Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace oo oo Principy matematiky 0000000 Obsah přednášky Motivace 00 00 ooooooo Obsah přednášky Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 H Informace o předmětu Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Q Motivace Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@íi.muni.cz H Principy matematiky část 1 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl M U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Informace o předmětu Motivace •O OO Informace o předmětu Principy matematiky ooooooo Informace o předmětu Motivace o» oo Obsah předmětu Informace o předmětu Obsah předmětu ■ Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ■ Ukončení předmětu ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka (14. 11.) ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek ■ Cvičení ■ jako samostatný předmět se samostatným ukončením ■ silně doporučen současně s přednáškou ■ Okruhy ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl M U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Obsah přednášky Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Informace o předmětu OO Principy matematiky 0000000 Obsah přednášky Informace o předmětu 00 Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář uu um Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Principy vysokoškolské matematiky Informace o předmětu Principy matematiky •oooooo Principy vysokoškolské matematiky Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ■ 5 * 2 je sudé (definice) ■ tedy 10 je sudé Obsah přednášky Typy důkazů Informace o předmětu OO Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Motivace Principy matematiky oo oo 00»0000 Ukázky důkazů Obsah přednášky Informace o předmětu OO Ukázky důkazů Motivace OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) ■ kladná racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 — a * a) ■ druhou odmocninu (y^i = n, pokud n * n — a) ■ Věta ■ pokud 2 * x2 — y2 ■ (pro x,y celá) pak y je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Motivace Principy matematiky oooo»oo Ukázky důkazů Obsah přednášky Informace o předmětu OO Ukázky důkazů Motivace OO Principy matematiky ooooo»o Ukázka důkazu Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y — 2k + 1 ■ úpravou původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2k + l)(2k + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = Ak2 + Ak + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2*(/c2 + 2/c) + l ■ odečtením výrazu 2 * (k2 + 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2 * (x2 - (k2 + 2k)) = 1 ■ tedy 1 je sudé číslo, což je spor. ■ Věta ■ \f2 není racionální číslo. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Motivace Principy matematiky OO OO 000000» Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že ^/2 je racionální číslo. ■ tedy a/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \[2 * s — r ■ 2* s * s — r * r ■ tedy r je sudé, tj. r — 2 * c pro nějaké celé c m nahrazením dostaneme: 2* s * s — 2* c *2* c ■ s * s — 2* c * c ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno