Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Pavel Rychlý Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Czech Republic {pary, xkovar3}3fi.muni.cz část 1 P;iv[-I ľíydily, V.>jli-i:li Kovaí (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 1 / 11 Obsah přednášky Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 2 / 14 Informace o předmětu Informace o predmetu Informace o predmetu * Obsah predmetu ► průřez vysokoškolskou matematikou ►• forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ► Ukončení predmetu ► zkouška (formou dvou písemek) ► 25 % bodů vnitrosemestrální písemka: 7.11. ► 75 % bodů závěrečná písemka ► Úspěšné ukončení ► min. 60 % bodů z písemek Pavel Rychlý. Vojtech Kovář (Fl MU Brno) lil" část 1 3/14 Informace 0 předmětu Informace o předmětu Organizační poznámky ► Je možné, že některé přednášky odpadnou ► 10.10. ► bude upřesněno e-mailem Pavel Rychlý. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 East 1 4 / 14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Okruhy ► výroková logika, důkazy, indukce ► základy teorie množin, čísla, relace, funkce ► ekvivalence, uspořádání ► úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ► kombinatorika, popisná statistika ► Zdroje informací ► studijní text k předmětu ► literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ► slidy, texty a příklady ve studijních materiálech ► diskusní fórum, osobní konzultace Pavel Rychlý, Vojtech Kovář (Fl MU Brno) PI IN004 část 1 5/14 Motivace Rozdíl mezi SS a VS matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ► Středoškolská matematika ► = počty s čísly: ►■ —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ► —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ► —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ► Vysokoškolská matematika ►■ = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ► —> zásobárna abstraktních pojmů ► —> přesné definice ►■ —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ►■ —> základ pro všechny technické obory Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 6 / 14 Motivace Proč potřebuji lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ► Počítačová lingvistika ► zpracování jazyka na počítačích ► potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ► —> pochopit jejich způsob myšlení ► počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ► Abstraktní myšlení schopnost rozumově uchopit složité pojmy ►• —» snazší pochopení lingvistických modelů ► schopnost zobecňovat ► schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ► —i nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Pavrl Kýchly, Vojlhli Kovář (Fl MU Brno) PI INDIU část 1 7 / M Principy matematiky Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ► Středoškolská matematika ► návody, jak něco spočítat ► Vysokoškolská matematika ► soubor poznatků o abstraktních pojmech ► styl definice - věta - důkaz : ► definice = vymezení pojmu ► "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, ze y * 2 = x" ► věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ► " 10 je sudé číslo" ► důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ► 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) ► 5 * 2 je sudé (definice) ► tedy 10 je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 11 / 14 Principy matematiky Typy důkazu Typy důkazů ► Přímý důkaz ► použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ► Důkaz sporem ► předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ► použitím definic a známých faktů odvodíme spor ►■ (např. 1=0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ► Důkaz indukcí ► dokazujeme něco pro posloupnost objektů ►■ příště Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN0O4 část 1 9/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázky důkazů ► Mějme definováno (znáte ze SS) ► celá čísla (1, 2, 3.....0, -1, -2, ...) ► sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech ► dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) ► racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ► druhou mocninu (a2 = a * a) druhou odmocninu [sfa = n, pokud n * n = a) Pavel Rychli, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 , 1 10 U Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ►■ Věta ► pro libovolná celá x,y platí, že ► pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé Pavel Rychlý, Vojtěch Kov.tr (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 11/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že y je liché ► tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 ► úpravou původní věty dostáváme: ► 2x2 = (2k + l)(2k + 1) ► dále roznásobíme závorku: ► 2x2 = Ak2 + Ak + 1 ► vytkneme 2 z části pravé strany: ► 2x2 = 2 * (2k2 + 2k) + 1 ► odečtením výrazu 2 * (2k2 + 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ► 2 * (x2 - [2k2 + 2/c)) = 1 ► tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (1 1 MU Brno) P1IN004 části 12/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ►■ Věta ► y/2 není racionální číslo. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) P1IN004 část 1 13/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že \/2 je racionální číslo. ► tedy \/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ► úpravou dostaneme: \Í2* s = r ► 2 * s2 = r2 *■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ► nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ► s2 = 2 * c2 ► tedy s je také sudé ► r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Pavel Rychlý, Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) P1IN004 část 1 14/14