Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@f i.muni.cz 26.10.2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           ľl INOM                                                         26.10.2010        1 /8	Obsah přednášky Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLÍNOU                                                         26.10.2010        2 /8
Čísla      čísla — znalosti ze sš Čísla - znalosti ze SŠ ► Číselné množiny ► přirozená čísla N = {0,1,...} ► celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ► racionálni'čísla Q = {r j s   r,s e Z A s ^ 0} ► reálna čísla - „celá číselná osa" ► komplexní čísla - „pokrývají rovinu" ► Náš cíl ► všechny objekty v matematice jsou množiny ► —> definice čísel s pomocí množin ► definice číselných operací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                        26.10.2010        3 /8	Přirozená čísi.      I'mi.,„,,.í čísla Přirozená čísla ► Přirozená čísla ► formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ► tzv. Peanova aritmetika ► Axiomy přirozených čiše ► existuje nula ► každé číslo x má následníka S(x) ► nula není následníkem žádného čísla ► různá čísla mají různé následníky: a / b =4- S(a) ^ S(b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN0M                                                        26.10.2010        4 /8
Přirozená čísla      Konstrukce přirozených čísel Konstrukce přirozených čísel ► Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ► 0 = 0 ► S(x) = x U {x} ► Jak tedy čísla vypadají? ► 0 = 0 ► 1 = {0} ► 2 = {0,{0}} ► 3 = {0,{0},{0,{0}}} ► atd. - vždy n = {0,n - 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           ľl INIHH                                                         26.10.2010        5 /8	Přirozená čísla      Číselné operace Číselné operace ► Definovány induktivně ► Sčítání ► 3 + 0 = a ► a + S(b) = S(a + b) ► Násobení ► a* 0 = 0 ► a* S(b) = (a* b) + a ľ iŕ 1 k . lil ■' Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLINOM                                                         26.10.2010        6 /8
Přirozená čísla Příklad Příklad - sčítání podle definice ► 1 + 2 ► 1 = S(0) ► 2 = S(l) = S(S(0)) ► 1 + 2 ► 1 + S(l) ► S(l + 1) ► S(l + S(0)) ► S(S(1 + 0)) ► S(S(1)) ► S(S(S(0))) ► = 3 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                        26.10.2010        7 /8	Další číselné množiny ► Jsou konstruovány s využitím dvojic a ekvivalencí ► pojmy, které „neznáme" ► -rV následujících přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN004                                                         26.10.2010        8 /8