Obsah přednášky Informace o předmětu OO Motivace OO Principy matematiky OOOO Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtech Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic (pary, xkovar3}<äfi.muni.cz 5.10.2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu OO Motivace OO Principy matematiky OOOO Obsah přednášky 1 Informace o předmětu J Motivace J Principy matematiky Pavel Rychly, Vojtěch Kovář Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky •O OO OOOO Informace o předmětu Informace o předmětu Obsah předmětu ■ prUřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) Ukončení předmetu Uspešne ukončení mi ma &1 ~ - 5 -r)<^o Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky •O OO OOOO Informace o předmětu Informace o předmětu Obsah předmětu ■ prUřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) Ukončení předmetu Uspešne ukončení mi ma &1 ~ - 5 -r)<^o Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky •O OO OOOO Informace o předmětu Informace o předmětu Obsah předmětu ■ prUřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) Ukončení předmetu Uspešne ukončení mi ma &1 ~ - 5 -r)<^o Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Informace o předmětu •O Motivace OO Principy matematiky OOOO Informace o předmětu ■ Obsah předmětu ■ prUřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ■ Ukončení předmetu ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Uspesne ukončení Hmin.|50 % bodu z písemek Hmax.l3lneomluvenelabsencelvelvyuce Pavel Rychly, Vojtěch Kovář Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Informace o předmětu •O Motivace OO Principy matematiky OOOO Informace o předmětu ■ Obsah předmětu ■ prUřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ■ Ukončení předmetu ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Uspesne ukončení Hmin.|50 % bodu z písemek Hmax.l3lneomluvenelabsencelvelvyuce Pavel Rychly, Vojtěch Kovář Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Informace o předmětu •O Motivace OO Principy matematiky OOOO Informace o předmětu Obsah předmětu ■ prUřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) Ukončení předmetu ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ■ 75 % bodů závěrečná písemka Uspesne ukončení mi ma Pavel Rychly, Vojtěch Kovář Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I a FI MU Brno Obsah pěrednáaěsky Informace o pěredmeětu Informace o pěredměetu •o Motivace OO Principy matematiky oooo Informace o předmětu ■ Obsah predmetu ■ prUrez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zameřením (lingvistika) ■ UkonCení předmetu ■ zápoCet (formou dvou písemek) 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Uspesne ukonCení Hmin.|50 % bodu z písemek Hmax.l3lneomluvenelabsencelvelvyuce Pavel Rychláy, Vojteěch Kovaáěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěrednáaěsky Informace o pěredmeětu Informace o pěredměetu •o Motivace oo Principy matematiky oooo Informace o předmětu ■ Obsah predmetu ■ pruřez vysokoskolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zameřením (lingvistika) ■ Ukončení předmetu ■ zí počet (formou dvou písemek) 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Uspesne ukončení ■ min. 50 % bodu z písemek ■ max. 3 neomluvené absence ve výuce Pavel Rychláy, Vojteěch Kovaáěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednasky Informace o předmětu Informace o predmetu •O Motivace OO Principy matematiky OOOO Informace o předmětu Obsah přředmřetu ■ pruřez vysokoskolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zameřením (lingvistika) ■ Ukončení předmetu ■ zápočet (formou dvou písemek) 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Uspesne ukončení ■ min. 50 % bodu z písemek ■ max. 3 neomluvené absence ve výuce Pavel Rychláy, Vojteěch Kovaáěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěrednáaěsky Informace o pěredmeětu Informace o pěredměetu •o Motivace oo Principy matematiky oooo Informace o předmětu ■ Obsah predmetu ■ pruřez vysokoskolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zameřením (lingvistika) ■ Ukončení předmetu ■ zí počet (formou dvou písemek) 25 % bodů vnitrosemestrální písemka ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Uspesne ukončení ■ min. 50 % bodu z písemek ■ max. 3 neomluvené absence ve výuce Pavel Rychláy, Vojteěch Kovaáěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednasky Obsah předmětu Informace o předmetu om Motivace oo Principy matematiky OOOO Obsah předmětu Okřuhy ■ výroková logika, dukazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací přredmřetu) Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednasky Obsah předmětu Informace o předmetu om Motivace oo Principy matematiky OOOO Obsah předmětu Okřuhy ■ výroková logika, dukazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací přredmřetu) Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednasky Obsah předmětu Informace o předmětu om Motivace OO Přincipy matematiky OOOO Obsah předmětu ■ Okruhy ■ výroková logika, dUkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací Pavel Rychláy, Vojteěch Kovaáěř Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěrednáaěsky Obsah pěredmeětu Informace o pěredměetu om Motivace oo Principy matematiky oooo Obsah předmětu ■ Okruhy ■ vírokoví logika, dukazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formílní gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací přredmřetu) Pavel Rychláy, Vojteěch Kovaáěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Obsah pěredmeětu Informace o pěredměetu om Motivace oo Principy matematiky oooo Obsah predmetu Okruhy ■ vírokoví logika, dukazy, indukče ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formílní gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informačí přredmřetu) Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky om oo oooo Obsah pěredmeětu Obsah předmětu Okruhy ■ vírokoví logika, dukazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formílní gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací přredmřetu) Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Obsah pěredmeětu Informace o pěredměetu om Motivace oo Principy matematiky oooo Obsah předmětu ■ Okruhy ■ vírokoví logika, dukazy, indukče ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formílní gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informačí ■ literatura na strínče predmetu (presahuje rameč přredmřetu) ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Obsah predmetu Informace o predmetu om Motivace oo Principy matematiky OOOO Obsah předmětu Okruhy ■ výroková logika, dUkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací ■ literatura na stránce predmetu (přesahuje ramec predmetu) ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěrednáaěsky Obsah pěredmeětu Informace o pěredměetu om Motivace oo Principy matematiky oooo Obsah předmětu Okruhy ■ vírokoví logika, dukazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formílní gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací ■ literatura na strínce predmetu (presahuje ramec přredmřetu) ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychláy, Vojteěch Kovaáěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Rozdíl mezi SS a VŠ matematikou Motivace •O Principy matematiky OOOO Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = počty s čísly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ^H^lumen i la bstra kčeB-hlprem y slen i B^Hobečnos Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Rozdíl mezi SS a VŠ matematikou Motivace •O Principy matematiky OOOO Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = počty s čísly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ^H^lumen i la bstra kčeB-hlprem y slen i B^Hobečnos Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěrednáaěsky Informace o pěredměetu oo Rozdíl mezi SS a Vě matematikou Motivace •O Principy matematiky OOOO Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = počty s čísly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ^H^lumen i la bstra kčeB-hlprem y slen i BvBobečnos Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Rozdíl mezi SS a VŠ matematikou Motivace •O Principy matematiky OOOO Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = pocty s císly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítaní) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ^H^lumen i la bstra kceB-hlprem y slen i BvBobecnos Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Rozdíl mezi SS a VŠ matematikou Motivace •O Principy matematiky OOOO Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = počty s čísly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ^l^lumen i la bstra kčeB-hBpremyslen íBvBobečnos Pavel Rychly, Vojtěch Kovár Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO «0 OOOO Rozdíl mezi SS a Vě matematikou Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = počty s čísly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umení abstrakče + premyslení v obečnostečh ■ — zísobírna abstraktníčh pojmu ■ -»■ přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ základ pro všechny technické obory Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO «0 OOOO Rozdíl mezi SS a VŠ matematikou Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoškolská matematika ■ = pocty s cásly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umená abstrakce + premyslená v obecnostech ■ — zásobárna abstraktních pojmu ■ -»■ přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ základ pro všechny technické obory Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Rozdíl mezi SS a VS matematikou Motivace •O Principy matematiky OOOO Rozdíl mezi SS a VS matematikou Středoskolskí matematika ■ = počty s čísly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) Vysokoskolskí matematika ■ = umení abstrakče + premyslení v obečnostečh ■ —> zísobírna abstraktníčh pojmu ■ —*■ přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ základ pro všechny technické obory Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO «0 OOOO Rozdíl mezi SS a Vě matematikou Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = pocty s císly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítaní) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umení abstrakce + premyslení v obecnostech ■ — zísobírna abstraktních pojmu ■ -»■ přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ základ pro všechny technické obory Pavel Rychly, Vojtěch Kovárr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO «0 OOOO Rozdíl mezi SS a VS matematikou Rozdíl mezi SS> a VS matematikou Střredořskolska matematika = pořčty s řč isly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umení abstrakče + premyslení v