Induktivní statistika
Odhady


Odhady
obodové odhady
ointervalové odhady
okonstrukce intervalu spolehlivosti pro průměr
oodhady podílů (kategoriální proměnné)
o
o

Odhady
ov příkladech v předchozích přednáškách jsme znali hodnoty průměru a rozptylu populace
oobvykle tomu ale bývá přesně naopak: známe hodnoty (statistiky) výběru a neznáme hodnoty
(parametry) populace
oty chceme z výběru odhadnout

Odhady
o2 typy odhadů: bodové a intervalové
obodový odhad: použijeme průměr vzorku a odhadneme, že se rovná průměru populace

Bodový odhad
obodový odhad je problematický v tom, že dva různé výběry nám mohou dát dva různé odhady
obodový odhad neobsahuje žádnou informaci o jeho přesnosti či spolehlivosti
ona čem závisí přesnost odhadu?

Bodový odhad
opřesnost odhadu závisí na dvou charakteristikách
nvelikost výběru (čím větší n, tím menší výběrová chyba)
nvariabilita hodnot v populaci (čím vyšší, tím vyšší i výběrová chyba)

Intervalový odhad
oposkytuje rozsah (interval) hodnot, který s určitou pravděpodobností obsahuje hledanou hodnotu
parametru

Intervalový odhad
oje založen na:
nbodovém odhadu
nvelikosti výběru
nvariabilitě znaku v populaci (známé nebo rovněž odhadované)

Intervalový odhad
optáme se: jaká je hodnota m ?


Intervalový odhad
optáme se: jaká je hodnota m ?
ovýběrový průměr určité hodnoty může pocházet z populací o různých průměrech
oproto nemůžeme jednoznačně určit hodnotu m

Intervalový odhad
obrázek3


Intervalový odhad
otakže se místo toho snažíme určit, jaký je možný rozsah hodnot m
ojaké populace (tj. s jakou hodnotou průměru) by mohly být pravděpodobným zdrojem našeho vzorku?

Intervalové odhady
oze které populace nejpravděpodobněji pochází výběr, jehož průměr je v následujícím grafu naznačen
svislou čarou?

RVP pro populace I-IV



Intervalové odhady
ovýběr pochází
nnejpravděpodobněji z populace II nebo III
nméně pravděpodobně z populace I
na velmi málo pravděpodobně z populace IV

Intervalové odhady
ointervalový odhad spočívá v konstrukci tzv. intervalu spolehlivosti (confidence interval) =
rozsahu hodnot, ve kterém s určitou pravděpodobností leží průměr populace

Interval spolehlivosti
obrázek4


Interval spolehlivosti
onejprve je třeba si stanovit tuto pravděpodobnost – tj. úroveň přesnosti (spolehlivosti);
oobvyklá je např. 95% - snažíme se najít interval hodnot, ve kterém s 95% pravděpodobností leží
průměr populace
opak jde o tzv. 95% interval spolehlivosti

Interval spolehlivosti
opoté najít hodnotu z pro tuto pravděpodobnost – tj. rozsah, ve kterém bude ležet středních 95%
hodnot (výběrových průměrů)
o2,5% na každé straně rozdělení

Interval spolehlivosti
obrázek5


Interval spolehlivosti
otomu odpovídají hodnoty
z=-1,96
z=1,96
o

Interval spolehlivosti



Interval spolehlivosti - výpočet



Interval spolehlivosti
obrázek4


Interval spolehlivosti
ointerpretace intervalu spolehlivosti:
o pokud bychom z populace vybrali 100 náhodných výběrů o velikosti n a pro každý z nich sestrojili
tento interval, 95 intervalů by obsahovalo průměr populace a 5 nikoliv
oopatrně můžeme říct: máme 95% pravděpodobnost, že se v tomto intervalu nachází průměr populace

Interval spolehlivosti
ooblíbený omyl:
nv 95% intervalu spolehlivosti leží 95% hodnot populace (NEPLATÍ!)
n
okromě 95% intervalu spolehlivosti se používá také např. 99% a 90% pravděpodobnost
n
n

Příklad
onáhodný výběr 36 dětí hospitalizovaných bez matky v raném věku (do 6 měsíců), průměrné IQ vzorku =
96
ona základě tohoto zjištění odhadněte průměrné IQ populace dětí hospitalizovaných bez matky v raném
věku (sestavte 95% interval spolehlivosti)
o

Příklad
oPostup:
nbodový odhad: m=96
nvýpočet výběrové chyby (směrodatné odchylky RVP):
 s/√n = 15/√36 = 15/6 = 2,5
nstanovení úrovně spolehlivosti: 95%
nnajít hodnotu z pro 95% pravděpodobnost
n

