Obsah přednášky Informac e o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO oooo Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 1 kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Motivace oo »o oooo Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Motivace oo »o oooo Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Motivace oo »o oooo Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Motivace oo »o oooo Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Motivace oo »o oooo Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Motivace OO 0» oooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I < □ ► < fiP ► 4 s ► < ^ ► Fl MU Brn. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I < □ ► < fiP ► 4 s ► < ^ ► Fl MU Brn. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I < □ ► < fiP ► 4 s ► < ^ ► Fl MU Brn. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO OO »000 Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Typy důkazů Informace o předmětu OO Motivace OO Principy matematiky o»oo Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ Důkaz indukcí Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Typy důkazů Informace o předmětu OO Motivace OO Principy matematiky o»oo Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ Důkaz indukcí Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO oo o»oo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO oo o»oo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO oo o»oo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO oo o»oo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO oo o»oo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO oo o»oo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO oo o»oo Typy důkazů Typy důkazů ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (^fa~ = n, pokud n * n = a) ■ Věta Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (^fa~ = n, pokud n * n = a) ■ Věta Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (^fa~ = n, pokud n * n = a) ■ Věta Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (^fa~ = n, pokud n * n = a) ■ Věta Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (-^/a = n, pokud n * n = a) ■ Věta Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená a nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (^fa~ = n, pokud n * n = a) ■ Věta Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (^fa~ = n, pokud n * n = a) Věta y/2 není racionální číslo. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo oo#o Ukázka důkazu Ukázka důkazu Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ přirozená čísla (1, 2, 3, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na přirozených číslech ■ dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje přirozené) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou přirozená nemají společného dělitele jiného než 1) ■ druhou odmocninu (^fa~ = n, pokud n * n = a) Věta y/2 není racionální číslo. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy V2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2 * s * s = 2 * c * 2 * c ■ s * s = 2 * c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2*s*s = 2*c*2*c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo oo ooo» Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou přirozená a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: V2 * s = r m 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké přirozené c ■ nahrazením dostaneme: 2*s*s = 2*c*2*c ■ s*s = 2*c*c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn(