Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic xkovar3@f i.muni.cz část 1 Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 část 1 1/14 Obsah přednášky Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 2/14 Informace o predmetu Informace o predmetu Informace o predmetu ► Obsah predmetu ► průřez vysokoškolskou matematikou ► forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ► Ukončení předmětu ► zkouška formou 2 písemek ► vnitrosemestrální písemka 11.11. —> 25 bodů ► zkoušková písemka —> 75 bodů ► úspěšné ukončení —> alespoň 60 bodů z písemek ► může být upraveno dle aktuální situace Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 3/14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Okruhy ► výroková logika, důkazy, indukce ► základy teorie množin, čísla, relace, funkce ► ekvivalence, uspořádání ► úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ► kombinatorika, popisná statistika Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 4/14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Zdroje informací ► slidy a příklady ve studijních materiálech ► studijní text k předmětu ► přednášky na YouTube z minulých semestrů ► diskusní fórum - i z minulých semestrů ► literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ► osobní konzultace (on-line i naživo, dle situace) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 5/14 Motivace Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou v v Rozdíl mezi SS a VS matematikou ► Středoškolská matematika ► = počty s čísly: ► —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ► —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ► —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ► studijní text k předmětu ► Vysokoškolská matematika ► = umění abstrakce + přemýšlení v obecnostech ► —> zásobárna abstraktních pojmů ► —> přesné definice ► —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ► —> základ pro všechny technické obory Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 6/14 Motivace Proč potřebují lingvisté matematiku? Proč potřebují lingvisté matematiku? ► Počítačová lingvistika ► zpracování jazyka na počítačích ► potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ► —> pochopit jejich způsob myšlení ► počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ► Abstraktní myšlení ► schopnost rozumově uchopit složité pojmy ► —> snazší pochopení lingvistických modelů ► schopnost zobecňovat ► schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ► —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 7/14 Principy matematiky Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ► Středoškolská matematika ► návody, jak něco spočítat ► Vysokoškolská matematika ► soubor poznatků o abstraktních pojmech ► styl definice - věta - důkaz : ► definice = vymezení pojmu ► "celé číslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, že y * 2 — x" ► věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ► " 10 je sudé číslo" ► důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ► 10 = 5*2 (zákl. aritmetika) ► 5 * 2 je sudé (definice) ► tedy 10 je sudé Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 8/14 Principy matematiky Typy důkazů Typy důkazů ► Přímý důkaz ► použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ► Důkaz sporem ► předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ► použitím definic a známých faktů odvodíme spor ► (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ► Důkaz indukcí ► dokazujeme něco pro posloupnost objektů ► příště Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 9/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázky důkazů ► Mějme definováno (znáte ze SŠ) ► celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ► sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech ► dělitele (xje dělitelem a, pokud a/x je celé) ► racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ► druhou mocninu (a2 = a * a) ► druhou odmocninu (sj~a = n, pokud n * n = a) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 10/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Věta ► pro libovolná celá x,y platí, že ► pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 11/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že y je liché ► tedy existuje celé k tak, že y = 2/c + 1 ► úpravou původní věty dostáváme: ► 2x2 = (2/c + l)(2/c + 1) ► dále roznásobíme závorku: ► 2x2 = 4/c2 + 4/c + 1 ► vytkneme 2 z části pravé strany: ► 2x2 = 2 * (2/c2 + 2/c) + 1 ► odečtením výrazu 2 * (2/c2 + 2/c) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ► 2* (x2 - (2/c2 + 2/c)) = 1 ► tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 12/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že V2 je racionální číslo. ► tedy y/2 = r/s, kde r a s jsou celá a nemají společného dělitele ► Věta ► úpravou dostaneme: \[2 * s = r ► \[2 není racionální číslo. ► 2 * s2 = r2 ► tedy r je sudé, tj. r = 2* c pro nějaké celé c ► nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ► s2 = 2 * c2 ► tedy s je také sudé ► r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 13/14 Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLIN004 části 14/14