Obsah přednášky Uspořádané dvojice n-tice Relace OO ooooo Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 5 na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků Definice pomocí množin Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádaná dvojice Uspořádané dvojice, n-tice •O Relace ooooo Uspořádaná dvojice (a, b) má první a druhý prvek —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků Definice pomocí množin Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádaná dvojice Uspořádané dvojice, n-tice •O Relace ooooo Uspořádaná dvojice (a, b) má první a druhý prvek —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků Definice pomocí množin Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádaná dvojice Uspořádané dvojice, n-tice •O Relace ooooo Uspořádaná dvojice (a, b) má první a druhý prvek —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků Definice pomocí množin . (a,b)^{{a},{a,b}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádaná dvojice Uspořádané dvojice, n-tice •O Relace ooooo Uspořádaná dvojice (a, b) má první a druhý prvek —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků Definice pomocí množin . (a,b)^{{a},{a,b}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádaná dvojice Uspořádané dvojice, n-tice •O Relace ooooo Uspořádaná dvojice (a, b) má první a druhý prvek —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků Definice pomocí množin . (a,b)^{{a},{a,b}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádaná dvojice Uspořádané dvojice, n-tice •O Relace ooooo Uspořádaná dvojice (a, b) má první a druhý prvek —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků Definice pomocí množin . (a,b)^{{a},{a,b}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace •O ooooo Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ■ má první a druhý prvek ■ —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků ■ Definice pomocí množin . (a,Z>) = {{a},{a,Z>}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? ■ Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c)) ■ obecně (ai, a2, a3,a„) = (ai, (a2, (a3, (..., an)...))) ■ (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace •O ooooo Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ■ má první a druhý prvek ■ —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků ■ Definice pomocí množin . (a,Z>) = {{a},{a,Z>}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? ■ Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c)) ■ obecně (ai, a2, a3,a„) = (ai, (a2, (a3, (..., an)...))) ■ (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace •O ooooo Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ■ má první a druhý prvek ■ —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků ■ Definice pomocí množin . (a,b)^{{a},{a,b}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? ■ Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c)) ■ obecně (ai, a2, a3,an) = (ai, (a2, (a3, (..., a„)...))) ■ (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace •O ooooo Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice ■ má první a druhý prvek ■ —> na rozdíl od množiny záleží na pořadí prvků ■ Definice pomocí množin . (a,Z>) = {{a},{a,Z>}} ■ takto jednoznačně rozlišíme, který z prvků je první ■ jsou možné i jiné definice? Jaké? ■ Uspořádané n-tice (kde n je přirozené) ■ trojice (a, b, c) = (a, (b, c)) ■ obecně (ai, a2, a3,a„) = (ai, (a2, (a3, (..., an)...))) ■ (funguje jen pro konečné n) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Kartézský součin Uspořádané dvojice, n-tice O* Relace ooooo Kartézský součin ■ Kartézský součin dvou množin A, B ■ A x B = {(a, b) | a £ A A b £ B} m —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ■ Kartézský součin více množin Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Kartézský součin Uspořádané dvojice, n-tice O* Relace ooooo Kartézský součin ■ Kartézský součin dvou množin A, B ■ A x B = {(a, b) | a £ A A b 6 6} ■ —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ■ Kartézský součin více množin Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Kartézský součin Uspořádané dvojice, n-tice O* Relace ooooo Kartézský součin ■ Kartézský součin dvou množin A, B ■ A x B = {(a, b) | a £ A A b £ 6} ■ —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ■ Kartézský součin více množin Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Kartézský součin Uspořádané dvojice, n-tice O* Relace ooooo Kartézský součin ■ Kartézský součin dvou množin A, B ■ A x B = {(a, b) | a £ A A b 6 B} ■ —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ■ Kartézský součin více množin ■ analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ■ A x B x C = {(a, b,c) \ a eA A be B A céC) ■ podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Kartézský součin Uspořádané dvojice, n-tice O* Relace ooooo Kartézský součin ■ Kartézský součin dvou množin A, B ■ A x B = {(a, b) | a £ A A b £ B} ■ —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ■ Kartézský součin více množin ■ analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ■ A x B x C = {{a, b, c) | a £ /4 A í?£fí A c£ ■ podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Kartézský součin Uspořádané dvojice, n-tice O* Relace ooooo Kartézský součin ■ Kartézský součin dvou množin A, B ■ A x B = {(a, b) | a £ A A b £ B} ■ —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ■ Kartézský součin více množin ■ analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ■ A x B x C = {(a, b,c) \ a eA A fa £ B A c£(T} ■ podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Kartézský součin Uspořádané dvojice, n-tice O* Relace ooooo Kartézský součin ■ Kartézský součin dvou množin A, B ■ A x B = {(a, b) | a e A A b £ B} ■ —> množina uspořádaných dvojic prvků z A a B ■ Kartézský součin více množin ■ analogicky - obsahuje uspořádané n-tice ■ A x B x C = {(a, b,c) \ a eA A be B A cgC} ■ podobně pro větší n Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Relace Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace •oooo Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného Binární relace n-ární relace Často říkáme „relace na množině A" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ► < fiP I Obsah přednášky Relace Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace •oooo Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného Binární relace n-ární relace Často říkáme „relace na