obečnostečh ■ —> zísobírna abstraktníčh pojmu ■ -»■ přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ základ pro všechny technické obory Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO «0 OOOO Rozdíl mezi SS a VŠ matematikou Rozdíl mezi SS> a VS matematikou ■ Středoskolskí matematika ■ = počty s čísly: ■ -»■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ ->■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ ->■ k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umení abstrakče + premyslení v obečnostečh ■ — zísobírna abstraktníčh pojmu ■ -»■ přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ základ pro všechny technické obory Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potřebují lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematickích faktech ■ Abstraktn í myslen í Hschopnost rozumove uchopit složit e pojmy snazs ílpochopen íllingvistickychlmodelu Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potřebují lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítacích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematičkíčh faktečh ■ Abstraktn í myslen í Hsčhopnost rozumove učhopit složit e pojmy snazs ílpočhopen íllingvističkyčhlmodelu Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potřebují lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematičkíčh faktečh ■ Abstraktn í myslen í Hsčhopnost rozumove učhopit slozite pojmy snazs ílpočhopen íllingvističkyčhlmodelu Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potrebuj í lingviste matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematickách faktech ■ Abstraktní myslení schopnost rozumovře uchopit slořzit e pojmy H— snazsApochopeníllingvistickychlmodelu Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potřebují lingviste matematiku? ■ Pocítacoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematickích faktech ■ Abstraktní myslení Hschopnost rozumove uchopit slozite pojmy H— snazsí|pochopení|lingvistickychlmodelu Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potřebuj í lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítacích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematičky čh faktečh ■ Abstraktn í myslen í ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ — snazsí počhopen í lingvističkyčh modelu ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ -»■ nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterím se pri jejičh vstrebíví n í naučíte Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potrebuj í lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematičkíčh faktečh ■ Abstraktn í myslen í schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ — snazsí počhopen í lingvističkyčh modelu ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ -»■ nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterím se pri jejičh vstřebíví n í naučíte Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potrebuj í lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematičkíčh faktečh ■ Abstraktní myslení schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ — snazsí počhopení lingvističkyčh modelu ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ -»■ nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterím se pri jejičh vstřebíví n í naučíte Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potřebuj í lingviste matematiku? ■ Pocítacoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematicky ch faktech ■ Abstraktní myslení schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ — snazsí pochopení lingvistických modelu ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ -»■ nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterím se pri jejich vstřebíví n í naucíte Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potrebuj í lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematičkíčh faktečh ■ Abstraktní myslení schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ — snazsí počhopení lingvističkyčh modelu ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ -»■ nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterím se pri jejičh vstřebívíní naučíte Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Proě potrebují lingviste matematiku? Motivace om Principy matematiky oooo Proc potrebuj í lingviste matematiku? ■ Počítačoví lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ -»■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematičky čh faktečh ■ Abstraktn í myslen í schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ — snazsí počhopení lingvističkyčh modelu ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ -»■ nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterím se pri jejičh vstřebíví n í naučíte Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Principy vysoko skolskíe matematiky Motivace oo Principy matematiky •ooo Principy vysokoskolske matematiky Střredořskolskaí matematika ■ nívody, jak nečo spočítat ■ Vysokoskolskí matematika Hsoubor poznatku o abstrakt vřeta = formulače p oznatku Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Principy vysoko skolskíe matematiky Motivace oo Principy matematiky •ooo Principy vysokoskolske matematiky ■ Středoskolsk í matematika ■ ní vody, jak nečo spoč ítat ■ Vysokoskolskí matematika Hsoubor poznatku o abstrakt ^^^^^^^h ^Ifor m u l a čel p oz natku Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Principy