Testování hypotéz
Testování hypotéz o rozdílu průměrů
ojednovýběrový t-test
ot-test pro nezávislé výběry
ot-test pro závislé výběry
o
o
o

Testování hypotéz o rozdílu průměrů
o4 možné typy problémů:
nporovnáváme průměr vzorku
s průměrem populace
à jednovýběrový t-test
nporovnáváme průměry dvou vzorků
à t-test pro nezávislé výběry
nporovnáváme dva průměry jednoho vzorku à t-test pro závislé výběry (tzv. párový t-test)
nporovnáváme více průměrů
à analýza rozptylu
n

Testování hypotéz
oObecný postup
n1. Určení statistické hypotézy
n2. Určení hladiny chyby a
n3. Výpočet testovací statistiky
n4. Rozhodnutí
o

Jednovýběrový t-test - příklad
oRozhodujeme se mezi jazykovými školami v Brně. Podaří se nám zjistit, že při zkouškách na Britské
radě získávají absolventi různých jazykových škol průměrně 85 bodů, ale neznáme směrodatnou
odchylku průměru.
oJedna ze škol – ABC - se chlubí, že její absolventi dosahují nadprůměrných výsledků.

Jednovýběrový t-test - příklad
oZjistíme, že posledních zkoušek se účastnilo 10 absolventů školy ABC s těmito výsledky:
o 80 91 92 87 89 88 86 80 90 89
oMůžeme na základě výsledků tohoto vzorku 10 absolventů dojít k závěru, že škola ABC má lepší
průměrné výsledky než ostatní školy v Brně?
o

Jednovýběrový t-test
oprůměr vzorku je 87.2
osměrodatná odchylka 4.18
oznáme průměr populace (m=85), ale nikoli směrodatnou odchylku populace (místo ní použijeme jako
odhad směrodatnou odchylku vzorku)
o
o

Jednovýběrový t-test - příklad
oNulová hypotéza: průměrné výsledky absolventů školy ABC se neliší od výsledků absolventů ostatních
škol
ojinými slovy: není nepravděpodobné, že vzorek má čistě náhodou průměr 87.2, pokud je průměr
populace 85 a směrodatná odchylka 4.18

Jednovýběrový t-test
oAlternativní hypotéza: průměrné výsledky absolventů školy ABC jsou lepší než výsledky absolventů
ostatních škol
o

Jednovýběrový t-test
oHladina významnosti: použijeme
a =5%
opokud je pravděpodobnost získání vzorku o průměru 87.2 menší než 5%, pak zamítneme H0
opokud je pravděpodobnost získání vzorku o průměru 87.2 větší než 5%, pak H0 nezamítneme
o

Jednovýběrový t-test
opotřebujeme spočítat, jaká je pravděpodobnost získání vzorku (n=10) o průměru 87.2 z populace o
průměru 85 a směrodatné odchylce 4.18
ovzhledem k tomu, že velikost směrodatné odchylky jsme odhadli ze vzorku, nemůžeme pro rozdělení
výběrových průměrů použít z-rozdělení, ale Studentovo rozdělení t

Studentovo rozdělení
opokud za s nahradíme s (směr. odchylku výběrového průměru), pak musíme při konstrukci rozdělení
výběrových průměrů místo z rozdělení použít tzv. Studentovo t rozdělení

Rozdělení výběrových průměrů
o pro neznámé hodnoty směrodatné odchylky v populaci:


Studentovo rozdělení
omá také zvonovitý tvar, ale je více ploché než normální rozdělení
oje symetrické kolem průměru (0)
opro každou velikost výběru (počet stupňů volnosti, df) existuje odlišné t rozdělení
df = n-1

Studentovo rozdělení
osrovnání s normálním rozdělením


Studentovo rozdělení
osrovnání s normálním rozdělením:
nt rozdělení má vyšší variabilitu
nvíce plochy na okrajích, méně ve středu
nvzhledem k vyšší variabilitě budou intervaly spolehlivosti širší než u normálního rozdělení
njsou uváděny df obvykle jen do 100, protože pro n=100 se t rozdělení blíží normálnímu rozdělení

Studentovo rozdělení
otabulka t-rozdělení:
nkaždý řádek udává hodnoty t pro celé rozdělení pro daný počet stupňů volnosti (tj. n-1)
nsloupce pro nejdůležitější percentily
n

Studentovo rozdělení
o


Studentovo rozdělení
o


Jednovýběrový t-test
opotřebujeme spočítat, jaká je pravděpodobnost získání vzorku (n=10) o průměru 87.2 z populace o
průměru 85 a směrodatné odchylce 4.18
ovzhledem k tomu, že velikost směrodatné odchylky jsme odhadli ze vzorku, nemůžeme použít
z-rozdělení, ale Studentovo rozdělení t

Jednovýběrový t-test



Jednovýběrový t-test
ot = (87.2-85) / (4.18/ 10)
t = 2.2/1.32
t = 1.66
odf = n-1 = 10 – 1 = 9
(počet stupňů volnosti pro vyhledání pravděpodobnosti v tabulce t-rozdělení)
o

Jednovýběrový t-test
okritická hodnota t pro a=5% je 1,833
ozískaná hodnota t je 1,66

Tabulka t-rozdělení
    df
α = 0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
0.0005
1
3.078
6.314
12.706
31.821
63.656
318.289
636.578
2
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
22.328
31.600
3
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
10.214
12.924
4
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
7.173
8.610
5
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
5.894
6.869
6
1.440
1.943
2.447
3.143
3.707
5.208
5.959
7
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
4.785
5.408
8
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
4.501
5.041
9
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
4.297
4.781
10
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
4.144
4.587
11
1.363
1.796
2.201
2.718
3.106
4.025
4.437

Jednovýběrový t-test
ov našem příkladě je 1,66<1,883
otj. nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu (rozdíl průměrů není tzv. statisticky významný)
oa náš závěr: nemůžeme tvrdit, že výsledky absolventů školy ABC se liší od průměru brněnských škol
(je vyšší než 5% pravděpodobnost, že průměrný výsledek 87,2 deseti jejích absolventů je lepší jen
náhodou)

Jednovýběrový t-test v SPSS



T-test pro nezávislé výběry
otento test používáme, pokud chceme porovnat průměry dvou skupin případů
onapř.
nprůměrné skóre v neurocitismu u mužů a žen
nprůměr v indexu životní spokojenosti u extravertů a introvertů atd.

T-test pro nezávislé výběry - příklad
oVýzkumník chce otestovat účinnost nového léku proti bolesti hlavy. Získá 20 dobrovolníků, náhodně
je rozdělí do dvou skupin po 10 osobách: jedna skupina si domů odnese placebo, druhá testovaný lék
(ani účastníci, ani výzkumník nevědí, kdo je ve které skupině). Účastníci studie si mají vzít lék
ve chvíli, kdy je začne bolet hlava a zaznamenat, jak dlouho poté bolest trvala (kolik minut).

T-test pro nezávislé výběry - příklad
skupina s placebem
skupina s test. lékem
95
75
85
60
100
30
120
65
80
100
90
70
85
40
80
55
75
65
120
110

T-test pro nezávislé výběry
oplacebo
nprůměrná délka bolesti 93 minut; směrodatná odchylka 16.02
otestovaný lék
nprůměrná délka bolesti 67 minut; směrodatná odchylka 24.28

1. Určení statistické hypotézy
onulová hypotéza: délka trvání bolesti hlavy po aplikaci léku a po aplikaci placeba se neliší
(=účinnost testovaného léku se neliší od účinnosti placeba)
ojinými slovy: rozdílné průměry (93 a 67 minut) trvání bolesti je možno vysvětlit náhodou – vzorky
mohou pocházet
z populace o stejném průměru

