1*1 < / OL/j (Xj^ OL^ oč? f; ô /7L. 0-* * oúĺ t OL n , i a, t a ■ af tžoi m * fa* CLj f éoL P*A*4 (K44t*CLš*($*4^-cL f: ďiyl -cL-j" a,tft Co - 5- M H CL a, ř (Xn = dif ř (22 -45) A * CL ■řL-cC ^> ^\ /Oy 6y 4+3 if JIAÍmOÍ /?č)Ú'/fy£ sVŕ?/č%/ú 'StfoJkm* í? /Jtrhdt Sat 0to- -oo ,77 I "S/t / 4-1 'W L; k; C j f: 40,... . x -M /K. t _i_L Z; (f,'ŕ/ŕ; "0 h-1 3 s 3-1 Už 4-3 = J- 4zM - Ml 4M7/ttoé 1-3 S, ús,^ ľ/l s> . s, va ď _ - . __/ , . y v. i 5 Úlohy ke zkoušce DIDAKTIKA MATEMATIKY 2 12. Posloupnosti na střední škole. 1. Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je třeba pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebene se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu 105 tašek. Při tom jsou tašky srovnány do řad tak, aby v každé následující řadě bylo o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy? 6,4- ä-($5+405) d1 - 15" úí/k - 4iif CL* +1 4ef-tft(/n-4)-'l 405-flf /Ks-- li ÁaoL SOVČB i QmI. p&floiu^ . 6 2. Buduje se hlediště letního kina přibližně pro 1200 diváků. Do první řady je plánováno 40 sedadel, do každé následující o čtyři sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? Ccol 4íw Mrak' /7l>= 4} MOL S/k • 4100 dÁ/m'íti (/iiOmk) f • \^ i - - - v--— Ĺ 4w--Jk. (ko tdnJ) l 4100 ' . iko+M + k/C) 1 'Obúttmou /Trii aAj /fůoJ^flío/,-aA[ 3. Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou — své intenzity. Jaká je intenzita paprsku po průchodu 4 stejnými deskami. x, x x x 5 [Ti 11 41 41 tm 4. Vkladatel si uložil částku 200000 Kč na termínovaný vklad na 18 měsíců. Vypočítejte, jakou částku bude mít v peněžním ústavu, jestliže nebude vybírat úroky ani vklad. Roční úrok je 0,8 %, daň z úrokuje 15 %. Úrokovací období je čtvrtletní. - MÁIa.oU 200míle icklAJjl-d^cu ' MotuJ AÍAvA . - ■. 0/f/'g?.a_ jJaoí. ta^ cml/ilj .... tyl Ä -0J0OI *(tf2w ' ^ 4ft .... $001 ■ Ofa- Ú,6Ú030 7-4 40. umA/TMÁit /r Ámmm. /jítdoAt ? 13. Planimetrie v kurzu školské matematiky. 5. Řešte konstrukční úlohy. Proveďte rozbor, popis konstrukce, konstrukci a diskusi řešení vzhledem k parametrickému zadání. Velikosti zadaných prvků si vhodně zvolte tak, aby úloha měla řešení. a) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a, va, r (r je poloměr kružnice trojúhelníku opsané). b) Je dána úsečka LM, |LM| = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky KLM, pro které je dále v/c = 3 cm, ti = 5 cm. c) Sestrojte obdélník ABCD, jestliže jedna jeho strana má délku 4 cm a úhlopříčky svírají úhel 80°. úl) Mbol -ji, /jiti Ĺ Jljm^ * - JwL A /r mul ť * i bii Ibíh&hHs l. VT1 lÁ i ^«^»O l Ut>t K0/1 žhnu ktc A li/fa /m' faAMyn '/rAotan 'ý^km^ Allda- /Ťhtt' If tá a lni ' Ir) A KLU ! jtXt ILtlhf^ď^.l^s^ ' />hot 5 ái ah. i LU i Híí I' ihn, k- /Ľli Ľ e f, í\k C. ô; S 4t/ikaLC l A K L H í L Ľ /ľ d/dni' /nvůrtcno '/k/1. 0. 1 AMP, ú a Miň CU'/JtiMs Hfr>v fl~f4i', 4L VQ.V 4 MfrvJ 1% • 4f^^/im ß. /Ôicb /ti/Á 360° í\. ô: 5 k $f\U t b 45 6. V trojúhelníku ABC svírají osy úhlů a a p úhel cp = R + — (R=90°). Ověřte f = ÍÍ0- oU/b 1 T I T If. 7. Vyslovte a několika způsoby dokažte Pythagorovu větu. (S/Tú f' ■ %> - -" /w'Ä^/Tiaýi !Ocl /)^WW/MfCÁ_s/ha6t 2 c-- &+b •7 /OL- 0.4 CUnôKH A h T7 i- f Ír " Vi 'y? 