Obsah přednášky Teorie množin Množiny Množino operace O OO ooo Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 3 5} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky M nožina Teorie množin Množina Množiny •O Množinové operace ooo ■ Množina ■ skupina objektů (čísel, aut, myší, množin) ■ ne nutně stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není uspořádaná ■ Základní fakta ■ existuje prázdná množina - 0 ■ množina může obsahovat jiné množiny ■ Zápis množin ■ výčtem prvků: {1,2,3}, {0, {0}} ■ výrokem: {x | x G N A x > 5} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky M nožina Teorie množin Množina Množiny •O Množinové operace ooo ■ Množina ■ skupina objektů (čísel, aut, myší, množin) ■ ne nutně stejného typu ■ neobsahuje duplicity ■ není uspořádaná ■ Základní fakta ■ existuje prázdná množina - 0 ■ množina může obsahovat jiné množiny ■ Zápis množin ■ výčtem prvků: {1,2,3}, {0, {0}} ■ výrokem: {x | x G N A x > 5} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Nekonečné množiny Teorie množin Nekonečné množiny Množiny O* Množinové operace ooo ■ Nekonečné množiny ■ existují ve většině teorií množin ■ různě velká nekonečna ■ např. přirozená čísla (racionální čísla) vs. reálná čísla ■ více v dalších přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Nekonečné množiny Teorie množin Nekonečné množiny Množiny O* Množinové operace ooo ■ Nekonečné množiny ■ existují ve většině teorií množin ■ různě velká nekonečna ■ např. přirozená čísla (racionální čísla) vs. reálná čísla ■ více v dalších přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Nekonečné množiny Teorie množin Nekonečné množiny Množiny O* Množinové operace ooo ■ Nekonečné množiny ■ existují ve většině teorií množin ■ různě velká nekonečna ■ např. přirozená čísla (racionální čísla) vs. reálná čísla ■ více v dalších přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Nekonečné množiny Teorie množin Nekonečné množiny Množiny O* Množinové operace ooo ■ Nekonečné množiny ■ existují ve většině teorií množin ■ různě velká nekonečna ■ např. přirozená čísla (racionální čísla) vs. reálná čísla ■ více v dalších přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Nekonečné množiny Teorie množin Nekonečné množiny Množiny O* Množinové operace ooo ■ Nekonečné množiny ■ existují ve většině teorií množin ■ různě velká nekonečna ■ např. přirozená čísla (racionální čísla) vs. reálná čísla ■ více v dalších přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Množinové operace Teorie množin Množinové operace (1) Množiny oo Množinové operace •OO ■ Operátor G ■ = prvek patří do množiny ■ tzn. na levé straně je vždy prvek, na pravé vždy množina ■ platí Vx(x 0 0) ■ platí 0 G {0} ' ■ platí 0 0{{0}} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Množinové operace Teorie množin Množinové operace (1) Množiny oo Množinové operace •OO ■ Operátor G ■ = prvek patří do množiny ■ tzn. na levé straně je vždy prvek, na pravé vždy množina ■ platí Vx(x 0 0) ■ platí 0 G {0} ' ■ platí 0 0{{0}} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Množinové operace Teorie množin Množinové operace (1) Množiny oo Množinové operace •OO ■ Operátor G ■ = prvek patří do množiny ■ tzn. na levé straně je vždy prvek, na pravé vždy množina ■ platí Vx(x 0 0) ■ platí 0 G {0} ' ■ platí 0 0{{0}} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Množinové operace Teorie množin Množinové operace (1) Množiny oo Množinové operace •OO ■ Operátor G ■ = prvek patří do množiny ■ tzn. na levé straně je vždy prvek, na pravé vždy množina ■ platí Vx(x 0 0) ■ platí 0 G {0} ■ platí 0 0{{0}} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Množinové operace Teorie množin Množinové operace (1) Množiny oo Množinové operace •OO ■ Operátor G ■ = prvek patří do množiny ■ tzn. na levé straně je vždy prvek, na pravé vždy množina ■ platí Vx(x 0 0) ■ platí 0 G {0} ■ platí 0 0{{0}} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Množinové operace Teorie množin Množinové operace (1) Množiny oo Množinové operace •OO ■ Operátor G ■ = prvek patří do množiny ■ tzn. na levé straně je vždy prvek, na pravé vždy množina ■ platí Vx(x 0 0) ■ platí 0 G {0} ■ platí 0 0{{0}} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Podmnožiny Teorie množin O Množiny OO Množinové operace o#o Podmnožiny Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) Potenční množina Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Podmnožiny Teorie množin O Množiny OO Množinové operace o#o Podmnožiny Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) Potenční množina Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Podmnožiny Teorie množin O Množiny OO Množinové operace o#o Podmnožiny Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) Potenční množina Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Podmnožiny Podmnožiny Teorie množin Množiny OO Množinové operace o#o ■ Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) m Potenční množina ■ množina všech podmnožin dané množiny ■ zápis: V (A) nebo 2A m V(A) = {x | x C A} m platí: P(0) = {0} . platí: P({0}) = {0,{0}} ■ platí: Vx(0 G V{x) A x G V {x)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Podmnožiny Podmnožiny Teorie množin Množiny OO Množinové operace o#o ■ Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) m Potenční množina ■ množina všech podmnožin dané množiny ■ zápis: V{A) nebo 2 ■ V(A) = {x | x C A) m platí: P(0) = {0} . platí: P({0}) = {0,{0}} ■ platí: Vx(0 G V{x) A x G V {x)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Podmnožiny Podmnožiny Teorie množin Množiny OO Množinové operace o#o ■ Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) m Potenční množina ■ množina všech podmnožin dané množiny ■ zápis: V (A) nebo 2A m V(A) = {x | x C A} m platí: P(0) = {0} . platí: P({0}) = {0,{0}} ■ platí: Vx(0 G V{x) A x G V {x)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Podmnožiny Podmnožiny Teorie množin Množiny OO Množinové operace o#o ■ Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) m Potenční množina ■ množina všech podmnožin dané množiny ■ zápis: V (A) nebo 2A m V(A) = {x | x C A} m platí: P(0) = {0} . platí: P({0}) = {0,{0}} ■ platí: Vx(0 G V{x) A x G V {x)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Podmnožiny Podmnožiny Teorie množin Množiny OO Množinové operace o#o ■ Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) m Potenční množina ■ množina všech podmnožin dané množiny ■ zápis: V (A) nebo 2A m V(A) = {x | x C A} m platí: P(0) = {0} . platí: P({0}) = {0,{0}} ■ platí: Vx(0 G V{x) A x G V {x)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Podmnožiny Podmnožiny Teorie množin Množiny OO Množinové operace o#o ■ Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) m Potenční množina ■ množina všech podmnožin dané množiny ■ zápis: V (A) nebo 2A m V(A) = {x | x C A} m platí: P(0) = {0} . platí: P({0}) = {0,{0}} ■ platí: Vx(0 G V (x) A x G V (x)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Podmnožiny Podmnožiny Teorie množin Množiny OO Množinové operace o#o ■ Podmnožina C * AC B <^ Vx(x ěMxěB) ■ zkrácený zápis Vx G A (x G B) m Potenční množina ■ množina všech podmnožin dané množiny ■ zápis: V (A) nebo 2A m V(A) = {x | x C A} m platí: P(0) = {0} . platí: P({0}) = {0,{0}} ■ platí: Vx(0 G V{x) A x G V {x)) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Množinové operace(2) Teorie množin O Množiny OO Množinové operace Množinové operace (2) ■ Rovnost množin n A = B<*{AQB A B C A) m Sjednocení U ■ Průnik íl Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Množinové operace(2) Teorie množin O Množiny OO Množinové operace Množinové operace (2) ■ Rovnost množin mA = B&(ACB A B C A) m Sjednocení U ■ Průnik n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Množinové operace(2) Teorie množin O Množiny OO Množinové operace Množinové operace (2) ■ Rovnost množin mA = B&(ACB A B C A) m Sjednocení U m AU B = {x \ x £ A V xé6) ■ Průnik n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Množinové operace(2) Teorie množin O Množiny OO Množinové operace Množinové operace (2) ■ Rovnost množin mA = B&(ACB A B C A) m Sjednocení U m AU B = {x \ x £ A V x e B} m Průnik n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Množinové operace(2) Teorie množin O Množiny OO Množinové operace Množinové operace (2) Rovnost množin mA = B&(ACB A B C A) Sjednocení U m AU B = {x \ x £ A V x e B} Průnik n mAt~)B = {x\x£A A xé6) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Množinové operace(2) Teorie množin O Množiny OO Množinové operace Množinové operace (2) Rovnost množin mA = B&(ACB A B C A) Sjednocení U m AU B = {x \ x £ A V x e B} Průnik n mAt~)B = {x\x£A A x e B} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I