1. Určení statistické hypotézy
oalternativní hypotéza: délka trvání bolesti hlavy po aplikaci léku a po aplikaci placeba je
rozdílná
(= mezi účinností testovaného léku
a účinností placeba je rozdíl)
ojinými slovy: rozdíl v průměrech skupin (93 a 67 minut) v trvání bolesti je velmi nepravděpodobně
pouze náhodný (je velmi nepravděpodobné, že by oba vzorky pocházely z populace o stejném průměru)

2. Určení hladiny chyby a
ohladina významnosti: použijeme
a =5%
opokud je pravděpodobnost získání takto rozdílných průměrů z jedné populace menší než 5%, pak
zamítneme H0 (závěr – lék je účinný)
opokud je pravděpodobnost získání takto rozdílných průměrů z jedné populace větší než 5%, pak H0
nezamítneme

T-test pro nezávislé výběry
optáme se vlastně: jak velká je pravděpodobnost, že bychom získali dva takto rozdílné průměry,
pokud by platila nulová hypotéza, tj. pokud by lék nebyl účinnější než placebo?
opokud je tato pravděpodobnost velmi malá, nepřipíšeme zjištěný rozdíl náhodě, ale nezávislé
proměnné (lék vs. placebo)

3. Výpočet testovací statistiky
oobecně se testová statistika t vypočítá jako
nrozdíl výběrových průměrů dvou nezávislých výběrů – očekávaný rozdíl, pokud platí H0 (=0)
na vydělíme ho odhadem směrodatné chyby rozdílu výběrových průměrů
otj. rozdíl průměrů vydělíme tzv. sdruženým odhadem variability

3. Výpočet testovací statistiky



3. Výpočet testovací statistiky
ot = (93 – 67) /  (16.022/10 + 24.282/10)
t = 26 / 9.198
t = 2.82
odf = n-2 = 20-2 = 18
(počet stupňů volnosti pro vyhledání pravděpodobnosti v tabulce t-rozdělení)




4. Rozhodnutí
okritická hodnota t je 2.101 (tj. 95% všech standardizovaných rozdílů průměrů je do hodnoty
+/-2.101)
ozískaná hodnota t je 2.82 – větší než kritická hodnota
orozdíl průměrů obou skupin je tedy statisticky významný na hladině 5%
o

4. Rozhodnutí
opravděpodobnost, že bychom vzorky o tak rozdílných průměrech získali z jedné populace je menší než
5%
oje velmi málo pravděpodobné, že by byl takový rozdíl v průměrech, pokud by lék byl ve skutečnosti
neúčinný

T-test pro nezávislé výběry
v SPSS


T-test pro nezávislé výběry
opředpoklady t-testu pro nezávislé výběry
nvýběry jsou skutečně nezávislé (tj. oba výběry tvoří jiní lidé, zvířata atd.)
nměřený znak má normální rozdělení (mírné odchylky je možno tolerovat; u větších odchylek a malých
vzorků použít raději neparametrické testy)
nhomogenita rozptylů – rozptyly jsou shodné u obou skupin

T-test pro nezávislé výběry
ohomogenita rozptylů
oobvykle nejsou směrodatné odchylky (či rozptyly) zcela shodné, ale rozdíly by neměly být příliš
velké
o
o
o

T-test pro nezávislé výběry
ohomogenita rozptylů
ozda se rozptyly liší, je možno otestovat některým testem pro rozdíl rozptylů, např. F-testem
npokud nevyjde stat. významný, pak rozptyly pokládáme za shodné
npokud vyjde stat. významný, interpretujeme modifikovaný t-test pro rozdílné rozptyly (equal
variances not assumed)
o
o

F-test pro shodu rozptylů
ve Statistice


T-test pro závislé výběry
ooznačuje se někdy také jako t-test pro párované výběry
ov naprosté většině případů se používá pro porovnání dvou měření u stejných osob (tj. páru měření u
jedné skupiny osob)
oněkdy také pro porovnání průměrů u dvou skupin osob, které tvoří páry (např. manželské či podle
jiného klíče – věku, pohlaví, nemoci atd.)

