Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}Qfi.muni.cz část 6 Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN001                                                               část 6 1/11	Obsah přednáSky Obsah přednášky Funkce Velikost množin Posloupnosti Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               Ěást 6 2/11
Funkce Funkce Funkce ► Funkce ► speciální typ relace ►• tj. všechny funkce jsou současně i relace (naopak ne) ► Alternativní pohled na relaci ► prvních n-1 hodnot uspořádané dvojice jsou argumenty relace (vstup) ►■ poslední hodnota je hodnota funkce (výstup) ►■ zápis - např.: (a,b,c)e + = +(a,Ď) = c ► Funkce ►■ taková relace, kde výstup je jednoznačný Pavel Rychlý. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               část 6 3/11	Funkce Funkce Definice funkce ► Funkce ►• taková relace, kde výstup je jednoznačný ► binární relace f na množině A je funkce, pokud platí: ► Va, b, c e A ( (a, b) 6 f A (a, c) G f =S> b = c ) >■      unární funkce je binární relace ►• ternární relace f na množině A je funkce, pokud: ► Va, b, c, d e A ( (a, b, c) e f A (a,b,d)ef=S>c = d) ►■ —> binární funkce je ternární relace ►■ podobně funkce více proměnných Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               část 6        4 / 11
Funkce Funkce Funkce - varianty zápisu ► Často říkáme „funkce z A do B" ► případně „zobrazení z A do B" ► zapisujeme f : A —> B tj. podmnožina kartézského součinu A x B *■ A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) *■ B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f (A) ^ Funkční hodnota ► zapisujeme ř(a) = b ► totéž jako: (a, b) e f ► také „b je obraz prvku a" ► také „a je vzor prvku b" Pavel Kvílily, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PI INIKM                                                               část 6 5/11	Funkce     Vlastnosti funkci Vlastnosti funkcí ► Injektivita ►■ f : A —> 6 je injektivní (též prostá), právě tehdy, když ► Va, b e A ( f (a) = f (b) =>a = b) ► —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz" ► Surjektivita ►• f : A —> B je surjektivní (též „na"), právě tehdy, když Vf> e B ( 3a e A (b = f (a) ) ►■ —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor" ► —> „celý obor hodnot je pokrytý" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               Eást 6 6/11
Funkce     Vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí (2) ► Úplnost ►• f : A —> 6 je úplná, právě tehdy, když ► Va e A ( 3b e B (b = f (a) ) ► -> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz" ► —> „celý definiční obor je pokrytý" ►■ pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce ► Bijekce f : A —> 6 je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná ► —> množiny A a B jsou „stejně velké" Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               část 6        7 / 1 1	Funkce      Vlastnosti funkcí Inverzní funkce ► Inverzní funkce ► pokud f : A —> 6 je injektivní, definujeme inverzní funkci ► f-1 : B -> 4 ► f-^Ď) = a = ř(a) = Ď Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               Ěást 6        i!/II
Velikost množin      Velikost množin Definice velikosti množiny ► Velikost množiny A: \A\ > je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A > viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin ► Nekonečné množiny > A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N —> A > —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla > N, Z, Q jsou spočetné množiny > R (reálná čísla) není spočetná množina > A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R -> A Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                               část 6 9/11	Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti ► Záleží na pořadí prvků ► Konečné posloupnosti ► = uspořádané n-tice ► Nekonečné posloupnosti ► = funkce na přirozených číslech ► 30,3i,a„,... je jen jiný zápis ř(0), ř(l),ř(n),... ► Induktivní definice nekonečné posloupnosti ► vypíšeme první člen (prvních několik členů) ► určíme předpis, podle něhož dostaneme 3„ s pomocí 3„_i (případně 3„_2 apod.) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                             část 6 10/11
Posloupnosti Posloupnosti Posloupnosti - příklad ► Fibonacciho posloupnost ► 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ►■ a0 = 0 ► 31 = 1 3„ = 3„_1 + 3„_2 Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno)                           PLIN004                                                             část 6 11/11