Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz 23.11.2010 Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                       23.11 2010        1 / 11	Obsah přednášky Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN004                                                       23 11.2010        2/ 11
Funkce Funkce Funkce ► Funkce ► speciální" typ relace ► tj. všechny funkce jsou současně i relace (naopak ne) Alternativní pohled na relaci ► prvních n-1 hodnot uspořádané dvojice jsou argumenty relace (vstup) ► poslední' hodnota je hodnota funkce (výstup) ► zápis - např.: (a, b, c) G + = +(a, b) = c ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                       23 11 2010        3 / 11	Funkce Funkce Definice funkce ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný ► binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ► Va, b, c e A ( (a, b) e f A (a, c) € f =>■ b = c ) ► —> unární funkce je binární relace ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ► Va,b,c,d e A((a,b,c)ef A (a,b,d) e f =>■ c = d ) ► —> binární funkce je ternární relace ► podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN004                                                       23.11.2010        4 / 11
Funkce Funkce Funkce - varianty zápisu ► Často říkáme „funkce z A do B" ► případně „zobrazení z A do B" ► zapisujeme f : ^ —> B ► tj. podmnožina kartézského součinu A x B ► A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) ► 8 = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f {A) ► Funkční hodnota ► zapisujeme f (a) = b ► totéž jako: (a, b) e f ► také ,,b je obraz prvku a" ► také „a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU FJrro)                           PLIN004                                                       23 11 2010       5/ 11	Funkce     Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí ► Injektivita ► f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ► Va, b e A ( f (a) = f {b) ^a=b) ► —r „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ► Surjektivita ► f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ► Vb e B (3a e A (b = f (a) ) ► —► „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ► —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                        PLIN004                                                 23 11 2010 6/11
Funkce      Vlastnosti funkci' Vlastnosti funkcí (2) ► Úplnost ► f : A —> B je úplná, právě tehdy, když ► Va e A ( 3b e B (b = f (a) ) ► —► „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ► —> „celý definiční obor je pokrytý" ► pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce ► Bijekce ► f : A —> B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná ► —> množiny A a B jsou „stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                       23.11.2010        7 / 11	Funkce      Vlastnosti funkci Inverzní funkce ► Inverzní funkce ► pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci ► f-1: B^A ► f~\b) = a = f (a) = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN004                                                       23. 11.2010        8 / 11
Velikost množin     Velikost množin Definice velikosti množiny ► Velikost množiny A: \A\ ► je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ► viz konstrukce přirozených čísel pomocí- množin ► Nekonečné množiny ► A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N —> A ► —> spočetné množiny mají" stejný počet prvků jako přirozená čísla ► N, Z, Q jsou spočetné množiny ► R (reálná čísla) není" spočetná množina ► A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f-.R^A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                       23.11.2010        9 / 11	Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti ► Záleží na pořadí prvků ► Konečné posloupnosti ► = uspořádané n-tice ► Nekonečné posloupnosti ► = funkce na přirozených číslech ► ao, 3i,a„,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ► Induktivní definice nekonečné posloupnosti ► vypíšeme první člen (prvních několik členů) ► určíme předpis, podle něhož dostaneme a„ s pomocí a„_i (případně a„_2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                            PLIN004                                                     23.11.2010        10 / 11
Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti - příklad ► Fibonacciho posloupnost ► 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ► ao = 0 ► 31 = 1 ► 3„ = 3„_1 + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                     23.11.2010        11 / 11