FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY.
KINEMATIKA A DYNAMIKA
HMOTNÉHO BODU.
NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY.
PRÁCE, ENERGIE, VÝKON.
2
1. Fyzika
Fyzika z řeckého φυσικός (fysikos) znamená přírodní (ze základu φύσις – fysis: příroda).
Fyzika je věda, která zkoumá a popisuje přírodní jevy. Je založena na experimentálním
studiu různých jevů a jejím úkolem je formulovat zákony, které tyto jevy vysvětlují.
Fyzika se zaměřuje jednak na studium základních a nejjednodušších jevů (jakými pravidly
a zákony se řídí pohyb objektů, jak objekty na sebe vzájemně působí atd.), jednak
vysvětluje složitější vlastnosti a zákony (z čeho se skládá hmota a jak na sebe částice
hmoty vzájemně působí).
Obecně můžeme říci, že fyzika je věda o hmotě, jejích vlastnostech a pohybu.
Fyzikální pojmy a zákony jsou základem všech přírodních věd. Pro popis fyzikálních
zákonů se obvykle používají matematické prostředky.
Důležitou roli ve fyzice hrají experimenty. Během měření pozorovatel porovnává
vlastnosti zkoumaných jevů s určitými standardy. Fyzika za tímto účelem vyvinula souhrn
fyzikálních veličin a jednotek.
3
1.1 Fyzikální veličiny a jednotky
Fyzikální veličiny vyjadřují fyzikální vlastnosti objektů (kvalitativní × kvantitativní
charakter). Fyzikální zákony pak vyjadřují objektivní závislost mezi fyzikálními
veličinami.
Jednotka fyzikální veličiny je vhodně zvolená, stálá a přesně definovaná hodnota
veličiny, se kterou měřenou veličinu srovnáváme.
Zápis fyzikální veličiny
]}[{ XXX  ,
X – veličina,
{X} – číselná hodnota veličiny,
[X] – jednotka veličiny.
Dělení fyzikálních veličin podle charakteru:
 Veličiny skalární jsou určeny pouze velikostí ve zvolených jednotkách (hmotnost,
práce, výkon, elektrické napětí, elektrický proud, magnetický indukční tok,…).
 Veličiny vektorové se vyznačují velikostí a orientovaným směrem v prostoru
(rychlost, zrychlení, síla, intenzita elektrického pole, magnetická indukce,…).
4
1.2 Zákonné měřicí jednotky
V současné době je v ČR (a ve většině států světa) zákonem předepsáno užívání
mezinárodní měrné soustavy jednotek SI (Systeme International d´ Unites). Zákonné
jednotky fyzikálních veličin jsou stanoveny normou ČSN 01 1300 − Zákonné měřicí
jednotky. Podle této normy jsou zákonnými jednotkami
a) Základní jednotky
 Metr, m (délka)
 Kilogram, kg (hmotnost)
 Sekunda, s (čas)
 Ampér, A (elektrický proud)
 Kelvin, K (termodynamická teplota)
 Mol, mol (látkové množství)
 Kandela, cd (svítivost)
b) Doplňkové jednotky
 Radián, rad (rovinný úhel)
 Steradián, sr (prostorový úhel)
5
c) Odvozené jednotky
Odvozené jednotky jsou odvozené pomocí definičních jednotkových rovnic ze základních
nebo již odvozených jednotek, případně též pomocí doplňkových jednotek.
Příklad
Pro sílu působící na hmotný bod platí amF

 , kde m je hmotnost hmotného bodu,
a

je jeho zrychlení. Potom jednotka síly [F] = [m] [a] = kg.m.s-2
.
V součinech značek jednotek užíváme mezi jednotkami násobící tečku, např. kg.m.s-2
.
Z praktických důvodů dáváme některým odvozeným jednotkám zvláštní názvy a značky.
Veličina Značka Název jednotky Značka jednotky
síla F newton N = kg.m.s-2
tlak p pascal Pa = N.m-2
práce W joule J = N.m
výkon P watt W = J.s-1
kmitočet f hertz Hz = s-1
6
d) Násobky a díly jednotek
Protože některé jednotky jsou pro praktické účely příliš velké a jiné příliš malé, tvoříme
násobky a díly jednotek násobením nebo dělením vhodnou mocninou deseti.
Násobky a díly jednotek se tvoří zejména v řadě s koeficientem 103
.
Název Značka Násobek Název Značka Násobek
kilo k 103
mili m 10-3
mega M 106
mikro μ 10-6
giga G 109
nano n 10-9
tera T 1012
piko p 10-12
peta P 1015
femto f 10-15
exa E 1018
atto a 10-18
Jiné předpony:
Název Značka Násobek Název Značka Násobek
deka da 101
deci d 10-1
hekto h 102
centi c 10-2
7
e) Vedlejší jednotky
 minuta (min),
 hodina (h),
 den (d),
 úhlový stupeň (o
),
 úhlová minuta (),
 vteřina (),
 hektar (ha),
 litr (l),
 tuna (t),
 dioptrie (D, 1 m-1
),
 elektronvolt (eV, 1,60219.10-19
J),
 Celsiův stupeň (°C).
Je možné také používat jednotek kombinovaných z jednotek SI a jednotek vedlejších.
8
Příklad
Vyjádříme jednotky následujících veličin pomocí základních jednotek soustavy SI:
a) rychlost, b) zrychlení, c) síla, d) práce, e) výkon.
a) v = s/t  m.s-1
= m/s
b) a = v/t  m.s-2
= m. s-1
/s
c) F = ma  N = kg.m.s-2
d) W = Fs  J = N.m = kg.m.s-2
.m = kg.m2
.s-2
e) P = W/t  W = J.s-1
= kg.m2
.s-2
. s-1
= kg.m2
.s-3
9
Fyzika je obecný název mnoha oborů a podoborů. Jedním ze způsobu dělení je rozdělení
podle velikosti objektů. Klasická fyzika zkoumá a popisuje objekty hmotnosti mnohem
větší než klidová hmotnost elektronu .kg1011,9 31
0

m Jestliže hmotnost objektu
můžeme porovnat s 0m , té části fyziky říkáme kvantová.
Pokud je výzkum zaměřen na objekty, které se pohybují rychlostí blízké rychlosti světla
ve vakuu, což je 18
m.s103 
c , v takovém případě mluvíme o relativistické fyzice.
Klasická fyzika se zabývá objekty, jejichž rychlosti jsou mnohem menší než rychlost
světla ve vakuu.
Fyzika klasická kvantová
hmotnost
rychlost
𝑚 ≫ 𝑚0 𝑚 ≈ 𝑚0
𝑣 ≪ 𝑐 mechanika, elektřina a
magnetismus, termika, akustika
kvantová mechanika,
kvantová statistická fyzika
𝑣 ≅ 𝑐, 𝑣 ≤ 𝑐 speciální a obecná teorie
relativity
relativistická kvantová
mechanika
Důležitým objektem výzkumu je elektron, proto musíme umět popsat jeho vlastnosti,
pohyb a chování v určitých podmínkách. To všechno probereme v kapitolách mechanika,
elektřina a magnetismus.
10
Mechanika
Předmětem mechaniky je matematický popis mechanického pohybu a jeho příčiny.
Mechanickým pohybem nazýváme změnu vzájemné polohy těles v prostoru a čase.
Pohyb je relativní, proto je nutno stanovit vztažnou soustavu nebo vztažné těleso.
Nejčastěji se používá tzv. laboratorní soustava – pravotočivá kartézská soustava pevně
spojená se Zemí (pravotočivý směr je proti směru hodinových ručiček).
Klasická mechanika se zabývá objekty, jejichž rychlosti jsou mnohem menší než rychlost
světla ve vakuu .m.s103 18 
c Jedním z takových objektů, kvůli němuž se začínáme
zabývat mechanikou, je elektron a musíme umět popsat jeho pohyb.
11
2. Kinematika hmotného bodu
2.1 Základní pojmy kinematiky
Kinematika studuje pohyb těles v prostoru a čase bez ohledu na příčiny tohoto pohybu.
Při řešení některých mechanických úloh nemusíme brát v úvahu velikost tělesa a jeho tvar.
Potom můžeme dané těleso nahradit hmotným bodem (HB).
Abychom mohli jednoznačně určit polohu tělesa a změnu této polohy, musíme znát
v každém okamžiku základní kinematické veličiny:
 polohu, tj. polohový vektor r

,
 rychlost v

,
 zrychlení a

.
Polohový vektor r

definujeme jako vektor, jehož počátek je v počátku souřadné soustavy
a jeho koncový bod je v místě, kde se nachází bod, jehož polohu určujeme.
Souřadnice polohového vektoru jsou shodné se souřadnicemi daného bodu.
12
2.2 Pohyb hmotného bodu
Pohyb hmotného bodu v prostoru můžeme určit parametrickými rovnicemi,
tz = zty = ytxx )(),(),( .
Vektorová rovnice pro polohový vektor
ktzjtyitxtr

)()()()(  .
Poloha hmotného bodu je funkcí času.
Velikost polohového vektoru je
zyx=rr = 222
|| 

.
Příklad
Poloha hmotného bodu v prostoru je popsána vektorovou rovnicí
kjtittr

432)( 2
 nebo parametrickými rovnicemi
z =ty =tx .4,3,2 2

13
Trajektorie pohybu (dráha pohybu) je spojitá křivka popsaná uvedenými
parametrickými rovnicemi (parametrem je čas t).
Délku trajektorie, kterou hmotný bod opisuje při svém pohybu z počátečního bodu
trajektorie, nazýváme délkou dráhy s.
Délka dráhy s = s(t) je neklesající funkcí času (nezaměňovat s přímočarou souřadnicí x).
Jednotkou velikosti polohového vektoru a dráhy je metr [r] = m.
Podle tvaru trajektorie dělíme pohyby na
 přímočaré,
 křivočaré (rovinné, prostorové).
Důležitým případem křivočarého rovinného pohybu je pohyb hmotného bodu po
kružnici.
14
2.3 Rychlost a zrychlení hmotného bodu
K názornému popisu časového průběhu pohybu hmotného bodu zavádíme fyzikální
veličiny rychlost a zrychlení.
Předpokládáme, že v časovém okamžiku t se pohybující HB
nachází v bodě A a v časovém okamžiku t+Δt v bodě B.
Potom přírůstek polohového vektoru je AB rrr

 .
Vektor střední rychlosti křivočarého pohybu je definován
t
r
v





s .
Jestliže se časový interval bude zmenšovat k nule, bod B se
bude blížit k bodu A a vektor sv

se bude blížit vektoru
okamžité rychlosti v

pro který platí
t
r
t
r
v
t d
d
lim
0







.
Vektor okamžité rychlosti je určen derivací polohového vektoru podle času, má směr
tečny k trajektorii a jeho orientace odpovídá rostoucím hodnotám času t.
Popisuje, jak se mění polohový vektor v čase.
15
Jestliže vyjádříme polohový vektor pomocí jeho složek, dostaneme vektor okamžité
rychlosti v

kvjvivk
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v zyx



d
d
d
d
d
d
d
d
,
kde veličiny vx,vy, vz jsou souřadnice vektoru rychlosti.
Okamžitou rychlost nazýváme obyčejně rychlostí. Rychlost je obecně funkcí času.
Vektor rychlosti je tečna k trajektorii pohybu v určitém bodě.
Pro jednotku rychlosti platí 1
m.s
s
m
]d[
]d[
][ 

t
r
v .
Velikost rychlosti je
222
222
d
d
d
d
d
d



















t
z
t
y
t
x
vvvv zyx .
Velikost rychlosti má význam dráhy uražené za jednotku času.
16
Určení souřadnic z časového průběhu rychlosti )(tvv


Z definice okamžité rychlosti vyplývá pro závislost souřadnic x, y, z na čase t
dd
d
d
 tvx
t
x
v xx  tvx x d ,
ddy
d
d
 tv
t
y
v yy  tvy y d ,
dd
d
d
 tvz
t
z
v zz  tvz z d .
Délku dráhy, kterou urazí hmotný bod v časovém intervalu <t1, t2> můžeme určit vztahem
tvss
t
t
s
s
dd
2
1
2
1
 .
17
Mění-li rychlost při pohybu hmotného bodu buď velikost nebo směr (případně velikost
i směr současně), potom se hmotný bod pohybuje se zrychlením.
V časovém intervalu Δt se vektor Av

změní na Bv

. Jestliže
přírůstek rychlosti v

 dělíme časem Δt, v němž změna
rychlosti nastala, dostaneme střední zrychlení
t
v
a





s .
Okamžité zrychlení a

potom představuje mezní hodnotu
(limitu) středního zrychlení, jestliže se časový interval Δt
blíží nule
2
2
0 d
d
d
d
d
d
d
d
lim
t
r
t
r
tt
v
t
v
a
t







.
Vektor okamžitého zrychlení je určen derivací vektoru rychlosti podle času nebo druhou
derivací polohového vektoru podle času.
Popisuje změnu vektoru rychlosti v čase.
18
Okamžité zrychlení a

můžeme vyjádřit ve složkovém tvaru
,
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2
2
2
2
2
2
kajaiak
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
k
t
v
j
t
v
i
t
v
t
v
a
zyx
zyx





kde veličiny ax, ay, az jsou souřadnice vektoru zrychlení.
Zrychlení je obecně funkcí času.
Jednotkou zrychlení je
2
1-
m.s
s
m.s
]d[
]d[
][ 

t
v
a .
Velikost zrychlení je
222
zyx aaaa  .
Vektor zrychlení má obecně jiný směr než vektor rychlosti. Pouze při přímočarém pohybu
leží oba vektory v jedné přímce.
19
Určení rychlosti z časového průběhu zrychlení )(taa


Z definice okamžitého zrychlení vyplývá
dd
d
d x
 tav
t
v
a xxx  tav xx d ,
dd
d
d y
 tav
t
v
a yyy  tav yy d ,
dd
d
d z
 tav
t
v
a zzz  tav zz d .
20
Příklad
Poloha elektronu je dána vztahem kjtitr

0,31,25,4 2
 .
Čas t je měřen v sekundách a poloha r

je v metrech.
a) Určete časové závislosti rychlosti )(tv

a zrychlení )(ta

elektronu.
b) Jakou rychlost a jaké zrychlení má elektron v okamžiku t = 1,5 s? Výsledek zapište
pomocí jednotkových vektorů.
c) Určete velikost rychlosti a velikost zrychlení elektronu v tomto okamžiku.
Řešení
a) Podle definic okamžité rychlosti a okamžitého zrychlení vypočteme
,1,290)11,2()25,4()03(
d
d
)1,2(
d
d
)5,4(
d
d
d
d 2
jitkjitk,
t
jt
t
it
tt
r
v



ikjik
t
j
t
it
tt
v
a


900)19()0(
d
d
)1,2(
d
d
)9(
d
d
d
d
 .
b) Vektory rychlosti a zrychlení v okamžiku t = 1,5 s jsou
jikjitv

1,25,130)1,2()5,19()5,1(  ,
ikjita

900)9()5,1(  .
21
Velikost rychlosti, kterou má elektron v čase t = 1,5 s, je
7,13)0()1,2()5,13( 222222
 zyx vvvv .
Velikost zrychlení přitom je
9)0()0()9( 222222
 zyx aaaa .
Jednotkou rychlosti je 1
m.s
a jednotkou zrychlení je 2
m.s
.
22
Příklad
Zrychlení tělesa, které se pohybuje v ose x, je dáno vztahem a = 8 m.s−2
+ 12 m.s−4
t2
.
V čase t = 3 s se nachází těleso 150 m vpravo od počátku a jeho rychlost je 100 m.s−1
.
a) Najděte vztahy pro rychlost a polohu tělesa v libovolném čase t.
b) Jaká je jeho počáteční rychlost?
c) Jaká je jeho počáteční poloha?
Řešení
Pohyb je pouze v ose x, proto jak rychlost, tak zrychlení mají jen jednu složku, a to ve
směru osy x. Zápis tedy můžeme zjednodušit jako vvx  , aax  .
a) Pro rychlost v platí
1
342242
m.s4m.s8d)m.s12m.s8(d Ctttttav   
,
kde C1 je integrační konstanta, jejíž hodnotu určíme z podmínky: pro čas t = 3 s je rychlost
v(3 s) = 100 m.s−1
. Platí tedy
1-
1
1-
1
34-2m.s100=+m.s132=+s)(3m.s4+s3m.s8=s)(3
CCv  .
Odtud vyplývá, že
C1 = –32 m.s-1
.
23
Rychlost v libovolném čase t se potom rovná
1-2-34m.s32m.s8+m.s4=
ttv .
Souřadnici x určíme z integrálu rychlosti podle času
2
122441234
m.s32m.s4m.s1d)m.s32m.s8m.s4(d Ctttttttvx   
.
Integrační konstantu C2 určíme z podmínky x(3 s) = 150 m.
m.150m21=+s3m.s32s)(3m.s4+s)(3m.s1=s)(3 22
1-22-44
CCx
Odtud vyplývá, že
C2 = 129 m.
Pro souřadnici x v libovolném čase t platí vztah
m.129+m.s32m.s4+m.s1= 1-22-44tttx

b) Počáteční rychlost je
v0 = v(0) = −32 m.s-1
.
c) Počáteční poloha tělesa je
x0 = x(0) = 129 m.
24
DVĚ ÚLOHY KINEMATIKY
 1. úloha:
Máme dán polohový vektor 𝑟⃗(𝑡), odtud
Úloha je triviální a jednoznačná.
 2. úloha:
Známe vektor zrychlení 𝑎⃗(𝑡), odtud
Musíme znát počáteční (okrajové) podmínky.
𝑟⃗ = 𝑟⃗( 𝑡)
derivace
→ 𝑣⃗ = 𝑣⃗( 𝑡)
derivace
→ 𝑎⃗ = 𝑎⃗( 𝑡)
𝑎⃗ = 𝑎⃗( 𝑡)
integrace
→ 𝑣⃗ = 𝑣⃗( 𝑡)
integrace
→ 𝑟⃗ = 𝑟⃗( 𝑡)
25
2.4 Speciální případy přímočarého pohybu hmotného bodu
Rovnoměrný přímočarý pohyb
Je-li zrychlení přímočarého pohybu hmotného bodu nulové, a = 0, nazýváme tento pohyb
přímočarým pohybem rovnoměrným.
Pro rychlost v a souřadnici x platí
.konstv ,
0d xvttvx   ,
kde x0 = x(0) je integrační konstanta, která se nazývá počáteční souřadnicí.
26
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb
Je-li zrychlení hmotného bodu a konstantní, nazýváme tento pohyb rovnoměrně
zrychleným.
Pro rychlost v a souřadnici x platí
0d vattav   ,
00
2
0
2
1
d)(d xtvattvattv=x   ,
kde v0 = v(0) a x0 = x(0) jsou integrační konstanty.
Veličina v0 se nazývá počáteční rychlostí.
27
Příklad
Vlak má rychlost 72 km.h-1
. Použitím brzd je možno vlak zastavit za 2 min. Určete
vzdálenost místa od stanice, kde je třeba začít brzdit. Předpokládejte rovnoměrně
zpomalený pohyb.
Řešení
Čas počítáme od okamžiku, kdy vlak začne brzdit. V tomto okamžiku je začátek vlaku
v bodě x = 0. Počáteční rychlost je potom v0 = 72 km.h-1
= 20 m.s-1
. Pro souřadnici x
začátku vlaku platí
x = v0t +
2
1
at2
.
Zrychlení a určíme z podmínky v = v0 + at1 = 0,
kde t1 = 2 min = 120 s je čas od okamžiku začátku brzdění do zastavení vlaku. Platí
a =
t
v
1
0
 = –
s120
m.s20 -1
=
6
1
 m.s-2
.
Potom lze určit brzdnou dráhu vlaku
x(t1) = v0t1 +
2
1
at1
2
= 20 m.s-1
∙ 120 s +
6
1
(
2
1
 m.s-2
) ∙ (120 s)2
= 1 200 m.
28
2.5 Přímočarý pohyb v zemském tíhovém poli
Tíhovým polem Země rozumíme silové pole v okolí Země, ve kterém působí na hmotný
bod o hmotnosti m tíhová síla gmG

 , kde g

je vektor tíhového zrychlení.
Předpokládáme, že je vektor g

v uvažované oblasti konstantní.
Přímočarý pohyb musí probíhat v kladném nebo záporném smyslu vektoru g

.
Obvykle uvažujeme hodnotu normálního tíhového zrychlení g = 9,80665 m.s-2
.
Rozdělení pohybů podle vektoru počátečního zrychlení:
a) volný pád (v0 = 0, a = –g),
b) vrh svislý vzhůru (v0 > 0, a = –g),
c) vrh svislý dolů (v0 < 0, a = –g).
29
2.6 Princip superpozice pohybů
V klasické mechanice platí pro pohyb hmotného bodu princip superpozice pohybů.
Má-li hmotný bod konat dva nebo více pohybů současně, zaujme takovou výslednou
polohu, jako by vykonal všechny pohyby postupně a v jakémkoliv pořadí.
Má-li např. hmotný bod konat současně dva pohyby, z nichž první by způsobil jeho
posunutí za velmi malý přírůstek času Δt o 1r

 a druhý o 2r

 , je výsledné posunutí
21 rrr

 .
Vydělením uvedené rovnice přírůstkem času Δt dostaneme výslednou rychlost pohybu
t
r
t
r
t
r







 21

⟹ 21 vvv

 ,
kde 1v

a 2v

jsou rychlosti dílčích pohybů.
Odsud vyplývá, že vektor rychlosti výsledného pohybu je dán v každém čase
vektorovým součtem rychlostí dílčích pohybů.
Podobně zrychlení a

výsledného pohybu je dáno součtem vektorů zrychlení dílčích
(skládaných) pohybů 1a

