Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OOO OO 0000000 Obsah přednášky Motivace 000 00 Principy matematiky OOOOOOO Obsah přednášky Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 H Informace o předmětu Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Q Motivace Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic H Principy matematiky {pary, xkovar3}@íi.muni.cz část 1 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl M U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 PLIN004 Informace o předmětu Motivace •OO OO ooooooo Informace o předmětu Motivace o»o OO Principy matematiky OOOOOOO Informace o předmětu Informace o předmětu Informace o předmětu Organizační poznámky ■ Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním ■ Cvičení zaměřením (lingvistika) ■ jako samostatný předmět se samostatným ukončením ■ Ukončení předmětu ■ silně doporučen současně s přednáškou ■ zápočet (formou dvou písemek) ■ V týdnu 6.-10. října ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka (12. 11.) ■ 75 % bodů závěrečná písemka ■ přednáška i cvičení odpadají ■ Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl M U Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 J PLIN004 Informace o předmětu Motivace Obsah předmětu Obsah předmětu Motivace OOO »0 0000000 Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou v v Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Okruhy ■ Středoškolská matematika ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ = počty s čísly: ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, ■ —)• jaké daně budu mít (zlomky, procenta) formální gramatika ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Vysokoškolská matematika ■ Zdroje informací ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ studijní text k předmětu ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec ■ —> přesné definice předmětu) ■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ —> základ pro všechny technické obory ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Obsah přednášky Proč potřebují lingvisté matematiku? Informace o předmětu OOO Motivace O* Principy matematiky ooooooo Obsah přednášky Principy vysokoškolské matematiky Informace o předmětu OOO Principy matematiky •OOOOOO Proč potřebují lingvisté matematiku? Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —> pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —> snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Principy vysokoškolské matematiky Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ■ 5 * 2 je sudé (definice) ■ tedy 10 je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu ooo Principy matematiky 0»00000 Typy důkazů Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z před pokladů) Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Obsah přednášky Ukázky důkazů Informace o předmětu OOO Principy matematiky 00»0000 Ukázky důkazů Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, O, 1.-2,...) sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) druhou mocninu (a2 — a * a) druhou odmocninu (y^i = n, pokud n * n — a) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Ukázky důkazů Informace o předmětu OOO Principy matematiky ooo»ooo Ukázka důkazu i Věta '. * x2 — y2, pak y je sudé (pro x,y celá) pokud 2: Obsah přednášky Ukázky důkazů Informace o předmětu OOO Principy matematiky oooo»oo Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ■ úpravou původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = Ak2 + Ak + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2 * (2/c2 + 2k) + l ■ odečtením výrazu 2 * (2/c2 + 2/c) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2 * (x2 - (2/c2 + 2/c)) = 1 ■ tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu ooo Ukázky důkazů Ukázka důkazu Motivace OO Motivace Principy matematiky OOO OO 000000» Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že ^/2 je racionální číslo. ■ tedy a/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají ■ Věta společného dělitele ■ úpravou dostaneme: \[2 * s — r ■ \f2 není racionální číslo. m 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r — 2 * c pro nějaké celé c m nahrazením dostaneme: 2*s2—2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004