Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic xkovar3@fi.muni.cz část 1 Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 1/14 Obsah přednášky Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 2/14 Informace o predmetu ► Obsah predmetu > průřez vysokoškolskou matematikou > forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ► Ukončení predmetu > zkouška (formou dvou písemek) > 25 % bodů vnitrosemestrální písemka: 13.11. > 75 % bodů závěrečná písemka ► Úspěšné ukončení > min. 60 % bodů z písemek Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 3/14 Informace o předmětu Informace o předmětu Organizační poznámky ► Některé přednášky odpadnou ► 2.10. ► 6.11. ► bude upřesněno e-mailem Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 4/14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ►■ Okruhy > výroková logika, důkazy, indukce > základy teorie množin, čísla, relace, funkce > ekvivalence, uspořádání > úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika > kombinatorika, popisná statistika ► Zdroje informací > studijní text k předmětu > literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) > slidy, texty a příklady ve studijních materiálech > diskusní fórum, osobní konzultace Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 5/14 Motivace Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ► Středoškolská matematika > = počty s čísly: > —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) > —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) > —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ► Vysokoškolská matematika > = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech > —> zásobárna abstraktních pojmů > —> přesné definice > —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) > —> základ pro všechny technické obory Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 6/14 l ■ ■ i ■............ Proč potřebují lingvisté matematiku? ► Počítačová lingvistika > zpracování jazyka na počítačích > potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi > —> pochopit jejich způsob myšlení > počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ► Abstraktní myšlení > schopnost rozumově uchopit složité pojmy > —> snazší pochopení lingvistických modelů > schopnost zobecňovat > schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší > —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 7/14 Principy matematiky Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ► Středoškolská matematika ► návody, jak něco spočítat ► Vysokoškolská matematika ► soubor poznatků o abstraktních pojmech ► styl definice - věta - důkaz : ► definice — vymezení pojmu ► "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 = x" ► věta — formulace poznatku o definovaných pojmech ► " 10 je sudé číslo" ► důkaz — ověření pravdivosti věty krok za krokem ► 10 = 5 * 2 (zákl. aritmetika) *■ 5 * 2 je sudé (definice) *■ tedy 10 je sudé Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 8 / 14 Principy matematiky Typy důkazu Typy důkazů ► Přímý důkaz > použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ► Důkaz sporem > předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) > použitím definic a známých faktů odvodíme spor > (např. 1=0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ► Důkaz indukcí > dokazujeme něco pro posloupnost objektů > příště Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 9/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázky důkazů ► Mějme definováno (znáte ze SS) ► celá čísla (1, 2, 3.....0, -1, -2, ...) *■ sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech *■ dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) *■ racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) *■ druhou mocninu (a2 = a * a) *■ druhou odmocninu (\/ä = n, pokud n * n = a) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 10/14 Principy matematiky Ukázky důkazu Ukázka důkazu ►■ Věta > pro libovolná celá x, y platí, že > pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 11/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že y je liché ► tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 ► úpravou původní věty dostáváme: f 2x2 = (2k + l)(2k + 1) ► dále roznásobíme závorku: f 2x2 = Ak2 + Ak + 1 ► vytkneme 2 z části pravé strany: ► 2x2 = 2 * (2k2 + 2k) + l ► odečtením výrazu 2 * (2k2 + 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ► 2 * (x2 - (2k2 + 2k)) = 1 ► tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 12/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ►■ Věta ► \[2 není racionální číslo. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 13/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že v^je racionální číslo. ► tedy \/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ► úpravou dostaneme: \fl* s = r *■ 2 * s2 = r2 *■ tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ► nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ► s2 = 2 * c2 ► tedy s je také sudé ► r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 14/14