Semestrální práce pro předmět Matematika a fyzika pro zvukový design
Semestr: Podzim 2022/2023
Pokyny pro studenty denního studia:
Studenti, kteří se pravidelně účastní výuky a absolvují aspoň 10 presenčních seminářů za
semestr, vypracují řešení 2 příkladů a připraví si presentaci řešení.
Vzorová řešení přednesou svým spolužákům v termínech uvedených níže. Hodnocen bude
teoretický výklad, správnost řešení a samotná presentace (vystoupení). Řešení lze vypracovat
na počítači nebo napsat rukou a naskenovat. Připravené soubory vložte ve formátu pdf jako
jeden soubor do odevzdávárny nejpozději v pondělí před termínem vaší presentace.
Rozpis příkladů a termíny presentací pro studenty denního studia pro Podzim 2022/23:
Podzim 2022/2023 Seminární práce - čísla příkladů Termín
Č. Student část 1 část 2 presentace
1. Bartošík, Patrik 1. 1. 16. 11. 2022
2. Galbavý, Adam 2. 2. 16. 11. 2022
3. Hroncová, Bibiána 3. 3. 16. 11. 2022
4. Kováč, Marek 4. 4. 16. 11. 2022
5. Kravárik, Ján 5. 5. 16. 11. 2022
6. Kriváň, Filip 6. 6. 30. 11. 2022
7. Porkhunova, Liubov 7. 7. 30. 11. 2022
8. Sedláková, Karolína 8. 8. 30. 11. 2022
9. Segéňová, Karolína 9. 9. 30. 11. 2022
10. Smělík, Martin 10. 10. 30. 11. 2022
11. Sochatzi, Samuel 11. 11. 14. 12. 2022
12. Zaytseva, Polina 12. 12. 14. 12. 2022
Pokyny pro studenty kombinovaného studia:
Studenti, kteří nenavštěvují presenční výuku, vypracují řešení celkem 9 příkladů podle rozpisu
níže. Sada příkladů k řešení je určená podle posledního čísla UČO (UČO = 123456 -> volíte
sadu příklad č. 6). Každý příklad řešte na samostatný list, v jeho záhlaví uveďte svoje jméno,
UČO, číslo příkladu (např. část 1, př. 1). Vypracované řešení naskenujte do jednoho souboru
ve formátu pdf a vložte do odevzdávárny nejpozději do pondělí 12. 12. 2022 (včetně).
Rozpis příkladů pro studenty kombinovaného studia pro Podzim 2022/23:
Poslední číslice UČO Seminární práce - čísla příkladů
část 1 část 2
0 1, 6, 11 1, 4, 5, 6, 8, 9
1 2, 7, 11 2, 4, 5, 7, 8, 10
2 3, 8, 12 3, 4, 5, 6, 8, 11
3 4, 9, 12 1, 4, 5, 7, 8, 12
4 5, 10, 11 2, 4, 5, 6, 8, 12
5 1, 6, 11 1, 4, 5, 6, 8, 9
6 2, 7, 11 2, 4, 5, 7, 8, 10
7 3, 8, 12 3, 4, 5, 6, 8, 11
8 4, 9, 12 1, 4, 5, 7, 8, 12
9 5, 10, 11 2, 4, 5, 6, 8, 12
Příklady - část 1:
Mechanika
1. Částice se pohybuje v rovině xy. Její poloha v závislosti na čase je
𝑥 = 3 𝑡2
− 2 𝑡, 𝑦 = 4 𝑡3
− 5, kde čas t je v sekundách a poloha x, y je v metrech.
V časovém okamžiku t = 2 s určete:
a) polohový vektor r

,
b) vektor rychlosti částice v

a velikost tohoto vektoru v,
c) vektor zrychlení částice a

a jeho velikost a.
2. Automobil jede po přímé silnici rychlostí 72 km.h-1
. V určitém okamžiku začne řidič brzdit
a za dobu 5 s automobil zastaví.
Určete:
a) velikost zrychlení při brzdění,
b) dráhu, kterou při brzdění ujede.
3. Dvě tělesa se začnou současně pohybovat z téhož místa ve stejném směru. První těleso koná
pohyb rovnoměrně zrychlený s počáteční rychlostí 4 m.s-1
a se zrychlením 0,5 m.s-2
, druhé
těleso pohyb rovnoměrně zpomalený s počáteční rychlostí 10 m.s-1
a se zrychlením 1 m.s-2
.
