Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Czech Republic xkovar3@fi.muni.cz část 2 Vojtech Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 1/22 Obsah přednášky Obsah přednášky Matematická logika Výroková logika Něco z predikátové logiky Matematická indukce Vojtech Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 Eást 2 2/22 Matematická logika Matematická logika - motivace Matematická logika - motivace ► Jazyk matematiky ► prirazený jazyk je víceznačný ► ,,k jednaní XY na úřadě YZ potřebujete pas a řidičský průkaz nebo občanský průkaz" ► matematická fakta potřebujeme zapisovat přesně ► Formalizace pojmu důkaz ► důkaz = posloupnost elementárních kroků ► to, co je „elementární" je individuální ► logika zavádí přesnou definici elementárního kroku Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) ľlll" část 2 3/22 Matematická logika Týpý logik Typy logik ► Výroková logika ► výroky, logické funkce, pravidlo modus ponens ► Predikátová logika ► predikáty, kvantifikátory ► Další typy logik ► modálni, temporální, fuzzy, intenzionální, ... ► nebudeme se jimi zabývat ► Naším cílem je naučit se logiku prakticky používat ► —> číst a psát ► nikoli zkoumat její temná zákoutí (viz předmět „Matematická logika" na Fl) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 4/22 Výroková logika Výroková logika Výroková logika ► Výrok ► základní jednotka ► tvrzení, jemuž lze přiřadit pravdivostní hodnotu ► např. „a = 1", „4 je prvočíslo" ► Pravdivost ► přiřazení hodnoty 0 nebo 1 každému výroku ► zapisujeme v(A) = 1 (,,výrok A platí") ► v (A) = 0 („výrok A neplatí") ► Logické funkce ► konstrukce složitějších výroků z výroků jednodušších VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) ľl INCXM část 2 5/22 Výroková logika Logické funkce Logické funkce (1) ► Základní logické funkce ► necht A, B jsou výroky ► negace - B) = 0, je-li v{A) = 1 a v{B) = 0 ► v(A =3- B) = 1 v ostatních případech ► kombinací těchto funkcí lze vyjádřit všechny ostatní logické fu n kce Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 Eást 2 6/22 Výroková logika Logická Funkce Logické funkce (2) ► Odvozené logické funkce ► konjunkce A A B (logické „a") ► v(A A B) = 1, je-li v(A) = 1 a v(B) = 1 ► v(A A B) = 0 v ostatních případech ► disjunkce A V B (logické „nebo") ► v(A V B) = 0, je-li v(A) = 0 a v{B) = 0 ► v{A V B) = 1 v ostatních případech ► ekvivalence A B ► (A => B) A (B => A) VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) PLIWOÍM část 2 7/22 Výroková logika Odvozování Odvozování ► Schémata axiomů ► pro libovolné výroky A, B, C platí ► A => (B =4> A) ► [A => (B =4> C)) ({A B)^(A^ C)) ► (-.B ^A) (A B) ► dosazením konkrétních výroků vzniknou axiomy ► Odvozovací pravidlo modus ponens ► pokud platí A a platí A =4> B, pak platí B ► Formální definice důkazu ► posloupnost výroků, z nichž každý je bud axiom nebo výsledek aplikace odvozovacího pravidla na předchozí výroky Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 Eást 2 8/22 Výroková logika Odvozování Příklad důkazu: X X ► Schémata axiomů ► A=ť(B=t-A) ► [A {B C)) {{A B) {A C)) ► (-u3 ^A) (A=> B) ► Dokazujeme, že pro libovolný výrok X platí X X 1. (X ^ ((X ^ X) ^ X)) ^ ((X ^ (X ^ X)) ^ (X ^ X)) / 2. X ^ ((X ^ X)^X)/ axiom 1 3. [X =r" i^X =r" ^0) ^* ^* ^0 / aplikace modus ponens na 2. a 1. 4. X ^ (X ^ X) / axiom 1 5. X ^r" X / aplikace modus ponens na 4. a 3. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 9/22 Něco z predikátové logiky Jěco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky ► Ohodnocení proměnných ► formule („výroky") mohou obsahovat proměnné (x = 1) ► pravdivost pak závisí na ohodnocení, tj. přiřazení hodnot proměnným ► Kvantifikátory ► 3 - existuje alespoň jedno ohodnocení, při kterém formule platí ► V - výrok platí pro všechna možná ohodnocení ► např.: 3x(x = 0 A x = 1) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 10/22 Něco z predikátové logiky Jěco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky (2) ► Funkční symboly ► kombinují objekty, se kterými zacházíme (množiny, čísla) ► výsledkem je další objekt ► např. plus, množinové sjednocení ► např. +(x,y), resp. x + y" ► Predikáty ► vyjadřují fakta o konstantách a proměnných ► výstupem je pravdivostní hodnota ► např. Prime(x) - ,,x je prvočíslo" ► např. e (x, Y), resp. x e Y - „prvek x patří do množiny Y" Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 11/22 Něco z predikátové logiky Jěco z predikátové logiky Něco z predikátové logiky (3) ► Příklady složitějších formulí ► 3x(3/c(x = 2k + 1) A 3m(x = 2m)) ► Vx(Pr/'me(x) => 3k(x = 2k)) ► 3x(P/-/'me(x) A 3/c(x = 2k)) ► dokážete je přečíst? Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 12/22 Matematická indukce Matematická indukce Matematická indukce ► Obecný matematický princip ► použitelný pro definice, důkazy ► napřed vyrobíme/dokážeme něco jednoduchého ► —> báze indukce ► pak vyrobíme z obecného jednoduchého objektu o krok složitější objekt ► případně dokážeme, že z platnosti pro jednoduchý objekt vyplývá platnost pro složitější objekt ► —> indukční krok ► tím dostaneme nekonečnou řadu definic/důkazů Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 13/22 Matematická indukce Matematická indukce Induktivní definice ► Báze indukce ► definujeme nejjednodušší prvky ► Indukční krok ► popíšeme, jak se z jednodušších prvků vyrobí složitější ► Příklad: induktivně definované posloupnosti ► definujeme nekonečnou posloupnost 3,5,7,9,... ► báze indukce: a\ = 3 ► indukční krok: a„+i = a„ + 2 Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 14/22 Matematická indukce Matematická indukce Induktivní definice (2) ► Bází může být víc ► Fibonacciho posloupnost: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ► báze indukce: a\ = 0 ► báze indukce: 32 = 1 ► indukční krok: a„+2 = an+i + a„ ► Indukčních kroků může být víc ► definice toho, jak vypadá správná výroková formule ► báze indukce: libovolný jednoduchý výrok A je výroková formule ► indukční krok: pokud A je výroková formule, pak ^(A) je výroková formule ► indukční krok: pokud A a B jsou výrokové formule, pak (A B) je výroková formule Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 15/22 Matematická indukce Matematická indukce Důkaz matematickou indukcí ► Princip ► potřebujeme dokázat, že pro všechny prvky nějaké posloupnosti xo, ...,x„,... platí nějaký výrok A ► Vn(A(xn)) ► dokážeme výrok pro xo ► —> báze indukce ► dokážeme, že pokud výrok platí pro x,-_i, pak platí i pro x; pro libovolné / ► A[xi--y) A(xí) ► —> indukční krok ► levá strana implikace výše se nazývá indukční předpoklad Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 16/22 Matematická indukce Príklad indukce Příklad indukce ► Dokážeme, že pro všechna přirozená n > 1 platí: ► 1 + 2 + ... + n = n/2 * (1 + rí) ► Báze ► 1 = 1/2* (1 + 1) ► Indukční krok ► předpokládáme: 1 + 2 + ... + k = k/2 * (1 + k) ► dokážeme: 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = (k + l)/2 * (1 + (k + 1)) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 17/22 Matematická indukce Příklad indukce Příklad indukce (2) ► Indukční krok ► předpokládáme: 1 + 2 + ... + k = k/2 * (1 + k) ► dokážeme: 1 + 2 + ... + k + {k + 1) = {k + l)/2 * (1 + {k + 1)) ► 1 + 2 + ... + k + (k + l) ► k/2 * (1 + k) + {k + 1) ► {k + k2)/2 + {k + 1) ► {k + k2 + 2k + 2)/2 ► {k2 + 3/c + 2)/2 ► {k + 2) * {k + l)/2 ► (/c + l)/2*(/c + 2) ► (/c + l)/2*(l + (/c + l)) Vojtech Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 18/22 Matematická indukce Korektnost matematické indukce Proč to funguje? ► Intuitivní ověření korektnosti ► báze —> platí A(xq) ► indukční krok —> platí (A(xq) ^(xi)) ► modus ponens —> platí i A(xi) ► indukční krok -> platí (A(xi) A(x2)) ► modus ponens —> platí i /4(x2) ► atd. ad infinitum ► Formální důkaz korektnosti matematické indukce ► existuje, ale nad rámec předmětu Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 19/22 Matematická indukce Složitější typy indukce Složitější typy indukce (1) ► Složitější indukční předpoklad ► např. platí/4(x,-_i) i A(x;-2) ► musíme dokázat odpovídající bázi ► tj. A(x0) i A(Xl) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 20/22 Matematická indukce Složitější typy indukce Složitější typy indukce (2) ► Strukturální indukce ► aplikujeme na induktivně definované objekty (např. výrokové formule) ► báze indukce: věta platí pro jednoduché výroky ► indukční krok 1: věta platí pro formuli A platí i pro ^(A) ► indukční krok 2: věta platí pro formule A a B platí i pro (A B) ► Princip zůstává stejný, pouze vedení důkazu je komplikovanější ► Důkaz, že každá formule podle definice výše má sudý počet závorek? Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 2 21/22 Matematická indukce Příklad špatné indukce Všichni koně mají stejnou barvu ► Věta: V každém stádě mají všichni koně stejnou barvu. ► Důkaz: indukcí vzhledem k velikosti stáda ► báze: Ve stádě o 1 koni mají všichni stejnou barvu. ► indukční krok: Předp., že věta platí pro dvě stáda o n koních; dokážeme, že platí pro stádo o velikosti n + 1 ► Si = {/