T-test pro závislé výběry - příklad
oPsychiatr chce vyhodnotit úspěšnost určitého způsobu terapie poruch příjmu potravy. Terapie se
účastnilo 10 dívek. U každé z nich byla zaznamenána váha před a po terapii. Psychiatr si chce
ověřit, zda jejich hmotnost průkazně vzrostla.

T-test pro závislé výběry - příklad
hmotnost před terapií
hmotnost po terapii
36
45
38
41
45
40
45
45
38
45
40
63
49
59
54
63
47
54
49
61

T-test pro závislé výběry
oprůměrná hmotnost před zahájením terapie 44.1 kg
směrodatná odchylka 5.90
oprůměrná hmotnost po ukončení terapie 51.6 kg
směrodatná odchylka 9.35

T-test pro závislé výběry - příklad
 před
po
rozdíl (před – po)
36
45
-9
38
41
-3
45
40
+5
45
45
0
38
45
-7
40
63
-23
49
59
-10
54
63
-9
47
54
+7
49
61
-12

T-test pro závislé výběry
oprůměrný rozdíl hmotnosti před a po terapii byl 7.5 kg
směrodatná odchylka rozdílu 7.49
o

1. Určení statistické hypotézy
onulová hypotéza: terapie není účinná – rozdíl v hmotnosti před a po terapii je nulový
ojinými slovy: je velká pravděpodobnost, že zjištěný rozdíl o této velikosti (7.5 kg) je pouze
náhodný

1. Určení statistické hypotézy
oalternativní hypotéza: terapie je účinná – existuje rozdíl v hmotnosti před a po terapii
ojinými slovy: je jen velmi malá pravděpodobnost, že rozdíl o této velikosti (7.5 kg) je pouze
náhodný

2. Určení hladiny chyby a
ohladina významnosti: použijeme
a =5%
opokud je pravděpodobnost získání takto rozdílných průměrů menší než 5%, pak zamítneme H0 (závěr –
terapie je účinná)
opokud je pravděpodobnost získání takto rozdílných průměrů větší než 5%, pak H0 nemůžeme zamítnout
o

3. Výpočet testovací statistiky
oprůměrný rozdíl před a po
o
o
osměrodatná odchylka průměrného rozdílu

3. Výpočet testovací statistiky
ot = - 7.5 /(7.48/10)
t = - 7.5 / 2.37
t = - 3.16
odf = n-1 = 10-1 = 9
(počet stupňů volnosti pro vyhledání pravděpodobnosti v tabulce t-rozdělení)
o




4. Rozhodnutí
okritická hodnota t je 2.262
ozískaná hodnota t je 3.16 – větší než kritická hodnota
orozdíl obou průměrů je tedy statisticky významný na hladině 5%
omůžeme zamítnout nulovou hypotézu
oterapie je účinná
o

T-test pro závislé výběry
v SPSS


Porovnání výzkumných plánů
ot-test pro nezávislé výběry se používá většinou u výzkumných plánů s výzkumnou a kontrolní
skupinou
ozatímco t-test pro závislé výběry většinou u výzkumných plánů s opakovaným měřením u stejných osob

Porovnání výzkumných plánů
ovýhody opakovaného měření:
nkontrola vlivu intervenujících proměnných (všichni jsou v jedné skupině, nehrají roli případné
náhodné rozdíly mezi skupinami)
npostačí menší vzorek (test pro závislé výběry má větší statistickou sílu – spíše zamítne nulovou
hypotézu, pokud neplatí)

Porovnání výzkumných plánů
onevýhody opakovaných měření:
nnemůže být použito pro všechny výzkumné problémy (porovnání mužů a žen, vzdělaných a
nevzdělaných…)
nmožný vliv učení či únavy při testování výkonovými testy

Kontrolní otázky
ojaké testy se používají pro testování hypotéz o rozdílu průměrů?
opro jaké typy výzkumných plánů použijete jednovýběrový t-test?
oporovnejte užití t-testu pro nezávislé a pro závislé výběry