Obsah přednášky	Uspořádané dvojice, n-tice	Relace
	oo	ooooo
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Pavel Rychlý    Vojtech Kovář
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Czech Republic
(pary, xkovar3}@fi.muni.cz
2.11.2010
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednášky	Uspořádané dvojice, n-tice	Relace
	oo	ooooo
Obsah přednášky
Q Uspořádané dvojice, n-tice
"2 Relace
g - = = *T)<\(y
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitná obory I
FI MU Brno
Obsah přednášky
Uspořádaná dvojice
Uspořádané dvojice, n-tice
Uspořádaná dvojice
(a, b)
■ ma první a druhý prvek
■ — na rozdíl od množiny zaleží na pořadí prvkU Definice pomoc í množin
■takto jednoznačně rozlišíme,
■jsou mozne i jine definiče? Jí
Uspořádaně n-tice (kde n je přirozene) ■(funguje jen pro konečne n)
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Relace
ooooo
FI MU Brno
Obsah přednášky
Uspořádaná dvojice
Uspořádané dvojice, n-tice
Uspořádaná dvojice
(a, b)
■ ma první a druhý prvek
■ — na rozd íl od množiny zalež í na pořad í prvkU Definice pomoc í množin
■takto jednoznačně rozlišíme,
■jsou mozne i jine definiče? Jí
Uspořádaně n-tice (kde n je přirozene) ■(funguje jen pro konečne n)
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Relace
ooooo
FI MU Brno
Obsah přednášky
Uspořádaná dvojice
Uspořádané dvojice, n-tice
Uspořádaná dvojice
(a, b)
■ ma první a druhý prvek
■ — na rozd íl od množiny zalež í na pořad í prvkU Definice pomoc í množin
■takto jednoznačně rozlišíme,
■jsou mozne i jine definiče? Jí
Uspořádaně n-tice (kde n je přirozene) ■(funguje jen pro konečne n)
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Relace
ooooo
FI MU Brno
Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořádaná dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma první a druhý prvek
■ — na rozd íl od množiny zalež í na pořad í prvkU
■ Definice pomoc í množin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznaCne rozlišíme, který z prvkU je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■(funguje jen pro konexe ")^^H^HHHI
Pavel Rychlý, Vojtech Kovář FI MU Brno
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořádaná dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma první a druhý prvek
■ — na rozd íl od množiny zalež í na pořad í prvkU
■ Definice pomoc í množin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznaCne rozlišíme, který z prvkU je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■(funguje jen pro konexe ")^^H^HHHI
Pavel Rychlý, Vojtech Kovář FI MU Brno
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořádaná dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma první a druhý prvek
■ — na rozd íl od množiny zalež í na pořad í prvkU
■ Definice pomoc í množin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznaCne rozlišíme, který z prvkU je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■(funguje jen pro konexe ")^^H^HHHI
Pavel Rychlý, Vojtech Kovář FI MU Brno
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednásky Uspořadane dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořadana dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma prvn í a druhý prvek
■ — na rozd íl od mnoziný zalez í na pořad í prvku
■ Definice pomoc í mnozin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznačne rozlišíme, který z prvku je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■(funguje jen pro konecne '^^■^■■■1
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednáSky Uspořadane dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořadana dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma prvn í a druhý prvek
■ — na rozd íl od mnoziný zalez í na pořad í prvku
■ Definice pomoc í mnozin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznacne rozlišíme, který z prvku je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c))
■ obecne (ai, a2, a3,a„) = (ai, (a2, (a3, (..., a„)...)))
■ (funguje jen pro konecne n)
□     g     -     =     = -o^o
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Brno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednášky Uspořadane dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořadana dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma prvn í a druhý prvek
■ — na rozd íl od množiny zalež í na pořad í prvkU
■ Definice pomoc í množin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznacne rozliSíme, který z prvkU je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c))
■ obecne (ai, a2, a3,a„) = (ai, (a2, (a3, (..., a„)...)))
■ (funguje jen pro konecne n)
□     g     -     =     = -o^o
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednásky Uspořadane dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořadana dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma prvn í a druhý prvek
■ — na rozd íl od mnoziný zalez í na pořad í prvku
■ Definice pomoc í mnozin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznačne rozlišíme, který z prvku je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c))
■ obecne (ai, a2, a3,a„) = (ai, (a2, (a3, (..., a„)...)))
■ (funguje jen pro konecne n)
□     g     -     =     = -o^o
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednáSky Uspořadaně dvojice, n-tice Relace
•O ooooo
Uspořadana dvojice
Uspořádaná dvojice
■ (a, b)
■ ma prvn í a druhý prvek
■ — na rozd íl od množiny zalež í na pořad í prvkU
■ Definice pomoc í množin
. (a, b) = {{a}, {a, b}}
■ takto jednoznaCne rozlišíme, který z prvkU je prvn í
■ jsou mozne i jine definice? Jake?
■ Uspořadane n-tice (kde n je přirozene)
■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c))
■ obecne (ai, a2, a3,a„) = (ai, (a2, (a3, (..., a„)...)))
■ (funguje jen pro konecne n)
□     g     -     =     = -o^o
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Brno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
Kartézský souCin
Relace
ooooo
■ Kartezský součin dvou mnozin A, B
■ A x B = {(a, b) | a G A A b g B}
■ —> mnozina usporadanýčh dvojic prvku z A a B
■ Kartezský součin více mnozin
■analogický - obsahuje uspořadane n-tice
■a x B x C = {(a, b, c) | a g aIaIb g bIaIc
■podobne pro vetsí nH
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednášky
Uspořadane dvojice, n-tice
Kartézský součin
Relace
ooooo
■ Kartézský součin dvou množin A, B
A x B = {(a, b) | a e A A b e B} m     množina uspořádaných dvojic prvkU z A a B
■ Kartézský součin více množin
■a x B x C = {(a, b, c) | a e a|a|b e BÍaĚc ■podobné pro větší nH
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I
FI MU Břno
Obsah přednášky
Uspořadane dvojice, n-tice
Kartézský součin
Relace
ooooo
■ Kartézský součin dvou množin A, B
A x B = {(a, b) | a e A A b e B} m     množina uspořádaných dvojic prvkU z A a B
■ Kartézský součin více množin
■a x B x C = {(a, b, c) | a e a|a|b e BÍaĚc ■podobné pro větší nH
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I
FI MU Břno
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
Kartézský souCin
Relace
ooooo
■ Kartezský soucin dvou mnozin A, B
A x B = {(a, b) | a g A A b g B} m — mnozina usporadaných dvojic prvku z A a B
■ Kartezský soucin více mnozin
■ analogický - obsahuje uspořídane n-tice
■ A x B x C = {(a, b, c) | a g A a b g B a c g C}
■ podobne pro vetsí n
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
FI MU Břno
Obsah přednášky
Uspořádané dvojice, n-tice
Kartézský součin
Relace
ooooo
■ Kartézský součin dvou množin A, B
A x B = {(a, b) | a g A a b g B}
■ — množina uspořádaných dvojic prvkU z A a B
■ Kartézský součin v fcé množin
■ analogický - obsahuje uspořadane n-tice
■ A x B x C = {(a, b, c) | a g A a b g B a c g C}
■ podobné pro véts í n
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
FI MU Brno
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
Kartézský souCin
Relace
ooooo
■ Kartezský souán dvou mnozin A, B
A x B = {(a, b) j a G A A b G B j
■ — mnozina usporadaných dvojic prvku z A a B
■ Kartezský soucin více mnozin
■ analogický - obsahuje uspořadane n-tice
A x B x C = {(a, b, c) j a G A A b G B A c G C j
■ podobne pro vetsí n
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah prednásky
Usporadane dvojice, n-tice
Kartézský součin
Relace
ooooo
■ Kartezský souán dvou mnozin A, B
A x B = {(a, b) | a g A a b g B} m — mnozina usporadaných dvojic prvku z A a B
■ Kartezský soucin více mnozin
■ analogický - obsahuje uspořádane n-tice
A x B x C = {(a, b, c) | a g A a b g B a c g C}
■ podobne pro vetsí n
Pavel Rychly, Vojtech Kovar
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I
FI MU Brno
■ Motivace
■ zpusob, jak v matematice svazat dve hodnoty (přr ípadnře v íce)
■ vyjadřujeme, ze objekty (mnoziný) v relaci maj í neco spoleřcneho
■ Binarn í relace
Relace
•oooo
Relace
n-arn í relace
Bmnozina uspořadaných n-ti Často ř íkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
■ Motivace
■ zpusob, jak v matematice svázat dve hodnoty (přríípadnře vííce)
■ vyjadřujeme, ze objekty (mnoziný) v relaci mají neco spoleřcníeho
■ Binarní relace
Relace
•oooo
Relace
n-arn í relace
Bmnozina uspořadaných n-ti Často říkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
■ Motivace
■ zpusob, jak v matematice svazat dve hodnoty (př ípadne v íce)
■ vyjadřujeme, ze objekty (mnoziný) v relaci maj í neco spoleřcneho
■ Binarn í relace
Relace
•oooo
Relace
n-arn í relace
Bmnozina uspořadaných n-ti Často ř íkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Relace
Motivace
■ zpusob, jak v matematice svazat dve hodnoty (př ípadne v íce)
■ vyjadrujeme, ze objekty (mnoziný) v relaci maj í neco spoleřcneho
Binarn í relace
■ mnozina uspořadaných dvojic
■ — podmnozina kartezskeho soucinu
n-arn í relace
Mmnozina uspořadaných n-tic Často ř íkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A x A, resp. A x A x ... x A
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Relace
•oooo
Relace
FI MU Břno
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Relace
Motivace
■ zpusob, jak v matematice svízat dve hodnotý (přríípadnře vííce)
■ výjadrujeme, ze objektý (mnoziný) v relaci mají neco spoleřcneho
Binarn í relace
■ mnozina uspořadaných dvojic
■ — podmnozina kartezskeho soucinu
n-arn í relace
Bmnozina uspořadaných n-tic Často říkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A x A, resp. A x A x ... x A
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Relace
•oooo
Relace
FI MU Břno
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Relace
Motivace
■ zpusob, jak v matematice svázat dve hodnoty (připadne více)
■ vyjadřujeme, ze objekty (mnoziný) v relaci mají neco spoleřcneho
Binarní relace
■ mnozina uspořadaných dvojic
■ — podmnozina kartezskeho soucinu
n-arní relace
Bmnozina uspořadaných n-tic Často říkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A x A, resp. A x A x ... x A
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Relace
•oooo
Relace
FI MU Břno
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Relace
Motivace
■ zpUsob, jak v matematice svazat dve hodnoty (př ípadne v íce)
■ vyjadřujeme, ze objekty (mnoziný) v relaci maj í neco spoleřcneho
Binarn í relace
■ mnozina uspořadaných dvojic
■ — podmnozina kartezskeho soucinu
n-arn í relace
■ mnozina uspořadaných n-tic Často ř íkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A x A, resp. A x A x ... x A
Pavel Rychlý, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Relace
•oooo
Relace
FI MU Břno
Obsah prednásky
Usporadane dvojice, n-tice
oo
Relace
Motivace
■ zpusob, jak v matematice svazat dve hodnoty (prípadne více)
■ vyjadrujeme, ze objekty (mnoziný) v relaci mají neco spoleřcneho
Binarní relace
■ mnozina uspořadaných dvojic
■ — podmnozina kartezskeho soucinu
n-arní relace
■ mnozina uspořadaných n-tic Často říkame ,,relace na mnozine A"
Htzn. podmnozina soucinu A x A, resp. A x A x ... x A
Pavel Rychly, Vojtech Kovar
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Relace
•oooo
Relace
FI MU Brno
Obsah přednásky Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo •
Relace
Relace
■ Motivace
■ způsob, jak v matematice svazat dve hodnoty (př ípadně v íce)
■ vyjadřujeme, Ze objekty (mnoZiny) v relaci maj í neco spoleCneho
■ Binarn í relace
■ mnoZina ůspořadanych dvojic
■ —> podmnoZina kartezskeho soůcinů
■ n-arn í relace
■ mnoZina ůspořadanych n-tic
■ Často ř íkame ,,relace na mnoZine A"
■ tZn. podmnoZina soůcinů A x A, resp. A x A x ... x A
□       g       -       =       = -o^O
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednásky Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo •
Relace
Relace
■ Motivace
■ způsob, jak v matematice svazat dve hodnoty (př ípadně v íce)
■ vyjadřujeme, Ze objekty (mnoZiny) v relaci maj í neco spoleCneho
■ Binarn í relace
■ mnoZina ůspořadanych dvojic
■ —> podmnoZina kartezskeho soůcinů
■ n-arn í relace
■ mnoZina ůspořadanych n-tic
■ Často ř íkame ,,relace na mnoZine A"
■ tZn. podmnoZina soůcinů A x A, resp. A x A x ... x A
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah prednásky
Relace - príklady
Usporádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identity na množině A
■ /d(A) - binarní relace
■ /d(a) = {(a, a) e AxA | a e A} Relace vetsí nebo rovno na prirozených císlech
(p
Relace plus na přirozených císlech
+(
Pavel Rychly, Vojtech Kovár