Příklad
obrázek6


Příklad
ov tabulce normálního rozdělení najdeme hodnoty z
ohodnoty z pro 95% : 1,96 a -1,96
o

Příklad
ok výběrovému průměru přičteme (pro horní hranici intervalu) a odečteme (pro spodní hranici)
výběrovou chybu, vynásobenou hodnotou z
o

Příklad
o CI (m) = x + z (s/√n)
o
o CI (m) = 96 + 1,96 * 2,5 = 96 + 4,9 =100,9
o CI (m) = 96 -  1,96 * 2,5 = 96 - 4,9 = 91,10
o95% interval spolehlivosti je 91,1 – 100,9

Interval spolehlivosti
ohodnoty z pro nejčastěji užívané pravděpodobnosti:
n90% (zbývá 5% + 5%)       z= +/- 1,645
n95% (zbývá 2,5% + 2,5%)  z= +/- 1,96
n99% (zbývá 0,5% + 0,5%)  z= +/- 2,57

Příklad 2
opro odhad průměru z předchozího příkladu sestrojte 99% interval spolehlivosti


Příklad 2
o CI (m) = x + z (s/√n)
o
o CI (m) = 96 + 2,57 * 2,5 = 96 + 6,4 =102,4
o CI (m) = 96 -  2,57 * 2,5 = 96 – 6,4 = 89,6
o99% interval spolehlivosti je 89,6 – 102,4
o
o

Odhady podílů
ou kategoriálních proměnných nemůžeme počítat průměry
oodhadujeme proto podíly jednotlivých kategorií proměnné

Odhady podílů
onapř. podíl kuřáků v populaci českých adolescentů
opodíl pacientů s rakovinou plic, kteří přežijí 5 let od diagnózy
opodíl chlapců mezi dětmi s poruchou pozornosti

Odhady podílů
opokud zkoumáme místo celé populace pouze výběr z ní, nezajímá nás tolik, jaký je podíl kategorií
proměnné ve výběru (četnost p)
oale spíše jaký je skutečný podíl v populaci – četnost p

Odhady podílů
opři dostatečně velkém n platí i pro rozdělení podílů centrální limitní věta
orozdělení výběrových podílů je normální rozdělení, s průměrnou četností p a směrodatnou odchylkou
(výběrovou chybou)

Příklad 4
ochceme zjistit, jaká je podpora státní maturity v populaci letošních maturantů (studentů 4.
ročníků SŠ)
onáhodný výběr z populace maturantů (n=1000 osob)
o585 osob se vyjádřilo pro (p=0,585)
oodhadněte s 95% spolehlivostí podporu státní maturity v populaci letošních maturantů

Odhady podílů
ointerval spolehlivosti pro podíly se spočítá podobně jako pro průměry:


Odhady podílů
onemůžeme však spočítat výběrovou chybu, protože neznáme p
ov tomto případě je však možné dosadit místo toho p a přitom použít normální rozdělení (pokud je
n>30)
opokud je n<30, pak dosadíme místo p hodnotu 0,5

Příklad 4
op=0,585
oz=1,96
oSE(p)= [0,585(1-0,585)/1000]
o=0,0156
ointerval spolehlivosti
0.585 ± 1.96(0.0156)
o 0.585 ± 0,0305
o--- přesnost odhadu je ± 3%
o
o
o

Příklad 4
os 95% pravděpodobností je podíl maturantů podporujících zavedení státní maturity mezi 55.4% a
61.6%

Odhady podílů
ovztah mezi velikostí vzorku a přesností odhadu
nn=100 ± 10%
nn=200 ± 7%
nn=400 ± 5%
nn=1000 ± 3%
nn=2400 ± 2%
nn=9600 ± 1%

Odhady podílů
opožadovaná velikost vzorku roste mnohem rychleji než spolehlivost odhadu (pro zdvojnásobení
spolehlivosti je nutné asi čtyřnásobně zvětšit vzorek)
odůležité při plánování výzkumu – jakou přesnost potřebujeme? jaké budou náklady?
opodobný vztah platí pro odhad průměrů

Příklad na závěr
oz denního tisku:
nPadesát pět procent českých voličů nesouhlasí s navrhovanými úspornými opatřeními Nečasovy vlády,
zatímco před dvěma týdny sdílelo tento názor jen 50 procent voličů. Průzkum byl proveden
v posledních čtyřech dnech a statistická chyba je 2,9 procenta.
omůžeme dojít k závěru, že nesouhlas s úspornými opatřeními skutečně roste?

Kontrolní otázky
o2 typy odhadů
ona čem závisí šířka intervalu spolehlivosti? (není nutno znát zpaměti vzorce, ale je třeba chápat
princip výpočtu)
ovztah velikosti výběru a spolehlivosti odhadu

Literatura
oHendl: kapitoly 4 a 5