Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@íi.muni.cz část 1 Informace o predmetu Motivace Principy matematiky Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Informace o předmětu Informace o předmětu •O Principy matematiky oooo Informace o předmětu Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) Ukončení předmětu ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka (15. 11.) ■ 75 % bodů závěrečná písemka Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek Organizační poznámka ■ přednáška 11.10. odpadá Obsah přednášky Obsah předmětu Informace o předmětu O* Principy matematiky OOOO Obsah předmětu Okruhy ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika Zdroje informací ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Informace o předmětu OO Principy matematiky 0000 Obsah přednášky Informace o předmětu 00 Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář uu um Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Principy vysokoškolské matematiky Informace o předmětu Principy matematiky •ooo Principy vysokoškolské matematiky Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Obsah přednášky Typy důkazů Informace o předmětu OO Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Ukázka důkazu Informace o předmětu OO Principy matematiky 00»0 Ukázka důkazu Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (y^i = n, pokud n * n — a) Věta \f2 není racionální číslo. Obsah přednášky Ukázka důkazu Informace o předmětu OO Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že ^/2 je racionální číslo. ■ tedy \f2 — r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \[2 * s — r ■ 2* s * s — r * r ■ tedy r je sudé, tj. r — 2 * c pro nějaké přirozené c m nahrazením dostaneme: 2* s * s — 2 * c * 2 * c ■ s * s — 2* c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno