Obsah rednášky Informace o předměty Motivace Prin oo oo ooc čipy mat oooo tiky Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matem O O oo ooooooo tiky Obsah přednášky Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Q Informace o předmětu Pavel Rychlý Vojtěch Kovář B Motivace Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz B Principy matematiky část 1 Pavel Rychlý, Vojtech Kovář PLIN004 Fl IV U rno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 rednášky Informace o předměty Motivace •o oot čipy mat "ľ Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matem om oo ooooooo Informace o předmětu Obsah předměty Obsah předmětu ■ Obsah predmetu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ■ Ukončení predmetu ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka (14. 11.) ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek ■ Cvičení ■ jako samostatný předmět se samostatným ukončením ■ silně doporučen současně s přednáškou ■ Okruhy ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl IV U rno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Obsah rednášky Informace o předměty Motivace •O zipy mat "ľ Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matem O* Rozdíl nezi SŠ a VŠ matematikou i ■ ii i........... Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Proč potřebují lingvisté matematiku? ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl IV u rno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 rednášky Informace o předměty Motivace Prin čipy mat ™ Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matem OO OVOOOOO Principy vysokoškolské matematiky Typy důkazy Principy vysokoškolské matematiky Typy důkazů ■ Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ■ 5 * 2 je sudé (definice) ■ tedy 10 je sudé ■ Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ■ Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1=0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ■ Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl IV u Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3.....0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) ■ kladná racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = a * a) ■ druhou odmocninu (\/ä = n, pokud n * n = a) Ukázka důkazu Důkaz (sporem) předpokládejme, že y je liché tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 úpravou původní věty dostáváme: 2x2 = (2k + l)(2Ar + 1) dále roznásobíme závorku: 2x2 = Ak2 + Ak + 1 vytkneme 2 z části pravé strany: 2x2 = 2 * (k2 + 2k) + 1 odečtením výrazu 2 * (k2 + 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: 2 * (x2 - (k2 + 2k)) = 1 tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace oo oo Ukázky důkazu Principy matematiky 000*000 Ukázka důkazu ■ Věta ■ pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé ■ (pro x, y celá) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace OO oo Ukázky důkazů Principy matematiky oooooso Ukázka důkazu ■ Věta ■ \f2 není racionální číslo. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy \/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2*s = r ■ 2*s*s = r*r ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s*s = 2*c*2*c ■ s * s = 2* c * c u tedy s je také sudé iris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004