Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz 2.11.2010 Pavd Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLINOM                                                          2 11 2010 1/9	(Ibsah přednášky Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                        PLINOM                                                       II .....'
Uspořádané dvojice, n-tice      Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ► (a, b) ► má první" a druhý prvek ► —► na rozdíl od množiny záleží na pořadí" prvků Definice pomocí množin ► (a,b)^{{a},{a,b}} *■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ► jsou možné i jiné definice? Jaké? ► Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ► trojice (a, b, c) = (a, (b, c)) ► obecně (ai, 32, a3,a„) = (ai,(as, (33, (..., a„)...))) ► (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLINOM                                                          2 11 2010        3 /9	Uspořádané dvojice, n-tice      Kartezík ' iouíin Kartézský součin ► Kartézský součin dvou množin A, B *■ Ax B = {(a, b) | a e A A b e B} ► —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B Kartézský součin více množin ► analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ► A x B x C = {(a, b,c) \ ae A A be B A c e C} ► podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLINOM                                                          2 11 2010        4 /9
Relace Relace Relace ► Motivace ► způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ► vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ► Binární relace ► množina uspořádaných dvojic ► —> podmnožina kartézského součinu ► n-ární relace ► množina uspořádaných n-tic ► Často říkáme „relace na množině A" ► tzn. podmnožina součinu A x A, resp. A x A x ... x A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLINOM                                                          2 11 2010        5 /9	Relace      Relace - příklady Relace - příklady ► Relace identity na množině A ld(A) - binární relace ► ld{A) = {{a, a) G AxA | a e A} ► Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ► > (A/) - binární relace ► > (A/) = {(a, b) e NxN   b C a} ► (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) Relace plus na přirozených číslech ► +(/V) - ternární relace ► +(/V) = {(a, b, c) e NxNxN   a + b = c} *■ a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) e +(A/) ► —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLINOM                                                              II   '"10        '> 9
Relace     Vlastností relací Vlastnosti binárních relací Už jste se s nimi setkali jinde ► Reflexivita ► R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ► Va e A( (a, a) e R ) ► Symetrie ► R(A) je symetrická, právě tehdy, když ► Vs, b € A{ (a, b) e R    (b, a) e R) ► Antisymetrie ► R(A) je antisymetrická, právě tehdy, když ► Va, b e A( {a, b) e R A (fa, a) e R => a = b ) Pavel Rychlí, Vojl-.l, K<.v.ii'- (1 1 MU Brno)                           PLINOM                                                          2.11.2010        7 /9	Relace     Vlastností relací Vlastnosti binárních relací (2) ► Tranzitivita ► R(A) je tranzitivní, právě tehdy, když ► Va, b, c 6 A( (a, b) e R A (fa, c) e R     (a, c) e R) ► Ekvivalence R(A) je ekvivalence, právě tehdy, když je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní ► Uspořádání ► R(A) je uspořádání, právě tehdy, když je současně reflexivní, antisymetrická i tranzitivní Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLINOM                                                           ' II   \'lu        0 9
Vlastnosti binárních relací - příklady
' Identita na libovolné množině
► splňuje všechny výše uvedené vlastnosti
► —> ekvivalence i uspořádání
► Relace < na přirozených číslech
► není" symetrická
► —> uspořádání
► Relace < na přirozených číslech
► není symetrická ani reflexivní
► —> ani ekvivalence, ani uspořádání
► Relace na prázdné množině R(0)
► je 0 (podmnožina 0x0)
► —> ekvivalence i uspořádání
► (pro všechny prvky prázdné množiny platí kde co)
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004