a 2a

,
21
21
aa
t
v
t
v
t
v
a












 .
30
2.7 Křivočarý pohyb v zemském tíhovém poli
Šikmý vrh – počáteční rychlost, elevační úhel.
Neuvažujeme odpor prostředí.
Výsledkem je křivočará trajektorie – parabola.
Platí princip superpozice:
 osa x: rovnoměrný pohyb s konstantní rychlostí vx = v0x,
 osa y: rovnoměrně zrychlený pohyb s počáteční rychlostí v0y a zrychlením ay = –g.
Rovnice pro šikmý vrh mají tedy tvar
0xa , gay  .
cos0vvx  , gtvvy  sin0 .
tvxx cos00  , 2
00
2
1
sin gttvyy   .
Vodorovný vrh – řeší se stejně jako šikmý vrh
s elevačním úhlem 0. Někdy je výhodně
orientovat svislou osu y dolů.
31
Souhrnná tabulka
Pohyb Zrychlení Rychlost Poloha
Rovnoměrný přímočarý a = 0 v0 = konst. 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡
Rovnoměrně zrychlený
přímočarý
a = konst.,
a > 0
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
Rovnoměrně zpomalený
přímočarý
a = konst.,
a < 0
𝑣 = 𝑣0 − 𝑎𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 −
1
2
𝑎𝑡2
Volný pád a = −g =
konst.
𝑣0 = 0, 𝑣 = −𝑔𝑡
𝑦 = −
1
2
𝑔𝑡2
Vrh svislý vzhůru a = −g =
konst.
𝑣0 > 0,
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
Vrh svislý dolů a = −g =
konst.
𝑣0 < 0,
𝑣 = −𝑣0 − 𝑔𝑡
𝑦 = 𝑦0 − 𝑣0 𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
Vodorovný vrh
𝑎 𝑥 = 0,
𝑎 𝑦 = −𝑔
𝑣 𝑥 = 𝑣0,
𝑣 𝑦 = −𝑔𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡,
𝑦 = 𝑦0 −
1
2
𝑔𝑡2
Šikmý vrh
𝑎 𝑥 = 0,
𝑎 𝑦 = −𝑔
𝑣 𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃,
𝑣 𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 cos 𝜃,
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 sin 𝜃 −
1
2
𝑔𝑡2
32
Shrnutí
 Poloha hmotného bodu v prostoru je zadána pomocí polohového vektoru
ktzjtyitxtr

)()()()(  .
 Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času. Popisuje, jak se mění
polohový vektor v čase.
kvjvivk
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v zyx



d
d
d
d
d
d
d
d
Vektor rychlosti má směr tečny k trajektorii a jeho orientace odpovídá rostoucím
hodnotám času t.
 Okamžité zrychlení je derivace vektoru rychlosti podle času. Popisuje, jak se mění
v čase velikost nebo směr (popřípadě obojí) vektoru rychlosti.
kajaiak
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
k
t
v
j
t
v
i
t
v
t
v
a zyx
zyx


 2
2
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
 Opačnou operací (integrováním) lze určit rychlost a polohu pokud známe zrychlení
a počáteční podmínky.
33
3. Dynamika hmotného bodu
3.1 Základní pojmy dynamiky
Studiem souvislostí mezi vzájemným působením těles a změnami jejich pohybového
stavu se zabývá dynamika.
Hmotné objekty na sebe navzájem působí různým způsobem, říkáme, že jsou ve vzájemné
interakci. V klasické mechanice se touto interakcí rozumí vzájemné působení těles, které
vede ke změně jejich pohybového stavu nebo k jejich deformaci , případně k oběma jevům
současně.
Vzájemné působení těles se může realizovat v podstatě buď při vzájemném dotyku těles,
nebo prostřednictvím fyzikálních polí.
Vzájemnou interakci hmotných objektů hodnotíme fyzikální veličinou nazvanou síla. Síla
tedy nemůže existovat samostatně, nezávisle na hmotných objektech.
Dynamika tedy studuje souvislosti mezi pohybem a silami, které jej způsobují.
34
3.2 Základní veličiny dynamiky
Základními pojmy dynamiky jsou jednak pojmy kinematické, tj. polohový vektor,
rychlost a zrychlení, jednak pojmy hmotnost, hybnost a síla.
Hmotnost
Hmotnost je mírou setrvačných a tíhových vlastností tělesa.
Je základní vlastností všech látkových objektů. Hmotnost je kladná skalární veličina.
Jednotkou hmotnosti je kilogram – [m] = kg.
Hybnost
Okamžitý pohybový stav hmotného bodu je z kinematického hlediska určen polohou
a rychlostí.
Z dynamického hlediska jsou účinky pohybu, např. při nárazu na stěnu určeny hmotností
a rychlostí. Jako dynamickou míru pohybu proto zavádíme veličinu hybnost p

,
vmp

 .
Hybnost je vektorová veličina. Jednotkou hybnosti je [p] = kg.m.s-1
.
35
Síla
Síla je mírou vzájemného působení mezi hmotnými objekty.
Toto působení může mít za následek změnu pohybového stavu, deformaci nebo obojí.
Všechny síly působící na hmotný objekt můžeme rozdělit na
 síly vznikající při přímém kontaktu těles (síly tlakové, tahové, síly tření),
 síly vyvolané fyzikálním polem (síly gravitační, síly elektrické, síly magnetické).
Síla je vektorová fyzikální veličina. Jednotkou síly je [F] = N (Newton).
Působí-li na hmotný bod více sil, je výsledná síla F

dána podle principu superpozice
jejich vektorovým součtem


n
i
in FFFFF
1
21 ...

.
36
3.3 Newtonovy pohybové zákony
Dynamika je založena na třech základních zákonech, které uveřejnil v roce 1687 Isaac
Newton (1642–1727):
Zákon setrvačnosti
1. Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, pokud
není nuceno vnějšími silami tento stav měnit.
Zákon síly
2. Časová změna hybnosti je úměrná vnější síle a má s ní stejný směr.
Zákon akce – reakce
3. Každá akce způsobuje vždy stejně velikou reakci opačného směru, čili vzájemná
působení dvou těles jsou stejně veliká a opačného směru.
37
3.4 Inerciální a neinerciální vztažné soustavy
První Newtonův zákon (Zákon setrvačnosti) zaručuje existenci preferovaných vztažných
soustav, soustav inerciálních. Inerciální vztažné soustavy (inerciální soustavy) jsou
takové, ve kterých platí první Newtonův zákon.
Jestliže je soustava vůči jiné inerciální soustavě v klidu nebo v rovnoměrném
přímočarém pohybu, je tato soustava také inerciální.
Jestliže se soustava vůči jiné inerciální soustavě například urychluje, zpomaluje, zatáčí
nebo se otáčí, jedná se o neinerciální vztažnou soustavu.
Poznámka. Důkaz zákona setrvačnosti nemůžeme provést – nelze realizovat stav tělesa,
kdy na něj nepůsobí žádné síly. V přírodě neexistuje ani absolutní klid ani absolutní
rovnoměrný přímočarý pohyb.
Klid a rovnoměrný přímočarý pohyb jsou relativní a závisejí na volbě souřadné soustavy,
která je spojena s určitým vztažným tělesem. Vztažné těleso (nejčastěji Země) se může
pohybovat.
Z hlediska popisu pohybu jsou klid a rovnoměrný pohyb ekvivalentní (člověk ve vlaku,
ve výtahu).
První Newtonův zákon také lze vyjádřit jako: je-li těleso v klidu nebo se pohybuje
rovnoměrně přímočaře, je výslednice všech vnějších sil, které působí na těleso, rovna nule.
38
Druhý pohybový zákon (Zákon síly) v inerciálních vztažných soustavách
Vzájemný vztah mezi příčinou (tj. působící silou) a účinkem (tj. změnou pohybového
stavu hmotného bodu) udává druhý Newtonův pohybový zákon
t
p
F
d
d

 .
Zde hybnost HB vmp

 a 

n
i
iFF
1

vektorový součet všech sil na něj působících.
Dosazením dostáváme
amv
t
m
t
v
mv
t
m
vm
t
F




d
d
d
d
d
d
)(
d
d
,
kde a

je zrychlení hmotného bodu, vyvolané působící silou F

.
Je-li hmotnost m nezávislá na čase, je její derivace podle času nulová a platí
amF

 , resp. 2
2
d
d
t
r
mF

 .
Tato rovnice se nazývá první pohybovou rovnicí. Tato rovnice platí jen v inerciálních
vztažných soustavách.
Rovnice amF

 slouží též jako definiční rovnice pro definici veličiny síla a je z ní tedy
vyjádřena i definiční rovnice pro jednotku síly – [F] = [m] . [a] = kg.m.s-2
= Newton = N.
39
3.5 Některé druhy sil
Tíhová síla
Tíhová síla G

je výslednicí gravitační a odstředivé síly → tíhové zrychlení g

.
gmG

 .
Kolmá tlaková síla
Existuje pouze v případě, že se těleso nachází na podložce. Podložka působí na těleso
tlakovou (normálovou) sílou N

. Tato síla je vždy kolmá k povrchu podložky.
40
Tření
Třecí síla působí proti směru pohybu a je rovnoběžná s podložkou.
Existují statické × kinetické tření, smykové × valivé tření.
Statické (klidové) tření – těleso je v klidu, statická třecí síla tření přesně vykompenzuje
příslušnou složku vnější síly, která se ho snaží uvést do pohybu.
Kinetické tření – při pohybu.
Smykové (vlečné) tření – maximální hodnota statické třecí síly pro těleso v klidu je
NF 0t0  ,
kde μ0 je statický součinitel smykového tření. Pokud je příslušná složka vnější síly větší
než tato hodnota Ft0, těleso je uvedeno do pohybu a platí
NF t ,
kde μ je součinitel smykového tření.
Statický součinitel smykového tření bývá pro stejná tělesa větší než součinitel smykového
tření.
41
Tahová síla
Tahová síla 𝑇⃗⃗ je síla, kterou působí lanko na těleso při jeho tažení.
Odpor prostředí
Vzniká při pohybu tělesa v kapalině nebo plynu. Působí proti směru pohybu.
Velikost síly odporu prostředí je
2
o vbvaF  ,
kde a, b jsou veličiny závislé na tvaru a velikosti tělesa a vlastnostech prostředí. Při malých
rychlostech převažuje první člen, při vyšších rychlostech druhý.
Odporová síla může mít i jiný směr než rychlost (letadlo).
42
Příklady užití Newtonových zákonů
Všechny dále uvedené příklady mohou být řešeny i se započítáním třecích sil tF

, resp.
odporových sil oF

. Tíhová síla gmG

 .
Zavěšené těleso
amTG

 , resp. amFTG

 o
43
Klouzající těleso
aMTNG

 , resp. aMFTNG

 t
44
Nakloněná rovina
amTNG

 , resp. amFTNG

 t
45
3.6 Řešení pohybové rovnice
Pohybová rovnice má tvar
amF

 , resp. 2
2
d
d
t
r
mF

 ,
kde síla kFjFiFF zyx

 a pravá strana kmajmaimaam zyx

 .
Složkové rovnice jsou
2
2
d
d
d
d
t
x
m
t
v
mmaF x
xx  ,
2
2
d
d
d
d
t
y
m
t
v
mmaF
y
yy  ,
2
2
d
d
d
d
t
z
m
t
v
mmaF z
zz  ,
kde rychlost kvjvivv zyx

 a souřadnice )(txx  , )(tyy  , )(tzz  , polohový vektor
kzjyixr

 .
46
DVĚ ÚLOHY DYNAMIKY
Základní úloha dynamiky
Tuto úlohu řešíme tehdy, pokud je zadána některá ze tří kinematických veličin
)(ta

