Induktivní statistika
Odhady


Odhady
obodové odhady
ointervalové odhady
okonstrukce intervalu spolehlivosti pro průměr
oodhady podílů (kategoriální proměnné)
o
o

Odhady
ov příkladech v předchozích přednáškách jsme znali hodnoty průměru a rozptylu populace
oobvykle tomu ale bývá přesně naopak: známe hodnoty (statistiky) výběru a neznáme hodnoty
(parametry) populace
oty chceme z výběru odhadnout

Odhady
o2 typy odhadů: bodové a intervalové
obodový odhad: použijeme průměr vzorku a odhadneme, že se rovná průměru populace

Bodový odhad
obodový odhad je problematický v tom, že dva různé výběry nám mohou dát dva různé odhady
obodový odhad neobsahuje žádnou informaci o jeho přesnosti či spolehlivosti
ona čem závisí přesnost odhadu?

Bodový odhad
opřesnost odhadu závisí na dvou charakteristikách
nvelikost výběru (čím větší n, tím menší výběrová chyba)
nvariabilita hodnot v populaci (čím vyšší, tím vyšší i výběrová chyba)

Intervalový odhad
oposkytuje rozsah (interval) hodnot, který s určitou pravděpodobností obsahuje hledanou hodnotu
parametru

Intervalový odhad
oje založen na:
nbodovém odhadu
nvelikosti výběru
nvariabilitě znaku v populaci (známé nebo rovněž odhadované)

Intervalový odhad
optáme se: jaká je hodnota m ?


Intervalový odhad
optáme se: jaká je hodnota m ?
ovýběrový průměr určité hodnoty může pocházet z populací o různých průměrech
oproto nemůžeme jednoznačně určit hodnotu m

Intervalový odhad
obrázek3


Intervalový odhad
otakže se místo toho snažíme určit, jaký je možný rozsah hodnot m
ojaké populace (tj. s jakou hodnotou průměru) by mohly být pravděpodobným zdrojem našeho vzorku?

Intervalové odhady
oze které populace nejpravděpodobněji pochází výběr, jehož průměr je v následujícím grafu naznačen
svislou čarou?

RVP pro populace I-IV



Intervalové odhady
ovýběr pochází
nnejpravděpodobněji z populace II nebo III
nméně pravděpodobně z populace I
na velmi málo pravděpodobně z populace IV

Intervalové odhady
ointervalový odhad spočívá v konstrukci tzv. intervalu spolehlivosti (confidence interval) =
rozsahu hodnot, ve kterém s určitou pravděpodobností leží průměr populace

Interval spolehlivosti
obrázek4


Interval spolehlivosti
onejprve je třeba si stanovit tuto pravděpodobnost – tj. úroveň přesnosti (spolehlivosti);
oobvyklá je např. 95% - snažíme se najít interval hodnot, ve kterém s 95% pravděpodobností leží
průměr populace
opak jde o tzv. 95% interval spolehlivosti

Interval spolehlivosti
opoté najít hodnotu z pro tuto pravděpodobnost – tj. rozsah, ve kterém bude ležet středních 95%
hodnot (výběrových průměrů)
o2,5% na každé straně rozdělení

Interval spolehlivosti
obrázek5


Interval spolehlivosti
otomu odpovídají hodnoty
z=-1,96
z=1,96
o

Interval spolehlivosti



Interval spolehlivosti - výpočet



Interval spolehlivosti
obrázek4


Interval spolehlivosti
ointerpretace intervalu spolehlivosti:
o pokud bychom z populace vybrali 100 náhodných výběrů o velikosti n a pro každý z nich sestrojili
tento interval, 95 intervalů by obsahovalo průměr populace a 5 nikoliv

Interval spolehlivosti
ooblíbený omyl:
nv 95% intervalu spolehlivosti leží 95% hodnot populace (NEPLATÍ!)
n
okromě 95% intervalu spolehlivosti se používá také např. 99% a 90% pravděpodobnost
n
n

Příklad
onáhodný výběr 36 dětí hospitalizovaných bez matky v raném věku (do 6 měsíců), průměrné IQ vzorku =
96
ona základě tohoto zjištění odhadněte průměrné IQ populace dětí hospitalizovaných bez matky v raném
věku (sestavte 95% interval spolehlivosti)
o

Příklad
oPostup:
nbodový odhad: m=96
nvýpočet výběrové chyby (směrodatné odchylky RVP):
 s/√n = 15/√36 = 15/6 = 2,5
nstanovení úrovně spolehlivosti: 95%
nnajít hodnotu z pro 95% pravděpodobnost
n

Příklad
obrázek6


Příklad
ov tabulce normálního rozdělení najdeme hodnoty z
ohodnoty z pro 95% : 1,96 a -1,96
o

