Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@íi.muni.cz část 6 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            část 6 1/11	Obsah přednášky Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            část 6 2/11
Funkce Funkce Funkce ► Funkce ► speciální typ relace ► tj. všechny funkce jsou současně i relace (naopak ne) ► Alternativní pohled na relaci ► prvních n-1 hodnot uspořádané dvojice jsou argumenty relace (vstup) ► poslední hodnota je hodnota funkce (výstup) ► zápis - např.: (a, b, c) e + = +(a, b) — c ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            část 6 3/11	Funkce Funkce Definice funkce ► Funkce ► taková relace, kde výstup je jednoznačný ► binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ► Va, b, c e A ( (a, b) e f A (a, c) e f     b = c ) ► —?> unární funkce je binární relace ► ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ► Va, b, c, d e A ( (a, b, c) e f A (a, b, d) e f     c = d ) ► —> binární funkce je ternární relace ► podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            část 6 4/11
Funkce Funkce Funkce - varianty zápisu ► Často říkáme „funkce z A do B" ► případně „zobrazení z A do B" ► zapisujeme f : A —>■ B ► tj. podmnožina kartézského součinu A x B ► A — definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) ► B — obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A) ► Funkční hodnota ► zapisujeme f (a) — b ► totéž jako: (a, b) 6 f ► také ,,b je obraz prvku a" ► také ,,a je vzor prvku b" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            často 5/11	Funkce     Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí ► Injektivita ► f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ► Va, b 6 A ( f (a) = f{b) => a = b ) ► —> ,,žádné dva prvky nemají stejný obraz" ► Surjektivita ► f : A —> B je surjektivní (též ,,na"), právě tehdy, když ► y b e B ( 3a e A (b = ŕ(a) ) ► —> ,,každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ► —> ,,celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            tást 6 6/11
Funkce     Vlastnosti funkci' Vlastnosti funkcí (2) ► Úplnost ► f : A —> B je úplná, právě tehdy, když ► Va e A ( 3b e B (b = f (a) ) ► —> ,,každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ► —> ,,celý definiční obor je pokrytý" ► pojmem ,,funkce" se často myslí úplná funkce ► Bijekce ► f : A —>■ 8 je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná ► —> množiny A a B jsou ,,stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtěch Kováí (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            ěást 6 7/11	Funkce     Vlastnosti funkď Inverzní funkce ► Inverzní funkce ► pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci ► f-1 : B -> A ► f-1(6) = a = f(a) = b Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            ěást 6 8/11
Velikost množin     Velikost množin Definice velikosti množiny ► Velikost množiny A: \A\ ► je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A ► viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ► Nekonečné množiny ► A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N —> A ► —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla ► N, Z, Q jsou spočetné množiny ► R (reálná čísla) není spočetná množina ► A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->■ A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                            část 6 9/11	Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti ► Záleží na pořadí prvků ► Konečné posloupnosti ► = uspořádané n-tice ► Nekonečné posloupnosti ► = funkce na přirozených číslech ► a0, ai,3n,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),... ► Induktivní definice nekonečné posloupnosti ► vypíšeme první člen (prvních několik členů) ► určíme předpis, podle něhož dostaneme an s pomocí 3n_i (případně 3n_2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                          část 6 10/11
Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti - příklad ► Fibonacciho posloupnost ► 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ► a0 = 0 ► 3i = 1 *■  3n — 3n_i + 3n_2 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                          PLIN004                                                          část 6 11/11