10. Základní statistické pojmy.
10.1Úvodní informace
Statistika je často představována jako pouhý sběr čísel nebo jim podobných údajů.
Původní význam toho slova skutečně souvisí se sběrem informací o státu ( z latinského status
– stát ) – počtu obyvatel, sídel, o výběru daní atd. I dnes existují instituce, které se zabývají
takovýmto sběrem dat, v ČR je to Český statistický úřad. Sbírá a zveřejňuje některé informace
o obcích , průmyslu, ekonomice, o demografickém rozvoji státu. Pod pojmem statistika dnes
však míníme mnohem více, statistika se v jistém slova smyslu stala jazykem pro práci s daty ,
pro jejich zpracování a interpretaci. Ze statistiky se stala rozvinutá vědecká metoda analýzy
dat, která nachází široké uplatnění v přírodních i společenských vědách i ve společnosti
vůbec.
Při vlastní praxi uplatňujeme dva způsoby přístupu k údajům. Především je to přístup
k informacím vnějšího prostředí a posléze naše reflexe na tyto údaje ve formě zobecnění.
Například při porovnávání sledovanosti televizních kanálů neoslovujeme všechny
domácnosti, ale z pečlivě vybraných domácností a jejich sledovanosti televize činíme závěry
platné pro všechny domácnosti.
Proces zobecňování poznatků nazýváme induktivním způsobem usuzování ( indukcí )
např. zobecnění sledovanosti ve výběru na všechny domácnosti. Schopnost přijímat nové
poznatky a z nich se učit a vyvozovat závěry jsou jedním ze základních rysů lidského
uvažování. Druhým způsobem uvažování je princip deduktivního přístupu k údajům
( dedukce ). Při deduktivním přístupu činíme závěry z obecných zákonitostí.
Závěry myšlenkových procesů induktivního charakteru jsou ovlivněny postojem
subjektu . Induktivní statistika se zabývá způsoby jak přenášet závěry takovýchto procesů,
umožňuje z pozorovaných dat vytvářet obecné závěry s určením jejich spolehlivosti. Výpočty
takových spolehlivostí jsou založeny na poznatcích teorie pravděpodobnosti a jsou proto
objektivní.
10.2Statistický soubor a výběry
Jedním ze základních pojmů , s kterými se budeme setkávat stále jsou populace
( statistický soubor ) a výběr.
Populace je množina všech prvků, které jsou předmětem daného statistického
zkoumání. Každý z prvků je statistickou jednotkou. Prvky tvořící statistický soubor jsou buď
dány prostě výčtem nebo mají určité společné vlastnosti - tzv. identifikační znaky umožňující
určit, zda prvek do daného statistického souboru patří nebo nepatří. Identifikační
znaky tedy statistický soubor mohou vymezovat. Z hlediska velikosti je zřejmé , že většina
populací bude mít konečný rozsah, nekonečný rozsah budou mít takové populace, které jsou
určeny znakem, který můžeme hypoteticky nekonečněkrát opakovat ( např. měříme hmotnost
po pokusu, teplotu atd. ). Podle počtu sledovaných znaků je potom takováto populace
jednorozměrné či vícerozměrná ( sledujeme dva a více znaků např. teplotu, tlak;
komunikativnost, inteligenci atd. ). Pro vlastní popsání populací se používá metoda parametrů
charakteristik. Jde o číselné hodnoty, které jsou většinou pevná čísla. Jejich hodnota není
známa a je nutno ji zjistit či odhadnou vhodnými statistickými metodami.
Znaky, které sledujeme v populaci mají obecně buď charakter kvantitativní ( lze je
vyjádřit číslem např. délka , hmotnost, teplota ) a kvalitativní ( jsou většinou vyjádřeny
textem ). Kvantitativní znaky dělíme dále na spojité – výsledky zkoumání mohou nabývat
hodnot některého intervalu ( teplota, délka ) a diskrétní jestliže existuje jen konečně mnoho
možných stavů znaku ( např. počet dětí v rodině, počet vykvetlých rostlin atd. ).
K vlastnímu měření kvantitativních údajů používáme buď intervalových nebo
poměrových stupnic. Jestliže chceme zjistit jen rozdíl mezi kvalitativními hodnotami ,
používáme intervalovou stupnici ( v takovýchto stupnicích je počátek volen např. 0°C,
stupnice výšky tónu, stupnice bolesti atd. ). Při takovémto způsobu měření je většinou
nesmyslné označení prvek a má hodnotu znaku 2x větší než prvek b , neboť počátek je možno
volit různě ( např. teplota ). Pokud chceme měřit údaje ve vztahu k pevným jednotkám ( váha,
vzdálenost ) používáme stupnici poměrovou .
Kvalitativní znaky se snažíme také měřit , používáme k tomu nominální ( pojem ) a
ordinální ( pořadí ) stupnici. Nominální stupnice je složena z nejméně dvou navzájem se
vylučujících tříd. Jestliže jsou třídy právě dvě nazývá se dichotomická. Příklady takovéto
stupnice: pohlaví / mužské, ženské /; barva / modrá, zelená, červená, bílá /. Příkladem
takovéto klasifikace je také. mezinárodní stupnice nemocí, úrazů a příčin smrti. Čísla , která
jsou přiřazena jednotlivým chorobám nic nevypovídají o dané chorobě. Ordinální stupnice je
založena opět na neslučitelných třídách, ale ty jsou ještě navzájem uspořádány . Příklady
takovýchto stupnic: nejvyšší úroveň vzdělání / negramotný, základní, střední, vysokoškolské /
; srozumitelnost / žádná, malá, střední, uspokojivá, vynikající/.
V tabulkách 10.1 a 10.2 níže jsou uvedeny způsoby použití jednotlivých stupnic.
Tabulka 10.1
Typ stupnice Použití pro data Přípustné změny Charakteristiky rozdělení
Nominální
stupnice
Jsme schopni rozhodnout o
rozdílu mezi jednotlivými
prvky populace a o jejich
zařazení do tříd
Permutace ,
přejmenování
Absolutní četnost, relativní
četnost, modus
Ordinální
stupnice
Navíc: Umíme určit, který
prvek je menší a který větší
a zařadit je do správných
tříd
Možno změnit pomocí
monotóní transformace
( rostoucí )
Dále: Kumulativní četnost,
pořadí, kvantily, medián,
pořadové hodnoty
Intervalová
stupnice
Navíc: Umíme stanovit
relativní nulový bod (
počátek ) a zjistit vztah
prvků vůči němu ( rozdíly!)
Lineární změna posunutí
a zmenšení
nebo zvětšení ( y
= a x + b )
Dále: Aritmetický průměr,
směrodatná odchylka, šikmost,
špičatost
Poměrová
stupnice
Navíc: Umíme stanovit
absolutní nulový bod (
počátek ) a zjistit vztah
prvků vůči němu ( podíly!)
Změna jen zvětšení
nebo zmenšení ( kladné
) tj. y = a x ( a > 0 )
Dále: Ostatní průměry (
harmonický, geometrický ),
variační koeficient
Tabulka 10.2
Typ stupnice Testy Závislost , nezávislost
Nominální stupnice c2
- testy
Kontingenční koeficienty,
čtyřpolíčkový koeficient
Ordinální stupnice
Dále: Pořadové testy, Kolmogor Smirnův
test, U - test
Pořadový korelační koeficient
Intervalová stupnice
Dále: Parametrické testy odvozené z
N(0,1)
Korelační koeficient, biseriální
koeficienty
Poměrová stupnice Stejně jako výše Stejně jako výše
Pro vyšetření populace používáme různý způsob přístupu k datům : Provádíme buď
statistický pokus, statistické šetření nebo pozorovací studii. Účelem statistického pokusu je
plánovitě měnit faktory ( podmínky ) a sledovat jejich vliv na změnu vyšetřovaných znaků.
Výběr prvků s nimiž experimentujme provádíme zásadně náhodně, aby nedošlo k vychýlení
výsledných hodnot. Při tzv. kontrolovaném pokusu rozdělíme vyšetřované skupiny na
pokusné a kontrolní. U pokusné skupiny byla provedeny změna , u kontrolní nikoli. Aby byl
pokus dostatečně objektivní , je nutno, aby obě skupiny byly rovnocenné jak na začátku
pokusu, tak i v jeho průběhu. Chceme – li zabránit přínosu subjektivní informací volíme často
princip tzv. slepého pokusu, kdy ten kdo údaje vyhodnocuje ( např. lékař ) nevěděl, která
skupina je kontrolní a která je pokusná. Jestliže ani vyšetřovaný subjekt neví zda je v pokusné
nebo kontrolní skupině nazýváme tento princip dvojité utajení nebo dvojitý slepý pokus.
Je vidět , že princip náhodného výběru a rozdělení na pokusnou a kontrolní skupinu
zlepšuje výsledky ( odstraňujeme neobjektivitu a závislost ).
Někdy ovšem není možné získávat data manipulací s prvky populace . Není možno
provádět statistický pokus, můžeme však jednoduše pozorovat jak probíhají změny a
registrovat je . Takovému přístupu říkáme statistické šetření nebo pozorovací studie.
Používáme ho tehdy , kdy nemůžeme využít princip náhody ( případy , kdy rozložení znaků
v populaci je dáno – např. vzdělání, pohlaví a v pokusu by nebylo respektováno ; někdy není
možno realizovat statistický pokus z etických důvodů ( manipulace s lidmi ). Vidíme tedy ,
že v případě statistického šetření se spokojujeme s pasivním sběrem dat. Problémem
takovýchto studií je , že pozorovaný jev je velmi často ovlivněn nežádoucími znaky. Pro
pojem úplného šetření tj. šetření provedeného na celé populaci se vžil pojem census ( sčítání
lidu ). Pro jeho vysoké ekonomické náklady se provádí v naší republice jednou za deset let.
