Induktivní statistika
orozdělení výběrových průměrů
o
o
o
o
o
o
o

Rozdělení výběrových průměrů
ocílem induktivní statistiky je odhadnout parametry populace z charakteristik vzorku (výběrového
souboru)
onapř. odhadem průměru populace bude průměr vzorku
oodhad je vždy zatížen určitou výběrovou chybou

Rozdělení výběrových průměrů
opředpokládejme, že z jedné populace vybereme 3 různé vzorky
obudou se nejspíš navzájem lišit ve tvaru rozdělení hodnot, průměru i variabilitě
ojak se rozhodneme, který z nich zvolit pro odhad průměru populace ??

Rozdělení výběrových průměrů
samp1


Rozdělení výběrových průměrů
opokud bychom spočítali průměry ze všech možných výběrů o určité velikosti n, budou tvořit tzv.
rozdělení výběrových průměrů (sampling distribution)
o

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: populace hodnot 2, 4, 6, 8
oprůměr m = 5
opředpokládejme, že průměr neznáme a pokoušíme se ho odhadnout ze vzorku n=2
ov tabulce jsou uvedeny všechny možné výběrové soubory
o

Rozdělení výběrových průměrů
výběr
první skór
druhý skór
průměr vzorku
1
2
2
2
2
2
4
3
3
2
6
4
4
2
8
5
5
4
2
3
6
4
4
4
7
4
6
5
8
4
8
6
9
6
2
4
10
6
4
5
11
6
6
6
12
6
8
7
13
8
2
5
14
8
4
6
15
8
6
7
16
8
8
8

Rozdělení výběrových průměrů
samp2


Rozdělení výběrových průměrů
ojaká je pravděpodobnost, že z této populace vybereme vzorek s průměrem vyšším než 7?


Rozdělení výběrových průměrů
samp2


Rozdělení výběrových průměrů
ojaká je pravděpodobnost, že z této populace vybereme vzorek s průměrem vyšším než 7?
ov rozdělení výběrových průměrů je takový vzorek jen 1 ze 16 – tj. pravděpodobnost takového vzorku
je 1/16 = 0.0625, tj. 6%

Rozdělení výběrových průměrů
ojaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný vzorek 2 čísel z této populace bude mít průměr roven
průměru populace, tj. 5?
o

Rozdělení výběrových průměrů
samp2


Rozdělení výběrových průměrů
ojaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný vzorek 2 čísel z této populace bude mít průměr roven
průměru populace, tj. 5?
otato pravděpodobnost je 4/16, tj. 25%
o
o

Rozdělení výběrových průměrů
ovětšina populací i vzorků je mnohem větší
oale existují určité základní vlastnosti rozdělení výběrových průměrů (RVP)
otvar – RVP se při dostatečně velkém vzorku (>30 případů) blíží normálnímu rozdělení

Rozdělení výběrových průměrů
oprůměr tohoto rozdělení (=průměr průměrů všech teoretických výběrů) je roven průměru populace
ooznačuje se také jako očekávaná hodnota průměru vzorku

Rozdělení výběrových průměrů
ovariabilita – směrodatná odchylka RVP se označuje jako výběrová nebo standardní/směrodatná chyba
průměru (standard error)
ojde o směrodatnou odchylku výběrových průměrů od průměru populace
oukazuje, jak spolehlivý je odhad populačního průměru z průměru vzorku – tj. jak velkou chybou je
odhad zatížen

Rozdělení výběrových průměrů
ovelikost výběrové chyby je dána dvěma charakteristikami:
nvariabilitou znaku v populaci
nvelikostí výběru
ovariabilita znaku v populaci: čím je vyšší, tím je vyšší i variabilita výběrových průměrů
o
o

Rozdělení výběrových průměrů
samp3 samp4


Rozdělení výběrových průměrů
ovelikost výběru – čím větší výběr (n), tím méně průměrů výběrů se výrazně odchyluje od průměru
populace
(= výběrová chyba je menší)

Rozdělení výběrových průměrů
ovzorec pro výpočet výběrové chyby:
o sx = s/√n

Rozdělení výběrových průměrů
oplatí zjednodušení tzv. centrálního limitního teorému – pro každou populaci o průměru m a
směrodatné odchylce s se bude rozdělení výběrových průměrů výběrů (pro rozsah výběru jdoucí do
nekonečna) blížit normálnímu rozdělení s průměrem m a směrodatnou odchylkou sx = s/√n

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 9 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 112?