, )(tv

, )(tr

.
Pak můžeme určit vektor síly )(tFF

 pomocí derivace zadaných veličin.
Obrácená úloha dynamiky
Jsou-li zadány síly (výslednice sil )(tFF

 ) působící na hmotný bod, získáme veličiny
)(ta

, )(tv

, )(tr

integrací složkových rovnic (řešení diferenciální rovnice).
K tomu je třeba znát počáteční podmínky )( 00 tvv

 , )( 00 trr

 v čase t0.
47
3.7 Mechanická práce (dráhový účinek síly)
Působením síly na hmotný bod se změní obecně jeho pohybový stav.
Skalární veličinu, která vyjadřuje dráhový účinek síly, nazýváme práce W.
Práce konstantní síly
Působí-li na hmotný bod konstantní síla F

, nemění se její velikost a směr v prostoru.
Síla F

způsobí přímočaré posunutí hmotného bodu o vektor r

 (posunutí).
Práci W konstantní síly F

definujeme jako součin velikosti tečné složky síly Ft = F cos
(tj. složky síly F

do směru posunutí) a velikosti posunutí Δr
rFrFrFW

 cost .
Jednotkou práce je [W] = N.m = joule = J.
Uvedené vztahy neplatí v obecném případě, kdy na hmotný bod pohybující se po křivočaré
trajektorii působí síla s proměnnou velikostí tečné složky Ft (funkce polohy, resp. času).
48
Celková práce, kterou koná síla F

při posuvu hmotného bodu po křivočaré trajektorii je
 
2
1
d
r
r
rFW



,
kde 1r

a 2r

jsou polohové vektory počátečního a koncového bodu trajektorie.
Je-li kzjyixr

 , je kzjyixr

dddd  , platí
zFyFxFkzjyixkFjFiFrF zyxzyx ddd)ddd()(d 

.
Práce po dané trajektorii mezi počátečním a koncovým bodem trajektorie je potom rovna
 
],,[
],,[
222
111
)ddd(
zyx
zyx
zyx zFyFxFW .
Práce síly F

je dána součtem prací jejich jednotlivých složek ve směru příslušných os.
49
Tabulka výpočtu práce při pohybu tělesa po přímce (směrem doprava)
s
F
W = F∙s  0 síla práci koná
F

stF
W = F∙s∙cos  0 síla práci koná
F

s
W = 0 síla práci nekoná
F

stF
W = F∙s∙cos  0 síla práci spotřebuje
50
3.8 Mechanický výkon
Stejně velká práce vyvolá vždy stejně velký účinek bez ohledu na dobu, po kterou byla
konána. Přesto je důležitou charakteristikou též doba, za kterou byla daná práce vykonána.
Výkon je skalární veličina, která charakterizuje, jak rychle se koná mechanická práce.
Výkon P je přímo úměrný práci a nepřímo úměrný době, za kterou byla tato práce
vykonána.
Vykonala-li daná síla F

v časovém intervalu <t, t + Δt>
práci ΔW, je střední hodnota výkonu v tomto
intervalu rovna
t
W
P


s .
Definujeme okamžitou hodnotu výkonu P jako limitu
středního výkonu pro Δt  0
t
W
t
W
P
t d
d
lim
0





.
Jednotkou je [P] = J.s-1
= watt = W.
51
Jestliže je v určitém časovém intervalu síla F konstantní, výkon lze vypočítat
vF
t
r
F
t
rF
t
W
P




d
d
d
d
d
d
.
Známe-li časový průběh výkonu P = P(t), můžeme stanovit práci, která je vykonána
v časovém intervalu <t1, t2>. Platí
tPW dd  , tPW
t
t
d
2
1
 .
Velikost této práce je vyjádřena v příslušném měřítku
plochou pod grafem funkce P = P(t) v časovém
intervalu <t1, t2>.
V případě konstantního výkonu P = konst. dostaneme
)(d 12
2
1
ttPtPW
t
t
  .
52
3.9 Mechanická energie
Energie je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje schopnost těles konat práci.
Jednotkou energie je [E] = [W] = joule = J.
Předpokládáme, že vnější těleso může působením silou vF

na hmotný bod měnit jeho
polohu a rychlost. Přitom vykonává práci.
Přírůstek energie E soustavy je definován pomocí práce W jako,
WEEE  0 ,
kde E0 je energie soustavy na počátku působení síly vF

, E je konečná hodnota energie.
Definiční rovnicí je určen pouze přírůstek energie. Pro energii platí
WEEEE  00 .
Počáteční hodnota energie E0 není definicí určena, můžeme ji volit libovolně.
Energii ostatních stavů potom určujeme vzhledem k tomuto základnímu stavu.
53
Kinetická energie
Kinetickou nebo také pohybovou energií nazveme dynamickou skalární veličinu, která
souvisí s pohybem tělesa a která se mění, vykonáme-li na tělese práci.
Zvolíme stav, v němž má hmotný bod v dané souřadnicové soustavě rychlost v = 0 za
základní a přiřadíme mu hodnotu kinetické energie Ek0 = 0.
Kinetická energie stavu s rychlostí v je pak dána prací výsledné síly F

