Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz 7. 12. 2010 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Obsah přednášky 1 Kombinatorika 2 Základní kombinatorická pravidla 3 Pravděpodobnost 4 Příklady Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Kombinatorika Kombinatorika Motivace vědět kolik možností (situací) může nastat umožňuje výpočet pravděpodobností Znáte ze SŠ kombinační čísla, faktoriály vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním nebo bez, ...) Cíl přednášky odnaučit se vzorečky řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla Pravidlo součtu pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn Pravidlo součinu počet všech uspořádaných k-tic, takových, že 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý člen nk způsoby je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla Pravidlo součtu pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn Pravidlo součinu počet všech uspořádaných k-tic, takových, že 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý člen nk způsoby je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla Pravidlo součtu pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn Pravidlo součinu počet všech uspořádaných k-tic, takových, že 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý člen nk způsoby je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla Pravidlo součtu pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn Pravidlo součinu počet všech uspořádaných k-tic, takových, že 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý člen nk způsoby je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla Pravidlo součtu pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn Pravidlo součinu počet všech uspořádaných k-tic, takových, že 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý člen nk způsoby je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla Pravidlo součtu pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn Pravidlo součinu počet všech uspořádaných k-tic, takových, že 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý člen nk způsoby je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla Pravidlo součtu pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn Pravidlo součinu počet všech uspořádaných k-tic, takových, že 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý člen nk způsoby je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Pravděpodobnost Pravděpodobnost Už znáte ze SŠ pravděpodobnost jevu A je podíl m/n kde m je počet situací, kdy jev A nastal kde n je počet všech možných situací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Pravděpodobnost Pravděpodobnost Už znáte ze SŠ pravděpodobnost jevu A je podíl m/n kde m je počet situací, kdy jev A nastal kde n je počet všech možných situací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Pravděpodobnost Pravděpodobnost Už znáte ze SŠ pravděpodobnost jevu A je podíl m/n kde m je počet situací, kdy jev A nastal kde n je počet všech možných situací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Pravděpodobnost Pravděpodobnost Už znáte ze SŠ pravděpodobnost jevu A je podíl m/n kde m je počet situací, kdy jev A nastal kde n je počet všech možných situací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí) Kolik různých výsledků můžeme dostat? pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna? počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát? 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p) → 4/8 = 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí) Kolik různých výsledků můžeme dostat? pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna? počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát? 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p) → 4/8 = 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí) Kolik různých výsledků můžeme dostat? pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna? počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát? 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p) → 4/8 = 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí) Kolik různých výsledků můžeme dostat? pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna? počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát? 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p) → 4/8 = 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí) Kolik různých výsledků můžeme dostat? pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna? počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát? 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p) → 4/8 = 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí) Kolik různých výsledků můžeme dostat? pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna? počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát? 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p) → 4/8 = 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí) Kolik různých výsledků můžeme dostat? pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna? počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát? 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p) → 4/8 = 0.5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Pravděpodobnost Příklady Příklady Příklady Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ? první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd. pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n! Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ? počet všech uspořádání: 6! ale některá uspořádání jsou identická vždy můžeme prohodit obě jedničky → počet možností podělíme 2 vždy můžeme prohodit všechny trojky → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení 3 prvků) → výsledek: 6!/12 = 60 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář FI MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I