Určete:
a) dobu, za kterou budou mít obě tělesa stejnou rychlost, a velikost této rychlosti,
b) dobu, za kterou urazí obě tělesa stejnou dráhu, a tuto dráhu.
Řešte početně i graficky.
4. Po vodorovné silnici táhne traktor stálou rychlostí kmen stromu o hmotnosti 1,5 t do
vzdálenosti 2 km.
a) Jakou mechanickou práci vykoná, je-li součinitel smykového tření 0,6?
b) Určete práci, kterou vykoná třecí síla.
c) Určete práci, kterou vykoná tíhová síla.
d) Určete střední výkony třecí síly a tíhové síly za 5 min.
Nakreslete obrázek znázorňující popsanou situaci. Zakreslete do něj působící síly,
znázorněte směr zrychlení a sestavte pohybovou rovnici vektorově i ve složkách.
5. Helikoptéra zvedala na laně astronauta vážícího 72 kg z hladiny oceánu do výšky 15 m se
zrychlením g/10.
Určete práci, kterou při tom vykonaly síly působící na astronauta:
a) síla, kterou působila helikoptéra,
b) tíhová síla.
c) Jakou kinetickou energii a rychlost astronaut získal?
Nakreslete obrázek znázorňující popsanou situaci. Zakreslete do něj působící síly,
znázorněte směr zrychlení a sestavte pohybovou rovnici vektorově i ve složkách.
Elektřina
6. Kulička o hmotnosti 250 mg je elektricky nabita nábojem 65 nC. S jak velkým zrychlením
se bude tato kulička pohybovat v homogenním elektrickém poli, jehož intenzita má velikost
450 V.cm-1
?
7. Dva kondenzátory s kapacitami 2,0 μF a 4,0 μF jsou připojeny paralelně ke zdroji napětí
300 V. Určete celkovou energii elektrických polí obou kondenzátorů.
8. Vzduchový deskový kondenzátor má kapacitu 1,3 pF. Zdvojnásobení vzdálenosti jeho
elektrod a současné vložení vosku mezi ně vede ke zvětšení jeho kapacity na 2,6 pF. Určete
relativní permitivitu vosku.
9. Čtyři rezistory o odporu 18,0 Ω jsou připojeny paralelně k ideální 25,0 V baterii. Určete,
jak velký proud prochází baterií.
10. Vodičem o odporu 7,5 Ω prošel náboj 54 C za 1,5 minuty. Určete napětí zdroje, k němuž
byl vodič připojen.
Magnetismus
11. Elektron v televizní obrazovce letí rychlostí 7,20106
m.s-1
v magnetickém poli o indukci
83,0 mT.
a) Určete největší a nejmenší velikost síly, kterou působí magnetické pole na elektron.
b) V určitém místě je zrychlení elektronu 4,901014
m.s-2
. Jaký úhel svírá vektor rychlosti
elektronu s vektorem magnetické indukce?
12. Dva dlouhé rovnoběžné vodiče leží ve vzdálenosti 8,0 cm od sebe. Teče jimi stejný
proud I. Magnetická indukce uprostřed mezi vodiči má velikost 300 µT.
Určete:
a) velikost proudu, pokud vodiči protéká proud souhlasného směru,
b) velikost proudu, pokud vodiči protéká proud nesouhlasného směru.
Každý z případů ilustrujte obrázkem s vyznačením vektorů magnetické indukce
v příslušném bodě.
Příklady - část 2:
Kmity
1. Oscilátor je tvořen závažím o hmotnosti 0,5 kg zavěšeným na pružině. Jestliže ho
rozkmitáme s amplitudou 35,0 cm, pohyb se každých 0,5 s opakuje. Nalezněte
(a) periodu kmitání,
(b) jeho frekvenci,
(c) úhlovou frekvenci,
(d) tuhost pružiny,
(e) největší rychlost závaží a
(f) největší sílu působící na závaží.
2. Membrána reproduktoru harmonicky kmitá s frekvencí 440 Hz a amplitudou 0,75 mm.
Určete
(a) úhlovou frekvenci kmitů,
(b) největší rychlost membrány a
(c) největší zrychlení membrány.
