Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}<äfi.muni.cz 2.11.2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010       1 /9	Obsah přednášky Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010       2 /9
Uspořádané dvojice, n-tice     Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ► (a, b) ► má první a druhý prvek ► —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků ► Definice pomocí množin ► (a, b) = {{a}, {a, b}} ► takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ► jsou možné i jiné definice? Jaké? ► Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ► trojice (a, b, c) = (a, (b, c)) ► obecně (ai,a2,a3,an) = (ai,(a2, (a3, (..., an)...))) ► (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010       3 /9	Uspořádané dvojice, n-tice     Kartézský součin Kartézský součin ► Kartézský součin dvou množin A, B ► A x B = {(a, b) | a E A A b E B} ► —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ► Kartézský součin více množin ► analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ► A x B x C = {(a, b, c) \ a E A A b E B A c E C} ► podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010       4 /9
Relace Relace Relace ► Motivace ► způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ► vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ► Binární relace ► množina uspořádaných dvojic ► —> podmnožina kartézského součinu ► n-ární relace ► množina uspořádaných n-tic ► Často říkáme „relace na množině A" ► tzn. podmnožina součinu A x A, resp. A x A x ... x A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010 5/9	Relace     Relace - příklady Relace - příklady ► Relace identity na množině A ► ld(A) - binární relace ► ld(A) = {(a, a)EAxA\aE A} ► Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ► > (A/) - binární relace ► > (N) = {(a,b) E NxN \ b c a} ► (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ► Relace plus na přirozených číslech ► +(N) - ternární relace ► +(A/) = {(a, b, c) E NxNxN \ a + b = c} ► a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) E +(N) ► —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010       6 /9
Relace     Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ► Už jste se s nimi setkali jinde ► Reflexivita ► R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ► Va E A( (a, a) E R) ► Symetrie ► R(A) je symetrická, právě tehdy, když ► Va, b E A{ {a, b) E R => (b, a) E R ) ► Antisymetrie ► R(A) je antisymetrická, právě tehdy, když ► Va, b E A( (a, b) E R A (b, a) E R    a = b ) Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010       7 /9	Relace     Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací (2) ► Tra nziti vita ► R(A) je tranzitivní, právě tehdy, když ► Va, b,c EA( (a, b) E R A (b, c) E R    (a, c) E R ) ► Ekvivalence ► R(A) je ekvivalence, právě tehdy, když je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní ► Uspořádání ► R(A) je uspořádání, právě tehdy, když je současně reflexivní, antisymetrická i tranzitivní Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                       2.11.2010       8 /9
Relace     Vlastnosti relací
Vlastnosti binárních relací - příklady
Identita na libovolné množině
► splňuje všechny výše uvedené vlastnosti
► —> ekvivalence i uspořádání
► Relace < na přirozených číslech
► není symetrická
► —> uspořádání
► Relace < na přirozených číslech
► není symetrická ani reflexivní
► —> ani ekvivalence, ani uspořádání
► Relace na prázdné množině R(0)
► je 0 (podmnožina 0x0)
► —> ekvivalence i uspořádání
► (pro všechny prvky prázdné množiny platí kde co)
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 2.11.2010       9 /9