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Relace
o«ooo
a
FI MU Brno
Obsah přednásky
Relace - příklady
Uspořádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identity na množině A
■ Id (A) - binarn í relace
■ Id (A) = {(a, a) e AxA | a e A} Relace vetsí nebo rovno na přirozených C íslech
>
(p
Relace plus na přirozených císlech
+(
Pavel Rychly, Vojtech Kovíř
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Relace
o«ooo
a
FI MU Břno
Obsah prednásky
Relace - príklady
Usporádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identity na množině A
■ Id (A) - binarní relace
■ Id (a) = {(a, a) e AxA | a e A} Relace vetsí nebo rovno na prirozených c íslech
(p
Relace plus na přirozených císlech
+(
Pavel Rychly, Vojtech Kovár
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Relace
o«ooo
a
FI MU Brno
Obsah přednásky
Relace - příklady
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identity na mnozine A
■ /d(A) - binarn í relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vřetřs í nebo rovno na přrirozených řc íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce přirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přrirozených řc íslech
+(
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Relace
o«ooo
a
FI MU Břno
Obsah přednásky
Relace - příklady
Uspořádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnozine A
■ /d(A) - binarní relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vetsí nebo rovno na prirozených c íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (N) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přirozených císlech
+(
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Relace
o«ooo
a
FI MU Břno
Obsah přednásky
Relace - příklady
Uspořádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnozine A
■ /d(A) - binarn í relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vetsí nebo rovno na přirozených c íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přirozených císlech
+(
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Relace
o«ooo
a
FI MU Břno
Obsah přednásky
Relace - příklady
Uspořádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnozine A
■ Id (A) - binarn í relace
■ Id (a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vřetřs í nebo rovno na přrirozených řc íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přrirozených řc íslech
+(
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Relace
o«ooo
a
FI MU Břno
Obsah prednásky
Relace - práklady
Usporádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnořzinře A
■ /d(A) - binarní relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vetsí nebo rovno na přirozených c íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přirozených císlech
■ +(N) - ternarn í relace
■ +(n) = {(a, b, c) g NxNxN | a + b = c}
■ a + b = c je jen jiný zapis pro (a, b, c) g +(N)
■ — vsechný operace na c íslech jsou relace
□    s     - =
Pavel Rychly, Vojtech Kovár
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Relace
o«ooo
FI MU Brno
Obsah přednásky
Relace - přáklady
Uspořádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnozine A
■ /d(A) - binarní relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vřetřs í nebo rovno na přrirozených řc íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přrirozených řc íslech
■ +(N) - ternarn í relace
■ +(N) = {(a, b, c) g NxNxN | a + b = c}
■ a + b = c je jen jiný zapis pro (a, b, c) g +(N)
■ — vsechný operace na c íslech jsou relace
□    s     - =
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Relace
o«ooo
FI MU Břno
Obsah přednísky
Relace - příklady
Uspořídane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnořzinře A
■ /d(A) - binarn í relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vetsí nebo rovno na prirozených c íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přirozených císlech
■ +(N) - ternarn í relace
■ +(n) = {(a, b, c) g NxNxN | a + b = c}
■ a + b = c je jen jiný zapis pro (a, b, c) g +(N)
■ — vsechný operace na c íslech jsou relace
□    s     - =
Pavel Rychly, Vojtech Kovíř
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Relace
o«ooo
FI MU Břno
Obsah prednásky
Relace - práklady
Usporádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnořzinře A
■ /d(A) - binarn í relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vetsí nebo rovno na přirozených c íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přirozených císlech
■ +(N) - ternarn í relace
■ +(n) = {(a, b, c) g NxNxN | a + b = c}
■ a + b = c je jen jiný zapis pro (a, b, c) g +(N)
■ — vsechný operace na c íslech jsou relace
□    s     - =
Pavel Rychly, Vojtech Kovár
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Relace
o«ooo
FI MU Brno
Obsah přednásky
Relace - přáklady
Uspořádane dvojice, n-tice
oo
Relace - příklady
Relace identitý na mnořzinře A
■ /d(A) - binarn í relace
■ /d(a) = {(a, a) g AxA | a g A} Relace vetsí nebo rovno na prirozených c íslech
■ > (N) - binarn í relace
■ > (n) = {(a, b) g NxN | b c a}
■ (podle mnozinove konstrukce prirozených c ísel - viz minula přrednařska)
Relace plus na přirozených císlech
■ +(N) - ternarn í relace
■ +(n) = {(a, b, c) g NxNxN | a + b = c}
■ a + b = c je jen jiný zapis pro (a, b, c) g +(N)
■ — vsechný operace na c íslech jsou relace
Pavel Rychly, Vojtech Kovář
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Relace
o«ooo
FI MU Břno
Obsah přednásky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarních relací
Uřz jste se s nimi setkali jinde Reflexivita
HR(A) je reflexivn í, p
Sýmetrie
Antisýmetrie
a
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
g        -        =        = *T)<\(y
Relace
oo«oo
Vlastnosti
FI MU Břno
Obsah přednasky                                                          Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti řelacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz
■ va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
^HR(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdý
■ Antisýmetrie
a
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky                                                          Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti řelacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz
■ va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
^HR(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdý
■ Antisýmetrie
a
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky                                                          Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti řelacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
^HR(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdý
■ Antisýmetrie
a
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky                                                          Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti řelacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
■ R(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdýz
■ va, b g A( (a, b) g R    (b, a) g R )
■ Antisýmetrie
a
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky                                                          Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti řelacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
■ R(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdýz
■ va, b g A( (a, b) g R    (b, a) g R )
■ Antisýmetrie
a
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah prednasky                                                          Usporadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti relacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
■ R(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdýz
■ va, b g A( (a, b) g R    (b, a) g R )
■ Antisýmetrie
a
Pavel Rychly, Vojtech Kovar
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitná obory I
FI MU Brno
Obsah prednasky                                                          Usporadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti relacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
■ R(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdýz
■ va, b g A( (a, b) g R == (b, a) g R )
■ Antisýmetrie
■ R(A) je antisýmetricka, prave tehdý, kdýz
■ va, b g A( (a, b) g R a (b, a) g R == a = b )
Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitná obory I
Obsah přednasky                                                          Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti řelací
Vlastnosti binarních relací
■ Už jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdy, když Va e A( (a, a) e R )
■ Symetrie
■ R(A) je symetricka, prave tehdy, když
■ Va, b e A( (a, b) e R == (b, a) e R )