Příklad
ok výběrovému průměru přičteme (pro horní hranici intervalu) a odečteme (pro spodní hranici)
výběrovou chybu, vynásobenou hodnotou z
o

Příklad
o CI (m) = x + z (s/√n)
o
o CI (m) = 96 + 1,96 * 2,5 = 96 + 4,9 =100,9
o CI (m) = 96 -  1,96 * 2,5 = 96 - 4,9 = 91,10
o95% interval spolehlivosti je 91,1 – 100,9

Interval spolehlivosti
ohodnoty z pro nejčastěji užívané pravděpodobnosti:
n90% (zbývá 5% + 5%)       z= +/- 1,645
n95% (zbývá 2,5% + 2,5%)  z= +/- 1,96
n99% (zbývá 0,5% + 0,5%)  z= +/- 2,57

Příklad 2
opro odhad průměru z předchozího příkladu sestrojte 99% interval spolehlivosti


Příklad 2
o CI (m) = x + z (s/√n)
o
o CI (m) = 96 + 2,57 * 2,5 = 96 + 6,4 =102,4
o CI (m) = 96 -  2,57 * 2,5 = 96 – 6,4 = 89,6
o99% interval spolehlivosti je 89,6 – 102,4
o
o

Odhady podílů
ou kategoriálních proměnných nemůžeme počítat průměry
oodhadujeme proto podíly jednotlivých kategorií proměnné

Odhady podílů
onapř. podíl kuřáků v populaci českých adolescentů
opodíl pacientů s rakovinou plic, kteří přežijí 5 let od diagnózy
opodíl chlapců mezi dětmi s poruchou pozornosti

Odhady podílů
opokud zkoumáme místo celé populace pouze výběr z ní, nezajímá nás tolik, jaký je podíl kategorií
proměnné ve výběru (četnost p)
oale spíše jaký je skutečný podíl v populaci – četnost p

Odhady podílů
opři dostatečně velkém n platí i pro rozdělení podílů centrální limitní věta
orozdělení výběrových podílů je normální rozdělení, s průměrnou četností p a směrodatnou odchylkou
(výběrovou chybou)

Příklad 4
ochceme zjistit, jaká je podpora politiky EU vůči uprchlíkům u občanů ČR (jde o fiktivní data)
onáhodný výběr z populace (n=1000 osob)
o315 osob se vyjádřilo pro (p=0,315)
oodhadněte s 95% spolehlivostí podporu této politiky v populaci

Odhady podílů
ointerval spolehlivosti pro podíly se spočítá podobně jako pro průměry:


Odhady podílů
onemůžeme však spočítat výběrovou chybu, protože neznáme p
ov tomto případě je však možné dosadit místo toho p a přitom použít normální rozdělení (pokud je
n>30)
opokud je n<30, pak dosadíme místo p hodnotu 0,5

Příklad 4
op=0,315
oz=1,96
oSE(p)= [0,315(1-0,315)/1000]
o=0,0147
ointerval spolehlivosti
0.315 ± 1.96(0.0147)
o 0.315 ± 0,0288
o--- přesnost odhadu je ± 3%
o
o
o

Příklad 4
os 95% pravděpodobností je podíl osob podporujících politiku EU v populaci občanů ČR mezi 28.6% a
34.4%

Odhady podílů
ovztah mezi velikostí vzorku a přesností odhadu
nn=100 ± 10%
nn=200 ± 7%
nn=400 ± 5%
nn=1000 ± 3%
nn=2400 ± 2%
nn=9600 ± 1%

Odhady podílů
opožadovaná velikost vzorku roste mnohem rychleji než spolehlivost odhadu (pro zdvojnásobení
spolehlivosti je nutné asi čtyřnásobně zvětšit vzorek)
odůležité při plánování výzkumu – jakou přesnost potřebujeme? jaké budou náklady?
opodobný vztah platí pro odhad průměrů

Příklad na závěr
oz denního tisku:
nPadesát pět procent českých voličů nesouhlasí se zavedením registračních pokladen, zatímco před
dvěma týdny sdílelo tento názor jen 50 procent voličů. Průzkum byl proveden
v posledních čtyřech dnech a statistická chyba je 2,9 % (jde o fiktivní údaje).
omůžeme dojít k závěru, že nesouhlas se zavedením RP skutečně roste?

Kontrolní otázky
o2 typy odhadů
ona čem závisí šířka intervalu spolehlivosti? (není nutno znát zpaměti vzorce, ale je třeba chápat
princip výpočtu)
ovztah velikosti výběru a spolehlivosti odhadu

Literatura
oHendl: kapitoly 4 a 5