'd ^új/c/ yJjW tyz/p v »1 %äasL 6.2 - Tbrioci twvm'ce 5ra -• ((L +b) hm " I-lab 0^1 b1-' ô k jjumu'MjĽ'A • /O/éwML DBř&H /ma' /tdiknl icticb'Áu fféwfrh. / í2 = /^i ŕ 2. ô.i.d. OBTM'Cäul TYTHAčOWVA VĚTA ~v7ht Ct 0 /mat täa/et' čU^eoĹ^., /OšO/ŮiOŮ/TUjdL /na/L /frdnw/TyiA. /Mfcüfc)''/otitmaiA^j fuoÁ_ 70K u -■ fa) o X1- 4 +é 2 llo......21. 8. Odvoďte vzorec pro obsah kruhu: a) prostředky žáka základní školy (experiment, manipulativní činnost), b) pomocí vepisování a opisování pravidelných ^-úhelníků kruhu, c) pomocí integrálního počtu 4\ Jl At AVTnJA /MV (Mmf>rL f* 3, 4k i A Alt > w 4(fid^i /(typ , (kk)' ■ AffhJL U i / ID (ThoL 5 - ft-ů tfAlEMŘJlCkh ,, , A/nn'Un'puren 4>Á }é -Á^ t 4M A&£, ■ J ýiJ>P~ /M/TMO. ' ktänj ájiaL => if- Séo (f- 3&L , jßr m/U" /ti, /A/ 1 l/r^ l/n, /K/ /£-- fco JL P /p^s A& -flA^T- ATW /Ks /)W*£® /Ks ^y Mrm [ŕ- ÚÁ/K £, /Ks /ŕ^s 0*\ AM2lk^/[ « O ■ ■ /ofôčt /hal /jhiM^'čL ŠÍOj u • Ja', /Mna '/M'#W // Á*1*1 '''ýw'Mf^čc 'n/n l „ ^ /p y r/. > -r/V -= K c 2 ,2 = i -y 7 ,MA p/M. ''/i'nJ/^a'L <7K , p- ž -i ž. 2. JL JL ft, "j Z J 'i 1 /V -j x ŕ J -j íz (4- farf-k)■ Z■ fah dé-- f 7#točľ- l-chi-dh- -t 2, j-f-faíú-di ■i. -i •Á. jr z r1 1 - A i j -i 2 r 1 j 7 /indtQm A r Ü-- c r J 5= ŕ- [l + f-^Ü] 1 l _ o L2 1 1 t 14. Geometrická zobrazení v kurzu školské matematiky. 9. Je dán ostrý úhel AVB a jeho vnitřní bod M. Sestrojte trojúhelník KLM tak, aby jeho vrcholy K, L ležely po řadě na polopřímkách V A a VB a obvod trojúhelníku byl minimální. •x,H/| 3. (í,. ^ ^ . 4- jrv>é l/la; G. Y,' Vô vS/l^l H4Mi 1k. hY.lť[ i 10. Jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky a, b a bod C, který je vnitřním bodem pásu určeného přímkami a, b. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC takové, že A E a a B E b. 4ľ / /roíftj/^' i(e ±60°) -> m. 4o.,f,iU(Uí)°)--í>~^ M. A Mc, J. 6/ £//T, 5.B be^Of- 9- II Ír 1/ j 11. Je dán čtverec abcd, přímka p a bod s, s Č p. Sestrojte úsečku xy tak, aby bod s byl jejím středem, bod x náležel přímce p a bod y náležel obvodu čtverce abcd. /fy p' Julka.''á (r^ím^ ď AM/nJti, /TMi/)riiVľi(Díl: S G. K,K£ kf\ a. n A-bdj> i. c-* A/ 3.3' iL&ytMtit.s,, asxx -i r r 12. Sestrojte lichoběžník abcd, jsou-li dány délky obou jeho základen a, c a obou jeho úhlopříček e,f. 5". ÚL-* fcn^ I— £ 15. Stereometrie v kurzu školské matematiky. 13. Ověřte, že objem tělesa, které vznikne rotací pravidelného šestiúhelníku kolem jeho strany, je roven objemu koule, jejíž průměr je trojnásobkem strany šestiúhelníku. .............jmjd - JvtL úl ^rtiMa^ 5L 43) (ftu/fti. 2 \ v 1 /m IT'II IL * *$~ß-0^ —r l l z 3 v* %-rti o L 3 \l I # "f 1 3 14. Je dány krychle ABCDEFGH. Těleso, které vznikne sjednocením čtyřstěnů ACFH a BDEG se nazývá Keplerův mnohostěn. Určete počet vrcholů, hran a stěn tohoto tělesa. 1 jUí/ŤPľinn' AôfH 0 'As a*čim 2 fiJ//h/t f/l/l 3k (/ria. waktL) o 15. Odvoďte vzorec pro povrch kužele: a) prostředky žáka ZŠ, b) pomocí integrálního počtu. S>f= J- ä} &tLs T/l- A 5. = £p + V (ľ'ŽT-A. * Á-) TMPC! /k/TEGJViuJHo JoCTbL. V* + PL ' f-Jí} (úhat 1 JrzO^ ĺ q oj j l ...max/m'íul. 4 - #V • /T Ks • I T-a) ô TohRV 'ä ž L ô 3 o a v3 v3 1 *ô v/mcrí /necl ajM,< ft-A ^ W * d-tat 16. Trigonometrie obecného a pravoúhlého trojúhelníka. 