Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory I Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}@fi.muni.cz část 1 Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Informace o předměte Informace o předmět •OO Informace o předmětu Obsah předmětu ■ průřez vysokoškolskou matematikou ■ forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) Ukončení předmětu ■ zkouška (formou dvou písemek) ■ 25 % bodů vnitrosemestrální písemka: 27.10. ■ 75 % bodů závěrečná písemka Úspěšné ukončení ■ min. 60 % bodů z písemek Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Informace o předmětu Informace o předmět Organizační poznámky 24. listopadu a 8. prosince ■ přednášky pravděpodobně odpadnou Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky oo« oo ooooooo Obsah předmětu Obsah předmětu Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky OOO «0 ooooooo Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Okruhy ■ výroková logika, důkazy, indukce ■ základy teorie množin, čísla, relace, funkce ■ ekvivalence, uspořádání ■ úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ■ kombinatorika, popisná statistika Zdroje informací ■ studijní text k předmětu ■ literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ■ slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ■ diskusní fórum, konzultační hodiny Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Informace o předmět OOO Motivace 0« Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? Počítačová lingvistika ■ zpracování jazyka na počítačích ■ potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ■ —>• pochopit jejich způsob myšlení ■ počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech Abstraktní myšlení ■ schopnost rozumově uchopit složité pojmy ■ —>• snazší pochopení lingvistických modelů ■ schopnost zobecňovat ■ schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ■ —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte matematikou Středoškolská matematika ■ = počty s čísly: ■ —>• kolik budu platit v obchodě (sčítání) ■ —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ■ —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) Vysokoškolská matematika ■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ■ —> zásobárna abstraktních pojmů ■ —> přesné definice ■ —>• spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ■ —> základ pro všechny technické obory Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Principy vysokoškolské matematiky Informace o předmět OOO Principy vysokoškolské matematiky Středoškolská matematika ■ návody, jak něco spočítat Vysokoškolská matematika ■ soubor poznatků o abstraktních pojmech ■ styl definice - věta - důkaz : ■ definice = vymezení pojmu ■ "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ■ věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ■ " 10 je sudé číslo" ■ důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ■ 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ■ 5 * 2 je sudé (definice) ■ tedy 10 je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Obsah přednášky Typy důkazů Typy důkazů Informace o předmětu ooo Principy matematiky o»ooooo Obsah přednášky Informace o předmětu OOO Principy matematiky oo»oooo Přímý důkaz ■ použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty Důkaz sporem ■ předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ■ použitím definic a známých faktů odvodíme spor ■ (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) Důkaz indukcí ■ dokazujeme něco pro posloupnost objektů ■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Ukázky důkazů Ukázka důkazu Věta pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé (pro x, y celá) Mějme definováno (znáte ze SŠ) ■ celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ■ sčítání, odčítání, násobení a dělení na celých číslech ■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) ■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ■ druhou mocninu (a2 = a * a) ■ druhou odmocninu (y^ = n, pokud n * n = a) Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Ukázky důkazů Informace o předmět OOO Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Ukázka důkazu Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y je liché ■ tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ■ úpravou původní věty dostáváme: ■ 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) ■ dále roznásobíme závorku: ■ 2x2 = 4/c2 + 4/c + 1 ■ vytkneme 2 z části pravé strany: ■ 2x2 = 2 * (2/c2 + 2k) + l ■ odečtením výrazu 2 * (2/c2 + 2/c) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ■ 2 * (x2 - (2/c2 + 2/c)) = 1 ■ tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář Obsah přednášky Ukázky důkazů Ukázka důkazu Informace o předmětu ooo Principy matematiky ooooo«o Obsah přednášky Ukázky důkaz Informace o předmětu OOO Principy matematiky 000000» Věta y/2 n eni racionální cislo. Důkaz (sporem) ■ předpokládejme, že y/2 je racionální číslo. ■ tedy y/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ■ úpravou dostaneme: y/2 * s = r ■ 2 * s2 = r2 ■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ■ nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ■ s2 = 2 * c2 ■ tedy s je také sudé ■ r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář PLIN004 Fl MU Brno