Kmity mechanické a
elektromagnetické -
porovnání
Obsah
• Volné mechanické kmity – popis a energie
• Elektromagnetické kmity – netlumené, LC kmitavý
obvod, popis a energie
• Tlumené kmity – mechanické a elektromagnetické
• Nucené kmity – mechanické a elektromagnetické
Harmonické
kmity
Volné
Působí jediná síla = elastická
Amplituda je konstantní
Probíhají v čase   ,0tt
Tlumené
Působí 2 síly: elastická + tlumící
Tlumící síla: tření, odpor prostředí aj.
Jsou kvaziperiodické. Amplituda klesá
s časem. Po dostatečně dlouhé době je amplituda
prakticky nulová
Vynucené
Působí 3 síly: elastická + tlumící +
+ vnější budící síla
Kmitočet vynucených kmitů = kmitočtu budící síly.
Amplituda závisí na rozdílu kmitočtu volných kmitů a
budícího kmitočtu
Harmonické kmity - rozdělení
Volné harmonické kmity
Zrychlení a je úměrné
výchylce a míří proti ní kxmaF xx 
výsledná síla je úměrná výchylce
částice z rovnovážné polohy a
orientovaná proti výchylce
2. Newtonův zákon
Hookův zákon
Příčinou harmonického kmitání mechanického oscilátoru je síla, která je
přímo úměrná výchylce oscilátoru z rovnovážné polohy a stále směřuje
do rovnovážné polohy (síla pružnosti, elastická síla).
k – tuhost pružiny
02
2
 xk
dt
xd
m
Převedeme všechny členy rovnice na pravou stranu:
Vydělíme hmotností m
02
2
 x
m
k
dt
xd
Rovnice je formálně shodná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu
02
2
2
 x
dt
xd

22
,  mk
m
k

Srovnáním:
m
k

úhlová frekvence vlastních kmitů
je plně určena vlastnostmi soustavy, tj.
hmotností oscilátoru a tuhostí vazby
Volné harmonické kmity - popis
Pohybová rovnice
vlastních kmitů
Energie harmonických kmitů
- zákon zachování
mechanické energie
22222
2
1
2
1
2
1
2
1
mm kxxmkxmvE  
Celková energie E = Ep + Ek je nezávislá na čase:
Elektromagnetické kmity v sériovém obvodu s L, C.
Podle 2. Kirchhoffova zákona
uL + uC = 0 , tj. 0
C
q
dt
di
L
Protože
dt
dq
i  upravíme rovnici
0
1
2
2
 q
Cdt
qd
L tj.
.0
1
2
2
 q
LCdt
qd
diferenciální “pohybová” rovnice elektrických kmitů v obvodu
Elektromagnetické kmity
úhlová frekvence vlastních kmitů elektrického obvodu
LC
1

02
2
2
 x
dt
xd

Srovnání s obecnou rovnicí
uL .. okamžité napětí na cívce
uC .. okamžité napětí na kondenzátoru
Elektromagnetické kmity
Zachování energie:
 elm g EEE  pk EEE
22
22
xkvm

0
d
d
2
2
 x
m
k
t
x
     tXtx cos
2
C
qLi
22
22

0
1
d
d
2
2
 q
LCt
q
2
     tQtq cos
Reálné oscilátory během kmitání průběžně ztrácejí svou energii kmitů
 snižování amplitudy kmitů až do jejich úplného zániku.
Příčina tlumení - různé odporové (tlumící) síly, např. odpor prostředí, tření,
nebo vyzařování elektromagnetické energie (elektrické kmity).
Tlumené kmity
Tlumené kmity - mechanické
Mechanické tlumící síly - závislé na rychlosti kmitů
Tlumící síla míří vždy proti směru rychlosti kmitů Ftlum = - bv
Pohybová rovnice
 2
2
dt
xd
m
dt
dx
bkx 
b je koeficient odporu prostředí (jednotka: 1 kg.s-1).
Po malé úpravě pohybová rovnice vlastních tlumených kmitů
02 2
2
2
 x
dt
dx
dt
xd

m
b
2
 je konstanta útlumu,
m
k
 je úhlová frekvence vlastních
netlumených kmitů oscilátoru
Lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty,
s nulovou pravou stranou
𝐹𝑝𝑟𝑢ž + 𝐹𝑡𝑙𝑢𝑚 = 𝑚 Ԧ𝑎
Tlumené kmity - mechanické
Tři různé situace:
c) Pro    (tzv. slabý útlum) dostaneme dva komplexně sdružené kořeny.
b) Pro  =  (tzv. kritické tlumení) dostaneme jeden dvojnásobný kořen reálný.
a) Pro    (tzv. silný útlum ) dostaneme dva různé reálné kořeny (záporné).
Časový průběh okamžité výchylky z rovnovážné polohy
Časový průběh slabě tlumených kmitů
  )2/(/ mbt
mm extx 

mbt
mekxE /2
2
1 

Amplituda a energie a
klesá exponenciálně s
přibývajícím časem
Tlumené elektrické kmity v sériovém obvodu s R, L, C.
Podle 2. Kirchhoffova zákona
uL + uR + uC = 0 , tj. 0
C
q
Ri
dt
di
L
Protože
dt
dq
i  upravíme rovnici
0
1
2
2
 q
Cdt
dq
R
dt
qd
L tj. .0
1
2
2
 q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
diferenciální “pohybová” rovnice tlumených elektrických kmitů v obvodu
Tlumené kmity - elektromagnetické
Srovnáním
0
1
2
2
 q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
02 2
2
2
 x
dt
dx
dt
xd

 úhlová frekvence vlastních kmitů elektrického obvodu
LC
1

L
R
2
konstanta útlumu
Úhlová frekvence tlumených kmitů 2
2
4
1
L
R
LC
tl 
Doba kmitu
2
2
4
1
2
L
R
LC
Ttl



Tlumené kmity - elektromagnetické
V sériovém obvodu s R, L, C může nastat jeden ze dvou dějů:
0
4
1
2
2

L
R
LC
- doba kmitu je nereálná nebo nulová – kmity nenastanou,
nabitý kondenzátor se pouze vybije přes cívku
0
4
1
2
2

L
R
LC
- doba kmitu je reálná, v obvodu mohou probíhat
tlumené elektrické kmity.
Tlumené kmity - elektromagnetické
pružná síla
brzdná síla

kmitající nosníkb
? ?
Nucené kmity - mechanické
pohybová rovnice
)cos(2 m
2
2
2
tfx
dt
dx
dt
xd
b 
m
b
2

m
F
f m
m 

b
Nucené kmity - elektromagnetické
2. Kirchhoffův zákon
 tfq
dt
dq
dt
qd
b cos2 m
2
2
2

L
R
2

L
f

m
V obvodu máme zdroj harmonického napětí
Okamžitý proud je roven časové změně
náboje
   

 t
f
tx b
bb
stac 

cos
4)(
22222
m
  22
2 rezb
Amplituda nucených kmitů:
Podmínka amplitudové resonance:
Žádoucí rezonance:
rezonanční elektrické obvody