Induktivní statistika - úvod
o    z-skóry
o    pravděpodobnost
o    normální rozdělení






Z-skóry
o    umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci
  rozdělení hodnot
o    a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na
rozdílných stupnicích
o    hrubé skóry jsou převedeny na standardizovanou stupnici
(jednotkou je směrodatná odchylka)


Z-skóry - příklad
o    např. skóry ze dvou testů -- biologie a psychologie
o    student získal 26 bodů z biologie a 620 z psychologie. Ve
kterém předmětu byl lepší?
Z-skóry - příklad
Z-skóry
o    přímé porovnání není snadné -- skóry z obou testů mají
  rozdílné průměry i směrodatné odchylky
o    z skór =odchylka skóru od průměru vzhledem k velikosti
směrodatné odchylky
o    z = odch. od průměru/směr. odch.
Z-skóry - příklad
o    skór z biologie: (26-18)/6 = 1,33
o    skór psychologie: (620-500)/100=1,2
o    v biologii byl student lepší -- 1,33 směrodatné odchylky nad
průměrem
Z-skóry
o    z-skór přesně udává pozici každé hodnoty vzhledem k ostatním
  hodnotám
o    znaménko (+ nebo -) ukazuje, zda je hodnota nad nebo pod
průměrem rozdělení
o    hodnota z-skóru upřesňuje, kolik směrodatných odchylek byla
hodnota od průměru vzdálena
Z-skóry
o    průměr rozdělení z-skórů je vždy 0
o    směrodatná odchylka je 1
Z-skóry
vzorec pro výpočet z-skóru hodnoty X

o    u populace: z = (X -- ě) /ó

o    u vzorku: z = (X - m) / s
Z-skóry
o    podobně můžeme i z-skór převést na hrubý skór, známe-li
  průměr a směrodatnou odchylku
Z-skóry
o    např. u stupnice IQ
o    m = 100, s = 15
o    pro osobu se z=-3 (3 směrodatné odchylky pod průměrem) bude
IQ ?
Z-skóry
o    např. u stupnice IQ m = 100, s = 15
o    pro osobu se z=-3 (3 směrodatné odchylky pod průměrem) bude
IQ

    X = Z . s + m
      X = -3 . 15 + 100
     X =  55
Rozdělení z-skórů
o    tvar rozdělení z-skórů je stejný jako tvar původního
  rozdělení hrubých skórů
o    průměr je 0, směrodatná odchylka 1
o    transformace změní jen označení hodnot na ose X
Pravděpodobnost
o    postupy induktivní statistiky vycházejí z  teorie
  pravděpodobnosti
o    pravděpodobnost, že nastane určitý výsledek, definujeme jako
podíl

                 počet pokusů, kdy nastal jev A
  P (A) =
                     celkový počet jevů
Pravděpodobnost - příklady
o    jaká je pravděpodobnost, že si z balíčku 52 karet vytáhneme
  určitou kartu (např. pikovou dámu) ?
Pravděpodobnost - příklady
o    jaká je pravděpodobnost, že si z balíčku 52 karet vytáhneme
  určitou kartu (např. pikovou dámu) ?

P (piková dáma) = f/N = 1/52 = 0,019= 1,9%
Pravděpodobnost - příklady
o    jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne trojka
  nebo šestka ?

Pravděpodobnost - příklady
o    jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne trojka
  nebo šestka ?

P (3 n. 6) = f/N = 2/6 = 0,333= 33,3%
Pravděpodobnost
o    pravděpodobnost bývá uváděna nejčastěji jako podíl (0,33),
  zlomek (1/3) nebo procento (33,3%)
o    pravděpodobnost určitého jevu nebo třídy jevů můžeme
odhadnout z rozdělení hodnot (četností)
Pravděpodobnost - příklady
o    představme si, že máme krabici se 40 očíslovanými žetony s
  čísly 1 -- 5
o    v tabulce jsou uvedeny absolutní i relativní četnosti
jednotlivých čísel žetonů

Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost - příklady
o    vaším úkolem je vytáhnout 1 žeton
o    jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem 3?
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
o    vaším úkolem je vytáhnout 1 žeton
o    jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem 3?
o    p (3) = f/N = 16/40 =0,40
  nebo 2/5 či 40%
Pravděpodobnost
o    Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem vyšším
  než 2?
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
o    Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem vyšším
  než 2?
  p(X > 2) = ?
  0,05 + 0,25 + 0,40 = 0,70


Pravděpodobnost
o    Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším
  než 5?
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
o    Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším
  než 5?
  p(X < 5) = ?
  0,10 + 0,20 + 0,40 + 0,25 = 0,95