Rozdělení výběrových průměrů
optáme se vlastně: jaká je pravděpodobnost, že vzorek 9 osob z populace o průměru 100 bude mít
průměr 112 nebo vyšší?
oa k tomu potřebujeme znát odpověď na otázku
njaké je rozdělení výběrových průměrů pro populaci s průměrem 100, sd 15 a velikost vzorku 9?

Rozdělení výběrových průměrů
omusíme zjistit charakteristiku rozdělení výběrových průměrů pro tuto velikost vzorku (N=9)
u populace s m = 100, s= 15
oprůměr RVP = 100
osměrodatná odchylka = výběrová (směrodatná) chyba:
nsx = s/√n = 15/3 = 5

Rozdělení výběrových průměrů
samp10


Rozdělení výběrových průměrů
oznáme průměr a směrodatnou odchylku rozdělení, převedeme tedy skór 112 na z-skór
om = 100, sx = 5
o
oz = (112-100)/ sx = 12/5 = 2.4
o

Rozdělení výběrových průměrů
Obrázek1


Rozdělení výběrových průměrů
opak najdeme v tabulce z-rozdělení pravděpodobnost pro z=2.4


Tabulka z-rozdělení
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
…
2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.4909
0.4911
0.4913
0.4916
2.4
0.4918
0.4920
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936
2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952

Rozdělení výběrových průměrů
opak najdeme v tabulce z-rozdělení pravděpodobnost pro z=2.4
o0.4918
opřičteme 50% (záporná strana
z-rozdělení) = 0.9918
ohodnoty do z=2.4 tvoří 99.18% výběrových průměrů
ozbývá 1-0.9918 = 0.0082

Rozdělení výběrových průměrů
Obrázek1


Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 9 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 112?
ořešení: p = 0,0082 (0,82%)

Příklad 2
oIQ (m=100, s=15)
ojaká je pravděpodobnost, že průměr výběru o velikosti n=25 bude mezi hodnotami 94 a 106?

Rozdělení výběrových průměrů
omusíme zjistit charakteristiku rozdělení výběrových průměrů pro tuto velikost vzorku (N=25)
u populace s m = 100, s= 15
oprůměr RVP = 100
osměrodatná odchylka = výběrová (směrodatná) chyba:
nsx = s/√n = 15/5 = 3
o
Obrázek1

Příklad 2
oIQ (m=100, s=15)
ojaká je pravděpodobnost, že průměr výběru o velikosti n=25 bude mezi hodnotami 94 a 106?
oz = (94-100) / (15/ √25) = -6/3 = -2
oz = (106-100) / (15/ √25) = 6/3 = 2

Příklad 2
onajdeme v tabulce normovaného normálního rozdělení hodnotu pravděpodobnosti pro z=2 a z=-2
Obrázek1

Tabulka z-rozdělení
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
…
1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
2.0
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
0.4821
0.4826
0.4830
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.4850
0.4854
0.4857

Příklad 2
ohodnota pravděpodobnosti je 0.4772
osečteme levou a pravou stranu:
0.4772 + 0.4772
ovýsledek 0,9544
Obrázek2

Příklad 2
oIQ (m=100, s=15)
ojaká je pravděpodobnost, že průměr výběru o velikosti n=25 bude mezi hodnotami 94 a 106?
opravděpodobnost takového průměru je 95,4%

Příklad 3
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?

Příklad 3
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně středních 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?
opotřebujeme zjistit hodnotu z, která odděluje pravděpodobnost 10% na obou stranách rozdělení
o

Příklad 3



Tabulka z-rozdělení
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
…
1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177

Příklad 3
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně středních 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?
oz = 1,28 a -1,28 převedeme na hodnoty IQ
o

Příklad 3
o     _
o     x  = m + z (s/√n)
o     _
o     x  = 100 + 1,28 (15/√25) = 100+1,28(3) = 103,84
o     _
o     x  = 100 + (-1,28) (15/√25) = 100-1,28(3) = 96,16
o

Příklad 3
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně středních 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?
o80% výběrových průměrů bude v rozsahu hodnot 96,16 - 103,84
o

Kontrolní otázky
orozdělení výběrových průměrů
ovýpočet směrodatné chyby
o

Literatura
oHendl: kapitoly 4 a 5