Obsah přednášky	Fu n kce	Velikost množin	Posloupnosti
	oooooo	O	OO
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Pavel Rychlý    Vojtěch Kovář
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic
{pary, xkovar3}@fi.muni.cz
část 6
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář	Fl MU Brno
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1	
Obsah přednášky
Fu n kce
oooooo
Velikost množin O
Posloupnosti OO
Obsah přednášky
Q Funkce
Q Velikost množin
Q Posloupnosti
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brn.
Funkce Velikost množin
♦OOOOO O OO
Funkce
■ Funkce
■ speciální typ relace
■ tj. všechny funkce jsou současně i relace (naopak ne)
■ Alternativní pohled na relaci
■ prvních n-1 hodnot uspořádané dvojice jsou argumenty relace (vstup)
■ poslední hodnota je hodnota funkce (výstup)
■ zápis - např.: (a, b, c) G + = +(a, b) = c
■ Funkce
■ taková relace, kde výstup je jednoznačný
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brn(
Obsah přednášky Funkce
Fu n kce
o»oooo
Velikost množin O
Posloupnosti OO
Definice funkce
■ Funkce
■ taková relace, kde výstup je jednoznačný
■ binární relace f na množině A je funkce, pokud platí:
■ Va, b, c G A ( (a, b) £ f A (a, c) £ f     b = c )
■ —> unární funkce je binární relace
■ ternární relace f na množině A je funkce, pokud:
■ Va, b, c, d G A ( (a, b, c) £ f A (a, fa, c/) £ f     c = d )
■ —>■ binární funkce je ternární relace
■ podobně funkce více proměnných
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brn.
Funkce Velikost množin
oo»ooo o oo
Funkce - varianty zápisu
■ Často říkáme „funkce z A do B"
■ případně „zobrazení z A do B"
■ zapisujeme f : A —» B
■ tj. podmnožina kartézského součinu A x B
m A = definiční obor (vstup), značíme Df nebo dom(f) m B = obor hodnot (výstup), značíme Rf nebo f(A)
■ Funkční hodnota
■ zapisujeme f [a) = b
■ totéž jako: (a, b) G f
m také ,,b je obraz prvku a"
■ také ,,a je vzor prvku b"
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brn(
Obsah přednášky Vlastnosti funkcí
Fu n kce
ooo»oo
Velikost množin O
Posloupnosti OO
Vlastnosti funkcí
■ Injektivita
■ f : A —> B je injektivní (též prostá), právě tehdy, když
■ y a, b G A ( f (a) = f {b)     a = b)
m —> „žádné dva prvky nemají stejný obraz"
■ Surjektivita
■ f : A —> B je surjektivní (též ,,na"), právě tehdy, když
■ y b G B ( 3a G A {b = f (a) )
■ —> „každý prvek oboru hodnot má nějaký vzor"
■ —> „celý obor hodnot je pokrytý"
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brm
Funkce Velikost množin
oooo»o o oo
Vlastnosti funkcí
Vlastnosti funkcí (2)
■ Úplnost
■ f : A —» B je úplná, právě tehdy, když
■ Va G A ( 3b G B (b = f (a) )
■ —> „každý prvek definičního oboru má nějaký obraz"
■ —> „celý definiční obor je pokrytý"
■ pojmem „funkce" se často myslí úplná funkce
■ Bijekce
■ f : A —> B je bijekce, právě tehdy, když je injektivní, surjektivní a úplná
—> množiny A a B jsou „stejně velké"
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brn(
Obsah přednášky Vlastnosti funkcí
Fu n kce
ooooo*
Velikost množin O
Posloupnosti OO
Inverzní funkce
■ Inverzní funkce
■ pokud f : A —> B je injektivní, definujeme inverzní funkci
■ f-1 : B -> A
m f-1^) = a = f(a) = b
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brm
Obsah přednášky Funkce Velikost množin
oooooo • oo
Velikost množin
Definice velikosti množiny
■ Velikost množiny A: \A\
■ je definována jako přirozené číslo n právě tehdy, pokud existuje bijekce f : n —> A
■ viz konstrukce přirozených čísel pomocí množin
■ Nekonečné množiny
■ A je spočetná právě tehdy, pokud existuje bijekce f : N -> A
■ —> spočetné množiny mají stejný počet prvků jako přirozená čísla
■ N, Z, Q jsou spočetné množiny
■ R (reálná čísla) není spočetná množina
■ A má mohutnost kontinua právě tehdy, pokud existuje bijekce f : R ->• A
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti
oooooo o »o
Posloupnosti
Posloupnosti
■ Záleží na pořadí prvků
■ Konečné posloupnosti
■ = uspořádané n-tice
■ Nekonečné posloupnosti
■ = funkce na přirozených číslech
■ a0, ai,an,... je jen jiný zápis f(0), f(l),f(n),...
■ Induktivní definice nekonečné posloupnosti
■ vypíšeme první člen (prvních několik členů)
■ určíme předpis, podle něhož dostaneme an s pomocí 3n-i (případně an-2 apod.)
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Obsah přednášky Velikost množin Posloupnosti
oooooo o o»
Posloupnosti
Posloupnosti - příklad
■ Fibonacciho posloupnost
■ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
■ a0 = 0
■ 3l = 1
■ an = 3„_i + 3„_2
Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář
Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I
Fl MU Brn.