Obsah přednášky Čísla O Prirazená čísla oooo Další číselné množiny Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 4 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Čísla O Prirazená čísla oooo Další číselné množiny Obsah přednášky H Čísla Q Přirozená čísla Q Další číselné množiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Čísla Prirazená čísla Další číselné množiny • oooo Čísla - znalosti ze SŠ Čísla - znalosti ze SŠ ■ Číselné množiny ■ přirozená čísla N = {0,1,...} ■ celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ■ racionálni čísla Q = {r/s r,s £ Z A s / 0} ■ reálná čísla - „celá číselná osa" ■ komplexní čísla - „pokrývají rovinu" ■ Náš cíl Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Čísla Prirazená čísla Další číselné množiny • oooo Čísla - znalosti ze SŠ Čísla - znalosti ze SŠ ■ Číselné množiny ■ přirozená čísla N = {0,1,...} ■ celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ■ racionálni čísla Q = {r/s r,s £ Z A s / 0} ■ reálná čísla - „celá číselná osa" ■ komplexní čísla - „pokrývají rovinu" ■ Náš cíl Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Čísla Prirazená čísla Další číselné množiny • oooo Čísla - znalosti ze SŠ Čísla - znalosti ze SŠ Číselné množiny ■ přirozená čísla N = {0,1,...} ■ celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ■ rscionálni cisls — j^r/s | r,s G Z A s ^0} ■ reálná čísla - „celá číselná osa" ■ komplexní čísla - „pokrývají rovinu" Náš cíl 4 □ ► definice čísel s pomocí množin ■ definice číselných operací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny • oooo Čísla - znalosti ze SŠ Čísla - znalosti ze SŠ ■ Číselné množiny ■ přirozená čísla N = {0,1,...} ■ celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ■ racionálni čísla Q = {r/s r,s £ Z A s / 0} ■ reálná čísla - „celá číselná osa" ■ komplexní čísla - „pokrývají rovinu" ■ Náš cíl ■ všechny objekty v matematice jsou množiny ■ —> definice čísel s pomocí množin ■ definice číselných operací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny • oooo Čísla - znalosti ze SŠ Čísla - znalosti ze SŠ ■ Číselné množiny ■ přirozená čísla N = {0,1,...} ■ celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ■ racionálni čísla Q = {r/s r,s £ Z A s / 0} ■ reálná čísla - „celá číselná osa" ■ komplexní čísla - „pokrývají rovinu" ■ Náš cíl ■ všechny objekty v matematice jsou množiny ■ —> definice čísel s pomocí množin ■ definice číselných operací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny • oooo Čísla - znalosti ze SŠ Čísla - znalosti ze SŠ ■ Číselné množiny ■ přirozená čísla N = {0,1,...} ■ celá čísla Z = N U {-1, -2,...} ■ racionálni čísla Q = {r/s r,s £ Z A s / 0} ■ reálná čísla - „celá číselná osa" ■ komplexní čísla - „pokrývají rovinu" ■ Náš cíl ■ všechny objekty v matematice jsou množiny ■ —> definice čísel s pomocí množin ■ definice číselných operací Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o »ooo Přirozená čísla Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. Peanova aritmetika ■ Axiomy přirozených čísel Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o »ooo Přirozená čísla Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. r cd I iova aritmetika ■ Axiomy přirozených čísel Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o »ooo Přirozená čísla Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. Peanova aritmetika ■ Axiomy př irozenycn cisei Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Přirozená čísla Čísla O Přirozená čísla •ooo Další číselné množiny Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. Peanova aritmetika ■ Axiomy přirozených čísel ■ existuje nula ■ každé číslo x má následníka S(x) ■ nula není následníkem žádného čísla ■ různá čísla mají různé následníky: a ^b^S{a) ŕ S{b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Přirozená čísla Čísla O Přirozená čísla •ooo Další číselné množiny Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. Peanova aritmetika ■ Axiomy přirozených čísel ■ existuje nula ■ každé číslo x má následníka S(x) ■ nula není následníkem žádného čísla ■ různá čísla mají různé následníky: a ^b^S{a) ŕ S{b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Přirozená čísla Čísla O Přirozená čísla •ooo Další číselné množiny Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. Peanova aritmetika ■ Axiomy přirozených čísel ■ existuje nula ■ každé číslo x má následníka S(x) ■ nula není následníkem žádného čísla ■ různá čísla mají různé následníky: a ^b^S{a) ŕ S{b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Přirozená čísla Čísla O Přirozená čísla •ooo Další číselné množiny Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. Peanova aritmetika ■ Axiomy přirozených čísel ■ existuje nula ■ každé číslo x má následníka S(x) ■ nula není následníkem žádného čísla ■ různá čísla mají různé následníky: a ^b^S{a) ŕ S{b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Přirozená čísla Čísla O Přirozená čísla •ooo Další číselné množiny Přirozená čísla ■ Přirozená čísla ■ formálně definována jako objekt splňující nějaké axiomy ■ tzv. Peanova aritmetika ■ Axiomy přirozených čísel ■ existuje nula ■ každé číslo x má následníka S(x) ■ nula není následníkem žádného čísla ■ různá čísla mají různé následníky: a ^b^S{a) ŕ S{b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o o»oo Konstrukce přirozených čísel Konstrukce přirozených čísel Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x) Jak tedy čísla vypadají? Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o o»oo Konstrukce přirozených čísel Konstrukce přirozených čísel Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x) Jak tedy čísla vypadají? Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o o»oo Konstrukce přirozených čísel Konstrukce přirozených čísel Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) = x U {x} Jak tedy čísla vypadají? Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Konstrukce přirozených čísel Čísla O Přirozená čísla o»oo Další číselné množiny Konstrukce přirozených číše ■ Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x} ■ Jak tedy čísla vypadají? ■ 0 = 0 ■ 1 = {0} ■ 2 = {0,{0}} ■ 3 = {0,{0},{0,{0}}} ■ atd. - vždy n = {0,n — 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Konstrukce přirozených čísel Čísla O Přirozená čísla o»oo Další číselné množiny Konstrukce přirozených číše ■ Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x} ■ Jak tedy čísla vypadají? ■ 0 = 0 ■ 1 = {0} ■ 2 = {0,{0}} ■ 3 = {0,{0},{0,{0}}} ■ atd. - vždy n = {0,n — 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Konstrukce přirozených čísel Čísla O Přirozená čísla o»oo Další číselné množiny Konstrukce přirozených číše ■ Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x} ■ Jak tedy čísla vypadají? ■ 0 = 0 ■ 1 = {0} ■ 2 = {0,{0}} ■ 3 = {0,{0},{0,{0}}} ■ atd. - vždy n = {0,n — 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Konstrukce přirozených čísel Čísla O Přirozená čísla o»oo Další číselné množiny Konstrukce přirozených číše ■ Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x} ■ Jak tedy čísla vypadají? ■ 0 = 0 ■ 1 = {0} ■ 2 = {0,{0}} ■ 3 = {0,{0},{0,{0}}} ■ atd. - vždy n = {0,n — 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Konstrukce přirozených čísel Čísla O Přirozená čísla o»oo Další číselné množiny Konstrukce přirozených číše ■ Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x} ■ Jak tedy čísla vypadají? ■ 0 = 0 ■ 1 = {0} ■ 2 = {0,{0}} ■ 3 = {0,{0},{0,{0}}} ■ atd. - vždy n = {0,n — 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Konstrukce přirozených čísel Čísla O Přirozená čísla o»oo Další číselné množiny Konstrukce přirozených číše ■ Definujeme množinový systém, který splňuje Peanovy axiomy ■ 0 = 0 ■ S(x) exU{x} ■ Jak tedy čísla vypadají? ■ 0 = 0 ■ 1 = {0} ■ 2 = {0,{0}} ■ 3 = {0,{0},{0,{0}}} ■ atd. - vždy n = {0,n — 1} Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o oo»o Číselné operace Číselné operace ■ Definovány induktivně ■ Sčítání ■ Násobení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o oo»o Číselné operace Číselné operace Definovány induktivně Sčítání a + 0 = a a + S{b) = S{a + b) Násobení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o oo»o Číselné operace Číselné operace ■ Definovány induktivně ■ Sčítání ■ a + 0 = a ■ a + S(b) = S(a + b) ■ Násobení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o oo»o Číselné operace Číselné operace Definovány induktivně Sčítání a + 0 = a a + S{b) = S{a + b) Násobení Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o oo»o Číselné operace Číselné operace Definovány induktivně Sčítání Násobení a + 0 = a a + S{b) = S{a + b) 3*0 = 0 a * S(b) = (a * b) + a Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o oo»o Číselné operace Číselné operace Definovány induktivně Sčítání Násobení a + 0 = a a + S{b) = S{a + b) a*0 = 0 a * S(b) = (a * b) + a Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o oo»o Číselné operace Číselné operace Definovány induktivně Sčítání Násobení a + 0 = a a + S{b) = S{a + b) a*0 = 0 a * S(b) = (a * b) + a Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny ooo» Příklad Příklad - sčítání podle definice ■ 1 + 2 ■ 1 = S(0) . 2 = S(l) = S(S(0)) ■ 1 + 2 Pavel Rychlý, Vojtěcr i Kovář Fl MU Brno ^1H!WBHHBHH1f^.JUJIUH.I..I.III..U.I[J.II.I»ll Obsah přednášky Příklad Příklad - Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny ooo» sčítání podle definice ■ 1 + 2 ■ 1 = S(0) . 2 = S(l) = S(S(0)) ■ 1 + 2 Pavel Rychlý, Vojtěcr i Kovář Fl MU Brno Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny ooo» Příklad Příklad - sčítání podle definice ■ 1 + 2 ■ 1 = S(0) . 2 = S(l) = S(S(0)) ■ 1 + 2 Pavel Rychlý, Vojtěcr i Kovář Fl MU Brno ^1H!WBHHBHH1f^.JUJIUH.I..I.III..U.I[J.II.I»ll Obsah přednášky Čísla Prirazená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 4 □ ► < fiP ► < Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla Prirazená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 4 □ ► < fiP ► < Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla Prirazená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 4 □ ► < fiP ► < Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 4 □ ► < fiP ► < Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla Prirazená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 4 □ ► < fiP ► < Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 4 □ ► < fiP ► < Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla Přirozená čísla Další číselné množiny o ooo» Příklad - sčítaní podle definice 1 + 2 1 + 2 1 = S(0) 2 = S(l) = S(S(0)) 1 + S(1) S(l + 1) S(l + S(0)) S(S(1 + 0)) S(S(1)) S(S(S(0))) = 3 4 □ ► < fiP ► < Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Čísla O Přirozená čísla oooo Další číselné množiny Další číselné množiny ■ Jsou konstruovány s využitím dvojic a ekvivalencí ■ pojmy, které „neznáme" ■ —> v následujících přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla O Přirozená čísla oooo Další číselné množiny Další číselné množiny ■ Jsou konstruovány s využitím dvojic a ekvivalencí ■ pojmy, které „neznáme" ■ —> v následujících přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Čísla O Přirozená čísla oooo Další číselné množiny Další číselné množiny ■ Jsou konstruovány s využitím dvojic a ekvivalencí ■ pojmy, které „neznáme" ■ —> v následujících přednáškách Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn.