Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}flfi.muni.cz část 5 Pavel Rychlý. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           II IJjj                                                                  část 5 1/9	Obsah přednášky Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace Pavel Rychlý. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                        rill>                                                          část 5 2/9
Uspořádané dvojice, n-tice      Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ► (a, b) ► má první a druhý prvek ► —» na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků ► Definice pomocí množin ► (a,b)^{{a},{a,b}} ►■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ► jsou možné i jiné definice? Jaké? ► Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ► trojice (a, b, c) = {a, (b, c)) ► obecně (aj, a2,a3,an) = (ai, (a2, (a3, (..., a„)...))) ► (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                                 část 5 3/9	Uspořádané dvojice, n-tice     Kartézský součin Kartézský součin ► Kartézský součin dvou množin A, B ► A x B = {(a,b)   aeA A b e B} ► —» množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ► Kartézský součin více množin ► analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ► A x B x C = {(a, b,c)\aeAAbeBAceC} *■ podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                                 část 5        4 / 9
Relace Relace Relace ► Motivace > způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ►■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ► Binární relace > množina uspořádaných dvojic ►■ -> podmnožina kartézského součinu ► n-ární relace > množina uspořádaných n-tic ► Často říkáme „relace na množině A" tzn. podmnožina součinu A x A, resp. A x A x ... x A Pavel Rychlý. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                                 část 5 5/9	Relace     Relace - příklady Relace - příklady ► Relace identity na množině A ► ld(A) - binární relace f ld(A) = {{a, a) € AxA \ a e A} ► Relace větší nebo rovno na přirozených číslech * > (N) - binární relace ► >(N) = {{a,b) e NxN   b C a} ► (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ► Relace plus na přirozených číslech ► +{N) - ternární relace ► +(«) = {(a, b, c) e NxNxN   a + b = c} ► a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) e +{N) ► —» všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                                 část 5 6/9
Relace     Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ► Už jste se s nimi setkali jinde ► Reflexivita ► R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ► Va e >4( {a, a) e R ) ► Symetrie ► R(A) je symetrická, právě tehdy, když \/a,be A( (a,b) E R    (b,a) 6 R ) ► Antisymetrie ► R(A) je antisymetrická, právě tehdy, když ► Va, b e A( (a, b) e R A (b, a) £ R => a = b ) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                                 část 5 7/9	Relace     Vlastnosti relaci Vlastnosti binárních relací (2) ► Tranzitivita ► R(A) je tranzitivní, právě tehdy, když ► Va, b, c e A( (a, b) e R A {b, c) e R    (a, c) e R ) ► Ekvivalence ► R(A) je ekvivalence, právě tehdy, když je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní ► Uspořádání ► R(A) je uspořádání, právě tehdy, když je současně reflexivní, antisymetrická i tranzitivní Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                                 část 5        H / <1
Relace      Vlastnosti relací	
Vlastnosti binárních relací - příklady	
► Identita na libovolné množině	
> splňuje všechny výše uvedené vlastnosti > —> ekvivalence i uspořádání	
► Relace < na přirozených číslech	
> není symetrická > —> uspořádání	
► Relace < na přirozených číslech	
> není symetrická ani reflexivní > —> ani ekvivalence, ani uspořádání	
► Relace na prázdná množině /?(0)	
> je 0 (podmnožina 0x0) > —> ekvivalence i uspořádání (pro všechny prvky prázdné množiny platí kde co)	
Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno) PLIN004	část 5 9/9