množině A" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ► < fiP I Obsah přednášky Relace Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace •oooo Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného Binární relace n-ární relace Často říkáme „relace na množině A" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I □ ► < fiP I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo »oooo Relace Relace ■ Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ■ Binární relace ■ množina uspořádaných dvojic ■ —> podmnožina kartézského součinu ■ n-ární relace ■ Často říkáme „relace na množině A" ► 3 -00.0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo »oooo Relace Relace ■ Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ■ Binární relace ■ množina uspořádaných dvojic ■ —> podmnožina kartézského součinu ■ n-ární relace ■ Často říkáme „relace na množině A" ► 3 -00.0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo »oooo Relace Relace ■ Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ■ Binární relace ■ množina uspořádaných dvojic ■ —> podmnožina kartézského součinu ■ n-ární relace ■ Často říkáme „relace na množině A" 3 -00.0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo »oooo Relace Relace ■ Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ■ Binární relace ■ množina uspořádaných dvojic ■ —> podmnožina kartézského součinu ■ n-ární relace ■ množina uspořádaných n-tic ■ Často říkáme „relace na množině A" ► 3 -00.0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo »oooo Relace Relace ■ Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ■ Binární relace ■ množina uspořádaných dvojic ■ —> podmnožina kartézského součinu ■ n-ární relace ■ množina uspořádaných n-tic ■ Často říkáme „relace na množině A" ► 3 -00.0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo »oooo Relace ■ Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ■ Binární relace ■ množina uspořádaných dvojic ■ —> podmnožina kartézského součinu ■ n-ární relace ■ množina uspořádaných n-tic ■ Často říkáme „relace na množině A" ■ tzn. podmnožina součinu A x A, resp. A x A x .„ x A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo »oooo Relace ■ Motivace ■ způsob, jak v matematice svázat dvě hodnoty (případně více) ■ vyjadřujeme, že objekty (množiny) v relaci mají něco společného ■ Binární relace ■ množina uspořádaných dvojic ■ —> podmnožina kartézského součinu ■ n-ární relace ■ množina uspořádaných n-tic ■ Často říkáme „relace na množině A" ■ tzn. podmnožina součinu A x A, resp. A x A x .„ x A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo o»ooo Relace - příklady Relace - příklady Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a e A) Relace větší nebo rovno na přirozených číslech Relace plus na přirozených číslech - -00,0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Relace - příklady Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace o»ooo Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ Id {A) = {(a, a) £ AxA \ a 6 A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech Relace plus na přirozených číslech Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo o»ooo Relace - příklady Relace - příklady Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {(a, a) G AxA \ a e A} Relace větší nebo rovno na přirozených číslech Relace plus na přirozených číslech Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Relace - příklady Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace o»ooo Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {(a, a) G AxA \ a e A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) ~ binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN | b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Relace - příklady Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace o»ooo Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a e A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN | b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Relace - příklady Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace o»ooo Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a e A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN | b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Relace - příklady Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace o»ooo Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a e A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN \ b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo o»ooo Relace - příklady Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a e A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN | b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech ■ +(/V) - ternární relace ■ +(/V) = {(a, b, c) G NxNxN \ a + b = c} ■ a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) £ +(N) m —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo o»ooo Relace - příklady Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a G A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN | b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech ■ +(/V) - ternární relace ■ +(/V) = {(a, b, c) G NxNxN \ a + b = c} ■ a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) G +(N) m —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo o»ooo Relace - příklady Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a e A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN | b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech ■ +(/V) - ternární relace ■ +(/V) = {(a, b, c) G NxNxN \ a + b = c} ■ a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) £ +(N) m —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo o»ooo Relace - příklady Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a e A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN | b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech ■ +(/V) - ternární relace ■ +(/V) = {(a, b, c) G NxNxN \ a + b = c} ■ a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) £ +(N) m —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo o»ooo Relace - příklady Relace - příklady ■ Relace identity na množině A ■ ld(A) - binární relace ■ ld(A) = {{a, a) G AxA \ a G A} ■ Relace větší nebo rovno na přirozených číslech ■ > {N) - binární relace ■ > (N) = {{a, b) G NxN \ b C a} m (podle množinové konstrukce přirozených čísel - viz minulá přednáška) ■ Relace plus na přirozených číslech ■ +(/V) - ternární relace ■ +(/V) = {(a, b, c) G