Obsah přednášky Fu n kce Velikost množin Posloupnosti oooooo O OO Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 6 unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —> binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f b = c ) m —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —> binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f b = c ) m —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —> binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f b = c ) ■ —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —> binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f b = c ) ■ —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —> binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f b = c ) ■ —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —> binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f b = c ) ■ —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —>■ binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f b = c ) ■ —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f c = d ) ■ —>■ binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Funkce Fu n kce o»oooo Velikost množin O Posloupnosti OO Definice funkce ■ Funkce ■ taková relace, kde výstup je jednoznačný ■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ■ Va, b, c G A ( (a, b) G f A (a, c) G f => b = c ) ■ —> unární funkce je binární relace ■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) e f A (a, fa, c/) e f => c = d ) ■ —>■ binární funkce je ternární relace ■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —> B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota ■ zapisujeme f [a) = b ■ totéž jako: (a, b) G f m také ,,b je obraz prvku a" ■ také ,,a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota ■ zapisujeme f [a) = b ■ totéž jako: (a, b) G f m také ,,b je obraz prvku a" ■ také ,,a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota ■ zapisujeme f [a) = b ■ totéž jako: (a, b) G f m také ,,b je obraz prvku a" ■ také ,,a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota ■ zapisujeme f [a) = b ■ totéž jako: (a, b) G f m také ,,b je obraz prvku a" ■ také ,,a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oo»ooo o oo Funkce - varianty zápisu ■ Často říkáme „funkce z A do B" ■ případně „zobrazení z A do B" ■ zapisujeme f : A —» B ■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ■ Funkční hodnota ■ zapisujeme f [a) = b ■ totéž jako: (a, b) G f m také ,,b je obraz prvku a" ■ také ,,a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita ■ f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ■ y b G B ( 3a G A {b = f (a) ) ■ —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ■ —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita ■ f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ■ y b G B ( 3a G A (b = f (a) ) ■ —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ■ —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ Va, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita ■ f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ■ y b G B ( 3a G A {b = f (a) ) ■ —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ■ —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita ■ f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ■ y b G B ( 3a G A {b = f (a) ) ■ —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ■ —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooo»oo Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí ■ Injektivita ■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ■ y a, b G A ( f (a) = f {b) a = b) m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ■ Surjektivita ■ f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když ■ y b G B ( 3a G A {b = f (a) ) ■ —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ■ —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce oooo»o Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí (2) Úplnost f : A —» B je úplná, právě tehdy, když Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" —> „celý definiční obor je pokrytý" pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce Bij e kce - -00,0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce oooo»o Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí (2) Úplnost f : A —» B je úplná, právě tehdy, když Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" —> „celý definiční obor je pokrytý" pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce Bij e kce - -00,0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce oooo»o Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí (2) Úplnost f : A —» B je úplná, právě tehdy, když Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" —> „celý definiční obor je pokrytý" pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce Bij e kce - -00,0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce oooo»o Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí (2) Úplnost f : A —» B je úplná, právě tehdy, když Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" —> „celý definiční obor je pokrytý" pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce Bij e kce - -00,0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce oooo»o Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí (2) Úplnost f : A —» B je úplná, právě tehdy, když Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" —> „celý definiční obor je pokrytý" pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce Bij e kce - -00,0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce oooo»o Velikost množin O Posloupnosti OO Vlastnosti funkcí (2) Úplnost f : A —» B je úplná, právě tehdy, když Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" —> „celý definiční obor je pokrytý" pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce Bij e kce - -00,0 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Funkce Velikost množin oooo»o o oo Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí (2) ■ Úplnost ■ f : A —» B je úplná, právě tehdy, když ■ Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) ■ —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ■ —> „celý definiční obor je pokrytý" ■ pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce ■ Bijekce ■ f : A —> B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná ■ —> množiny A a B jsou „stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oooo»o o oo Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí (2) ■ Úplnost ■ f : A —» B je úplná, právě tehdy, když ■ Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) ■ —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ■ —> „celý definiční obor je pokrytý" ■ pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce ■ Bijekce ■ f : A —> B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná ■ —> množiny A a B jsou „stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Funkce Velikost množin oooo»o o oo Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí (2) ■ Úplnost ■ f : A —» B je úplná, právě tehdy, když ■ Va G A ( 3b G B (b = f (a) ) ■ —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ■ —> „celý definiční obor je pokrytý" ■ pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce ■ Bijekce ■ f : A —> B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná —> množiny A a B jsou „stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooooo* Velikost množin O Posloupnosti OO Inverzní funkce ■ Inverzní funkce ■ pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci ■ f-1 : B -> A m f-1^) = a = f(a) = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooooo* Velikost množin O Posloupnosti OO Inverzní funkce ■ Inverzní funkce ■ pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci ■ f-1 : B -> A m f-1^) = a = f(a) = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooooo* Velikost množin O Posloupnosti OO Inverzní funkce ■ Inverzní funkce ■ pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci ■ f-1 : B -> A m f-1^) = a = f(a) = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Vlastnosti funkcí Fu n kce ooooo* Velikost množin O Posloupnosti OO Inverzní funkce ■ Inverzní funkce ■ pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci ■ f-1 : B -> A m f-1^) = a = f(a) = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brm Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny <3> <|> 1 -O^O Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Funkce oooooo Velikost množin • Posloupnosti OO Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny <3> <|> 1 -O^O Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné m <3> <|> 1 -O^O Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny ■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N -> A ■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ■ N, Z, Q jsou spočetné množiny ■ R (reálná čísla) není spočetná množina ■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->• A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny ■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N -> A ■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ■ N, Z, Q jsou spočetné množiny ■ R (reálná čísla) není spočetná množina ■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->• A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny ■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N -> A ■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ■ N, Z, Q jsou spočetné množiny ■ R (reálná čísla) není spočetná množina ■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->• A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny ■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N -> A ■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ■ N, Z, Q jsou spočetné množiny ■ R (reálná čísla) není spočetná množina ■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->• A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny ■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N -> A ■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ■ N, Z, Q jsou spočetné množiny ■ R (reálná čísla) není spočetná množina ■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->• A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Funkce Velikost množin oooooo • oo Velikost množin Definice velikosti množiny ■ Velikost množiny A: \A\ ■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ■ Nekonečné množiny ■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N -> A ■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ■ N, Z, Q jsou spočetné množiny ■ R (reálná čísla) není spočetná množina ■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->• A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ Nekonečné posloupnosti ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ = funkce na přirozených číslech ■ a0, ai,an,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ = funkce na přirozených číslech ■ a0, ai,a„,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ = funkce na přirozených číslech ■ a0, ai,an,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ■ Induktivní U t: I I 111 L.t! 11 CřMJ 11 CL. 111: LÍUoUJULÍIHJoLI Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ = funkce na přirozených číslech ■ a0, ai,an,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti ■ vypíšeme první člen (prvních několik členů) ■ určíme předpis, podle něhož dostaneme an s pomocí 3n-i (případně 3„_2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn( Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ = funkce na přirozených číslech ■ a0, ai,an,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti ■ vypíšeme první člen (prvních několik členů) ■ určíme předpis, podle něhož dostaneme an s pomocí 3n-i (případně 3„_2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o »o Posloupnosti Posloupnosti ■ Záleží na pořadí prvků ■ Konečné posloupnosti ■ = uspořádané n-tice ■ Nekonečné posloupnosti ■ = funkce na přirozených číslech ■ a0, ai,an,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti ■ vypíšeme první člen (prvních několik členů) ■ určíme předpis, podle něhož dostaneme an s pomocí 3n-i (případně 3„_2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o o» Posloupnosti Posloupnosti - příklad ■ Fibonacciho posloupnost ■ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ■ a0 = 0 ■ 3l = 1 ■ an = 3„_i + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o o» Posloupnosti Posloupnosti - příklad ■ Fibonacciho posloupnost ■ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ■ 3o = 0 ■ 3l = 1 ■ an = 3„_i + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o o» Posloupnosti Posloupnosti - příklad ■ Fibonacciho posloupnost ■ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ■ a0 = 0 ■ 3l = 1 ■ an = 3„_i + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o o» Posloupnosti Posloupnosti - příklad ■ Fibonacciho posloupnost ■ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ■ a0 = 0 ■ 3l = 1 ■ an = 3„_i + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn. Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti oooooo o o» Posloupnosti Posloupnosti - příklad ■ Fibonacciho posloupnost ■ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ■ a0 = 0 ■ 3l = 1 ■ an = 3„_i + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Fl MU Brn.