MFZD – cvičení č. 1
1. Určete jednotkový vektor 𝑎⃗0
k vektoru 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ − 4𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗.
[𝑎⃗0
= 0,384 𝑖⃗− 0,512 𝑗⃗+ 0,768 𝑘⃗⃗]
2. Jsou dány vektory 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 4𝑘⃗⃗, 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 4𝑘⃗⃗. Určete:
a) 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗,
b) 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗, 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗,
c) |𝑎⃗|, |𝑏⃗⃗|,
d) 𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗,
e) úhel, který svírají.
[a) 5𝑖⃗ + 5𝑗⃗ + 8𝑘⃗⃗, 𝑏) 𝑖⃗ − 7𝑗⃗ + 0𝑘⃗⃗, −𝑖⃗+ 7𝑗⃗ + 0𝑘⃗⃗, c) √26, √56, d) 16, e) 65,21°]
3. Zjistěte, jestli jsou vektory (1, −2, 3) a (−4, −2, 1) vzájemně kolmé.
[Podmínka 𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗ = 0 není splněna, vektory nejsou vzájemně kolmé]
4. Zjistěte, jestli jsou vektory 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ a 𝑏⃗⃗ = −2𝑖⃗ + 6𝑘⃗⃗ vzájemně kolmé.
[Podmínka 𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗ = 0 je splněna, vektory jsou vzájemně kolmé]
5. Vyřešte následující exponenciální rovnice:
a) 32𝑥
= 9 b) (
3
5
)
𝑥
= (
5
3
)
3
c) 53𝑥+2
= 25 𝑥−1
d) (
1
4
)
𝑥−1
= 42−3𝑥
[a) x = 1, b) x = −3, c) x = −4, d) x = 1/2]
6. Určete:
a) log 105
b) 3 log 103
c) log 102
+ log 104
d) log 107
− log 102
[a) 5, b) 9, c) 6, d) 5]
7. Vyřešte následující logaritmické rovnice:
a) log2 8 = 𝑥 b) log3 81 = 𝑥
c) log2 √16 = 𝑥 d) log 𝑥 = 3,8
e) ln 𝑥 = 2,5
[a) x = 3, b) x = 4, c) x = 2, d) x = 6309,57, e) x = 12,18]
Hladina intenzity vlnění je definována vztahem
𝐿 𝐼 = 10 dB log
𝐼
𝐼0
, kde 𝐼0 = 10−12
W.m-2
je referenční intenzita stanovená dohodou.
Vypočítejte následující příklady:
8. Zvuk má intenzitu 10-3
W.m-2
. Jakou má tento zvuk hodnotu hladiny intenzity?
[90 dB]
9. O kolik decibelů se zvýší hladina intenzity zvuku, vzroste-li intenzita zvuku tisíckrát?
[30 dB]
10. Určete poměr mezi původní a konečnou intenzitou zvuku, zvýší-li se hladina intenzity zvuku
o 50 dB.
[105
: 1]
11. Původní intenzita zvuku měla hodnotu 10-6
W.m-2
. Hladina intenzity zvuku se zvýšila o 50 dB.
Jaká je nyní intenzita zvuku?
[0,1 W.m-2
]