Korelační a regresní analýza
o    Pearsonův korelační koeficient
o    jednoduchá regresní analýza
o    vícenásobná regresní analýza


Pearsonův korelační koeficient
o    u intervalových a poměrových dat můžeme jako míru asociace --
  vztahu mezi proměnnými použít Pearsonův korelační koeficient
o    korelace
  n    ko = s, spolu, vzájemně
n    relace = vztah
n    korelace = vzájemný vztah proměnných
Pearsonův korelační koeficient
o    absolutní hodnota koeficientu vyjadřuje sílu (těsnost)
  vztahu
o    znaménko (+ nebo -) směr vztahu
o    rozsah -1 až +1
o    označuje se r

Pearsonův korelační koeficient
o    sám o sobě je deskriptivní statistikou, ale podobně jako u
  ostatních měr asociace je možno spočíst statistickou významnost
o    závisí na velikosti výběru -- čím vyšší, tím nižší koeficient
vychází průkazný

Pearsonův korelační koeficient
o    je mírou pouze pro lineární vztahy
o    před výpočtem je vhodné zobrazit vztah mezi proměnnými také
graficky -- tzv. scatter (dvourozměrný tečkový diagram)
Scatter
o    pozitivní vztah (přímá úměra) -- čím vyšší hodnoty proměnné
  X, tím vyšší hodnoty proměnné Y
o    r > 0
Scatter
o    negativní vztah (nepřímá úměra) -- čím vyšší hodnoty proměnné
  X, tím nižší hodnoty proměnné Y
o    r < 0

Scatter
o    žádný vztah - hodnoty proměnné X nesouvisí s hodnotami
  proměnné Y
o    r = 0
Scatter
o    nelineární vztah
o    r = 0

Příklad
o    jak spolu souvisí pocit štěstí a míra extraverze?
o    10 osob, 2 proměnné -- skór z dotazníku štěstí a skór ze
škály extraverze

Příklad
Příklad
Příklad
o    výpočet r
  
  
Příklad
o    SPXY=
  

  SSX=


   SSY=
Příklad
o    SPXY= 91,9
  SSX= 158,9
  SSY= 144,9

r = 91,9/( 158,9*144,9)
r = 0,606

Výstup ve Statistice
Interpretace r
o    není shoda v tom, jaká hodnota r je považována za těsný
  vztah
o    interpretace navržená Guilfordem:
  n    <0.20    zanedbatelný vztah
n    0.20-0.40 nepříliš těsný vztah
n    0.40-0.70 středně těsný vztah
n    0.70-0.90 velmi těsný vztah
n    >0.90     extrémně těsný vztah
Interpretace r
o    pro lepší interpretaci je vhodné převést koeficient korelace
  na koeficient determinace (r2)
o    ukazuje, kolik rozptylu v jedné proměnné může být vysvětleno
rozptylem ve druhé proměnné
Interpretace r
o    v našem příkladu
  n    r = 0,606
n    r2 = 0,367
o    36,7% rozdílů v míře štěstí můžeme vysvětlit rozdíly v míře
  extraverze
Interpretace r
o    korelace neznamená příčinný vztah mezi proměnnými!!
  n    ten můžeme ověřovat pouze experimentem, kdy jsou všechny
    ostatní proměnné udržovány konstatní, proměnná X předchází Y v
    čase atd.
Faktory ovlivňující r
o    omezený rozsah hodnot proměnné
o    použití extrémních skupin
o    nehomogenní soubor
o    extrémní hodnoty (outliers)
o    nelineární vztahy
o    reliabilita použitých nástrojů

Omezený rozsah hodnot
o    omezený rozsah hodnot jedné nebo obou proměnných snižuje
  hodnotu r
o    stejně tak nízká variabilita (extrémní případ:pokud by
všechny hodnoty 1 proměnné byly stejné, zákonitě r=0)
Použití extrémních skupin
o    použití extrémních skupin (např. jen osob s vysokým IQ) vede
  k vyššímu r

Nehomogenní soubor
o    může zkreslit r jak směrem nahoru, tak dolů
Extrémní hodnoty
o    extrémní hodnoty v jedné nebo obou proměnných mohou r
  výrazně zkreslit (nejen hodnotu, ale i směr), zvláště když je
  počet osob v souboru nízký
Extrémní hodnoty
o    r= 0,606
o    r= 0,766
Neparametrický koeficient
o    pro ordinální data je možno spočítat Spearmanův koeficient
  pořadové korelace (r)
o    počítá se tak, že
  n    hodnoty obou proměnných se seřadí od nejnižší po nejvyšší a
    přidělí se jim pořadí
n    z pořadí se pak počítá Pearsonův koeficient korelace
Parciální korelace
o    parciální korelace je taková korelace mezi dvěma proměnnými,
  kdy kontrolujeme vliv třetí proměnné na obě z nich
o    např. chceme zjistit, jaký je vztah mezi prospěchem na SŠ a
prospěchem na VŠ; obě proměnné jsou nejspíš ovlivněny IQ
Regresní analýza
o    výsledkem regresní analýzy je matematický model vztahu mezi
  dvěma nebo více proměnnými
o    snažíme se z jedné proměnné nebo lineární kombinace více
proměnných predikovat hodnoty další proměnné
Regresní analýza
o    dva typy proměnných: predikovaná (závislá) proměnná a
  prediktory (nezávisle proměnné)
o    predikovaná proměnná se označuje Y, prediktory X1, X2 ...Xn
o    pouze 1 prediktor -- jednoduchá regrese
o    více prediktorů -- vícenásobná regrese

Regresní analýza
o    regresní analýza umožňuje
  n    porozumět vztahům mezi proměnnými,
n    predikovat hodnoty proměnné Y z hodnot proměnné X (s určitou
přesností) -- např. z hodnot známek na střední škole nebo z počtu
bodů u přijímacího testu předpovědět úspěšnost na VŠ
Jednoduchá regresní analýza
o    příklad -- Jak souvisí vzdělání respondenta se vzděláním
  otce?
o    tj. jak dobře můžeme předpovědět počet let formálního
vzdělání respondenta z údaje o počtu let vzdělání jeho otce?
Jednoduchá regresní analýza
Jednoduchá regresní analýza
o    snažíme se najít rovnici tzv. regresní přímky
o    regresní přímka je taková přímka, od které je vzdálenost
bodů (představujících naměřená data) co nejménší
o    taková přímka, která nejlépe vystihuje data
Jednoduchá regresní analýza
Jednoduchá regresní analýza
o    jednou z metod, jak regresní přímku nalézt, je metoda
  nejmenších čtverců
o    je zvolena taková přímka, kdy platí, že součet čtverců
vzdáleností jednotlivých bodů od přímky je minimální
Jednoduchá regresní analýza
o    obecná rovnice regresní přímky
            Y' = a + bX
o    a je konstanta (predikovaná hodnota Y, když hodnota X je 0)
o    b je směrnice regresní přímky (úhel přímky vzhledem k ose;
kolikrát se Y zvětší s každou jednotkou X);
Jednoduchá regresní analýza
o    v příkladu vychází rovnice regresní přímky Y' = 9,93 +
  0,32*X
o    pro děti otců s 0 lety vzdělání předpovídáme necelých 10 let
vzdělání
o    s každým dalším rokem otcova vzdělání předpovídáme o 0,32
roku vzdělání respondenta více
  n    např. pro děti otců s 12 lety vzdělání je predikovaná
    hodnota jejich vlastního vzdělání 13,8 let
Výstup ve Statistice
Vícenásobná regresní analýza
o    predikujeme závislou proměnnou z více prediktorů
o    vliv každého z prediktorů na závislou proměnnou je
kontrolován pro vliv všech ostatních prediktorů (jde tedy o  vliv
"očištěný od vlivů ostatních proměnných a tudíž počítáme
parciální koeficienty)
Vícenásobná regresní analýza
o    příklad -- kromě vzdělání otce (X1) může mít na dosažené
  vzdělání vliv také počet dětí v rodině (X2)
o    rovnice regresní přímky je
  Y' = a + b1X1 + b2X2