vysokoskolske matematiky Motivace OO Principy matematiky •ooo Principy vysokoskolske matematiky ■ Středoskolskí matematika ■ nívody, jak neco spocítat ■ Vysokoskolskí matematika ■ soubor poznatku o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Principy vysokoskolske matematiky Motivace OO Principy matematiky •OOO Principy vysokoskolske matematiky ■ Středoskolská matematika ■ návody, jak neco spocítat ■ Vysokoskolská matematika ■ soubor poznatku o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Principy vysoko skolskíe matematiky Motivace oo Principy matematiky •ooo Principy vysokoskolske matematiky ■ Středoskolsk í matematika ■ ní vody, jak nečo spoč ítat ■ Vysokoskolskí matematika ■ soubor poznatku o abstraktn íčh pojmečh ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu OO Principy vysoko skolskíe matematiky Motivace OO Principy matematiky •OOO Principy vysokoskolske matematiky Střredořskolska matematika ■ ní vody, jak nečo spoč ítat Vysokořskolska matematika ■ soubor poznatku o abstraktn íčh pojmečh ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Principy vysoko skolskíe matematiky Motivace oo Principy matematiky •ooo Principy vysokoskolske matematiky ■ Středoskolsk í matematika ■ ní vody, jak nečo spoč ítat ■ Vysokoskolskí matematika ■ soubor poznatku o abstraktn íčh pojmečh ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah p rednía sky Informace o p redm etu oo Principy vysoko skolskíe matematiky Motivace oo Principy matematiky •ooo Principy vysokoskolske matematiky ■ Středoskolskí matematika ■ nívody, jak neco spocítat ■ Vysokoskolskí matematika ■ soubor poznatku o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlíy, Vojte ch Kovaí r Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ť5> - - FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Informace o pěr OO Principy matematiky o«oo Motivace OO Typy duka Typy dukazu Přímí dukaz ■ pouzitím definic a znímích faktu prímo odvodíme znení vety Dukaz sporem po D u kaz indukcí doka Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Informace o pěr oo Principy matematiky o«oo Motivace 00 Typy duka Typy dukazu Přímí dukaz ■ pouzitím definič a známýčh faktu prímo odvodíme znení vety Dukaz sporem po Dukaz indukčí doka Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Typy dukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky o«oo Typy dukazu ■ Přímí dukaz ■ pouzitím definič a znímíčh faktu prímo odvodíme znení vety ■ Dukaz sporem ■ předpoklídíme, ze veta neplatí (platí její negače) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z přredpoklad u) ■ Dukaz indukčí dokazujeme nřečo pro posloupnost objekt u Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Typy dukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky o«oo Typy dukazu ■ Přímí dukaz ■ pouzitím definič a znímíčh faktu prímo odvodíme znení vety ■ Dukaz sporem ■ předpoklídíme, ze veta neplatí (platí její negače) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z přredpoklad u) ■ Dukaz indukčí dokazujeme nřečo pro posloupnost objekt u Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Typy dukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky o«oo Typy dukazu Přráímyá d ukaz ■ pouzitím definic a známách faktu prímo odvodíme znřenáí vřety ■ Dukaz sporem ■ předpokládáme, ze veta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z přredpoklad u) D ukaz indukcáí dokazujeme nřeco pro posloupnost objekt u Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Typy dukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky o«oo Typy dukazu ■ Přímí dukaz ■ pouzitím definič a znímíčh faktu prímo odvodíme znení vety ■ Dukaz sporem ■ předpoklídíme, ze veta neplatí (platí její negače) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z přredpoklad u) ■ Dukaz indukčí dokazujeme nřečo pro posloupnost objekt u Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO OO o«oo Typy dukazu Typy dukazu ■ Přímí dukaz ■ pouzitím definič a znímíčh faktu prímo odvodíme znení vety ■ D u kaz sporem ■ předpoklídíme, ze veta neplatí (platí její negače) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z přredpoklad u) ■ D u kaz indukčí dokazujeme nřečo pro posloupnost objekt u ■ přířte Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO OO o«oo Typy dukazu Typy dukazu ■ Přímí d u kaz ■ pouzitím definic a znímích faktu prímo odvodíme znení vety D ukaz sporem ■ predpoklídíme, ze veta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z přredpoklad u) ■ D u kaz indukcí dokazujeme nřeco pro posloupnost objekt u ■ příste Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO OO o«oo Typy dukazu Typy dukazu ■ Přímí dukaz ■ pouzitím definic a znímích faktu prímo odvodíme znení vety ■ Dukaz sporem ■ předpoklídíme, ze veta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z přredpoklad u) ■ Dukaz indukcí dokazujeme nřeco pro posloupnost objekt u ■ příste Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukazka dukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky oo«o Mejme definovíno (zníte ze SŠ) ■ přirození čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítíní, odčítíní, nísobení a delení na prirozenyčh číslečh ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionílní čísla (r/s takoví, že r a s jsou přirození a nemají společneho delitele jineho nez 1) ■ druhou odmocninu (y/ä = n, pokud n * n = a) Veta Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky oo«o Mejme definovíno (zníte ze SŠ) ■ přirození čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítíní, odčítíní, nísobení a delení na prirozenyčh číslečh ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společneho delitele jineho nez 1) ■ druhou odmocninu (y/ä = n, pokud n * n = a) Vřeta 5 -O ^ O" Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu oo Motivace oo Principy matematiky oo«o Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ pširozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a delení na přirozených číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, žera s jsou přirozená a nemají společneho delitele jineho neZ 1) ■ druhou odmocninu (y/a = n, pokud n * n = a) Veta 5 -O ^ O" Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu OO Motivace oo Principy matematiky oo«o Mejme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená císla (1, 2, 3, ...) ■ scítání, odcítání, násobení a delení na prirozenych řcáíslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemajíí spoleřcníeho dřelitele jiníeho neřz 1) ■ druhou odmocninu (y/ä = n, pokud n * n = a) Vřeta 5 -O ^ O" Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu oo Motivace oo Principy matematiky oo«o Mejme definovíno (zníte ze SŠ) ■ přirození čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítíní, odčítíní, nísobení a delení na prirozenyčh číslečh ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionílní čísla (r/s takoví, že r a s jsou přirození a nemají společneho delitele jineho nez 1) ■ druhou odmocninu (y/ä = n, pokud n * n = a) Vřeta 5 -O ^ O" Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky oo«o Mejme definovíno (zníte ze SŠ) ■ přirození císla (1, 2, 3, ...) sřcíítaíníí, odřcíítaíníí, naísobeníí a dřeleníí na přrirozeníych řcííslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemajíí spoleřcníeho dřelitele jiníeho neřz 1) ■ druhou odmocninu (y/ä = n, pokud n * n = a) Vřeta Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I I MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu oo Motivace OO Principy matematiky oo«o Uka zka dukazu ■ Mejme definovíno (zníte ze SŠ) ■ přirození čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítí n í, odčítí n í, ní soben í a delen í na prirozenyčh č íslečh ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemaj í společn e ho delitele jin e ho nez 1) ■ druhou odmocninu (y/ä = n, pokud n * n = a) m Věta ■ y/2 nen í račioní ln í číslo. Pavel Rychly, Vojtěch Kovír Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu oo Motivace oo Principy matematiky oo«o Uka zka dukazu ■ Mejme definovíno (zníte ze SŠ) ■ přirození čísla (1, 2, 3, ...) sřčíítaíníí, odřčíítaíníí, naísobeníí a dřeleníí na přrirozeníyčh řčííslečh ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemajíí spoleřčníeho dřelitele jiníeho neřz 1) ■ druhou odmocninu (y/ä = n, pokud n * n = a) m Věta ■ y/2 neníí račionaílníí řčííslo. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah prednasky Ukazka dukazu Informace o predmetu OO Motivace OO Principy matematiky OOO* Uka zka dukazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že V2 je racionální číslo. ■ tedy V2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2* c * c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychly, Vojtěch Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Ukíazka d ukazu Informace o predmetu OO Motivace OO Principy matematiky OOO* Uka zka dukazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychly, Vojtěch Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Ukazka dukazu Informace o predmetu OO Motivace OO Principy matematiky ooo« Uka zka dukazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychly, Vojtěch Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu oo Motivace oo Principy matematiky ooo« Uka zka dukazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Ukíazka d ukazu Informace o predmetu OO Motivace OO Principy matematiky OOO* Uka zka dukazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že V2 je racionální číslo. ■ tedy V2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s pŠredpokladem. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu oo Motivace oo Principy matematiky ooo« Uka zka dukazu D ůkaz (sporem) ■ předpokládejme, že V2 je racionální číslo. ■ tedy V2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2* c * c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s přredpokladem. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukíazka d ukazu Informace o pěredměetu oo Motivace oo Principy matematiky ooo« Uka zka dukazu ■ D ů kaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Informace o predmetu Motivace Principy matematiky OO OO OOO* Ukazka d u kazu Ukazka dukazu ■ D ůkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednasky Ukíazka d ukazu Informace o predmetu OO Motivace OO Principy matematiky OOO* Uka zka dukazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pěredníaěsky Ukazka dukazu Informace o pěredměetu OO Motivace OO Principy matematiky 000« Uka zka dukazu D ůkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2 * s = r ■ 2* s * s = r * r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ ris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s přredpokladem. Pavel Rychlíy, Vojteěch Kovaíěr Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno