Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@íi.muni.cz část 5 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 1/9	Obsah přednášky Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 2/9
Uspořádané dvojice, n-tice     Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ► (a, b) ► má první a druhý prvek ► —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků ► Definice pomocí množin - (a, b) ee {{a}, {a, b}} ► takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ► jsou možné i jiné definice? Jaké? ► Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ► trojice (a, b, c) = (a, (b, c)) ► obecně (ai, a2, a3,an) = (ai, (a2, (a3, (..., a„)...))) ► (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 3/9	Uspořádané dvojice, n-tice     Kartézský součin Kartézský součin ► Kartézský součin dvou množin A, B Ax B = {(a, b) | a e A A b e B} ► —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ► Kartézský součin více množin ► analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ► A x B x C = {(a, b, c) \ a e A A b (E B A ceC} ► podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 4/9
Relace Relace Relace ► Motivace ► způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ► vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ► Binární relace ► množina uspořádaných dvojic ► —> podmnožina kartézského součinu ► n-ární relace ► množina uspořádaných n-tic ► Často říkáme „relace na množině A" ► tzn. podmnožina součinu A x A, resp. A x A x ... x A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 5/9	Relace     Relace - příklady Relace - příklady ► Relace identity na množině A ► ld(A) - binární relace ► ld(A) = {(a, a)eAxA\ae A} ► Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ► > (N) - binární relace ► > (/V) = {{a,b) e NxN   Ď C a} ► (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ► Relace plus na přirozených číslech ► +(N) - ternární relace ► +(/V) = {(a, b, c) e NxNxN \ a + b = c} ► a + b — c je jen jiný zápis pro (a, b, c) e +{N) ► —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 6/9
Relace     Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ► Už jste se s nimi setkali jinde ► Reflexivita ► R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ► Va e A{ (a, a)eR) ► Symetrie ► R(A) je symetrická, právě tehdy, když ► Va,Ďe^( (a,b) e R    {b, a) e R ) ► Antisymetrie ► R(A) je antisymetrická, právě tehdy, když ► Va,beA((a,b) e RA{b,a) e R => a = b) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 7/9	Relace     Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací (2) ► Tranzitivita ► R(A) je tranzitivní, právě tehdy, když ► Va, b, c e A( (a, b) e R A {b, c) e R => (a, c) e R ) ► Ekvivalence ► R(A) je ekvivalence, právě tehdy, když je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní ► Uspořádání ► R(A) je uspořádání, právě tehdy, když je současně reflexivní, antisymetrická i tranzitivní Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                             část 5 8/9
Relace     Vlastnosti relací		
Vlastnosti binárních relací - příklady		
► Identita na libovolné množině		
► splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ► —> ekvivalence i uspořádání		
► Relace < na přirozených číslech		
► není symetrická ► —> uspořádání		
► Relace < na přirozených číslech		
► není symetrická ani reflexivní ► —> ani ekvivalence, ani uspořádání		
► Relace na prázdné množině R(9)		
► je 0 (podmnožina 0x0) ► —> ekvivalence i uspořádání ► (pro všechny prvky prázdné množiny platí kde co)		
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004	část 5	9/9