Vícenásobná regresní analýza
o    Y' = 10,68 + 0,30*X1 -- 0,13*X2
o    vliv vzdělání otce (b=0,30) je o něco menší než u jednoduché
regresní analýzy (b=0,32) -- je kontrolován pro počet dětí v
rodině, který je zřejmě ovlivněn také vzděláním otce
o    vliv počtu dětí v rodině je záporný -- tj. čím více dětí, tím
nižší vzdělání
Vícenásobná regresní analýza
o    vícenásobná regresní analýza nám umožní srovnat vliv všech
  prediktorů na závislou proměnnou
o    můžeme dojít k závěru, že větší vliv na vzdělání respondenta
má vzdělání otce než počet dětí v rodině?
Vícenásobná regresní analýza
o    pokud chceme srovnávat vliv prediktorů měřených v různých
  jednotkách, je nutné použít tzv. standardizované regresní
  koeficienty
o    ukazují, kolikrát vzroste hodnota závislé proměnné, pokud se
změní hodnota prediktoru o 1 směrodatnou odchylku a hodnoty
ostatních prediktorů přitom zůstanou konstatní
Výstup ve Statistice
Vícenásobná regresní analýza
o    beta pro vzdělání otce je 0,43
o    pro počet dětí v rodině -0,13
o    větší vliv má tedy vzdělání otce než počet dětí v rodině
Vícenásobná regresní analýza
o    kromě regresních koeficientů je počítán také tzv. koeficient
  vícenásobné korelace -- korelace všech prediktorů se závislou
  proměnnou; ozn. R
o    jde vlastně o korelaci mezi pozorovanými hodnotami závislé
proměnné a hodnotami predikovanými na základě regresního modelu
Vícenásobná regresní analýza
o    koeficient vícenásobné determinace -- tzv. % vysvětleného
  rozptylu (závislé proměnné) lineární kombinací prediktorů; ozn.
  R2
Výstup ve Statistice
Vícenásobná regresní analýza
o    u jednoduché regresní analýzy je koeficient vícenásobné
  korelace roven korelaci mezi oběma proměnnými
Testování hypotéz v regresní analýze
o    jsou testovány 2 typy hypotéz
o    1) zda se R průkazně liší od 0
  n    testuje se analýzou rozptylu (porovnává rozptyl vysvětlený
    regresním modelem a reziduální rozptyl)
o    2) zda se regresní koeficienty průkazně liší od 0
  n    testuje se t-testem
Výstup ve Statistice
Výstup ve Statistice
Předpoklady regresní analýzy
o    skóry v proměnných jsou nezávislé (nejde např. o opakovaná
  měření)
o    dostatečná variabilita všech proměnných
o    rozdělení hodnot proměnných je normální
  n    u malých výběrů zkontrolovat extrémní hodnoty
Předpoklady regresní analýzy
o    vztahy mezi Y a každou X jsou lineární
  n    zkontrolovat scatterem
o    vzájemné korelace mezi prediktory nejsou příliš vysoké (tzv.
  problém mulikolinearity)
  n    pokud ano, je vhodné buď některou z nich vyřadit, nebo z
    nich vytvořit např. faktorovou analýzou jeden skór
Předpoklady regresní analýzy
o    dostatečně velký počet osob ve výběru vzhledem k počtu
  prediktorů v modelu
Kontrolní otázky
o    co vyjadřuje absolutní hodnota Pearsonova koeficientu
  korelace? a co jeho znaménko (+ nebo -)?
o    co je to koeficient determinace?
o    čím může být zkreslen korelační koeficient?
o    účel regresní analýzy
o    obecná rovnice regresní přímky
o    jak se interpretují regresní koeficienty
o    co je to koeficient vícenásobné korelace?
o    předpoklady regresní analýzy