Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Czech Republic xkovar3@f i . mími . cz část 1 Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 1/14 Obsah přednášky Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 2/14 Informace o predmetu Informace o předmětu Informace o predmetu ► Obsah predmetu ► průřez vysokoškolskou matematikou ► forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ► Ukončení předmětu ► zkouška formou 2 písemek ► vnitrosemestrální písemka 11.11. —> 25 bodů ► zkoušková písemka —> 75 bodů ► úspěšné ukončení —> alespoň 60 bodů z písemek ► může být upraveno dle aktuální situace Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 3/14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Okruhy ► výroková logika, důkazy, indukce ► základy teorie množin, čísla, relace, funkce ► ekvivalence, uspořádání ► úvod do formální lingvistiky, jazyk jako množina, formální gramatika ► kombinatorika, popisná statistika Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 4/14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Zdroje informací ► slidy a příklady ve studijních materiálech ► studijní text k předmětu ► přednášky na YouTube z minulých semestrů ► diskusní fórum - i z minulých semestrů ► literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ► osobní konzultace (on-line i naživo, dle situace) VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 5/14 Motivace Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ► Středoškolská matematika ► = počty s čísly: ► —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ► —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ► —> k čemu to ***** je? (matice, integrály) ► studijní text k předmětu ► Vysokoškolská matematika ► = umění abstrakce -+- přemýšlení v obecnostech ► —> zásobárna abstraktních pojmů ► —> přesné definice ► —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ► —> základ pro všechny technické obory Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 6/14 Proč potřebují lingvisté matematiku? ► Počítačová lingvistika ► zpracování jazyka na počítačích ► potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ► —> pochopit jejich způsob myšlení ► počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ► Abstraktní myšlení ► schopnost rozumově uchopit složité pojmy ► —> snazší pochopení lingvistických modelů ► schopnost zobecňovat ► schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ► —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 7/14 Principy matematiky Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ► Středoškolská matematika ► návody, jak něco spočítat ► Vysokoškolská matematika ► soubor poznatků o abstraktních pojmech ► styl definice - věta - důkaz : ► definice = vymezení pojmu ► "celé čľslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, ze y * 2 = x" ► věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ► " 10 je sudé číslo" ► důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ► 10 = 5*2 (zákl. aritmetika) ► 5 * 2 je sudé (definice) ► tedy 10 je sudé Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 Ěást 1 8/14 Principy matematiky Typy důkazů Typy důkazů ► Přímý důkaz ► použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ► Důkaz sporem ► předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ► použitím definic a známých faktů odvodíme spor ► (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ► Důkaz indukcí ► dokazujeme něco pro posloupnost objektů ► příště Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 £ást 1 9/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázky důkazů ► Mějme definováno (znáte ze 55) ► celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ► sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech ► dělitele (x je dělitelem a, pokud a/x je celé) ► racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ► druhou mocninu (a2 = a * a) ► druhou odmocninu {yfä = n, pokud n * n = a) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 10/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Věta ► pro libovolná celá x,y platí, že ► pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 11/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že y je liché ► tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 ► úpravou původní věty dostáváme: ► 2x2 = (2fc + l)(2fc + l) ► dále roznásobíme závorku: ► 2x2 =4/f2 + 4/í + l ► vytkneme 2 z části pravé strany: ► 2x2 = 2 * {2k2 + 2k) + 1 ► odečtením výrazu 2 * (2k2 -+- 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ► 2*(x2-(2/í2 + 2/í)) = 1 ► tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 12/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Věta ► \/2 není racionální číslo. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 13/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že \[2 je racionální číslo. ► tedy \/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ► úpravou dostaneme: \/2*s = r ► 2 * s2 = r2 ► tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ► nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ► s2 = 2 * c2 ► tedy s je také sudé ► r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Vojtčch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 14/14