působící na HB,
2
k
2
1
mvWE  .
Kinetická energie tělesa závisí na volbě vztažné souřadnicové soustavy (různé rychlosti).
Potenciální energie
Potenciální (polohová) energie je skalární veličina, která charakterizuje schopnost tělesa
vykonat práci při změně své polohy.
Jestliže práci konají síly tíhového pole při povrchu Země, mluvíme o potenciální energii
tíhové. V homogenním tíhovém poli je potenciální energie
mghE p ,
kde m je hmotnost hmotného bodu, g je tíhové zrychlení a h je jeho výška nad nulovou
hladinou potenciální energie (tj. obvykle nad zemí, nad podložkou atd.).
54
Potenciální energie je definována pouze v poli konzervativních sil.
Síly konzervativní: práce vykonaná při přemístění tělesa mezi dvěma zadanými body
nezávisí na trajektorii, po které se těleso pohybovalo (např. tíhová síla, pružná síla,
elektrostatická síla).
Práce vykonaná konzervativní silou působící na částici pohybující se po libovolné
uzavřené trajektorii je nulová.
55
Mechanická energie
Pro gravitační silová pole a pole pružných sil je přírůstek energie soustavy roven
přírůstku mechanické energie soustavy.
Koná-li vnější síla )( iv FFF

 působící na hmotný bod práci, dochází
 ke změně rychlosti hmotného bodu – část práce tvoří přírůstek kinetické energie ΔEk
hmotného bodu (odpovídá práci výsledné síly F

),
 ke změně polohy hmotného bodu v silovém poli tělesa – část práce tvoří přírůstek
potenciální energie ΔEp hmotného bodu (odpovídá práci výsledné síly iF

 ).
Potom platí
pk EEE  .
56
3.10 Zákon zachování mechanické energie
Pro konzervativní silová pole iF

platí zákon zachování mechanické energie pro
izolované soustavy (soustava si nevyměňuje s okolím ani energii ani látku – idealizace).
Pro izolovanou soustavu platí vF

= 0. Potom je práce vnější síly nulová, pak ΔE = 0 a platí
0pk  EEE .
Působí-li v soustavě pouze vnitřní síly, je přírůstek kinetické energie hmotného bodu
v důsledku práce těchto vnitřních sil roven úbytku jeho potenciální energie a naopak.
Z předchozí rovnice vyplývá zákon zachování mechanické energie pro izolované soustavy
konstpk  EE .
Celková mechanická energie izolované soustavy je konstantní.
Zákon zachování mechanické energie je zvláštním případem zákona zachování energie.
Energie se nemůže nikde ztrácet, pouze se mění jedna forma energie na druhou.
57
Příklad
Kostku o hmotnosti M, která byla zpočátku v klidu, spouštíme na laně svisle dolů se
zrychlením g/4.
a) Jaká je při popsaném ději tahová síla lana?
Zaměřme se nyní na okamžik, kdy kostka poklesla o vzdálenost d.
Určete:
b) jakou práci vykonala do tohoto okamžiku tahová síla lana,
c) jakou práci vykonala tíhová síla,
d) jaká je v tomto okamžiku kinetická energie kostky,
e) rychlost kostky.
Nakreslete obrázek znázorňující popsanou situaci. Zakreslete do něj působící síly,
znázorněte směr zrychlení a sestavte pohybovou rovnici vektorově i ve složkách.
Odpovědi zapište včetně znamének a znaménka zdůvodněte.
58
Řešení
M
a = g/4
v0 = 0 m.s-1
d
Podle druhého Newtonova pohybového zákona sestavíme pohybovou rovnici vektorově
aMGT

 , resp. aMgMT


a) Protože všechny vektory leží ve stejné přímce lze psát pohybovou rovnici ve složkách:
v ose y: T – Mg = – Ma.
Vypočítáme tahovou sílu lana
T = Mg – Ma = M(g – a) = M(g – g/4) = ¾ Mg N.
59
Po uplynutí nějaké doby kostka poklesla o vzdálenost d.
Síly působící na kostku jsou konstantní, proto pro výpočet práce můžeme použít
zjednodušený vztah: rFrFW  cos

.
b) Práce, kterou vykonala do tohoto okamžiku tahová síla lana je
MgdTddTdTWT
4
3
)1()180cos(  J.
c) Práce, kterou vykonala do tohoto okamžiku tíhová síla je
MgddGdGWG
 )1()0cos( J.
d) Kinetickou energii získala kostka tím, že byla vykonána práce obou působících sil:
MgdMgdMgdWWE GTk
4
1
4
3
 J.
e) Rychlost kostky vypočítáme z definičního vztahu kinetické energie
2
2
1
MvEk
 ⟹
2
4
1
2
2 gd
M
Mgd
M
E
v k


 m.s-1
.
Poznámka: Rychlost lze určit také integrováním zrychlení.
60
Příklad
Těleso o hmotnosti 20 kg se nachází v klidu na vodorovné rovině. V čase 0 začne na těleso
působit stálá vnější síla o velikosti 90 N směrem šikmo vzhůru, která svírá s vodorovnou
rovinou úhel 30. Touto silou je těleso uvedeno do pohybu. Součinitel smykového tření
mezi tělesem a rovinou je 0,3.
Určete:
a) velikost a směr normálové síly, kterou působí rovina na těleso,
b) zrychlení tělesa.
Řešení
m = 20 kg
F = 90 N
 = 30
μ = 0,3
61
Podle druhého Newtonova pohybového zákona sestavíme pohybovou rovnici vektorově
amFGFN t

 , resp. amFgmFN t


Sestavíme pohybovou rovnici ve složkách
v ose x: Fx – Ft = max,
v ose y: N + Fy – G = may.
Těleso se pohybuje podél vodorovné roviny, proto má zrychlení pouze v ose x.
Můžeme upravit rovnice
v ose x: F·cos – Ft = ma,
v ose y: N + F·sin – mg = 0.
a) Normálová síla, kterou působí rovina na těleso je
N = mg – F·sin = 20 kg · 9,81 m.s-2
– 90 N · sin(30) = 151,2 N.
b) Zrychlení vypočítáme z pohybové rovnice v ose x
.m.s63,1
kg20
)30sinN90m.s81,9kg20(3,030cosN90
)sin(coscoscos
2
2












m
FmgF
m
NF
m
FF
a t 