Každé statistické šetření v podobě censu by bylo především ekonomicky velmi
náročné. Ve většině případů ten, kdo chce provést statistické šetření má omezené zdroje
( finance, čas ). Někdy je k dispozici jen málo údajů ( šetření vzácné choroby nebo zvláštního
chování pacientů ). Při dalších šetřeních bychom museli populaci zničit ( například sledování
životnosti výrobků ). Výběr může nést přesnější výsledky než úplné šetření ( při velkém
množství chyb vinou neodborných špatně proškolených pozorovatelů vznikne chyba
neodstranitelná ).
Jakákoli část populace , která dobře odráží její strukturu ( především vyšetřované
znaky ) bude nazvána reprezentativním výběrem. Ostatní typy výběru se nazývají selektivní
výběry, většinou dávají zkreslený obrázek o vyšetřované populaci. Příkladem selektivního
výběru je vzorek vysokoškolských profesorů, z něhož budeme usuzovat na vzdělanost celé
populace. Je jisté , že struktura vzdělanosti v našem výběru bude značně vychýlena proti celé
populaci. Výběry pořizujeme metodami náhodného výběru nebo metodami záměrného
výběru.
Metoda záměrného výběru se opírá expertní stanoviska k vytvoření representativního
výběru ( prováděna často v euchologii, sociologii ). Jsou často závislé na subjektu experta.
Metoda náhodného výběru umožňuje vybírat prvky populace náhodně a nezávisle na
subjektech. Podle způsobu provedení rozlišujeme několik druhů náhodného výběru:
Prostý náhodný výběr – prováděn většinou metodou losování ( každý prvek populace
může být vylosován ). Dříve se prováděl i pomocí tabulek náhodných čísel, dnes možno
použít i vhodný generátor náhodných čísel různých statistických, ale i nestatistických
programů.
Mechanický výběr – jde o jistou formu prostého výběru, nejdříve náhodně očísluji
prvky populace a poté zvolím pevné číslo . Všechny prvky, které získám vždy o pevný
zadaný krok budou v daném výběru. Pokud neprovedeme na začátku náhodné očíslování, ale
číslování je už vytvořeno musí dbát na to , aby krok výběru nesouvisel s číslováním.
Oblastní výběr . Celá populace je rozdělena do částí – oblastí tak , aby se ve
sledovaných znacích se od sebe velmi odlišovali, v rámci jedné oblasti jsou sledované znaky
málo odlišné. V jednotlivých oblastech potom provedeme prostý výběr. Spojením všech
takovýchto dílčích výběrů získáme celý hledaný výběr.
Skupinový výběr. V případě populací, které čítají statisíce nebo miliony prvků je
skoro nemožné předchozími metodami vytvořit náhodný výběr. Vyžíváme proto přirozené
rozdělení populace na menší celky nebo vytváříme vlastní umělé dělení. Požadujeme, aby
prvky ( skupiny ) dělení byly pokud možno stejně velké a vyšetřované znaky heterogenní
v rámci jedné skupiny. Variabilita mezi jednotlivými skupinami by měla být co nejmenší.
Vícestupňový výběr. Provádí se tehdy, kdy existuje hierarchický popis celé populace
( geografický, sociální model ).
10.3Popisná statistika
Popisná statistika (deskriptivní statistika) se zabývá popisem stavu nebo vývoje
hromadných jevů. Nejprve se vymezí soubor prvků, na nichž se bude uvažovaný jev zkoumat.
Následně se všechny prvky vyšetří z hlediska studovaného jevu. Výsledky šetření kvalitativní
i kvantitativní, vyjádřeny především číselným popisem - tvoří obraz studovaného
hromadného jevu vzhledem k vyšetřovanému souboru.
V předchozí části jsme studovali pojem statistického výběru. V této části budeme
předpokládat, že jsme provedli výběr z populace a budeme se snažit z těchto dat získat údaje o
vlastnostech základního souboru.
Grafické znázornění výběrových rozdělení je uvedeno v následující kapitole. V této
kapitole budeme využívat data z tabulky 10.3
Tabulka 10.3: Rozdělení měsíčních nákladů studentů na bydlení
Pořadí Náklady Pořadí Náklady Pořadí Náklady
1 850 11 1560 21 2900
2 910 12 1560 22 2900
3 920 13 1650 23 3100
4 920 14 1670 24 3150
5 920 15 1780 25 3250
6 1030 16 1790 26 3250
7 1030 17 1850 27 3400
8 1150 18 2200 28 3600
9 1190 19 2600 29 3700
10 1190 20 2800 30 3850
Uveďme dále důležité pojmy, které budeme neustále využívat.
Četnost ( absolutní ) hodnoty xi je daná počtem prvků xi ve výběru.
Relativní četnost hodnoty xi – je daná podílem absolutní četnosti a celkového počtu
prvků ve výběru.
Kumulativní absolutní četnost hodnoty xi je daná součtem všech absolutních
četností prvků, které jsou menší nebo rovny prvku xi .
Kumulativní relativní četnost hodnoty xi je dána součtem všech relativních četností
prvků, které jsou menší nebo rovny prvku xi .
10.3.1 Míry polohy
Jde o číselné hodnoty pomocí , nichž určujeme polohu míst, kolem kterých jsou data
nejvíce umístěny.
10.3.1.1 Průměr
Průměr x se používá v případě kvantitativních znaků. Je velmi citlivý na odlehlé
hodnoty. Průměr n hodnot x1 , x2 , … , xn vypočteme takto
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n
∑=
=
+++
= 121 ...
(10.1).
Pro naše data je 33,2422=x .
Někdy jsou data uvedena v tabulce včetně svých absolutních četností ( počtu
opakování ) , potom počítáme průměr jako tzv. vážený průměr:
n
xn
x
k
i
ii∑=
= 1
.
(10.2)
V tomto případě jsou data rozdělena na k skupin o nk prvcích.
Pokud jsou data uvedena v tabulce roztříděných dat ( původní dat jsou nahrazena
příslušností do jednoho z vybraných intervalů ) vytvoříme nejprve střed intervalu ( bude
nahrazovat všechna data uvedená v daném intervalu ) a pak z těchto hodnot vytvoříme podle
vztahu (10.2) průměr.
Tabulka 10.4 třídní rozdělení četností:
Rozpětí četnost
0 -500 0
500 - 1000 5
1000 - 1500 5
1500 - 2000 7
2000 - 2500 1
2500 - 3000 4
3000 - 3500 5
3500 - 4000 3
4000 - 4500 0
Hodnota středů intervalů je 250 , 750, …, 4250 . Spočítáme – li průměr podle
vzorce (10.2) je hodnota třídního průměru rovna 1733,7. Je vidět, že hodnota tohoto průměru
velmi závisí na správné volbě rozpětí třídy. Pro vytvoření stejně velkých tříd o počtu k z n
prvků je možno použít tzv. Sturgesovo pravidlo
k º 1 + 3,3 . log10 n (10.3)
Například pro náš případ je n = 30 a tedy hodnota k º 5,8745 . Tedy volíme k = 6.
Uveďme dále některé důležité vlastnosti průměru:
a) Jestliže ke každé hodnotě xi ve výběru přičteme konstantu k , zvětší se o
konstantu k také původní průměr ( k může být libovolné reálné číslo ).
b) Násobíme – li každou hodnotu ve výběru xi stejnou konstantou m ,
vypočteme nový průměr jako součin starého průměru a konstanty m
c) Součet odchylek všech hodnot xi ve výběru od jejich průměru x je roven
nule
( ) 0
1
=−∑=
n
i
i xx (10.4)
d) Součet čtverců odchylek všech hodnot od jejich průměru je menší než součet
čtverců odchylek všech hodnot od libovolné jiné hodnoty.
( ) ( )
2n
1i
i
2n
1i
i xx ∑∑∀ ==≠
−≤− ax
xa
(10.5)
Těchto vlastností průměru využíváme také k tomu , abychom upravili vstupní hodnoty
jejich zmenšením ( resp. zvětšením ) a posunutím.
Průměr se používá jako číselná charakteristika protože:
a) Je jednoznačný
b) Je lineární
c) Je spolehlivou číselnou hodnotou.
Průměr nepoužijeme , jestliže
a) Rozdělení je vícevrcholové
b) Rozdělení má na krajích otevřené třídy ( hodnoty nejsou shora nebo zdola
omezené )
c) Údaje nejsou škálované metricky, ale ordinálně
d) Výběr je extrémně malý
e) Rozdělení je asymetrické
10.3.1.2 Modus
Modus xˆ je hodnota , která se vyskytuje nejčastěji. Podle tabulky 10.1 ho můžeme
zjišťovat i znaků, které jsou kvalitativní, dokonce i nominální. Není ovlivňován všemi prvky
ve výběru. Jestliže je četnost všech prvků ve výběru stejná, modus neurčujeme. Jestliže dvě
nebo více navzájem sousedících hodnot nabývají stejné největší četnosti, pak aritmetický
průměr z těchto hodnot nazveme modusem. Jestliže existují dvě navzájem nesousedící
hodnoty s největšími stejnými četnostmi, uvádíme obě jako modus. Rozdělení je pak
dvouvrcholové ( bimodální ). Již ze samé definice modusu je jasné, že tato charakteristika
velmi závisí na výběru a většinou velmi kolísá.
Příklad 10.1
Zjistěte modus šetření výběru barev respondentů – bílá, červená, modrá , červená,
zelená, bílá , červená , modrá, bílá, červená.
Odpověď :
Nejčetnější výskyt má a modus je červená.
Příklad 10.2
Zjistěte hodnotu modusu pro data z naší tabulky 10.3.
Odpověď:
Podle tabulky je 920ˆ =x .
Jestliže jsou kvantitativní znaky uspořádány do třídní tabulky , určíme nejdříve
modální interval xD ( s nejvyšší četností ) a modus stanovíme interpolací
mn
n
hxx D
+
+= .ˆ (10.6)
kde h je délka modálního intervalu, n je četnost , xD je dolní hranice tohoto intervalu, n je
četnost následujícího intervalu a m četnost předchozího intervalu. Aplikujme vzorec (10.6)
na data z tabulky 10.4
33,1583
6
1
.5001500.ˆ =+=
+
+=
mn
n
hxx D .
Vidíme tedy , že modus zjištěný podle vzorce (10.6) může být výrazně odlišný od
modusu skutečného.
10.3.1.3 Kvantily a medián
Přirozenou mírou jsou kvantily. Daný výběr se nejdříve seřadí od nejmenší hodnoty
po největší a poté určíme pro daný p% kvantil pořadové číslo jednotky np , pro které platí
,1
100
.
100
. +<<
p
nn
p
n p (10.7)
kde n je počet prvků výběru.
Pro hodnotu p = 50% se daný kvantil označuje medián x~ . Jestliže je počet n sudé
číslo , vypočteme medián jako průměrnou hodnotu z hodnot stojících vlevo a vpravo od
teoretického mediánu určeného vzorcem (10.7). Medián popisuje hodnotu, která dělí daný
výběr na dvě stejně velké části. V našem příkladě je 1785
2
17901780~ =
+
=x .
Další významné kvantity jsou :
Dolní kvartil x0,25 je určen jako 25% kvantil.
Horní kvartil x0,75 je určen jako 75% kvantil.
V našem případě je x0,25 = 1080 a x0,75 = 3000.
Pro hodnoty kvartilů vytváříme ještě jednu míru ( jde o míru variability ) a to
kvartilové rozpětí Rq = x0,75 - x0,25
V našem případě je Rq = 3000 – 1080 = 1920.
Pro hodnoty p=10,20,…,90 nazýváme takto spočtené kvantily názvy decily. Pro
hodnoty p = 1,2,3,…,99 nazýváme podobně kvantily jako percentily.
Pomocí kvartilů je také možno velmi přehledně znázornit data v grafu s názvem Box
Plot nebo jinak Krabicový graf nebo Krabicový diagram nebo Vousatá krabička. Pomocí něho
můžeme rozdělit data z výběru na vnitřní, vnější a odlehlá. Vytváříme ho následujícím
způsobem:
Základním prvkem grafu je obdélník, jehož hrany tvoří hodnoty dolního a horního
kvartilu – uvnitř tohoto obdélníku je 50% hodnot výběru. Uvnitř je svislou čarou vyznačen
medián, popř. tečkou průměr ( křížkem modus) . Z obdélníku vedou dvě úsečky kolmé
k hranám, jejichž délka je dána vzdáleností vnitřních hradeb od hrany obdélníku. Vnitřní
hradby se vypočtou tímto předpisem
hD = x0,25 – 1,5 . ( x0,75 – x0,25 ) (10.8)
hH = x0,75 + 1,5 . ( x0,75 – x0,25 ) (10.9)
V našem případě jsou hD = 1080 – 1,5 . 1920 = -1800 a hH = 3000+1,5.1920 =5865.
Dále se počítají vnější hradby
HD = x0,25 – 2.(1,5 . ( x0,75 – x0,25 )) (10.10)
HH = x0,75 + 2.(1,5 . ( x0,75 – x0,25 )) (10.11)
V našem případě je HD = 1080-3.1920= - 4680 a HH = 3000+3.1920 = 8730.
Hradby slouží pro identifikaci dat ve výběru. Hodnoty uvnitř vnitřních hradeb jsou
hodnoty přilehlé; hodnoty mezi vnitřními a vnějšími hradbami jsou hodnoty vnější a
hodnoty vně vnějších hradeb jsou hodnoty vzdálené nebo jinak odlehlé. Do grafu se
zakresluje i minimální a maximální hodnoty jako body.
Jestliže máme data uvedena v třídní tabulce musíme p% kvantil počítat pomocí
lineární interpolace
DH
D
DH
Dp
nn
np
xx
xx
−
−
=
−
−
, (10.12)
kde xD je dolní a xH je horní mez intervalu v němž leží daný kvantil; nD je kumulativní
relativní četnost odpovídající xD a nH je kumulativní relativní četnost odpovídající xH
.Zjistěme hodnotu kvantilu pro náš případ tabulky 10.4:
1854,167~
33,057,0
33,05,0
15002000
1500~
=⇒
−
−
=
−
−
x
x
.
1785 30001080 5865 8730-1800-4650
850 3850
Použití mediánu je vhodné při rozděleních s otevřenými třídami, pro ordinální
hodnoty, pro velmi symetrická rozdělení.
10.3.1.4 Geometrický průměr
Provádí se jen pro hodnoty ve výběru, které jsou kladné . Jeho označení je G a spočítá
se jako n – tá odmocnina ze součinu hodnot xi. Používáme ho , jak je zřejmé z definice , na
kvantifikovatelné znaky měřené na poměrové stupnici. Používá se k určení průměrné změny
velikosti, jestliže předpokládáme , že tato změna je konstantní ( multiplikativně ).
n
nxxxG ... 21= (10.13)
Klasickým příkladem k užití je případ výpočtu inflace za několik let známe – li
hodnoty inflačních kroků mezi jednotlivými následnými roky.
10.3.1.5 Harmonický průměr
Harmonický průměr H zjistíme jako podíl počtu hodnot n a součtu převrácených
hodnot výběru.
∑=
= n
i ix
n
H
1
1
(10.14)
Pomocí harmonického průměru lze například počítat úlohy na průměrné rychlosti ,
jestliže jsou známy tyto hodnoty na jednotlivých úsecích trati a chceme získat průměrnou
rychlost celkovou.
10.3.2 Míry variability
Pomocí jen měr polohy nelze přesně popsat výběr, protože mnoho dat má stejné nebo
přibližně stejné hodnoty jednotlivých parametrů měr polohy, přesto jsou na první pohled
odlišné . Na obrázku níže je uveden případ tří skupin dat, která mají stejný průměr, modus,
medián a přesto jsou odlišná. Odlišnost vidíme v soustředění hodnot kolem průměru. Toto
soustředění budeme studovat pomocí různých měr variability.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
10.3.2.1 Variační rozpětí
Variační rozpětí R se vypočte jako rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou výběru.
R = xmax – xmin (10.15)
Pokračujme dále v našem příkladě , hodnota R = 3 850 – 850 = 3 000
Výhodou této míry je jednoduchost určení a porozumění. Je však málo stabilní
vzhledem k počtu členů výběru. Používá se proto jen u malých výběrů ( n § 12 ). Výrazně
závisí na velikosti výběru. Proto nemůžeme mezi sebou porovnávat jednotlivé hodnoty
variačního rozpětí z různě velkých výběrů. Nedává spolehlivé odhady rozptylu základního
souboru.
10.3.2.2 Průměrná odchylka
Průměrnou odchylku e výběru definujeme jako aritmetický průměr z absolutních
hodnot odchylek všech hodnot výběru od průměru
n
xx
e
n
i
i∑=
−
= 1
(10.16)
Uvádíme ji jen pro úplnost. Je málo stabilní vzhledem k velikosti výběru a dává
nespolehlivé odhady pro rozptyl.
10.3.2.3 Rozptyl a směrodatná odchylka
Nejužívanější mírou variability je rozptyl ( resp. směrodatná odchylka ). Pomocí něho
měříme velikost čtverců odchylek jednotlivých hodnot výběru od průměru. Označujeme ho
většinou symbolem s2
a nazýváme ho výběrovým rozptylem
( ) ,.
1
1
2
1
2
∑=
−
−
=
n
i
i xx
n
s (10.17)
Všimněme si , že při výpočtu nedělíme součet odchylek čtverců hodnotou n ( jako při
definici klasického rozptylu ) , ale hodnotou n – 1 ( nazývanou také počtem stupňů volnosti ).
Je to provedeno proto, že získáme lepší odhad skutečného rozptylu s2
populace.
Výběrová směrodatná odchylka se označuje symbolem s a je rovna odmocnině
z výběrového rozptylu
( ) ,.
1
1
2
1
∑=
−
−
=
n
i
i xx
n
s (10.18)
Pro vlastní výpočet se hodí i jiná forma vzorce (10.17)
n,1,2,i,
2
11
2
222
=












−=−=
∑∑ ==
n
x
n
x
xxs
n
i
i
n
i
i
(10.19)
Použijeme – li vzorce na určení rozptylu pro data z tabulky 10.3 získáme
s2
= 1019733,448 a hodnota s = 1009,82 .
Jsou – li hodnoty xi výběru uvedené včetně četností ni potom přejde vzorec (10.16) na
( ) 





−
−
=−
−
= ∑∑ ==
k
i
ii
k
i
ii xnxn
n
xxn
n
s
1
22
2
1
2
...
1
1
..
1
1
, (10.20)
kde k je počet všech různých hodnot ve výběru a n je celkový počet prvků výběru.
Jestliže jsou data uvedena pomocí třídění do intervalů např. data z tabulky 10.4 , potom
většinou hodnoty xi znamenají středy třídních intervalů a ni počet dat v tomto intervalu. Pokud
jsou třídní intervaly ekvidistantní ( mají pevnou délku ) s rozměrem h bude výpočet podle
vzorce (10.20) zatížen chybou . Tuto chybu opravujeme pomocí tzv. Sheppardovy korekce
12
2
22 h
ss kor −= (10.21)
Použijeme – li opět naše data z tabulky 10.4 získáme :
Nekorigované hodnoty s2
= 1002500 a s = 1001,249;
Korigované hodnoty s2
kor = 981666,7 a skor = 990,7909.
