Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic xkovar3@f i.muni.cz část 2 Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 1/22 Obsah přednášky Obsah přednášky Matematická logika Výroková logika Něco z predikátové logiky Matematická indukce Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 2/22 Matematická logika Matematická logika - motivace Matematická logika - motivace ► Jazyk matematiky ► přirozený jazyk je víceznačný ► ,,k jednání XY na úřadě YZ potřebujete pas a řidičský průkaz nebo občanský průkaz" ► matematická fakta potřebujeme zapisovat přesně ► Formalizace pojmu důkaz ► důkaz = posloupnost elementárních kroků ► to, co je ,,elementární' je individuální ► logika zavádí přesnou definici elementárního kroku Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 3/22 Matematická logika Typy logik Typy logik ► Výroková logika ► výroky logické funkce, pravidlo modus ponens ► Predikátová logika ► predikáty, kvantifikátory ► Další typy logik ► modálni, temporální, fuzzy, intenzionální, ... ► nebudeme se jimi zabývat ► Naším cílem je naučit se logiku prakticky používat ► —> číst a psát ► nikoli zkoumat její temná zákoutí (viz předmět ,,Matematická logika" na Fl) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 4/22 Výroková logika Výroková logika Výroková logika ► Výrok ► základní jednotka ► tvrzení, jemuž lze přiřadit pravdivostní hodnotu ► např. ,,a = 1", ,,4 je prvočíslo" ► Pravdivost ► přiřazení hodnoty 0 nebo 1 každému výroku ► zapisujeme v(A) = 1 (,,výrok A platí") ► v [A) = 0 (,, výrok A neplatí") ► Logické funkce ► konstrukce složitějších výroků z výroků jednodušších Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 5/22 Výroková logika Logické funkce Logické funkce (1) ► Základní logické funkce ► necht A, B jsou výroky ► negace ->A ► V^A) = 0, je-li v (A) = 1 ► vl-,A) = 1, je-li v(A) = 0 ► implikace A B ► v(A B) = 0, je-li v(A) = 1 a v(B) = 0 ► v(A =4> 8) = 1 v ostatních případech ► kombinací těchto funkcí lze vyjádřit všechny ostatní logické funkce Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 6/22 Výroková logika Logické funkce Logické funkce (2) ► Odvozené logické funkce ► konjunkce A A B (logické ,,a") ► v (A A B) = 1, je-li v (A) = 1 a v{B) = 1 ► v(A A B) = 0 v ostatních případech ► disjunkce A\/ B (logické ,,nebo") ► v(A V B) = 0, je-li v(A) = 0 a v(B) = 0 ► v(A V B) = 1 v ostatních případech ► ekvivalence A <í=> B ► (A B) A (B A) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 7/22 Výroková logika Odvozování Odvozování ► Schémata axiomů ► pro libovolné výroky A, B, C platí ► A (B A) ► (A (B C)) {{A B)^{A^ C)) ► (-,6 -,/*) (4 6) ► dosazením konkrétních výroků vzniknou axiomy ► Odvozovací pravidlo modus ponens ► pokud platí A a platí A B, pak platí B ► Formální definice důkazu ► posloupnost výroků, z nichž každý je buď axiom nebo výsledek aplikace odvozovacího pravidla na předchozí výroky Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 8/22 Výroková logika Odvozování Příklad důkazu: X^X ► Schémata axiomů ► A^{B^ A) ► (A => (8 => C)) =► ((4 8) => (/\ => C)) ► (-,s => -»A) ^(4^8) ► Dokazujeme, že pro libovolný výrok X platí X X 1. (X ((X X) X)) ((X => (X X)) => (X X)) / axiom 2 2. X => ((X X) => X) /axiom 1 3. (X (X =t* X)) =r> (X =/* A") / aplikace modus ponens na 2. a 1. 4. X (X X) / axiom 1 5. X^ ^> X^ / aplikace modus ponens na 4. a 3. Vojtěch Kovávr (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 9/22 Něco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky ► Ohodnocení proměnných ► formule („výroky") mohou obsahovat proměnné (x = 1) ► pravdivost pak závisí na ohodnocení, tj. přiřazení hodnot proměnným ► Kvantifikátory ► 3 - existuje alespoň jedno ohodnocení, při kterém formule platí ► V - výrok platí pro všechna možná ohodnocení ► např.: 3x(x = 0Ax = l) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 10/22 Něco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky (2) ► Funkční symboly ► kombinují objekty, se kterými zacházíme (množiny, čísla) ► výsledkem je další objekt ► např. plus, množinové sjednocení ► např. +(x,y), resp. x + y" ► Predikáty ► vyjadřují fakta o konstantách a proměnných ► výstupem je pravdivostní hodnota ► např. Prime(x) - ,,x je prvočíslo" ► např. 6 (x. V), resp. x e Y - ,,prvek x patří do množiny Y" Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 11/22 Něco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky (3) ► Příklady složitějších formulí ► 3x(3k(x = 2k + 1) A 3m(x = 2m)) ► Vx(Pr/me(x) 3k(x = 2k)) ► 3x(Prime(x) A 3k{x = 2k)) ► dokážete je přečíst? Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 12/22 Matematická indukce Matematická indukce Matematická indukce ► Obecný matematický princip ► použitelný pro definice, důkazy ► napřed vyrobíme/dokážeme něco jednoduchého ► —> báze indukce ► pak vyrobíme z obecného jednoduchého objektu o krok složitější objekt ► případně dokážeme, že z platnosti pro jednoduchý objekt vyplývá platnost pro složitější objekt ► —y indukční krok ► tím dostaneme nekonečnou řadu definic/důkazů Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 13/22 Matematická indukce Matematická indukce Induktivní definice ► Báze indukce ► definujeme nejjednodušší prvky ► Indukční krok ► popíšeme, jak se z jednodušších prvků vyrobí složitější ► Příklad: induktivně definované posloupnosti ► definujeme nekonečnou posloupnost 3,5,7,9,... ► báze indukce: a\ = 3 ► indukční krok: an+\ = an + 2 Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 14/22 Matematická indukce Matematická indukce Induktivní definice (2) ► Bází může být víc ► Fibonacciho posloupnost: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ► báze indukce: a\ = 0 ► báze indukce: 32 = 1 ► indukční krok: an+2 = an+i + an ► Indukčních kroků může být víc ► definice toho, jak vypadá správná výroková formule ► báze indukce: libovolný jednoduchý výrok A je výroková formule ► indukční krok: pokud A je výroková formule, pak -*(A) je výroková formule ► indukční krok: pokud A a B jsou výrokové formule, pak (A =4> B) je výroková formule Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 15/22 Matematická indukce Matematická indukce Důkaz matematickou indukcí ► Princip ► potřebujeme dokázat, že pro všechny prvky nějaké posloupnosti xo, ...,xn,... platí nějaký výrok A ► Vn(/\(x„)) ► dokážeme výrok pro xo ► —> báze indukce ► dokážeme, že pokud výrok platí pro x/_i, pak platí i pro x; pro libovolné / ► A{x;-x) => A{Xi) ► —} indukční krok ► levá strana implikace výše se nazývá indukční předpoklad Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 čásL 2 16/22 Matematická indukce Příklad indukce Příklad indukce ► Dokážeme, že pro všechna přirozená n > 1 platí: ► 1 + 2 + ... + n = n/2 * (1 + n) ► Báze ► 1 = 1/2* (1 + 1) ► Indukční krok ► předpokládáme: 1 + 2 + ... + k = k/2 * (1 + k) ► dokážeme: 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = {k +1)/2 * (1 + (k + 1)) Vojtčch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 17/22 Matematická indukce Příklad indukce Příklad indukce (2) ► Indukční krok ► předpokládáme: 1 + 2 + ... + k = k/2 * (1 + k) ► dokážeme: 1 +2 + ... + k + {k +1) = {k + l)/2 * (1 + (k +1)) ► 1 + 2+ ... + /(+ 0 + 1) ► k/2*{l + k) + (k + l) ► (/c + /c2)/2 + (/c + l) ► (k + k2 + 2k + 2)/2 ► (/c2 + 3/( + 2)/2 ► (* + 2) * (k + l)/2 ► (/f + l)/2 * (/f + 2) ► (/c + l)/2 * (1 + (k + 1)) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 18/22 Matematická indukce Korektnost matematické indukce Proč to funguje? ► Intuitivní ověření korektnosti ► báze —> platí A(xq) ► indukční krok —> platí (A(xq) ^> A(xi)) ► modus ponens —> platí i A(xi) ► indukční krok —> platí (A(xi) =^ Afa)) ► modus ponens —> platí i A(x2) ► atd. ad infinitum ► Formální důkaz korektnosti matematické indukce ► existuje, ale nad rámec předmětu Vojtech Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 19/22 Matematická indukce 5ložitější typy indukce Složitější typy indukce (1) ► Složitější indukční předpoklad ► např. platí /4(x;_i) i /4(x;_2) ► musíme dokázat odpovídající bázi ► tj. A(xQ) i /A(xi) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 20 /22 Matematická indukce Složitější typy indukce Složitější typy indukce (2) Strukturální indukce ► aplikujeme na induktivně definované objekty (např. výrokové formule) ► báze indukce: věta platí pro jednoduché výroky ► indukční krok 1: věta platí pro formuli A platí i pro -i(A) ► indukční krok 2: věta platí pro formule A a B =4> platí i pro (A =4> B) Princip zůstává stejný, pouze vedení důkazu je komplikovanější Důkaz, že každá formule podle definice výše má sudý počet závorek? Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 íast 2 21/22 Matematická indukce Příklad špatné indukce Všichni koně mají stejnou barvu ► Věta: V každém stádě mají všichni koně stejnou barvu. ► Důkaz: indukcí vzhledem k velikosti stáda ► báze: Ve stádě o 1 koni mají všichni stejnou barvu. ► indukční krok: Předp., že věta platí pro dvě stáda o n koních; dokážeme, že platí pro stádo o velikosti n + 1 S1 = {K1,...,Kn}, S2 = {K2,...,Kn+1} ► podle předpokladu mají v Si i v S2 všichni koně stejnou barvu ► koně K2,Kn+\ jsou v obou stádech i barva obou stád je stejná tedy i ve stádě S = {Ki,Kn+\\ mají všichni koně stejnou barvu ► Kde je problém? (zřejmě existují různí koně :) ) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 Sást 2 22 /22