■ Antisymetrie
■ R(A) je antisymetricka, prave tehdy, když
■ Va, b e A( (a, b) e R A (b, a) e R == a = b )
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah přednasky                                                          Uspořadane dvojice, n-tice Relace
oo oo«oo
Vlastnosti řelacá
Vlastnosti binarních relací
■ Uz jste se s nimi setkali jinde
■ Reflexivita
■ R(A) je reflexivn í, prave tehdý, kdýz va g A( (a, a) g R )
■ Sýmetrie
■ R(A) je sýmetricka, prave tehdý, kdýz
■ va, b g A( (a, b) g R == (b, a) g R )
■ Antisýmetrie
■ R(A) je antisýmetricka, prave tehdý, kdýz
■ va, b g A( (a, b) g R a (b, a) g R == a = b )
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Obsah přednasky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarn ich relac í (2)
Relace
ooo«o
Vlastnosti
■ Tranzitivita
■ R(A) je tranzitivn í, prave tehdý, kdýz
■ va, b, c g A( (a, b) g R a (b, c) g R == (a, c) g R )
■ Ekvivalence
Br(A) je ekvivalence, pravě tehdý, kdýz je souCasne
■ Uspořadaní
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarních relací (2)
Relace
ooo«o
Vlastnosti
■ Tranzitivita
■ R(A) je tranzitivn í, prave tehdý, kdýz
■ va, b, c g A( (a, b) g R a (b, c) g R == (a, c) g R )
■ Ekvivalence
Br(A) je ekvivalence, pravř tehdý, kdýz je soucasne
■ Uspořadaní
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarn ich relac í (2)
Relace
ooo«o
Vlastnosti
■ Tranzitivita
■ R(A) je tranzitivn í, préve tehdý, kdýz
■ va, b, c g A( (a, b) g R a (b, c) g R == (a, c) g R )
■ Ekvivalence
Br(A) je ekvivalence, pravě tehdý, kdýz je souCasne
■ Uspořadaní
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarn ich relac í (2)
Relace
ooo«o
Vlastnosti
■ Tranzitivita
■ R(A) je tranzitivn í, prave tehdý, kdýz
■ va, b, c g A( (a, b) g R a (b, c) g R == (a, c) g R )
■ Ekvivalence
■ R(A) je ekvivalence, prave tehdý, kdýz je soucasne reflexivn í, sýmetricka i tranzitivn í
■ Uspořadaní
Br(A) je uspořadan í, pravř tehdý, kdýz je soucasne
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
FI MU Břno
Obsah přednasky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarn ich relac í (2)
Relace
ooo«o
Vlastnosti
■ Tranzitivita
■ R(A) je tranzitivn í, prave tehdý, kdýz
■ va, b, c g A( (a, b) g R a (b, c) g R == (a, c) g R )
■ Ekvivalence
■ R(A) je ekvivalence, prave tehdý, kdýz je soucasne reflexivn í, sýmetricka i tranzitivn í
■ Uspořadaní
Br(A) je uspořadan í, pravř tehdý, kdýz je soucasne
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
FI MU Břno
Obsah prednasky
Usporadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarn ich relac í (2)
Relace
ooo«o
Vlastnosti
■ Tranzitivita
■ R(A) je tranzitivn í, prave tehdý, kdýz
■ va, b, c g A( (a, b) g R a (b, c) g R == (a, c) g R )
■ Ekvivalence
■ R(A) je ekvivalence, prave tehdý, kdýz je soucasne reflexivn í, sýmetricka i tranzitivn í
■ Uspořadaní
■ R(A) je uspořadan í, prave tehdý, kdýz je soucasne reflexivn í, antisýmetricka i tranzitivn í
□     g     -     =     = -o^o
Pavel Rychly, Vojtech Kovar
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitn á obory I
Obsah přednasky
Uspořadane dvojice, n-tice
oo
Vlastnosti binarn ich relac í (2)
Relace
ooo«o
Vlastnosti
■ Tranzitivita
■ R(A) je tranzitivn í, prave tehdý, kdýz
■ va, b, c g A( (a, b) g R a (b, c) g R == (a, c) g R )
■ Ekvivalence
■ R(A) je ekvivalence, prave tehdý, kdýz je soucasne reflexivn í, sýmetricka i tranzitivn í
■ Uspořadaní
■ R(A) je uspořadan í, prave tehdý, kdýz je soucasne reflexivn í, antisýmetricka i tranzitivn í
□     g     -     =     = -o^o
Pavel Rychly, Vojtech Kovař
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Obsah přednasky Uspo oo	řadane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelacá		
Vlastnosti binarních relací -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
^Hnen i sýmetricka
■ Relace < na přirozených císlech
Bnen í sýmetricka ani reflexivn í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
Obsah prednasky Uspo oo	radane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti relacá		
Vlastnosti binarních relací -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
^Hnen i sýmetricka
■ Relace < na přirozených císlech
Bnen í sýmetricka ani reflexivn í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0) |—iekfviiaiinceiiiuiiioiaddani
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitn á obory I
Obsah přednasky Uspo oo	řadane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelac á		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
^Hnen i sýmetricka
■ Relace < na přirozených císlech
Bnen í sýmetricka ani reflexivn í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
Obsah přednasky Uspo oo	řadane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelací		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
Bnen í sýmetricka ani reflexivn í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitní obořy I
Obsah prednasky Uspo oo	radane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti relacá		
Vlastnosti binarních relací -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
Bnen í sýmetricka ani reflexivn í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
|—iekfviiaiinceiiiuiiiořaddani
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovar FI MU Brno
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitn á obory I
Obsah přednasky Uspo oo	řadane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelacá		
Vlastnosti binarních relací -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
Bnen í sýmetricka ani reflexivn í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
Obsah přednasky Uspo oo	řadane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelac á		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka ani reflexivn í
■ — ani ekvivalence, ani usporadan í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychlý, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
Obsah přednasky Uspo oo	řadane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelac á		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka ani reflexivn í
■ — ani ekvivalence, ani usporadan í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
Obsah přednasky Uspo oo	řadane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelac í		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka ani reflexivn í
■ — ani ekvivalence, ani usporadan í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■je 0 (podmnozina 0 x 0)
H(pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn í obořy I
Obsah přednásky Uspo oo	řádane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelací		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka ani reflexivn í
■ — ani ekvivalence, ani usporadan í
■ Relace na prazdne mnozine R(0)
■ je 0 (podmnozina 0 x 0)
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ (pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)    = ^,q.o
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitná obořy I
Obsah prednasky Uspo oo	radane dvojice, n-tice	Relace oooo«
Vlastnosti relac í		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka ani reflexivn í
■ — ani ekvivalence, ani usporadan í m Relace na prazdne mnozine R(w)
■ je w (podmnozina w x w)
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ (pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)    = ^,0.0
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Břno
Zaklady matematiky a statistiky přo humanitn á obořy I
Obsah přednásky Uspo oo	řádane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti řelac í		
Vlastnosti binarn ich relac í -	příklady	
■ Identita na libovolne mnozine
■ splnuje vsechný výse uvedene vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í sýmetricka ani reflexivn í
■ — ani ekvivalence, ani usporadan í
■ Relace na prazdne mnozine R(w)
■ je w (podmnozina w x w)
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ (pro vsechný prvký prazdne mnoziný plat í kde co)    = ^,0.0
Pavel Rychly, Vojtech Kovář FI MU Břno
Základy matematiky a statistiky přo humanitn í obořy I
Obsah přednášky Uspo oo	rádane dvojice, n-tice	Relace oooo*
Vlastnosti relac ľ		
Vlastnosti binarn ích relac í -	příklady	
■ Identita na libovolné množině
■ spinuje všechny výše uvedené vlastnosti
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ Relace < na přirozených Císlech
■ nen í symetricka
■ — uspořadan í
■ Relace < na přirozených císlech
■ nen í symetricka ani reflexivn í
■ — ani ekvivalence, ani uspořadan í
■ Relace na praždne množine R(0)
■ je 0 (podmnožina 0 x 0)
■ — ekvivalence i uspořadan í
■ (pro vsechny prvky praždne množiny plat í kde co)
Pavel Rychly, Vojtech Kovař FI MU Brno
Zaklady matematiky a statistiky pro humanitn ľ obory I