Velmi často nastává případ , že celý výběr je z určitých důvodů rozdělen do k dílčích
částí . V i – té části je počet prvků roven ni , průměr je roven ix a výběrový rozptyl si
2
.
Potom můžeme počítat celkový výběrový rozptyl s2
jako
( ) ( ) 





−+−
−
= ∑ ∑= =
k
i
k
i
iiii xxnsn
n
s
1 1
222
..1.
1
1
(10.22)
Z předchozího vzorce vyplývá, že celkový výběrový rozptyl s2
můžeme rozložit na dvě
části – na vnitroskupinový a meziskupinový. Vnitroskupinovým výběrovým rozptylem
sledujeme variabilitu uvnitř jednotlivých skupin a meziskupinovým výběrovým rozptylem
variabilitu mezi těmito skupinami. Takovéto metody rozdělení celkové variability na
nezávislé části budeme dále využívat v části Analýza rozptylu ( ANOVA ).
Výběrový rozptyl nezávisí na zvětšení či zmenšení všech hodnot výběru o konstantu.
Jestliže všechny hodnoty výběru zvětšíte m - krát , zvětší se výběrový rozptyl m2
– krát.
Těchto vlastností velmi často využíváme pro úpravu původní tabulky dat tím, že všechny
hodnoty posuneme - volba nového počátku a výrazně zmenšíme ( zvětšíme ) – volba nové
jednotky.
10.3.2.4 Variační koeficient
Nechť má výběr n členů s průměrem x a směrodatnou odchylkou s. Potom variační
koeficient výběru v je daný vztahem
%100.
x
s
v = (10.23)
Používáme ho , když chceme porovnat variabilitu různých znaků ve výběru nebo mezi
různými výběry.
10.3.3 Charakteristiky tvaru rozdělení
10.3.3.1 Výběrová míra šikmosti
Jde o číselný údaj, který vypovídá o o souměrnosti či nesouměrnosti tvaru rozdělení.
Označuje se symbolem a .
( )
3
1
3
,
.
n
i
i
x x
a
n s
=
−
=
∑
(10.24)
kde n je počet členů výběru, s je hodnota výběrové směrodatné odchylky, x je průměr
a xi je konkrétní hodnota výběru. Je – li rozdělení souměrné, je hodnota a = 0. Rozdělení je
tím nesousměrnější , čím se hodnota a více liší od nuly. Je – li jeho hodnota kladná, potom je
rozdělení zešikmeno kladně ( ve výběru je větší koncentrace menších hodnot ). Je – li jeho
hodnota záporná, potom je zešikmeno záporně (ve výběru je větší koncentrace větších
hodnot).
Pokračujme s naším příkladem , s daty z tabulky 10.3. Níže vidíme data v grafu.
Polygon četností
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
800 1300 1800 2300 2800 3300 3800
Hodnota míry šikmosti pro naše hodnoty a = 1. Je tedy kladná a data jsou zešikmena
kladně.
10.3.3.2 Výběrová míra špičatosti.
Tato míra popisuje stupeň koncentrace hodnot znaku kolem charakteristiky úrovně
( kolem průměru ). Stejné nahuštění prostředních i krajních hodnot vede k plochosti ( hodnota
míry je potom záporná ), větší nahuštění prostředních hodnot se projevuje špičatostí
rozdělení( hodnota míry je kladná. Tato míra porovnává dané rozdělení s normovaným
normálním rozdělením N(0,1) ( má hodnotu špičatosti rovnu nule ). Vypočte se podle vztahu
4
1
4
( )
3,
.
n
i
i
x x
n s
=
−
= −
∑
b (10.25)
označuje se symbolem b.
Hodnota špičatosti pro naše data z tabulky 10.3 je rovna – 0,93 . Rozdělení je ploché,
což je vidět i z polygonu četností.
10.4 Grafické zobrazení dat
Pro presentaci statistických údajů je velmi působivé používat různé grafické způsoby.
Každý typ grafického zobrazení hodnot má svoje omezení, ale zároveň i svoje výhody.
Kromě klasických typů se k zobrazování statistických dat hodí speciální grafy, jeden typ jsme
už měli možnost vidět v části 10.3.1.3 Kvantily a medián šlo o tzv. Box Plot neboli Krabicový
graf. V dalším si ukážeme možné grafy pro presentaci údajů.
Běžné grafy
10.4.1 Bodový graf
Znázorňuje hodnoty pomocí bodů,většinou v pravoúhlé soustavě. Používá se většinou
k zachycení závislostí právě dvou statistických znaků. Při více než dvou znacích jeho
jednoduchost mizí a stává se méně přehledným. Nelze pomocí něho vystihnout data s větší
četností.
Graf 10.1 – velikost nákladů v závislosti na pořadí
Náklady
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5 10 15 20 25 30
Náklady
10.4.2 Spojnicový graf
Jestliže chceme znázornit velké množství hodnot, chceme – li vystihnout průběh
časové řady hodí se k tomu více spojnicový graf. Používá se také k vyjádření předpokladu o
spojitosti vyšetřovaného znaku. Jestliže se pomocí něho vyjadřuje rozložení absolutních nebo
relativních četností ve výběru , nazýváme se polygon četností.
Graf 10.2 – spojnicový graf, vyjadřuje změnu nákladů
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5 10 15 20 25 30
Náklady Po změně
10.4.3 Sloupcový graf
Sloupcový graf vyjadřuje jednoduché závislosti mezi dvěma hodnotami, velmi často
jsou jednotlivé prvky výběru seskupovány do tříd. Existuje několik typů těchto grafů –
klasické sloupcové, sloupcové s procentním rozložením, trojrozměrné sloupcové grafy.
Klasická ukázka je uvedena v grafu 10.3
Graf 10.3- rozdělení nákladů do tříd
Sloupcový graf četností
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
-500
500
-1000
1000
-1500
1500
-2000
2000
-2500
2500
-3000
3000
-3500
3500
-4000
4000
-4500
četnost
10.4.4 Histogram
Svou definicí je to sloupcový graf , který se používá k znázornění absolutních nebo
relativních četností (většinou )spojitého znaku. Sloupce v grafu jsou zásadně vertikální,šířka
sloupce odpovídá velikosti třídy a celková plocha sloupce odpovídá četnosti prvků třídy
ve výběru.
Histogram
0
2000
4000
6000
8000
10000
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
10.4.5 Kruhový graf
Zobrazuje hodnoty jako výseče v kruhu a tím se zachytí struktura výběru. Předchozí
data jsou zobrazena v kruhovém grafu ( koláč, výsečový graf ) takto
2%
38%
13%
11%
6%
6%
9%
9%
6%
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Speciální statistické grafy
Jedním z užívaných grafických způsobů je dříve uvedený histogram. V současné době
existuje mnoho profesionálních způsobů presentace statistických dat. V části 10.3.1.3
Kvantily a medián jsme zavedli velmi užitečný typ Box Plot – český ekvivalent názvu je
Krabicový graf. Statistických grafů existuje velké množství, zaměříme se na některé speciální.
10.4.6 Kvantilový graf
Jde typ grafu , kterým můžeme přehledně znázornit data, porovnat je se známými
rozděleními, najít vybočující hodnoty atd. Na osu x nanášíme pořadovou pravděpodobnost
teoretického rozdělení, na osu y skutečné kvantily daných dat. Na grafu níže je uvedeno
porovnání výběru s N(0,1). Data se s hodnotami teoretického rozdělení neshodují, zjevně
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
N(0,1)
výběr
vybočují na krajích.
Tento typ grafu se velmi často užívá pro první porovnání údajů především
s normálním normovaným rozdělením. Dříve se k takovému porovnání používal tzv.
pravděpodobnostní papír, dnes ho provádíme s pomocí počítače.
Mezi základní statistická vyšetřování patří rozhodnutí, zda daný výběr patří nebo
nepatří k rozdělím symetrickým. K takovému rozhodnutí nám pomáhá následující typ grafu:
10.4.7 Graf polosum
Jeho konstrukce je založena na myšlence, že u symetrického rozdělení je aritmetický
průměr kvantilu p% a kvantilu (1-p)% stejný a je roven mediánu. Níže je uveden daný graf
pro data vyšetřovaná v předchozí části. Symetrická rozdělení jsou tedy charakterizována
přímkou y= x . Celkově je zřejmé,že data pochází ze symetrického rozdělení.
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
10.4.8 Graf symetrie
Pomocí tohoto grafu je možno sledovat znak symetrie výběru. Na osu x nanášíme
hodnoty
2
2 1
iP
i
u i
pro P
n
=
+
a na osu y stejné hodnoty jako u předchozího grafu tedy hodnoty
( 1 ) ( )( )
2
n i ix x+ −
osa x
25
50,37
0,12 0,17 0,22 0,27 0,32 0,37
Opět je zřejmé, že hodnoty výběru jsou symetrické , s výjimkou krajních hodnot.
Pomocí dalšího grafu je možno srovnávat parametr špičatosti s rozdělením N(0,1).
10.4.9 Graf špičatosti
Za předpokladu symetrie je pro normální rozdělení grafem přímka. Pokud leží body na
přímce s nenulovou směrnicí, je hodnota této směrnice odhadem výběrového parametru
špičatosti. Opět je zřejmé, že data odpovídají symetrii, navíc můžeme z grafu odhadnout
výběrovou špičatost.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6