2.1 Logická forma a pravdivostní hodnoty

Logická forma výroku vznikne z výroku vyjmutím všeho, co se nepovažuje za relevantní z hlediska vyplývání, tedy z hlediska logických důsledků daného výroku. Logická forma tedy fixuje pravdivost (protože, ta z hlediska vyplývání relevantní je), nicméně odhlíží od mimologických nahodilostí (zejm. od konkrétního slovního obsahu).

Např. výroky „Prší a Alík štěká“ a „Micka mňouká a Alík štěká“ mají tutéž logickou formu „A a zároveň B“. Tato forma je pravdivá, když jsou obě její složky A a B pravdivé. Protože úsudky přenáší pravdivost z premis(y) na závěr, logickým důsledkem „A a zároveň B“ je A, resp. B.

Existují dvě základní klasické logiky, jež se liší v tom, jak pečlivě analyzují formu výroku: výroková logika a predikátová logika. Obě logiky pracují jen s logickými formami výroků, stručně jim přesto budeme říkat výroky.

2.2 Výroková logika a logická forma

Výroková logika (VL) odlišuje výroky jednoduché a složené, přičemž výroky se skládají pomocí výrokových spojek jako , jež v zásadě odpovídají gramatickým spojkám jako např. „a“.

Formální chování výrokových spojek představuje model fungování oněch gramatických spojek (účelem modelu je zjednodušení a přesnost). VL abstrahuje od ‚mimologického‘, čímž je v daném případě vše mimo pravdivostní hodnotu a tuto funkcionální odvislost: pravdivostní hodnota složeného výroku je funkcionálně odvislá od pravdivostních hodnot dílčích výroků.

Pravdivostní hodnoty jsou v klasické logice dvě: 1 (Pravda) a 0 (Nepravda).

Pravdivostní funkce jsou exaktními modely významů výrokové spojek. Funkční hodnota pro daný argument (tj. pro pravdivostní hodnotu/hodnoty dílčího výroku/výroků) je vždy vepsána tučně.

Také výrokům tvaru A se říká negace (či negovaný výrok); výrokům tvaru A B se říká konjunkce; výrokům tvaru A B se říká disjunkce; výrokům tvaru A B se říká implikace; výrokům tvaru A B se říká ekvivalence.

2.2 Logické zákony jako platné úsudky

Logický zákon je logicky pravdivý výrok, který určitým způsobem odpovídá platnému úsudku. Nezřídka má tvar A  B, takže odpovídající úsudek má tvar A / B, což je lineární podoba

    A
   ---

   B

Zákony tvaru A B kódují dvojici platných úsudků: A / B a B / A. Zde jsou nejznámější příklady:

   Zákon dvojité negace                      A  A                       „dvě negace se vyruší“

   De Morganovy zákony                    (A B)  ( A B)     (plus varianty: permutace )

                                                                „negovaná konjunkce je disjunkcí negací“

                                                                 (A B)  ( A B)     (plus varianty: permutace )

                                                                „negovaná disjunkce je konjunkcí negací“

   Převod implikace na disjunkci          (A B)  ( A B)                      

   Převod implikace na konjunkci    (A B)  ( A B)                

2.3 Ekvivalence jako nejpřímější důsledek a negace jako ‚anti-důsledek‘

Ekvivalence jako logický důsledek. Výše uváděné zákony nám ukazují logické důsledky daného výroku A. Jistě, vždyť zákony kódují úsudky a úsudky s jednou premisou ukazují výrok a právě jeden jeho logický důsledek.

Např. jedním z logických důsledků výroku A je  A. Je-li daný výrok např. tvaru  (A B), jeho logickým důsledkem je dle De Morganova zákona  A B. V obou těchto příkladech jsme využili zákonů tvaru ekvivalence, hovoří se zde proto o výroku ekvivalentním k danému výroku; ten druhý výrok se nazývá ekvivalent. Ekvivalence dvou výroků znamená, že jejich pravdivostní hodnota je vždy shodná.

Negace jako logický ‚anti-důsledek‘. Z daného výroku A vyplývá jeho ekvivalent (viz hned výše), či výrok s ‚odvozenou‘, slabší pravdivostí (k tomu viz následující přednášku). Jiné výroky zase z daného výroku nevyplývají. V určitých případech má takový ‚anti-důsledek‘ pravdivostní hodnotu vždy opačnou, než daný výrok A; tehdy mluvíme o negaci daného výroku.

Nejjednodušší příklad tvoří A a jeho negace  A. Všimněme si, že negaci k A lze snadno sestrojit umazáním jedné ve výroku A, který nám jako ekvivalent A ukazuje zákon dvojité negace. Tento postup lze uplatnit i u dalších zákonů, např. z De Morganova zákona tak k výroku  A B získáme jeho negaci A B .

2.4 Predikátová logika: logický čtverec

Predikátová logika (PL) poměrně věrně analyzuje strukturu jednoduchých výroků, což VL neumí. Výrok jako „Alík je pes“ má podle PL logickou formu P(a), což čteme: objekt a vyhovuje podmínce P / je popsatelný predikátem P / spadá do množiny odpovídající P. Právě teorie množin dává PL značnou sílu.

Kromě jednoduchých výroků jako „Alík je pes“, „Anna miluje Borise“, „On ji nemiluje“ umí PL najít i formu výroků jako „Všichni/Někteří lidé jsou smrtelní“. Přitom využívá dvou logických operátorů, jimž se říká kvantifikátory.

              obecný kvantifikátor     „všichni“, „každý“, „pro všechna x“

            obecný kvantifikátor     „někteří“, „někdo“, „pro alespoň jedno x“

Výrok jako „Každý není pes“ má formu x P(x), výrok „Není pravda, že každý je pes“ má formu x P(x). Neodlišujeme při tom gramatický singulár a plurál, takže výroky „Všichni jsou psi“ a „Není pravda, že všichni jsou psi“ mají stejnou formu (ve správném pořadí), jako výroky formulované v předchozí větě v gramatickém singuláru.

Nejenže jsou operátory VL přítomny v logické formě jednoduchých výroků - PL umožňuje logickou formu složených výroků právě tak, jako VL. Neboli, PL je s to adekvátně modelovat mnohem více úsudků, než VL.

Např. „Každý člověk je smrtelný. Sókrates je člověk. Tudíž, Sókrates je smrtelný“ je intuitivně platný úsudek a PL to umí exaktně vyjádřit. Dle VL, jejíž pojem vyplývání je slabší, však tento úsudek platný není, neboť má neplatnou VL-formu: A, B / C.

Nejdůležitější část PL z hlediska aplikací v teorii argumentace se nazývá logický čtverec. PL čte logický čtverec jednodušeji než tradiční logika, nachází v něm „jen“ vztahy kontradiktoričnosti, tj. negace výroků; to níže vyznačují diagonály tvořící velké X. V následujícím obrázku jsou použity i tradiční označení výroků A, E, I, O.

Vztah na diagonále lze využít i k nalezení ekvivalentu negace daného výroku. Tehdy se řídíme

   De Morganovy zákony záměny kvantifikátorů   x A    x A

                                                                                          x A     x A

kdy A je dále upraveno dle zákonů přejatých z VL.

Náš obrázek logického čtverce také ukazuje Vennovy diagramy, jež zobrazují množinový model výroků: křížek indikuje, kde určitý nespecifikovaný objekt („x“) podle daného výroku je; šraf /// indikuje, kde žádný objekt podle daného výroku není.