nejprve za úkol si detailně prohlédnout obrázek s upraveným ornamentem, který byl pro potřeby úlohy zjednodušen. Jejich úkolem je následně vyšít podobný ornament pomocí vlastních těl a provázku. Na místě, kde se nachází černá tečka (uzel), stojí jeden žák, na místech hran se pak nalézá provázek. Jakým způsobem se žáci dohodnou na rozmístění, kdo bude pomocí provázku vyšívat a jak budou postupovat, nechá učitel plně v jejich režii. Obr. 14 Graf ornamentu z kordulky Zdroj: vlastní zpracování Po vytvoření ornamentu se učitel žáků zeptá: „Na kterém místě jste začali s vyšíváním? Na kterém místě jste skončili? Pamatujete si, v jakém pořadí jste ornament vyšili?" Každý žák dostane ornament vytištěný na papíru a jeho úkolem pak bude zapsat k jednotlivým uzlům čísla podle toho, v jakém pořadí ornament vyšívali. Pokud některý uzel žáci použili vícekrát, zapíší k němu příslušná čísla odděleně pomocí středníku. Na závěr si žáci čísla u ornamentu vzájemně zkontrolují. Neměla by se lišit, protože ornament vyšívali všichni společně. Rychlejším žákům může učitel dát za úkol vymyslet další způsob řešení, jak daný ornament vyšít, je proto dobré, aby měl listů papírů s ornamenty vytištěných více. 43 Obr. 15 Řešení grafu ornamentu z kordulky 3 8; 10; 12; 14 Zdroj: vlastní zpracování Kaple jedním tahem: u kaple sv. Rochá: 10 minut Žáci už se pravděpodobně ve svém dosavadním životě setkali s úlohou, ve které se kreslí domeček jedním tahem. Tuto úlohu si s nimi může učitel podle časových možností výuky zopakovat. Protože se však sivické hody konají vždy nejbližší neděli ke svátku sv. Rochá, jakožto patrona vesnice a svatého, kterému je zasvěcena i místní kaple, mohou si žáci zkusit zakreslit jedním tahem graf právě jim dobře známé místní kaple. Tento důvod může učitel využít během motivační části související s touto aktivitou. Obr. 16 Fotografie kaple Foto autor 44 Obr. 17 Graf kaple Zdroj: vlastní zpracování Po zakreslení jedním tahem žáci opět připíšou k jednotlivým uzlům čísla. Následně mezi sebou svá řešení zkontrolují tak, že se daný žák pokusí zopakovat postup svého spolužáka a podle čísel zakreslí kapli znovu. Pokud bude řešení spolužáka korektní, měl by být žák schopen kapli zakreslit znovu jedním tahem. Současně mají žáci za úkol zjistit, kolik různých řešení se spolužáky objevili. Učitel jejich aktivitu doplní otázkou, zda mají tato řešení něco společného. Obr. 18 Možné řešení grafu kaple 6*-*šTi5-•1J Zdroj: vlastní zpracování Celkem je možné přijít až na 32 různých řešení. Po žácích samozřejmě nechceme přijít na všechna, ani na jejich počet. Cílem aktivity je převážně uvědomění si, že všechna řešení mají společné to, že začínají a končí v uzlech majících lichý počet hran. 45 Dveře kaple: u kaple sv. Rochá: 15 minut Žáci mají nyní za úkol překreslit si tvar dveří na kapli. Posléze se budou snažit tento tvar zakreslit jedním tahem. Tento tvar zakreslit jedním tahem nelze, proto se na závěr tohoto úkolu učitel pokusí s žáky vyvodit pravidlo, podle kterého bezpečně poznají, které útvary lze a které nelze zakreslit jedním tahem. Pravidlo: Útvar lze zakreslit jedním tahem, pokud z každého uzlu vede sudý počet hran nebo pokud z počátečního a koncového uzlu vede lichý počet hran, ale pouze za předpokladu, že z ostatních uzlů vede sudý počet hran. Obr. 19 Fotografie dveří kaple Lze, nebo nelze obrazec zakreslit jedním tahem? Proč?: U kaple sv. Rochá: 5 minut Žáci se sami rozdělí do dvojic. Tentokrát budou mít za úkol bez psacích potřeb pouze pohledem na obrázek rozhodnout, zda jej lze nebo nelze zakreslit jedním tahem. Obr. 21 Graf kaple 2 Zdroj: vlastní zpracování Řešení: nelze zakreslit jedním tahem. Obr. 22 Graf jablíčko Zdroj: vlastní zpracování Řešení: Lze zakreslit jedním tahem. 47 Gordický uzel: náves u rybníka: 15 minut K hodům a jejich tradici patří i zpívání v kole pod májou. Žáci si nyní zahrají známou hru - gordický uzel. Nejprve si stoupnou všichni čelem k sobě - čím blíže, tím lépe. Následně zavřou oči. Dají obě své ruce před sebe a pokusí se někoho chytit jednou i druhou rukou. Vždy se mohou navzájem držet právě 2 ruce, nemohou se držet např. 3 dohromady. Až se každý někoho drží, otevřou všichni oči. Jakmile otevřou oči, nikdo nesmí promluvit. Žáci mají za úkol se jakýmkoliv povoleným způsobem rozplést, tj. musí dodržet podmínku, že dvě spojené ruce se v žádný moment nesmí pustit. Rozpletením vznikne jedno nebo více kol. Hru žáci s učitelem několikrát opakují. Na závěr se žáků učitel zeptá, proč vždy rozpletením vznikla kola. Od žáků se očekává odpověď, že je to kvůli tomu, že každý z nich představuje uzel, ze kterého vedou 2 hrany - ruce. A jelikož zde platí pravidlo "Útvar lze zakreslit jedním tahem, pokud z každého uzlu vede sudý počet hran...", lze graf nakreslit jedním tahem. A protože z každého žáka vedou právě 2 ruce, nikdo nepředstavuje ani začátek ani konec, kde by bylo potřeba s tvořením grafu jedním tahem začít. Zákonitě tak musí vzniknout, dle definice teorie grafů, kružnice, které v hodovém prostředí pro žáky představují kola. Poznámka: V této hře se žáci setkají se speciálním případem eulerovského grafu -kružnicí. Problematika zavádění tohoto pojmu žákům je objasněna v teoretické části práce v kapitole Obdobné pojmy užívané ve školské matematice. Přesnější matematický důkaz (pouze pro vyučující): Nutný předpoklad pro důkaz je, že každý hráč má právě 2 ruce, které lze mezi sebou rozlišit jako levou a pravou a které jsou obě připevněny k tělu. Pak lze uvažovat množinu rukou A = \a1 L, a1 P, a2i l, a2i p, ... ,an L, an P}, kde n představuje počet hráčů a prvek a1L představuje levou ruku hráče, kterému bylo jednoznačně přiřazeno číslo 1. Pro každé x, pro které platí: 1 5^r/S