NxNxN \ a + b = c} ■ a + b = c je jen jiný zápis pro (a, b, c) G +(N) m —> všechny operace na číslech jsou relace Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace oo»oo Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ Symetrie ■ Antisymetrie Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ Antisymetrie Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ Antisymetrie Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ Antisymetrie Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ R(A) je symetrická, právě tehdy, když ■ Va, b G A( (a, b) G R => {b, a) G R ) m Antisymetrie Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ R(A) je symetrická, právě tehdy, když ■ y a, b G A( (a, b) G R => {b, a) G R ) m Antisymetrie Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ R(A) je symetrická, právě tehdy, když ■ y a, b G A( (a, b) G R => {b, a) G R ) ■ Antisymetrie Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ R(A) je symetrická, právě tehdy, když ■ Va, b G A( (a, b) G R => {b, a) G R ) ■ Antisymetrie ■ R(A) je antisymetrická, právě tehdy, když ■ Va, b G A( (a, b) G R A {b, a) G R a = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ R(A) je symetrická, právě tehdy, když ■ y a, b G A( (a, b) G R => {b, a) G R ) ■ Antisymetrie ■ R(A) je antisymetrická, právě tehdy, když ■ y a, b G A( (a, b) G R A {b, a) G R a = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oo»oo Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací ■ Už jste se s nimi setkali jinde ■ Reflexivita ■ R(A) je reflexivní, právě tehdy, když ■ Va G A( (a, a) G R ) ■ Symetrie ■ R(A) je symetrická, právě tehdy, když ■ y a, b G A( (a, b) G R => {b, a) G R ) ■ Antisymetrie ■ R(A) je antisymetrická, právě tehdy, když ■ y a, b G A( (a, b) G R A {b, a) G R a = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo ooo»o Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací (2) ■ Tranzitivita ■ R(A) je tranzitivní, právě tehdy, když ■ Va, b,c G A( (a, b) G R A (b, c) G R =>- (a ■ Ekvivalence ■ Uspořádání Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I 4 □ ► - (a ■ Ekvivalence ■ Uspořádání Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo ooo»o Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací (2) ■ Tranzitivita ■ R(A) je tranzitivní, právě tehdy, když ■ Va, b,c G A( (a, b) G R A (b, c) G R =>- (a ■ Ekvivalence ■ Uspořádání Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I 4 □ ► ► 3 -00.0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace ooo»o Vlastnosti binárních relací (2) Tranzitivita ■ R(A) je tranzitivní, právě tehdy, když ■ y a, b,ceA( (a, b) G R A {b, c) G R (a, c) G R ) Ekvivalence ■ R(A) je ekvivalence, právě tehdy, když je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní Uspořádání R(A) je uspořádání, právě tehdy, když je současně reflexivní, antisymetrická i tranzitivní ► 3 -00.0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oooo» Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací - příklady Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání Relace < na přirozených číslech Relace < na přirozených číslech Relace na prázdné množině /?(0) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oooo» Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací - příklady Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání Relace < na přirozených číslech Relace < na přirozených číslech Relace na prázdné množině /?(0) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oooo» Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací - příklady Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání Relace < na přirozených číslech Relace < na přirozených číslech Relace na prázdné množině /?(0) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace oooo» Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ Relace na prázdné množině /?(0) íiflV - r, Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace oooo» Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ Relace na prázdné množině /?(0) íiflV - r, Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace oooo» Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ Relace na prázdné množině /?(0) íiflV - r, Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace oooo» Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ani reflexivní ■ —> ani ekvivalence, ani uspořádání ■ Relace na prázdné množině /?(0) íiflV - r, Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace oooo» Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ani reflexivní ■ —> ani ekvivalence, ani uspořádání ■ Relace na prázdné množině /?(0) íiflV - r, Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti relací Uspořádané dvojice, n-tice OO Relace oooo» Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ani reflexivní ■ —> ani ekvivalence, ani uspořádání ■ Relace na prázdné množině /?(0) íiflV - r, Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oooo» Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ani reflexivní ■ —> ani ekvivalence, ani uspořádání ■ Relace na prázdné množině /?(0) ■ je 0 (podmnožina 0x0) ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ (pro všechny prvky prázdné množifly. p^tí kde qo^ Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oooo» Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ani reflexivní ■ —> ani ekvivalence, ani uspořádání ■ Relace na prázdné množině /?(0) ■ je 0 (podmnožina 0x0) ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ (pro všechny prvky prázdné množifly. p|jítí kde qo^ Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oooo» Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ani reflexivní ■ —> ani ekvivalence, ani uspořádání ■ Relace na prázdné množině /?(0) ■ je 0 (podmnožina 0x0) ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ (pro všechny prvky prázdné množifly. p^tí kde qo^ Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Uspořádané dvojice, n-tice Relace oo oooo» Vlastnosti relací Vlastnosti binárních relací - příklady ■ Identita na libovolné množině ■ splňuje všechny výše uvedené vlastnosti ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ■ —> uspořádání ■ Relace < na přirozených číslech ■ není symetrická ani reflexivní ■ —> ani ekvivalence, ani uspořádání ■ Relace na prázdné množině /?(0) ■ je 0 (podmnožina 0x0) ■ —> ekvivalence i uspořádání ■ (pro všechny prvky prázdné množiny platí kde Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I