Obsah přednášky Teorie množin Množiny Množino )ve operace O oo ooo Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtech Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Cžech Republic (pary, xkovar3}@fi.muni.cz 19.10.2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin Množiny Množino )ve operace O oo ooo Obsah přednášky jl Teorie množin ^| Množiny ^| Množinové operace Pavel Rychly, Vojtech Kovař Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah přednášky Teorie množin Teorie operace Teorie Teorie množin spolu s logikou základní pilíř matematiky všechny matematické objekty jsou množiny rUžne formaln í teorie (nekoneCno, axiom vyberu) Naš c íl po na ne □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovař Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin Teorie operace Teorie Teorie množin ■ spolu s logikou základní pilíř matematiky ■ vSechny matematické objekty jsou množiny ■ rUžne formaln í teorie (nekoneCno, axiom vyberu) NaS c íl ■pochopit pojem množina^^^H HnauCit se pracovat se žapisy množin HnepouStet se do spornych aspektu teori í množin □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovař Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin Teorie operace Teorie Teorie množin spolu s logikou základní pilíř matematiky všechny matematické objekty jsou množiny rUžne formaln í teorie (nekoneCno, axiom vyberu) Naš c íl po na ne □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovař Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin Teorie operace Teorie Teorie množin spolu s logikou základní pilíř matematiky všechny matematické objekty jsou množiny rUžne formaln í teorie (nekoneCno, axiom vyberu) Naš c íl po na ne □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovař Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin Teorie operace Teorie ■ Teorie množin ■ spolu s logikou základní pilíř matematiky ■ vSechny matematické objekty jsou množiny ■ rUžne formalní teorie (nekoneCno, axiom vyberu) ■ NaS c íl ■ pochopit pojem množina ■ naucit se pracovat se žapisy množin ■ nepoustet se do sporných aspektu teori í množin □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovař Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin Teorie operace Teorie ■ Teorie množin ■ spolu s logikou základní pilíř matematiky ■ vSechny matematické objekty jsou množiny ■ rUžne formalní teorie (nekoneCno, axiom vyberu) ■ NaS c íl ■ pochopit pojem množina ■ naucit se pracovat se žapisy množin ■ nepoustet se do sporných aspektu teori í množin □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovař Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah prednášky Teorie množin Teorie operace Teorie ■ Teorie množin ■ spolu s logikou žakladn í pil ír matematiky ■ vsechny matematicke objekty jsou množiny ■ ružne formaln í teorie (nekonecno, axiom vyberu) ■ Nas c íl ■ pochopit pojem množina ■ naucit se pracovat se žapisy množin ■ nepoustet se do spornych aspektu teori í množin □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin Teorie opeřace Teorie ■ Teorie množin ■ spolu s logikou základní pilíř matematiky ■ vSechny matematické objekty jsou množiny ■ rUžne formaln í teorie (nekoneCno, axiom vyberu) ■ NaS c íl ■ pochopit pojem množina ■ naucit se pracovat se žapisy množin ■ nepoustet se do sporných aspektu teori í množin □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovař Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (čísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladní fakta Bexistuje praždna množina - 0 Hmnožina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyčtem prvku: {1, 2, 3} {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AiHAHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (C ísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta Bexistuje praždna množina - 0 Hmnožina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyctem prvku: {1, 2, 3} {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AHaHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (C ísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta Bexistuje praždna množina - 0 Hmnožina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyctem prvku: {1, 2, 3} {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AHaHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (C ísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta Bexistuje praždna množina - 0 Hmnožina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyctem prvku: {1, 2, 3} {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AHaHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (C ísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta Bexistuje praždna množina - 0 Bmnožina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyctem prvku: {1, 2, 3} {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AHaHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah pžrednaážsky Teorie množžin o Množžina Množina ■ Množina ■ skupina objektu (č ísel, aut, mysí, množin) ■ ne nutne stejneho typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta ■ existuje praždna množina - 0 ■ množina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyčtem prvku: {1, 2 3}, {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AiHaHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (C ísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta ■ existuje praždna množina - 0 ■ množina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyctem prvku: {1, 2, 3} {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AiHAHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (C ísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta ■ existuje praždna množina - 0 ■ množina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■vyctem prvku: {1, 2, 3} {0, {0}} Bvyrokem: {x | x G AiHAHx > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah pžrednaážsky Teorie množžin o Množžina Množina ■ Množina ■ skupina objektu (C ísel, aut, mysí, množin) ■ ne nutne stejneho typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta ■ existuje praždna množina - 0 ■ množina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■ vyctem prvku: {1, 2, 3}, {0, {0}} ■ vyrokem: {x | x G N A x > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah prednášky Teorie množin O Množina Množina ■ Množina ■ skupina objektů (C ísel, aut, myší, množin) ■ ne nutne stejneho typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta ■ existuje praždna množina - 0 ■ množina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■ vyCtem prvku: {1, 2, 3}, {0, {0}} ■ vyrokem: {x | x G N A x > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah pžrednaážsky Teorie množžin o Množžina Množina ■ Množina ■ skupina objektu (č ísel, aut, mysí, množin) ■ ne nutne stejneho typu ■ neobsahuje duplicity ■ není usporadana ■ Zakladn í fakta ■ existuje praždna množina - 0 ■ množina muže obsahovat jine množiny ■ Zapis množin ■ vyčtem prvku: {1, 2, 3}, {0, {0}} ■ vyrokem: {x | x G N A x > 5} □ g - = = -o^o Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah prednásky Teorie množin O Množiny o« Množine ooo víe operace Nekonečne množiny Nekonečne množiny ■ Nekonecne množiny ■ existuj í ve vetsine teori í množin ■ nůžne velka nekonecna ■ např. přirožena c ísla (racionaln í c ísla) vs. realna c ísla ■ v íce v dals ích prednaskach Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednásky Teorie množin O Množiny o« Množine ooo víe operace Nekonečne množiny Nekonečne množiny ■ NekoneCne množiny ■ existuj í ve vetšine teori í množin ■ mžne velka nekoneCna ■ např. přirožena C ísla (racionaln í C ísla) vs. realna C ísla ■ v íce v dals ích přednaskach Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednásky Teorie množin O Množiny o« Množino ooo víe operace Nekonecne množiny Nekonečne množiny ■ Nekonečné množiny ■ existuj í ve vétsiné teori í množin ■ rUžne velka nekonečna ■ např. přirozená č ísla (račionain í č ísla) vs. realna č ísla ■ v íče v dals íčh přednaskačh Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednásky Teorie množin O Množiny o« Množine ooo víe operace Nekonečne množiny Nekonečne množiny ■ Nekonecne množiny ■ existuj í ve vetsine teori í množin ■ nůžne velka nekonecna ■ např. přirožena c ísla (racionaln í c ísla) vs. realna c ísla ■ v íce v dals ích prednaskach Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednásky Teorie množin O Množiny o« Množino ooo víe operace Nekonecne množiny Nekonečne množiny ■ Nekonečné množiny ■ existuj í ve vétsiné teori í množin ■ rUžne velka nekonečna ■ např. přirozená č ísla (račionain í č ísla) vs. realna č ísla ■ v íče v dals íčh přednaskačh Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Množinové operace (1) Teorie operace operace ■ Operator G ■ = prvek patrí do množiny ■ tžn. na leve strane je vždy prvek, na prave vždy množina ■ plat í Vx(x G 0) ■ plat í 0 G {0} ■ plat í 0 G {{0}} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Množinové operace (1) Teorie operace operace ■ Operator G ■ = prvek patrí do množiny ■ tžn. na leve strane je vždy prvek, na prave vždy množina ■ plat í Vx(x G 0) ■ plat í 0 G {0} ■ plat í 0 G {{0}} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Množinové operace (1) Teorie operace operace ■ Operator G ■ = prvek patrí do množiny ■ tžn. na leve strane je vždy prvek, na prave vždy množina ■ plat í Vx(x G 0) ■ plat í 0 G {0} ■ plat í 0 G {{0}} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Množinové operace (1) Teorie operace operace ■ Operator G ■ = prvek patrí do množiny ■ tžn. na leve strane je vždy prvek, na prave vždy množina ■ plat í Vx(x G 0) ■ plat í 0 G {0} ■ plat í 0 G {{0}} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Množinové operace (1) Teorie operace operace ■ Operator G ■ = prvek patrí do množiny ■ tžn. na leve strane je vždy prvek, na prave vždy množina ■ plat í Vx(x G 0) ■ plat í 0 G {0} ■ plat í 0 G {{0}} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Množinové operace (1) Teorie operace operace ■ Operator G ■ = prvek patrí do množiny ■ tžn. na leve strane je vždy prvek, na prave vždy mnořžina ■ plat í Vx(x G 0) ■ plat í 0 G {0} ■ plat í 0 G {{0}} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace Podmnožina C ■ A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) PotenCn í množina ■množina vsech podmnožin dane Mzapis: P (A) nebo 2A ■p(A) = {x | x C A} ■piat í: p(0) = :0 ■plat í: P({0}) = {0, {0}}^H ■plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace Podmnožina C A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) PotenCn í množina Bmnožina vsech podmnožin dane Mzapis: P (A) nebo 2A ■p(A) = {x | x C A} ■plat í: P(0) = !0 ■plat í: P({0}) = {0, {0}}^H ■plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace Podmnožina C A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) PotenCn í množina Bmnožina vsech podmnožin dane Bžapis: P (A) nebo 2A ■p(A) = {x | x C A} ■plat í: P(0) = !0 ■plat í: P({0}) = {0, {0}}^H ■plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace ■ Podmnožina C A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkréceny žapis Vx G A (x G B) ■ Potenčn í množina ■ množina vsech podmnožin dane množiny ■ žapis: P (A) nebo 2A m P (A) = {x | x C A} ■ plat í: P(0) = {0} . plat í: P({0}) = {0, {0}} ■ plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace ■ Podmnožina C A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) ■ Potencn í množina ■ množina vsech podmnožin dane množiny ■ žapis: P (A) nebo 2A m P (A) = {x | x C A} ■ plat í: P(0) = {0} . plat í: P({0}) = {0, {0}} ■ plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace ■ Podmnožina C A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) ■ Potencn í množina ■ množina vsech podmnožin dane množiny ■ žapis: P (A) nebo 2A m P (A) = {x | x C A} ■ plat í: P(0) = {0} . plat í: P({0}) = {0, {0}} ■ plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace ■ Podmnožina C A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) ■ Potencn í množina ■ množina vsech podmnožin dane množiny ■ žapis: P (A) nebo 2A m P (A) = {x | x C A} ■ plat í: P(0) = {0} . plat í: P({0}) = {0, {0}} ■ plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace ■ Podmnožina C A C B & Vx(x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) ■ Potencn í množina ■ množina vsech podmnožin dane množiny ■ žapis: P (A) nebo 2A m P (A) = {x | x C A} ■ plat í: P(0) = {0} . plat í: P({0}) = {0, {0}} ■ plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace ■ Podmnožina C A C B ^ Vx (x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) ■ Potencn í množina ■ množina vsech podmnožin dane množiny ■ žapis: P (A) nebo 2A ■ P (A) = {x | x C A} ■ plat í: P(0) = {0} . plat í: P({0}) = {0, {0}} ■ plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah pžrednaážsky Podmnožiny Teorie operace ■ Podmnožina C A C B ^ Vx (x G A == x G B) ■ žkraceny žapis Vx G A (x G B) ■ Potencn í množina ■ množina vsech podmnožin dane množiny ■ žapis: P (A) nebo 2A ■ P (A) = {x | x C A} ■ plat í: P(0) = {0} . plat í: P({0}) = {0, {0}} ■ plat í: Vx (0 G P (x) A x G P (x)) Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednísky ; operace(2) Množinové operace (2) Teorie operace ■ Rovnost množin ■ A = B & (A C B A B C A) ■ Sjednocen í U Ia U B = {x | x e Mvlx e ■ Průnik n Bab =lxMx e a^Hx g Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednísky ; operace(2) Množinové operace (2) Teorie operace ■ Rovnost množin A = B & (A C B A B C A) ■ Sjednocen í U Ia U B = {x | x e Mvlx e ■ Prunik n Ia B =lxMx e A^Hx G Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednísky ; operace(2) Množinové operace (2) Teorie operace ■ Rovnost množin A = B & (A C B A B C A) ■ Sjednocen í U ■ A U B = {x | x G A V x G B} ■ Průnik n Ia B Íl- A^Hx G B| Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednísky ; operace(2) Množinove operace (2) Teorie operace ■ Rovnost množin A = B & (A C B A B C A) ■ Sjednocen í U A U B = {x | x G A V x G B} ■ Prunik n Ia B Íl- A^|x B| Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednísky ; operace(2) Množinové operace (2) Teorie operace ■ Rovnost množin A = B & (A C B A B C A) ■ Sjednocen í U A U B = {x | x G A V x G B} ■ Průnik n ■ A n B = {x | x G A A x G B} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno Obsah prednísky ; operace(2) Množinove operace (2) Teorie operace ■ Rovnost množin A = B & (A C B A B C A) ■ Sjednocen í U A U B = {x | x G A V x G B} ■ Pamik n A n B = {x | x G A A x G B} Pavel Rychly, Vojtech Kovar Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I FI MU Brno