3. Koncový bod jednoho za dvou ramen ladičky harmonicky kmitá s frekvencí 1000 Hz a
amplitudou 0,4 mm. Určete pro tento bod
(a) maximální zrychlení a
(b) maximální rychlost. Dále nalezněte
(c) zrychlení a
(d) rychlost uvažovaného bodu v okamžiku, kdy jeho výchylka činí 0,2 mm.
4. Elektrický obvod je tvořen kondenzátorem s kapacitou 10 F a cívkou s indukčností
4 mH.
(a) Jaká je frekvence vlastních kmitů tohoto obvodu?
(b) Jak se změní frekvence, pokud budeme uvažovat v obvodu tlumení vlivem sériového
odporu o velikosti 8?
Vlny příčné
5. Příčná postupná vlna, šířící se na velmi dlouhé struně, je popsána rovnicí
𝑦(𝑥, 𝑡) = 6,0 ∙ sin(0,02π𝑥 + 4,0π𝑡)
kde souřadnice x a y jsou vyjádřeny v centimetrech a čas t v sekundách. Pro tuto vlnu určete
(a) amplitudu,
(b) vlnovou délku,
(c) frekvenci,
(d) rychlost,
(e) směr šíření a
(f) největší příčnou rychlost částic struny.
(g) Jaká je příčná výchylka struny v místě x = 3,5 cm v čase t = 0,26 s?
6. Délková hustota struny je 1,6ˑ10-4
kgˑm-1
. Na struně se šíří příčná vlna, popsaná vztahem
𝑦(𝑥, 𝑡) = (0,021 m) ∙ sin[(2,0 rad ∙ m-1)𝑥 + (30 rad ∙ s-1)𝑡]
(a) Určete rychlost vlny.
(b) Vypočtěte napětí ve struně.
7. Struna, po níž se šíří vlny rychlostí 400 mˑs-1
, je na obou koncích uchycena v pevných
svorkách. Strunu rozkmitáme ladičkou o frekvenci 600 Hz. Vznikající stojatá vlna má
amplitudu 2 mm a je tvořena čtyřmi půlvlnami.
(a) Jaká je vzdálenost mezi svorkami?
(b) Určete výchylku jednotlivých částic struny jako funkci polohy částic a času.
Vlny podélné
Když není řečeno jinak, tak použijte pro výpočet následující hodnoty: rychlost zvuku ve
vzduchu v = 343 mˑs-1
, hustota vzduchu  = 1,21 kgˑm-3
.
8. Dva reproduktory připevněné na stěně jsou ve fázi. Jejich vzdálenost je 2,0 m. Posluchač
se nachází ve vzdálenosti 3,75 m od stěny, přímo před jedním reproduktorem.
Předpokládejme, že amplitudy zvukových vln z reproduktorů jsou zhruba stejné v místě,
kde stojí posluchač. Určete:
(a) Pro jakou nejnižší frekvenci v slyšitelném rozsahu (20 Hz až 20 000 Hz) vnímá
posluchač nejslabší signál?
(b) Pro jakou nejnižší frekvenci v slyšitelném rozsahu je signál nejsilnější?
9. Bodový zdroj výkonu 1,0 W izotropně vysílá zvukové vlny. Za předpokladu, že energie vln
se zachovává, jaká je intenzita vlnění ve vzdálenosti
(b) 1,0 m od zdroje a
(c) 2,5 m od zdroje?
10. Struna houslí dlouhá 15 cm a s pevnými konci kmitá na základní frekvenci (mezi jejími
konci není žádný další uzel). Vlnění šířící se po struně má rychlost 250 mˑs-1
, rychlost zvuku
ve vzduchu je 348 mˑs-1
. Jaká je
(a) frekvence a
(b) vlnová délka vzniklé zvukové vlny?
11. (a) Určete rychlost vln pohybujících se po houslové struně hmotnosti 800 mg a délky 22,0
cm, jejíž základní frekvence je 920 Hz.
(b) Jaké je ve struně napětí?
(c) Jaká je při základní frekvenci vlnová délka vln pohybujících se po struně a
(d) vlnová délka vzniklých zvukových vln?
12. Houslová struna A je trochu přetažená. Když ji necháme znít spolu s ladičkou, která vydává
přesné komorní a (a1
= 440 Hz), slyšíme čtyři zázněje za sekundu. Jaké je perioda kmitů
struny?