Obsah rednášky Informace o předměty Motivace Principy mat ooo oo ooooooo ematiky Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matematiky OOO oo ooooooo Obsah přednášky Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Q Informace o předmětu Pavel Rychlý Vojtěch Kovář B Motivace Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz B Principy matematiky část 1 Pavel Rychlý, Vojtech Kovář Fl IV PLIN004 U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 rednášky Informace o předměty Motivace Principy mat ■oo □□□□□□□ ematiky Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matematiky oao oo ooooooo Informace o předmětu Organizační poznámky ■ Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním ■ Cvičení zaměřením (lingvistika) ■ Ukončení předmětu ■ jako samostatný předmět se samostatným ukončením ■ silně doporučen současně s přednáškou ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka (13. 11.) ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ V týdnu 14.-18. října ■ přednáška i cvičení odpadají ■ Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek Pavel Rychlý, Vojtech Kovář Fl IV PLIN004 U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Obsah Obsah rednášky Informace o předměty Motivace Principy mat oo» OO ooooooo Fed mety ematiky Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matematiky ooo »o ooooooo Rozdíl mezi S Š a VŠ matematikou Obsah predmetu Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ■ Okruhy ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Zdroje informací ■ studijní text k předmětu ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ diskusní fórum, konzultační hodiny ■ Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl IV PLIN004 U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Obsah rednášky Informace o předměty Motivace Principy mat ematiky Obsah přednášky Informace o předměty Motivace Principy matematiky OO »000000 Proč po ■ ľ i........... Principy vysokoškolské matematiky Proč potřebují lingvisté matematiku? Principy vysokoškolské matematiky ■ Počítačová lingvistika ■ Středoškolská matematika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ■ Abstraktní myšlení ■ návody, jak něco spočítat ■ Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ■ 5 * 2 je sudé (definice) ■ tedy 10 je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl IV PLIN004 U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Ukázka důkazu i Věta pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé (pro x, y celá) Ukázky důkaz Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3.....0 1, -2,...) sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech dělitele (xje dělitelem a, pokud a/xje celé) kladná racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) druhou mocninu (a2 = a * a) druhou odmocninu (\/a = n, pokud n * n = a) Pavel Rychlý, Vojtěch Kov Principy matematiky I Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 ■ úpravou původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2k + l)(2Ar + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = Ak2 + Ak + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: 2x2 = 2 * (2k2 + 2k) + 1 ■ odečtením výrazu 2 * (2k2 + 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2 * (x2 - (2k2 + 2k)) = 1 ■ tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Pavel Rychlý, Vojtěch Kov i Věta \f2 není racionální číslo. Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ■ tedy V*2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \/2*s = r ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 ■ tedy s je také sudé iris jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004