Pravděpodobnost
o    Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším
  než 4 a vyšším než 1?
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
o    Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším
  než 4 a vyšším než 1?
  p(4 > X > 1) = ?
  0,20 + 0,40 = 0,60


Pravděpodobnost
o    pravděpodobnost odpovídá hustotě oblasti pod křivkou pro
  daný interval


Normální rozdělení

o    normální rozdělení je symetrické, unimodální, zvonovitého
  tvaru
o    označuje se i jako Gaussova křivka

Normální rozdělení
Normální rozdělení
o    34.13% skórů spadá mezi průměr a 1 směr. odchylku
o    13.59% hodnot spadá mezi 1. a 2. směr. odchylku
o    2.28% hodnot spadá mezi 2. a 3. směr. odchylku
Normální rozdělení
o    tabulka normálního rozdělení (z rozdělení)
o    důležitý nástroj, obvykle jako apendix v učebnicích
statistiky (spolu s dalšími tabulkami)
o    umožňuje zjistit hustotu oblasti pod křivkou (tj.
pravděpodobnost) pro jednotlivé z-skóry

Normální rozdělení
Normální rozdělení - příklady
o    postup při zjišťování pravděpodobnosti z tabulky:
  n    načrtnout si normální rozdělení, s hodnotou průměru a směr.
    odch.
n    zakreslit hledanou hodnotu (v přibližné vzdálenosti od
průměru), vystínovat hledanou oblast
n    převést hodnotu X na z-skór
n    najít v tabulce pravděpodobnost
  
  
Normální rozdělení - příklady
o    Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace
  bude mít IQ 130 nebo vyšší? (m = 100, s =15)
Normální rozdělení - příklady
o    z = 2

Normální rozdělení - příklady
o    Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace
  bude mít IQ 130 nebo vyšší?
o    z = 2
o    p = 0.0228 tj. 2,3%

Normální rozdělení - příklady
o    Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace
  bude mít IQ 85 nebo nižší?
Normální rozdělení - příklady
o    z = -1

Normální rozdělení - příklady
o    Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace
  bude mít IQ 85 nebo nižší?
o    z = -1
o    p = 0.1587  tj. 15,9%

Normální rozdělení - příklady
o    postup při zjišťování z-skóru z tabulky:
  n    načrtnout si normální rozdělení
n    vystínovat oblast odpovídající zadané pravděpodobnosti
n    v tabulce vyhledat příslušný z-skór
n    vypočítat z něj hrubý skór
  
  
Normální rozdělení - příklady
o    Jakou minimální hodnotu IQ musí člověk mít, aby patřil mezi
  5% osob s nejvyššími hodnotami IQ?
Normální rozdělení - příklady
o    p = 0.05
Normální rozdělení - příklady
o    Jakou minimální hodnotu IQ musí člověk mít, aby patřil mezi
  5% osob s nejvyššími hodnotami IQ?
o    p = 0.05
o    z tabulky: z = 1.65
o    X = (1.65).(15) + 100 = 124.75
Normální rozdělení - příklady
o    někdy chceme zjistit pravděpodobnost, že skór bude spadat do
  určitého intervalu
o    postup:
  n    načtrtnout graf a vystínovat zadanou oblast
n    oba (ohraničující) skóry převést na z-skóry
n    vyhledat pravděpodobnosti < nebo > skóru
n    sečíst či odečíst pravděpodobnosti

Normální rozdělení - příklady
o    Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student bude v
  testu z psychologie skórovat mezi 300 a 650 body? (m = 500, s
  =100)
Normální rozdělení - příklady
Normální rozdělení - příklady
o    jednodušší je spočítat pravděpodobnost skórování mimo zadaný
  interval a poté ji odečíst od 1
Normální rozdělení - příklady
o    Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student bude v
  testu z psychologie skórovat mezi 300 a 650 body? (m = 500, s
  =100)
o    p(x > (650 - 500) = p(z > 1.5) = 0.0668
  100
o    p(x < (300 - 500) = p(z < -2.0) = 0.0228
100
o    0.0668 + 0.0228 =.0896
o    p(300 < x < 650) = 1- 0.0896 =0.9104
Normální rozdělení - příklady
o    pomocí tabulky normálního rozdělení je možno nalézt také
  hodnotu percentilu
o    příklad: kolik procent osob má nižší hodnoty IQ než člověk s
IQ 130?
Normální rozdělení - příklady
o    z = 2
Normální rozdělení - příklady
o    Kolik procent osob má nižší hodnoty IQ než člověk s IQ 130?
o    z tabulky: pro z = 2
p = 0.9772
97.72% osob má nižší skór