I. Základní operace s hudebními proporcemi
- s hudebními proporcemi, tj. poměry operujeme jako s proporcemi
geometrickými
- základní tvar hudební proporce je dvojí: buď ve tvaru zlomku (např. kvinta -
2
3
), nebo ve tvaru poměru (např. kvinta - 3:2), v zásadě je lhostejné, který tvar
použijeme, pro matematické operace je ale vhodnější použití proporce ve tvaru
zlomku ­ lépe se nám počítá
- dvě libovolné proporce, např. kvinta
2
3
a kvarta
3
4
, můžeme vzájemně
kombinovat sčítáním a odčítáním
- sčítání provedeme pomocí matematické operace násobení, např. chceme-li
sčítat kvintu a kvartu, vynásobíme obě proporce:
1
2
6
12
3
4
2
3
==× , vidíme, že
jsme dostali proporci oktávy, čili kvinta a kvarta ,,dá" oktávu
- odčítání provedeme pomocí matematické operace dělení, např. chceme-li
odečítat kvartu od kvinty (logicky menší interval od většího), vydělíme obě
proporce:
8
9
3
4
2
3
3
4
2
3
=÷ nebo , dostali jsme proporci celého tónu
Z metodologie sčítání a odčítaní, tedy ze vzájemného kombinování proporcí, vychází
tzv. Pythagorejské ladění (aplikuji zde na diatonickou stupnici):
c d e f g a h c
9:8 9:8 256:243 9:8 9:8 9:8 256:243
II. Aritmetický střed a harmonický střed
- operace s proporcemi umožňující určit střední proporci (např. proporci a:b
rozdělíme nějakým x a dostaneme a:x:b, tedy proporci definující nikoli dva
krajné tóny intervalu ale tóny tři)
- aritmetický střed definován formulkou:
2
ba +
; aritmetické dělení poměru a:b
můžeme vyjádřit jako a:x:b, kde
2
ba
x
+
=
- harmonický střed definován formulkou:
ba
ab
+
2
; harmonické dělení poměru
a:b můžeme vyjádřit jako a:y:b, kde
ba
ab
y
+
=
2
- vztah mezi aritmetickým a harmonickým dělením je dán formulkou:
x
ab
y = ;
proto harmonické dělení se dá vyjádřit také jako b
x
ab
a :: co můžeme
zredukovat na bxabax ::
APLIKACE:
1. potřebujeme rozdělit oktávu danou poměrem 2:1
1.1. poměr oktávy 2:1 dosadíme do vzorce aritmetického dělení
2
3
2
12
=
+
=x a
dostaneme kvintu, kterou vložíme do poměru oktávy a dostaneme 1:
2
3
:2 dále
upravíme ,,kraje" (tj. 2 a 1) vynásobením jmenovatelem ,,středu" (tj.
2
3
- jmenovatel
2) a dostaneme konečnou proporci kde kraj tvoří poměr oktávy a se středem
tvoří poměr kvarty a kvinty
2:3:4
1.2. dosadíme do vzorce harmonického dělení
3
4
12
1.2.2
=
+
=y a dostaneme kvartu,
kterou vložíme do poměru oktávy a dostaneme 1:
3
4
:2 dále upravíme kraje
vynásobené jmenovatelem středu a dostaneme konečnou proporci kde kraje
tvoří poměr oktávy a se středem tvoří poměr kvinty a kvarty
3:4:6
2. potřebujeme rozdělit kvintu danou poměrem 3:2, abychom tak dostali poměr
kvintakordu
2.1. poměr kvinty dosadíme do vzorce aritmetického dělení
2
5
2
23
=
+
=x , dále
vložíme do poměru kvinty 2:
2
5
:3 , upravíme kraje a dostaneme , což je
poměr - proporce molového kvintakordu obsahující malou přirozenou tercii (6:5) a
velkou přirozenou tercii (5:4)
4:5:6
2.2. poměr kvinty dosadíme do vzorce harmonického dělení
5
12
23
232
=
+
××
=y a
výslednou proporci vložíme do poměru kvinty 2:
5
12
:3 , upravíme kraje a dostaneme
, což je poměr durového kvintakordu (15:12 vydělíme 3 a dostaneme 5:4,
tj. velkou tercii, a 12:10 vydělíme 2 a dostaneme 6:5, tj. malou tercii)
10:12:15
POZNÁMKA
V uvedených aplikacích jsme pracovali se superpartikulárními proporcemi
n
n 1+
,
pokud bychom ale vycházeli z délky struny, pak bychom podobně jako Rameau
použili proporce subsuperpartikulární
1+n
n
, které jsou pouze obratem proporcí
superpartikulárních a na výpočtech samotných to vlastně nic nemění, jenomže
namísto například proporce definující molový kvintakord dostaneme proporci
obrácenou definující durový kvintakord. Právě Rameau pracoval
s proporcemi subsuperparticularis. Touto dvouznačností je nutné se nenechat zmýlit.
4:5:6
6:5:4
III. Dělení harmonického intervalu
- dělení harmonických intervalů počítáme pomocí formulace
y
yx
yx
x
y
x
2
2 +
×
+
= , kterou rozdělíme jakýkoli harmonický interval (tj. interval
n
n 1+
, kde n je jakékoli celé číslo) na další dva harmonické intervaly (tj. opět
intervaly podle vzorce
n
n 1+
)
Z metodologie dělení intervalů vychází tzv. Ptolemaiovské, nebo také syntonické
(podle diatonického tetrachordu syntonon navrženého Ptolemaiem), proto u Ptolemaia
nacházíme jen harmonické intervaly (opět aplikuji na diatonickou stupnici):
c d e f g a h c
9:8 10:9 16:15 9:8 10:9 9:8 16:15
IV. K Rameauově 1. knize z Traité de l'Harmonie 1722
(pojednávající ,,O vztazích mezi harmonickými poměry a proporcemi")
Rameau při definici proporce durového a molového kvintakordu používá
zjednodušenou metodu určování středu:
velká tercie 4:5
malá tercie 5:6
násobky čitatelů a
jmenovatelů, 4x5 a 5x6,
dostaneme kvintu:
20:30
násobky ,,do kříže",
dostaneme středy
24 a 25
dosazení středů do poměru
kvinty:
20:24:30
20:25:30
Výsledné proporce: 20:24:30 ­ molový kvintakord a 20:25:30 ­ durový kvintakord
Rameau pak nazývá ,,perfektními" akordy. Podobně definuje také septakordy a
určuje i proporce akordických obratů.