Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}<äfi.muni.cz 5.10.2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 1 / 10 Obsah přednášky Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 2 / 10 Informace o predmetu Informace o predmetu Informace o predmetu ► Obsah předmětu ► průřez vysokoškolskou matematikou ► forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ► Ukončení předmětu ► zápočet (formou dvou písemek) ► 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ► 75 % bodů závěrečná písemka ► Úspěšné ukončení ► min. 50 % bodů z písemek ► max. 3 neomluvené absence ve výuce Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 3 / 10 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Okruhy ► výroková logika, důkazy, indukce ► základy teorie množin, čísla, relace, funkce ► ekvivalence, uspořádání ► úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ► kombinatorika, popisná statistika ► Zdroje informací ► literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ► diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 4 / 10 Motivace Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SS a VS matematikou ► Středoškolská matematika ► = počty s čísly: ► —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ► —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ► —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ► Vysokoškolská matematika ► = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ► —> zásobárna abstraktních pojmů ► —> přesné definice ► —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ► —> základ pro všechny technické obory Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 5 / 10 Motivace Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ► Počítačová lingvistika ► zpracování jazyka na počítačích ► potřeba sol u pracovat s technicky zaměřenými lidmi ► —> pochopit jejich způsob myšlení ► počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ► Abstraktní myšlení ► schopnost rozumově uchopit složité pojmy ► —> snazší pochopení lingvistických modelů ► schopnost zobecňovat ► schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ► —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 6 / 10 Principy matematiky Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ► Středoškolská matematika ► návody, jak něco spočítat ► Vysokoškolská matematika ► soubor poznatků o abstraktních pojmech ► styl definice - věta - důkaz : ► definice = vymezení pojmu ► věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ► důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 7 / 10 Principy matematiky Typy důkazů Typy důkazů ► Přímý důkaz ► použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ► Důkaz sporem ► předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ► použitím definic a známých faktů odvodíme spor ► (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ► Důkaz indukcí ► dokazujeme něco pro posloupnost objektů ► příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 5.10.2010 8 / 10 Principy matematiky Ukázka důkazu Ukázka důkazu ► Mějme definováno (znáte ze SŠ) Věta ► přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ► sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ► dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ► racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ► druhou odmocninu {y/ä = n, pokud n * n = a) ► \/2 není racionální číslo. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) I / 10 Principy matematiky Ukázka důkazu Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že y/l je racionální číslo. ► tedy a/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ► úpravou dostaneme: \/2 * s = r ► 2*s*s = r*r ► tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ► nahrazením dostaneme: 2*s*s = 2*c*2*c ► s*s = 2*c*c ► tedy s je také sudé ► r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) 5.10.2010 10 / 10