17. V kružnici s poloměrem 7,5 cm jsou sestrojeny dvě rovnoběžné tětivy, jejichž délky jsou 9 cm a 12 cm. Vypočítejte vzdálenost těchto tětiv. / 4 v---y£ -\ •) / {M a Í%í5 -2o, 15 m-T3T .2 -" 4, ífrn^ X " k, 5 í 18. Letadlo letí ve výšce 2500 m k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem 28°, při druhém měření pod výškovým úhlem 50°. Určete vzdálenost, kterou proletělo mezi oběma měřeními. / h lť= 15V0 ž - 15-qo - 25W MM" G,53 í) A W° - l5Vo 15W<> = 15V0 . im/y^ /Win i- 19. Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výškovém úhlu a =39°25\ Přijdeme-li směrem k jeho patě o 50 m blíž na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výškovém úhlu p = 58°42'. Jak vysoká je věž? /b - f } A • r — _ A OL* i - 0±5_ - 1,5 l tcL ■■■■ /ÍM/íviíL /línáme ÚU ^ dtfhiíL /\a. o 5 Aby t i. -hi- X 'L ŕ h-/r j íá=Ľ=L '/KJÍ&L 1 2. 2 + 0 2. 2. -1 -1 l 4 ysfí hc. .... Jjárivi'CL /JMMiM_ C/dtfhúL ča. Sc /kŕ o í -jjf ŕ A -4=0 I > - 3* - J> X= d-4-3 A--- O 444i - 44 -o ^■0-4^-0 M)4)W.TLoli]' 4/aíc 23. Napište rovnici kružnice, která má střed na ose y a prochází body A[2; a2], B[—4; b2] ležící na přímce p: x — 2 y — 6 = 0. 4 M t;-il -2a L ' Lf -//-l/L-6--o -Zhz - Ao 1 A^i íjA/^ -t /) OL ! lij7 [iJ l!-3) Jíl - 4o 4 = 26. Pět dětí posílá zprávu SMS každý každému. Kolik SMS si celkem pošlou1: ÚL 4o ávr 40 ■■■■ 3 f I i/h-A J! = f/ = 28. Kolika způsoby můžeme za lokomotivu zařadit pět vagónů, z toho jsou tri vagony s piskem a dva vagony se štěrkem. ň JUfll/DĚTODDWOST ol- STATISTIKA 19. Pravděpodobnost a statistika ve školské matematice. 29. Určete průměrnou rychlost automobilu, které jede z místa A do místa B stálou rychlostí a = 80 km/h a zpět z místa B do místa A stálou rychlostí b = 120 km/h. AT' ? A-/T- h -k^ dl - ^ k-2," M = AL A£- LA , j/a . La /il /\i0 U^i. £ Milí. ^ *° v° ímo Uo 30. Dva kamarádi Adam a Petr závodili, kdo je lepší střelec ze vzduchovky. Každý měl celkem 5 pokusů. Adam střelil: 6, 7, 4, 5, 3. Petr střelil: 10, 3, 1,5, 6. Rozhodněte, kdo vyhrál. ■L 40, í/ 4/ f G 4) $0(/0£T lODlZ fa L - 40+3+1+5"+^ fAoúu/fa'jL Zďu' Amt Ĺ - Cti ^ +ro - 14 - f 4 4 /x II" /IM 4 5 5 — Mil ŕ2- 4J^ltbi)H*-Ů+(5-5Ť*-(6-5) - ZftWo+LU M- /oik. /TuVM'ßon Á/y) Y~5 ÚL L = 31. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma rozlišitelnými hracími kostkami padne součet 8? f* /fa /Jn~ / /TU 2 6 d+4 li i $ + 4 ■ 4 i 4 -5~i 1 (y* 1 4tí l -ti 3 tl l/tl Žil 0,^ 32. Státní vlajka se skládá ze tří vodorovných pruhů. K dispozici jsou barvy: bílá, červená, modrá, zelená, žlutá. Jaká j e pravděpodobnost, že a) při losování vlajek si vybereme tu vlajku, která má modrý pruh uprostřed b) při losování si vybereme vlajku, která má modrý pruh ÁcLl ... Ol.. 4//^r /r(Á;/rO*(/n-A+^-jd- = tT! . 5_±3±±.- 60 li /tĽ-/r(3s)- Ali /K M '/ŤIiiIf) - 60 f (f) - /hiJ^L A- cx4)=? é a (ť) - ■ /rrmúid Á/ /)wAyiij tifímkoL /hdrdi^L €> /vnlf) ' 3-/*n(<Č) * 3-41 mM ■■■