Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@íi.muni.cz část 1 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Obsah přednášky Informace o předmětu Informace o předmětu •OO Motivace OO Principy matematiky ooooooo Informace o předmětu Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) Ukončení předmětu ■ zkouška (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka: 10. 11. ■ 75 % bodů závěrečná písemka Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Q Informace o předmětu Q Motivace B Principy matematiky Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Informace o předmětu o»o Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OO ooooooo Organizační poznámky ■ Cvičení ■ nově není ■ bude kompenzováno procvičováním během přednášky ■ 3. listopadu ■ přednáška nebude Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Informace o předmětu Motivace oo« oo ooooooo Obsah předmětu Obsah předmětu Motivace OOO «0 ooooooo Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou v v Rozdíl mezi SS a VS matematikou ■ Okruhy ■ Středoškolská matematika ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ = počty s čísly: ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ —>■ kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, ■ —>■ jaké daně budu mít (zlomky, procenta) formální gramatika ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ■ kombinatorika, popisná statistika ■ Vysokoškolská matematika ■ Zdroje informací ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ studijní text k předmětu ■ —>■ zásobárna abstraktních pojmů ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec ■ —>■ přesné definice předmětu) ■ —>■ spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ —>■ základ pro všechny technické obory ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Fl MU Brno PLIN004 Obsah přednášky Proč potřebují lingvisté matematiku? Informace o předmětu OOO Motivace o« Principy matematiky OOOOOOO Obsah přednášky Principy vysokoškolské matematiky Informace o předmětu OOO Motivace OO Principy matematiky •oooooo Proč potřebují lingvisté matematiku? Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —>■ pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —>■ snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —>■ nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Principy vysokoškolské matematiky Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ■ 5 * 2 je sudé (definice) ■ tedy 10 je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Typy důkazů Informace o předmětu ooo Principy matematiky o»ooooo Typy důkazů Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Obsah přednášky Ukázky důkazů Informace o předmětu OOO Principy matematiky oo»oooo Ukázky důkazů Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = a * a) ■ druhou odmocninu (y^ = n, pokud n * n = a) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Ukázky důkazů Informace o předmětu OOO Motivace oo Principy matematiky OOOÄOOO Ukázka důkazu Věta pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé (pro x, y celá) Obsah přednášky Ukázky důkazů Informace o předmětu OOO Motivace OO Principy matematiky OOOO0OO Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ■ úpravou původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + l) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = 4/c2 + 4/c + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2 * (2k2 + 2k) + 1 ■ odečtením výrazu 2 * (2/c2 + 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2* (x2 - (2/c2 + 2/c)) = 1 ■ tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu ooo Ukázky důkazů Ukázka důkazu Motivace OO Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace OOO OO Ukázky důkazů Ukázka důkazu ■ Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že \[2 je racionální číslo. ■ tedy \[2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají ■ Věta společného dělitele ■ úpravou dostaneme: y/2 * s = r ■ \[2 není racionální číslo. ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2 což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno